matematica logica proporcional

1. LOGO
Docente: Mo. CASTAÑEDA SAMANAMÚ
Miguel Angel
LÓGICA
PROPOSICIONAL

2. Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
SEMANA 1
 Proposiciones Simples
 Conectivos y proposiciones compuestas.
 Tablas de verdad
 Construcción de tablas de verdad para
proposiciones compuestas
 Formas derivadas del condicional
 Simbolización

3. Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
PROPOSICIÓN
 Es un enunciado al
cual se le puede
asociar el concepto
de verdadero o falso,
pero no ambos.
Ejemplos:
 La luna es cuadrada
 7 es un número primo
 Las arañas son
mamíferos
¿Son proposiciones?
 ¿Qué hora es?
 Por favor, cierre la
puerta
 El 6 de abril de 1876
fue sábado
 Dice el Presidente:
“Todos en este país
son unos mentirosos y
esto es verdad”

4. Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
PROPOSICIONES COMPUESTAS
Conectivos
 Conocido el valor de verdad de ciertas
proposiciones, la lógica establece el valor
de verdad de otras relacionadas con éstas.
 A éstas últimas se les conoce como
proposiciones compuestas

5. Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
Negación
 Si p es una
proposición, entonces
“no p” es la negación
de p y se denota por:
~ p
Ejemplo:
p: Hoy es martes
~ p: Hoy no es martes
 ¿Qué sucede con la
negación de p,
siendo p verdadero?
 ¿Qué sucede con la
negación de p,
siendo p falso?

6. Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
Negación
podemos
de una
 Esto lo
escribir
manera
“compacta”,
utilizando una tabla
 A esta tabla se le
llama
certeza
“tabla de
de la
negación”
p ~ p
V F
F V
Posibilidades para la proposición p

7. Universidad Metropolitana
Negación Enseñando el camino
se utilizan
Como sinónimos de no,
las siguientes expresiones:
 No es cierto que ……..
 No es el caso que………
 Es falso que…………
 No sucede que…………….

8. Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
Conjunción
 Si p y
proposiciones,
llama conjunción de p
y q a la proposición
compuesta “p y q “ y
se denota por:
p  q
q son  Ejemplos:
se p: Hoy es martes
q: La luna es cuadrada
r: mañana es miércoles
p  q :Hoy es martes y
la luna es
cuadrada
p  r :Hoy es martes y
mañana es
miércoles

9. Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
Conjunción
 Para construir la
tabla de p  q,
debemos considerar
las diferentes
alternativas de
valores de verdad
para p y para q:
 ¿Cuáles son?
 Ambas verdaderas
 una V y la otra F
 ambas falsas
p q p  q
V
V V
V F F
F V F
F
F F

10. Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
Conjunción
Se toman como “sinónimos” de la conjunción:
 Además
 Pero
 Sin embargo
 Aunque
 También
 Aún
 A la vez
 No obstante

11. Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
Conjunción: p ^ q
 Luís estudia ,además de trabajar.
 Luís estudió pero no aprobó.
 Luís canta, sin embargo no baila.
 Luís jugó futbol aunque estaba lesionado.
 Luís juega futbol , también José.
 Luís salió, aún no llega.
 Luís cocina a la vez que canta.
 Luís viajará no obstante esté sin visa.
 Luís canta , no baila.

12. Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
Conjunción: p ^ q
No siempre “y” denota una conjunción ………
Ejemplo:
 Silvia y Nelly son hermanas.
Esta es una proposición (simple), en donde el “y”
permite establecer la relación entre los sujetos.

13. Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
Disyunción Inclusiva
 Si p y q son
proposiciones, se
llama disyunción de
p y q a la
proposición
compuesta “p o q”
y se denota por:
p  q
p q p  q
V V V
V F V
F V V
F F F

14. Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
Disyunción Inclusiva
 Seré cantante o futbolista
 p: Seré cantante
 q: Seré futbolista
Simbolización:
p  q
p q p  q
V V V
V F V
F V V
F F F

15. Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
Disyunción Exclusiva
 Si p y q son
proposiciones, se
llama disyunción de
p y q a la
proposición
compuesta “p q”
y se denota por:
p q
p q p q
V V F
V F V
F V V
F F F





16. Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
Disyunción Exclusiva
 Luis nació en Huacho o Barranca
 p: Luis nació en Huacho
 q: Luis nació en Barranca
Simbolización: p q

p q p q
V V F
V F V
F V V
F F F


17. Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
Condicional
 Si p y
proposiciones,
llama condicional de p
proposición
p,
se
y q a la
compuesta “si
entonces q” y
denota por:
p  q
q son  Ejemplos:
se  Si no llueve
(entonces) iremos a la
playa.
 Si me gano la lotería
(entonces) me voy de
viaje.
 Si no estudio
(entonces) no
aprobaré Lógica.

18. Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
Condicional
 Veamos la tabla
del condicional:
p  q
 Conviene pensar en
una “promesa” ..... Si
no llueve (entonces)
iremos a la playa
p q p  q
V V V
V F F
F V V
F F V

19. Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
Condicional
 El condicional es falso,
sólo cuando
antecedente
verdadero y
el
es
el
consecuente es falso;
cuando la
no se
es decir,
“promesa”
cumple.
p q p  q
V V V
V F F
F V V
F F V

20. Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
Condicional
 El condicional es muy
importante en
matemáticas, porque
los Teoremas se
expresan en forma
condicional.
 Un Teorema será un
condicional verdadero
con hipótesis verdadera
p q p  q
V V V

21. Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
Condicional
Algunas expresiones del lenguaje que indican la
→ q), son las
presencia de un condicional (p
siguientes:
 p es condición suficiente para q
 Si p, q
 q sip
 Que p supone que q
 Cuando p, q
 q es condición necesaria para p
 En caso de que p entonces q
 q sólo si p

22. Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
Condicional y Teoremas
 En los Teoremas, al antecedente del condicional
(p) se le llama Hipótesis y al consecuente (q) se
le llama Tesis o Conclusión
 Los Teoremas requieren de una demostración;
es decir, partiendo de una hipótesis verdadera,
hay que demostrar que la Conclusión es
verdadera.

23. Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
TABLAS DE VERDAD
 Recordemos que el valor de certeza de una
proposición compuesta depende de los
valores de certeza de las proposiciones
simples que la componen.
 Para analizar los valores de certeza de una
proposición compuesta, representamos
todas las posibilidades de valores de verdad
de las proposiciones simples, en un arreglo
de tabla.

24. Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
Ejemplo con 2
proposiciones simples
 Construyamos la tabla de verdad para
la siguiente proposición :(pq)(p ~q)
 4 filas de posibilidades
p q ~q pq p~q (pq)(p~q)
F
V V F V F
F
V F V F V
F V F F V F
F F V F V F

25. Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
Ejemplo con 3
proposiciones simples
 ¿Cuántas
posibilidades
tendremos?
p q r
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F

26. Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
Ejemplo con 3
proposiciones simples
p q r
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
rp qp ~(qp) (r  p)  ~(qp)
V V F F
V V F F
V V F F
V V F F
V V F F
F V F F
V F V V
F F V F
Hacer la tabla de certeza para: (rp)  ~(qp)

27. Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
En resumen
 Una tabla de verdad para proposiciones
compuestas que contienen:
 1 proposición simple… tendrá 2 filas
 2 proposiciones simples
 3 proposiciones simples
 4 proposiciones simples
……razonando inductivamente……..
 n proposiciones simples
4 = 22 filas
8 = 23 filas
16= 24 filas
2n filas

28. Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
Formas de expresar un
condicional…….
 Si es Huachano, es Peruano (p  q)
 Es Peruano, siempre que sea Huachano.
 Es Peruano si es Huachano.
 Es suficiente que sea Huachano para que sea
Peruano.
 Siempre y cuando sea Huachano, será Peruano.
 Es necesario que sea Peruano para ser
Huachano.
TODAS ESTAS EXPRESIONES SE SIMBOLIZAN COMO:
p  q

29. Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
Partes de un condicional
p  q
antecedente
Condición
suficiente
consecuente
Condición
necesaria

30. Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
Formas derivadas del
condicional
 Dado el condicional directo: p  q, el condicional
~ p  ~q se llama contrario y lo
expresaríamos: “ si no p, entonces no q”
 Directo: p q
Si repruebo el examen, entonces me enojaré
bastante.
 Contrario: ~ p  ~q
Si no repruebo el examen, entonces no me
enojaré bastante.

31. Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
Formas derivadas del
condicional
 Dado el condicional directo: p q, el condicional
q  p se llama recíproco y lo expresaríamos:
“ si q, entonces p”
 Directo: p q
Si repruebo el examen, entonces me enojaré
bastante
 Recíproco: q  p
Si me enojo bastante , entonces reprobaré el
examen

32. Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
Formas derivadas del
condicional
 Dado el condicional directo: p q, el condicional
~ q  ~p se llama contrarrecíproco y lo
expresaríamos: “ si no q, entonces no p”
 Directo: p q
Si repruebo el examen, entonces me enojaré
bastante
 Contrarrecíproco: ~ q  ~p
Si no me enojo bastante, entonces no repruebo el
examen

33. Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
Formas derivadas
q p
~ p ~ q
Directo
p
Recíproco
q
Contrario
~ q ~ p
Contrarrecíproco
recíprocos contrarios
contrarrecíprocos

34. Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
Ejercicios
1. Escribir las formas derivadas para:
a) (r  ~q)  p.
b)Si yo digo sí, ella dice no.
2. Construye una proposición verdadera
que incluya un
conjunción, una disyunción
negación (no necesariamente
condicional, una
y una
en ese
orden), que conste de las componentes
p, q y r con todas ellas falsas.

35. Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
Ejercicios
contrarrecíproco de cada
 Escribe el recíproco, el inverso y el
una de las
proposiciones siguientes:
 Si q, entonces r
 ~ p (~ q)
 ~p  ~(r  q)
 El sol brilla si estás feliz.
 Si tu automóvil no tiene aire acondicionado,
no tendrás amigos.