1. SOLUCION DE LAS INECUACIONES IRRACIONALES
1)
࢞ି
࢞ି
≥
• Expresiones que contienen ࢞ en el denominador no se pueden pasar y multiplicar por
cero es decir no podemos anular la expresión del denominador
Hallando las raíces ceros o soluciones de las expresiones matemáticas que componen la fracción
es decir tenemos que hallar los números que hacen valer cero al numerador y que hacen valer
cero al denominador.
࢞ − =
࢞ =
࢞ − =
࢞ =
2 4
Si ࢞ toma el valor de 4 la expresión se anularía por tanto
࢞࢞࢞࢞≠≠≠≠ para que la expresión exista, es decir para la solución en este valor consideraremos
intervalo abierto.
Evaluando los signos en cada intervalo:
Si ࢞ = entonces
ି
ି
> 0
Si ࢞ = entonces
ି
ି
< 0
Si ࢞ = entonces
ି
ି
> 0
+ - +
2 4
Como la inecuación racional es mayor o igual que cero, para solución consideramos los intervalos
con signo positivo por tanto el conjunto solución es =(−∞, 2ሿ ∪ (4, +∞)
2. 2)
࢞ା
࢞ି
< 2
• Primero debemos unificar la expresión:
࢞ +
࢞ −
< 2
࢞ +
࢞ −
− < 0
࢞ +
࢞ −
−
(࢞ − )
࢞ −
< 0
࢞ + − ࢞ +
࢞ −
< 0
−࢞ + ૠ
࢞ −
< 0 − − − − − − − − − − − − −
Hallando las raíces ceros o soluciones de las expresiones matemáticas que componen la fracción
es decir tenemos que hallar los números que hacen valer cero al numerador y que hacen valer
cero al denominador.
−࢞ + ૠ =
࢞ = ૠ
࢞ − =
࢞ =
2 7
Si ࢞ toma el valor de 2 la expresión se anularía por tanto
࢞࢞࢞࢞≠≠≠≠ para que la expresión exista, es decir para la solución en este valor consideraremos
intervalo abierto.
Evaluando los signos en cada intervalo:
Si ࢞ = entonces
ାૠ
ି
< 0
Si ࢞ = entonces
ିାૠ
ି
> 0
Si ࢞ = ૡ entonces
ିૡାૠ
ૡି
< 0
- + -
2 7
3. Como la desigualdad A es menor que 2 entonces consideramos los intervalos don signo negativo
el conjunto solución es =(−∞, 2) ∪ (7, +∞)
3)
࢞ି
ା࢞
≤
• Primero debemos unificar la expresión:
࢞ −
+ ࢞
≤
࢞ −
+ ࢞
− ≤
࢞ −
+ ࢞
−
( + ࢞)
+ ࢞
≤ 0
࢞ − − − ࢞
+ ࢞
≤ 0
࢞ −
+ ࢞
≤ 0 − − − − − − − − −
Hallando las raíces ceros o soluciones de las expresiones matemáticas que componen la fracción
es decir tenemos que hallar los números que hacen valer cero al numerador y que hacen valer
cero al denominador.
࢞ − =
࢞ =
+ ࢞ =
࢞ = −
-2 5
Si ࢞ toma el valor de -2 la expresión se anularía por tanto
࢞࢞࢞࢞≠≠≠≠---- para que la expresión exista, es decir para la solución en este valor consideraremos
intervalo abierto.
Evaluando los signos en cada intervalo:
Si ࢞ = entonces
ି
ା()
> 0
Si ࢞ = entonces
ି
ା()
< 0
4. Si ࢞ = − entonces
ିି
ା(ି)
> 0
+ - +
-2 5
Como la desigualdad A es menor o igual que 0 entonces consideramos el intervalo con signo
negativo el conjunto solución es =(−2,5ሿ
4)
࢞ା
࢞ି
< 0
Hallando las raíces ceros o soluciones de las expresiones matemáticas que componen la fracción
es decir tenemos que hallar los números que hacen valer cero al numerador y que hacen valer
cero al denominador.
࢞ + =
࢞ = −
࢞ − =
࢞ =
-4 2
Si ࢞ toma el valor de 2 la expresión se anularía por tanto
࢞࢞࢞࢞≠≠≠≠ para que la expresión exista, es decir para la solución en este valor consideraremos
intervalo abierto.
Evaluando los signos en cada intervalo:
Si ࢞ = entonces
ା
ି
< 0
Si ࢞ = entonces
ା
ି
> 0
Si ࢞ = − entonces
ିା
ିି
> 0
+ - +
-4 2
5. Como la desigualdad es menor que 0 entonces consideramos los intervalos con signo negativo el
conjunto solución es =(−4,2).
5)
ି࢞
࢞ା
≥
Hallando las raíces ceros o soluciones de las expresiones matemáticas que componen la fracción
es decir tenemos que hallar los números que hacen valer cero al numerador y que hacen valer
cero al denominador.
− ࢞ =
࢞ =
࢞ + =
࢞ = −
-3 2
Si ࢞ toma el valor de -3 la expresión se anularía por tanto
࢞࢞࢞࢞≠≠≠≠----3333 para que la expresión exista, es decir para la solución en este valor consideraremos
intervalo abierto.
Evaluando los signos en cada intervalo:
Si ࢞ = entonces
ି
()ା
< 0
Si ࢞ = entonces
ି
()ା
> 0
Si ࢞ = − entonces
ି(ି)
(ି)ା
< 0
- + -
-3 2
Como la desigualdad es mayor o igual que 0 entonces consideramos el intervalo con signo
positivo el conjunto solución es =(−3,2ሿ.
6)
࢞ି
࢞ା
≥
࢞ାૠ
࢞ା
• Primero debemos unificar la expresión:
6. ࢞ −
࢞ +
≥
࢞ + ૠ
࢞ +
࢞ −
࢞ +
−
࢞ + ૠ
࢞ +
≥
࢞ − − ࢞ − ૠ
࢞ +
≥
−࢞ −
࢞ +
≥ − − − − − − − − − − − − − − − − − − − ۯ
Hallando las raíces ceros o soluciones de las expresiones matemáticas que componen la fracción
es decir tenemos que hallar los números que hacen valer cero al numerador y que hacen valer
cero al denominador.
−࢞ − =
࢞ = −
࢞ + =
࢞ = −
-10 -2
Si ࢞ toma el valor de -2 la expresión se anularía por tanto
࢞࢞࢞࢞≠≠≠≠---- para que la expresión exista, es decir para la solución en este valor consideraremos
intervalo abierto.
Evaluando los signos en cada intervalo:
Si ࢞ = − entonces
ି
ିା
< 0
Si ࢞ = − entonces
ି
ିା
> 0
Si ࢞ = − entonces
ି
ିା
< 0
- + -
-10 -2
7. Como la desigualdad A es mayor o igual que 0 entonces consideramos el intervalo con signo
positivo por tanto el conjunto solución es =[−10, −2)
7)
ି࢞ିૡ
࢞ିૠ
<
Hallando las raíces ceros o soluciones de las expresiones matemáticas que componen la fracción
es decir tenemos que hallar los números que hacen valer cero al numerador y que hacen valer
cero al denominador.
−࢞ − ૡ =
࢞ = −
࢞ − ૠ =
࢞ =
ૠ
= .
-4 2.3
Si ࢞ toma el valor de 7/3 la expresión se anularía por tanto
࢞࢞࢞࢞≠≠≠≠7/37/37/37/3 para que la expresión exista, es decir para la solución en este valor consideraremos
intervalo abierto.
Evaluando los signos en cada intervalo:
Si ࢞ = entonces
ି()ିૡ
()ିૠ
< 0
Si ࢞ = entonces
ି()ିૡ
()ିૠ
> 0
Si ࢞ = − entonces
ି(ି)ିૡ
(ି)ିૠ
< 0
- + -
-4 2.3
Como la desigualdad es menor que 0 entonces consideramos los intervalos don signo negativo por
tanto el conjunto solución es =(−∞, −4) ∪ (
ଷ
, +∞)
8)
࢞
࢞ି
< 0
Hallando las raíces ceros o soluciones de las expresiones matemáticas que componen la fracción
es decir tenemos que hallar los números que hacen valer cero al numerador y que hacen valer
cero al denominador.
8. ࢞ =
࢞ − =
࢞ =
0 1
Si ࢞ toma el valor de 1 la expresión se anularía por tanto
࢞࢞࢞࢞≠1≠1≠1≠1 para que la expresión exista, es decir para la solución en este valor consideraremos
intervalo abierto.
Evaluando los signos en cada intervalo:
Si ࢞ = entonces
ି
> 0
Si ࢞ = / entonces
/
/ି
< 0
Si ࢞ = − entonces
ି
ିି
> 0
+ - +
0 1
Como la desigualdad es menor que 0 entonces consideramos el intervalo con signo negativo por
tanto el conjunto solución es = (0,1)
9)
࢞ି
࢞ା
> 2
• Primero debemos unificar la expresión:
࢞ −
࢞ +
> 2
࢞ −
࢞ +
− > 0
࢞ −
࢞ +
−
(࢞ + )
࢞ +
> 0
࢞ − − ࢞ −
࢞ +
> 0
9. −
࢞ +
> 0
(
ି
)
ି
࢞ା
> 0 (
ି
) Multiplicando la expresión por (
ି
) para
positivisar y simplificar
࢞ +
< 0 − − − − − − − − − −ۯ
Hallando las raíces ceros o soluciones de las expresiones matemáticas que componen la fracción
es decir tenemos que hallar los números que hacen valer cero al numerador y que hacen valer
cero al denominador.
࢞ + =
࢞ = −
-5
Si ࢞ toma el valor de -5 la expresión se anularía por tanto
࢞࢞࢞࢞≠≠≠≠----5555 para que la expresión exista, es decir para la solución en este valor consideraremos
intervalo abierto.
Evaluando los signos en cada intervalo:
Si ࢞ = entonces
ା
> 0
Si ࢞ = − entonces
ିା
< 0
- +
-5
Como la desigualdad A es menor que 0 entonces consideramos los intervalos con signo negativo
por tanto el conjunto solución es =(−∞0, −5)
10)
࢞ା
ି࢞
< 0
Hallando las raíces ceros o soluciones de las expresiones matemáticas que componen la fracción
es decir tenemos que hallar los números que hacen valer cero al numerador y que hacen valer
cero al denominador.
10. ࢞ + =
࢞ = −
− ࢞ =
࢞ =
-6 3
Si ࢞ toma el valor de 3 la expresión se anularía por tanto
࢞࢞࢞࢞≠3≠3≠3≠3 para que la expresión exista, es decir para la solución en este valor consideraremos
intervalo abierto.
Evaluando los signos en cada intervalo:
Si ࢞ = entonces
ା
ି
< 0
Si ࢞ = entonces
ା
ି
> 0
Si ࢞ = −ૠ entonces
ିૠା
ି(ିૠ)
< 0
- + -
-6 3
Como la desigualdad es menor que 0 entonces consideramos los intervalos don signo negativo por
tanto el conjunto solución es =(−∞, −6) ∪ (3, +∞)
11)
࢞
࢞ି
≥
Unificando la expresion
࢞
࢞ −
≥
࢞
࢞ −
− ≥
࢞
࢞ −
−
(࢞ − )
(࢞ − )
≥
࢞ − ࢞ +
࢞ −
≥
11. −࢞ +
࢞ −
≥ − − − − − − − − − ۯ
Hallando las raíces ceros o soluciones de las expresiones matemáticas que componen la fracción
es decir tenemos que hallar los números que hacen valer cero al numerador y que hacen valer
cero al denominador.
−࢞ + =
࢞ = /
࢞ − =
࢞ =
5 15/2
Si ࢞ toma el valor de 5 la expresión se anularía por tanto
࢞࢞࢞࢞≠≠≠≠5555 para que la expresión exista, es decir para la solución en este valor consideraremos
intervalo abierto.
Evaluando los signos en cada intervalo:
Si ࢞ = ૡ entonces
ି(ૡ)ା
ૡି
< 0
Si ࢞ = entonces
ି()ା
ି
> 0
Si ࢞ = entonces
ି()ା
ି
< 0
- + -
5 15/2
Como la desigualdad A es mayor o igual que 0 entonces consideramos los intervalos de signo
positivo por tanto el conjunto solución es =(5 ,
ଵହ
ଶ
ሿ
12)
࢞
࢞ +
−
࢞ −
≥
Primero unificamos términos
࢞
࢞ +
−
࢞ −
≥
13. -√ -1 √ 2
Si ࢞ toma el valor de -1 0 2 la expresión se anularía por tanto
࢞࢞࢞࢞≠≠≠≠----1111 yyyy ࢞࢞࢞࢞≠≠≠≠2222 para que la expresión exista, es decir para la solución en este valor consideraremos
intervalo abierto.
Evaluando los signos en cada intervalo:
Si ࢞ = entonces
()
−
(+)(−)
> 0
Si ࢞ = 3/2 entonces
(
)
−
(/+)(/−)
< 0
Si ࢞ = entonces
()
−
(+)(−)
> 0
Si ࢞ = -1.1 entonces
(−.)
−
(−.+)(−.−)
<
Si ࢞ = -2 entonces
(−)
−
(−+)(−−)
> 0
+ - + - +
-√ -1 √ 2
Como la desigualdad A es menor o igual que 0 entonces consideramos los intervalos de signo
negativo por tanto el conjunto solución es =ൣ−√, −1൯ ∪ [ √, 2)
13)
࢞ା
࢞ି
≥
࢞
+ =
࢞
= −
࢞ = ±√− ࢋ࢚࢘ࢋࢋࢉࢋ ࢇ ࢙ ࢛ࢋ࢙࢘ ࢘ࢋࢇࢋ࢙(ࡾ).
El radical siempre debe ser positivo.
14. ࢞
− =
࢞
=
࢞ = ±√ = ±
࢞ =
࢞ = −
El denominador no se puede anular por lo tanto ࢞ ≠ y ࢞ ≠ −
Y la inecuación original será equivalente a:
࢞ −
≥
࢞
− > 0
+ - +
-2 2
Como la desigualdad es mayor o igual que 0 entonces consideramos los intervalos de signo
positivo por tanto el conjunto solución es =(−∞ − 2) ∪ (2, +∞)
14)
࢞ି
ି࢞ା࢞ି
≤
Hallando las raíces o soluciones
࢞
− =
࢞
=
࢞ = ±√ = ±
−࢞
+ ࢞ − = −൫࢞
− ࢞ + ൯ = −(࢞ − )
࢞
−
−(࢞ − )
≤ ࢞ ≠
(−)
࢞ି
ି(࢞ି) ≤ ࢞ ≠
15. ࢞
−
(࢞ − )
≥ ࢞ ≠ − − − − − − −
El denominador elevado al cuadrado es siempre positivo, pero para que no se
anule ࢞ ≠ .
-1 1
Evaluando los signos en cada intervalo
Si ࢞ = entonces
()ି
(ି) > 0
Si ࢞ = −/ entonces
(ି/)ି
(ି/ି) < 0
Si ࢞ = − entonces
(ି)ି
(ିି) > 0
+ - +
-2 2
Como la desigualdad A es mayor o igual que 0 entonces consideramos los intervalos de signo
positivo por tanto el conjunto solución es =(−∞, −1ሿ ∪ (1, +∞)
15)
࢞ି
࢞ି
≤
Hallando las raíces o soluciones
࢞
− =
࢞
=
࢞ = ±√ = ±
࢞
− =
࢞
=
16. ࢞ = ±√ = ±
࢞ =
࢞ = −
El denominador no se puede anular por tanto ࢞ ≠ y
࢞ ≠ −
-2 -1 1 2
Evaluando los signos en cada intervalo
Si ࢞ = 3 entonces
()ି
()ି
> 0
Si ࢞ = 3/2 entonces
(/)ି
(/)ି
< 0
Si ࢞ = 0 entonces
()ି
()ି
> 0
Si ࢞ = -3/2 entonces
(ି/)ି
(ି/)ି
< 0
Si ࢞ = -3 entonces
(ି)ି
(ି)ି
> 0
+ - + - +
-2 -1 1 2
Como la desigualdad es menor o igual que 0 entonces consideramos los intervalos de signo
negativo por tanto el conjunto solución es =(−2, −1ሿ ∪ [1,2)
