Cálculo Avanzado

1. Derivada de funciones complejas
Sea f una función 𝑓: 𝐷𝑓 ⊆ ℂ → ℂ y 𝑧0 ∈ 𝐷𝑓.
Se dice que f es derivable en 𝑧0 si existe el lim
∆𝑧→0
𝑓 𝑧0+∆𝑧 −𝑓(𝑧0)
∆𝑧
F(z0)
F(z)
u
v
z0
z
Δz
x
y
𝑓´ 𝑧0 = lim
∆𝑧→0
𝑓 𝑧0 + ∆𝑧 − 𝑓(𝑧0)
∆𝑧
= lim
𝑧→𝑧0
𝑓 𝑧 − 𝑓(𝑧0)
𝑧 − 𝑧0
=

2. Probar que:
1. Si 𝑓 𝑧 = 𝑐, 𝑐𝑜𝑛 𝑐 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒, ⟹ 𝑓´ 𝑧 = 0
2. Si 𝑓 𝑧 = 𝑧 ⟹ 𝑓´ 𝑧 = 1
3. Si 𝑓 𝑧 = 𝑧2 ⟹ 𝑓´ 𝑧 = 2𝑧
4. Si 𝑓 𝑧 = 𝑧 ⟹ 𝑓´ 𝑧 =
1
2 𝑧
5. Si 𝑓 𝑧 =
1
𝑧
⟹ 𝑓´ 𝑧 = −
1
𝑧2 , 𝑐𝑜𝑛 𝑧 ≠ 0

3. Reglas de derivación:
Sean 𝑓 𝑧 𝑦 𝑔 𝑧 funciones derivables y c una constante, entonces:
1. 𝑓/𝑧) ± 𝑔(𝑧) ´ = 𝑓´ 𝑧 ± 𝑔´ 𝑧
2. 𝑓 𝑧 . 𝑔(𝑧) ´ = 𝑓 𝑧 ´. 𝑔 𝑧 + 𝑓 𝑧 . 𝑔 𝑧 ´
3.
𝑓(𝑧)
𝑔(𝑧)
´
=
𝑓 𝑧 ´.𝑔 𝑧 −𝑓 𝑧 .𝑔 𝑧 ´
𝑔(𝑧)2
4. 𝑐. 𝑓(𝑧) ´ = 𝑐. 𝑓 𝑧 ´
5. 𝑓(𝑔 𝑧 ) ´ = 𝑓´ 𝑔 𝑧 . 𝑔´(𝑧)
Regla de L´Hôpital
Si 𝑓 𝑧 = 𝑔 𝑧 = 0 y 𝑓´ 𝑧0 , 𝑔´ 𝑧0 existen con 𝑔´ 𝑧0 ≠ 0, entonces:
lim
𝑧→𝑧0
𝑓 𝑧
𝑔 𝑧
= lim
𝑧→𝑧0
𝑓´ 𝑧
𝑔´ 𝑧

4. Sea 𝑓 𝑧 = 𝑧
¿Es continua?
¿Cuál es su derivada?
lim
∆𝑧→0
𝑧0 + ∆𝑧 − 𝑧0
∆𝑧
= lim
∆𝑧→0
𝑧0 + ∆𝑧 − 𝑧0
∆𝑧
= lim
∆𝑧→0
∆𝑧
∆𝑧
Esa indeterminación no se puede
salvar fácilmente.

5. Si tomamos 𝑧0 = 𝑥0 + 𝑖𝑦0, 𝑦 ∆𝑧 = ∆𝑥 + 𝑖∆𝑦, nos acercamos a 𝑧0 por
dos direcciones:
x
y
z0
Δx=0
Δy
Δy=0
Δx
lim
∆𝑦→0
∆𝑥=0
∆𝑥 − 𝑖∆𝑦
∆𝑥 + 𝑖∆𝑦
= lim
∆𝑦→0
−1 = −1
lim
∆𝑥→0
∆𝑦=0
∆𝑥 − 𝑖∆𝑦
∆𝑥 + 𝑖∆𝑦
= lim
∆𝑦→0
+ 1 = +1
Como los límites
por dos caminos
distintos son
diferentes la
función no es
derivable.
No toda función continua es derivable
Como estas derivadas no dependen de z, la
función 𝑓 𝑧 = 𝑧 no es derivable en ningún
punto.

6. ¿En qué puntos es derivable 𝑓 𝑧 = 𝑧 2?
1. Recordar que 𝑧 2 = 𝑧. 𝑧
2. Buscar el límite por los dos caminos, o sea, acercarse al z por un
camino vertical y otro horizontal.
• Si ∆𝑥 = 0 ∧ ∆𝑦 → 0 𝑓´ 𝑧 = −𝑧 + 𝑧
• Si ∆𝑦 = 0 ∧ ∆𝑥 → 0 𝑓´ 𝑧 = 𝑧 + 𝑧
La derivada sólo existe si esos dos resultados son iguales y eso solo
ocurre cuando 𝑧 = 0 UNICO PUNTO DONDE f(z) ES DERIVABLE

7. Teorema:
Condiciones de Cauchy-Riemann ( Condición necesaria)
Sea 𝑓 𝑧 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖 𝑣 𝑥, 𝑦 , 𝑧0 = 𝑥0 + 𝑖𝑦0
Supongamos que 𝑢𝑥, 𝑢𝑦, 𝑣𝑥, 𝑣𝑦 existen en 𝑧0. Entonces,
1. Si 𝑓 𝑧 es derivable en 𝑧0, entonces en 𝑧0 se verifican las ecuaciones
de Cauchy-Riemann
𝑢𝑥 = 𝑣𝑦
𝑢𝑦 = −𝑣𝑥
2. Si 𝑓 𝑧 es derivable en 𝑧0, 𝑓´ 𝑧0 = 𝑢𝑥 𝑥0, 𝑦0 + 𝑖𝑣𝑥 𝑥0, 𝑦0

8. Teorema:
Condición necesaria y suficiente de derivabilidad
Sea 𝑓 𝑧 = 𝑢 𝑥, 𝑦 + 𝑖 𝑣 𝑥, 𝑦 .
Si 𝑢𝑥, 𝑢𝑦, 𝑣𝑥, 𝑣𝑦 existen y son continuas en 𝑧0, entonces:
𝑓 𝑧 es derivable en 𝑧0 ⟺ en 𝑧0 se verifican las ecuaciones de C-R

9. Ejemplos:
Para cada una de las siguientes funciones determinar los valores de z para los
cuales f(z) es derivable.
𝑓 𝑧 = 𝑧
Escribimos: 𝑓 𝑧 = 𝑧 = 𝑥 − 𝑖𝑦
Donde
𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑥
𝑣 𝑥, 𝑦 = −𝑦
ambas continuas para cualquier valor de (x , y)
𝐶 − 𝑅
𝑢𝑥 = 𝑣𝑦
𝑢𝑦 = −𝑣𝑥
⟹
1 = −1
0 = 0
Este sistema no tiene solución
Entonces, 𝑓 𝑧 = 𝑧 no es derivable para ningún 𝑧 ∈ ℂ

10. 𝑓 𝑧 = 𝑧 2
Escribimos: 𝑓 𝑧 = 𝑧 2 = 𝑥 + 𝑖𝑦 2 = 𝑥2 + 𝑦2
Donde
𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2
𝑣 𝑥, 𝑦 = 0
ambas continuas para
cualquier valor de (x , y)
𝐶 − 𝑅
𝑢𝑥 = 𝑣𝑦
𝑢𝑦 = −𝑣𝑥
⟹
2𝑥 = 0
2𝑦 = 0
⟹
𝑥 = 0
𝑦 = 0
Entonces, 𝑓 𝑧 es derivable solo en (x , y)=(0 , 0) o z = 0

11. 𝑓 𝑧 = 3𝑥𝑦2
+ 𝑖 𝑦3
− 𝑥3
Donde
𝑢 𝑥, 𝑦 = 3𝑥𝑦2
𝑣 𝑥, 𝑦 = 𝑦3 − 𝑥3 ambas continuas para cualquier
valor de (x , y)
𝐶 − 𝑅
𝑢𝑥 = 𝑣𝑦
𝑢𝑦 = −𝑣𝑥
⟹
3𝑦2
= 3𝑦2
6𝑥𝑦 = 3𝑥2 ⟹
0 = 0
6𝑥𝑦 = 3𝑥2
⟹ 6𝑥𝑦 − 3𝑥2
= 0 ⟹ 3𝑥 2𝑦 − 𝑥 = 0
⟹
𝑥 = 0
𝑦 =
𝑥
2
𝑅𝐷 = 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥 = 0 ∨ 𝑦 =
𝑥
2
y
x
X=0
Son los únicos puntos donde la
función es derivable

12. Proposición:
1. Si 𝑓 𝑧 = 𝑒𝑧 ⟹ 𝑓 𝑧 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 ∀𝑧 ∈ ℂ 𝑦 𝑓´ 𝑧 = 𝑒𝑧
2. Si 𝑓 𝑧 = 𝑠𝑒𝑛 𝑧 ⟹ 𝑓 𝑧 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 ∀𝑧 ∈ ℂ 𝑦 𝑓´ 𝑧 =cos z
3. Si 𝑓 𝑧 = 𝑐𝑜𝑠 𝑧 ⟹ 𝑓 𝑧 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 ∀𝑧 ∈ ℂ 𝑦 𝑓´ 𝑧 = −sen z

13. Función Analítica u holomorfa
Sea f una función tal que 𝑓: 𝐷 ⊆ ℂ → ℂ donde D es el dominio de f. Entonces:
1. f es analítica en 𝑧0 ∈ 𝐷 si existe un entorno 𝑈(𝑧0) de 𝑧0, tal que 𝑓(𝑧) es
derivable ∀ 𝑧 ∈ 𝑈(𝑧0)
2. f es analítica si es analítica ∀ 𝑧 ∈ D
Función entera:
Una función 𝑓: ℂ → ℂ es entera si es analítica ∀ 𝑧 ∈ ℂ

14. Ejercicio:
Sea 𝑓 𝑧 = 𝑥3𝑦 + 𝑦3 + 𝑖
3
2
𝑥2𝑦2 −
1
4
𝑥4
1. Hallar y representar gráficamente los valores de z para los cuales la función
es derivable
2. ¿Es derivable en 𝑧0 = −1 + 2𝑖 ? En caso afirmativo, calcular 𝑓´ 𝑧0
3. ¿Es analítica en 𝑧0 = −1 + 2𝑖 ?
Ejercicio:
Sea 𝑓 𝑧 =
𝑧+1 4
cos 𝑧 −2 𝑧3−1
1. Hallar y representar gráficamente los valores de z para los cuales la función
es derivable
2. Hallar los valores de z para los cuales f(z) es analítica
3. Calcular 𝑓´ 𝑧0
4. Calcular f(i)
5. Calcular lim
𝑧→1
𝑓(𝑧)

15. Para tener en cuenta:
Si f(z) NO es continua ⟹ no es derivable ⟹ no es analítica
Si f(z) es continua ⟹ sea derivable ⟹ sea analítica
Si f(z) es analítica ⟹ es derivable ⟹ es continua
Condiciones de analiticidad en todo el dominio de f
 Condición suficiente: existen y son continuas 𝑢, 𝑣, 𝑢𝑥, 𝑢𝑦, 𝑣𝑥 , 𝑣𝑦
 Condición necesaria: se cumplen la ecuaciones de Cauchy – Riemann
𝑢𝑥 = 𝑣𝑦
𝑢𝑦 = −𝑣𝑥