Distribuciones de probabilidad discreta y continua. Modelo binomial y normal.

1. La binomial y la normal

2. Variables estadísticas
(Resultados “empíricos”
obtenidos a través de una
encuesta)
Variable
discreta:
Nº de hijas en las
familias con dos
hijos.
Variables aleatorias
(Resultados “teóricos”
obtenidos a través de la teoría
de probabilidades)
En un centro se eligen todos los alumnos
que estudian 1º de Bachillerato y que son
dos hermanos en la familia. Se obtiene un
total de 25 familias, de las que 5 tienen
dos hijos varones, 13 tienen un hijo y una
hija y 7 tienen dos hijas. Estudia la
distribución de frecuencias de la variable
“número de hijas”.
En una familia con dos hijos, estudia la
función de probabilidad de la variable
aleatoria “número de hijas”.
VER EJEMPLO RESUELTO
Casos
particulares
Distribución binomial.
¿Cuál es la probabilidad de que
elegidas 10 familias al azar, 4 de
ellas tengan dos hijas?
VER EJEMPLO RESUELTO
VER EJEMPLO RESUELTO
ALGUNOS EJERCICIOS
Variable
continua:
Estatura de los
jóvenes.
En un centro educativo se eligen todos los
alumnos que estudian 1º de Bachillerato y
se toma como muestra 1º B. Se obtiene un
total de 25 alumnos. Estudia la distribución
de frecuencias de la variable “estatura”.
En una población juvenil, estudia la
función de probabilidad de la variable
aleatoria “estatura de los jóvenes”.
ALGUNOS EJERCICIOS
Distribución normal.
La estatura de los jóvenes de una
ciudad siguen una distribución
normal N(175;7). ¿Cuál es la
probabilidad de que elegido un
alumno al azar su estatura sea
inferior a 180 cm?

3. Distribución de frecuencias de la variable estadística
discreta “número de hijas” en 25 familias.
Número de
hijas: xi
Frecuencias
absolutas: fi
Frecuencias
relativas: hi
0
5
5/25 = 0,2
1
13
13/25 = 0,52
2
7
7/25 = 0,8
Media: 1,08
Varianza: 0,47
Desviación típica: 0,69
En un centro se eligen
todos los alumnos que
estudian 1º de Bachillerato
y que son dos hermanos en
la familia. Se obtiene un
total de 25 familias, de las
que 5 tienen dos hijos
varones, 13 tienen un hijo y
una hija y 7 tienen dos
hijas. Estudia la distribución
de frecuencias de la
variable “número de hijas”.

4. Frecuencias relativas
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0 hijas
1 hija
2hijas

5. Distribución de probabilidades de la
variable aleatoria “número de hijas”
El primer
hijo puede
ser
El segundo
hijo puede
ser
Chico
El espacio muestral:
E = OO, OA, AO, AA
• P(0 hijas) = 1 / 4
• P(1 hija) = 2 / 4
• P(2 hijas) = 1 / 4
Chico
Chica
Familia de
dos hijos
Número de
hijas: xi
Chico
Chica
Chica
Probabilidades: pi
0
0,25
1
0,5
2
0,25

6. Probabilidades
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0 hijas
1 hija
2 hijas

7. Comparamos los dos gráficos:
Frecuencias relativas
Probabilidades
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
0 hijas
1 hija
2 hijas
Resultados tras hacer una
encuesta entre 25 familias
0 hijas
1 hija
2 hijas
Resultados del estudio de
probabilidades asociadas a un
experimento aleatorio.

8. La función de probabilidad de
una variable discreta es:
Una distribución “teórica” que asocia a
cada valor xi, de la variable aleatoria su
probabilidad, pi.
 Igual que una distribución estadística, la
distribución de probabilidades tiene los
parámetros asociados: Media, Varianza
y Desviación típica.


9. Algunos ejercicios

La distribución de probabilidad de una variable
aleatoria discreta x viene dada por:
xi
1
2
3
4
5
pi
0,07
0,35
0,03
k
0,25
 Calcula el valor de k
 Calcula la media y la desviación típica

Un opositor domina 80 temas de los 100 que
consta el temario. Para el examen se eligen 2
temas al azar, y el opositor puede dominar los
dos, uno o ninguno. Haz la distribución de
probabilidad.

10. Un caso especial
de distribución de
probabilidad
discreta

La distribución binomial

11. Características de una distribución
binomial B(n, p)




Es una distribución discreta en la
que se realizan n pruebas o
ensayos.
El resultado de cada prueba sólo
tiene dos opciones: el suceso A,
que se llama éxito, y el de su
contrario Ac, que se llama
fracaso.
La probabilidad de éxito se
representa por p(A) = p, y la de
fracaso, por p(Ac) = q, siendo q =
1 – p. Estas probabilidades son
constantes; no cambian de una
prueba a otra en un mismo
experimento.
El resultado de cada prueba es
independiente de los resultados
obtenidos anteriormente.


¿Cuál es la probabilidad de que
elegidas 10 familias de dos hijos
al azar, 4 de ellas tengan dos
hijas?
Se trata de una distribución
binomial porque:



Observamos a 10 familias (n = 10)
en las que nos fijamos en la
existencia de dos hijas (éxito) o
que no tengan dos hijas (fracaso).
La probabilidad de tener dos hijas
es 0,25 (p = 0,25) y de no tenerlas
es de 0,75 (q = 0,75). Estas
probabilidades no cambian por
más familias que observemos.
El que una familia tenga o no
tenga hijas es independiente de
que las tenga las demás familias.

12. Para calcular las probabilidades en
una distribución B(n, p):

La probabilidad de obtener k
éxitos es:
P( x k )

n
k
· p k ·q n
k
La probabilidad de que en 10 familias haya
4 familias con dos hijas es:
P( x 4)

10
4
·0,254·0,756
¡Es una binomial B(10;0,25)!
0,146

13. Algunos ejercicios






La probabilidad de que un jugador de baloncesto enceste una
canasta de 3 puntos es 0,6. Si tira a cesta 4 veces, calcula la
probabilidad de que enceste 3.
Un 5% de las piezas producidas en un proceso de fabricación
resultan defectuosas. Halla la probabilidad de que en una
muestra de 20 piezas elegidas al azar haya exactamente dos
piezas defectuosas.
Un examen tipo test tiene diez preguntas con cuatro respuestas
cada una. Si un alumno responde aleatoriamente, ¿qué
probabilidad tiene de contestar bien a más de tres preguntas?
Considera una caja que contiene 4 bolas rojas y 2 bolas
negras. Se selecciona una bola al azar, se anota su color y se
devuelve a la caja. Esta actividad se repite diez veces.
Encuentra la probabilidad de observar una bola roja seis veces.
En un centro, aprobaron Lengua el 80% de los alumnos. ¿Cuál
es la probabilidad de que, de un grupo de 8 alumnos elegidos
al azar, sólo dos hayan suspendido lengua?
Si el 20% de las piezas producidas por una máquina son
defectuosas, ¿cuál es la probabilidad de que entre cuatro
piezas elegidas al azar, a lo sumo 2 sean defectuosas?

14. Distribución de frecuencias de la variable
estadística continua “altura” en 25 alumnos.
Estatura
(cm)
Marca de
clase (xi)
Frecuencias
absolutas (fi)
Frecuencias
relativas (hi)
[160, 165[
162,5
3
0,12
[165, 170[
167,5
5
0,20
[170, 175[
172,5
9
0,36
[175, 180[
177,5
6
0,24
[180, 185[
182,5
2
0,08
Media: 172,3
Varianza: 30,96
Desviación típica: 5,56

15. Distribución
normal
Variable
estadística
continua
Estaturas
0.4
0.3
0.2
0.1
0
162.5 167.5 172.5 177.5 182.5
Distribución
de
probabilidad
de una
variable
continua.
• Función de
densidad
• Función de
distribución

16. Una idea intuitiva de
distribución normal:
Si nos fijamos en la estatura de nuestros compañeros observamos
que la mayoría de ellos es de estatura normal (llamamos “normal” a
lo más frecuente).
Si vemos a alguien que se aparta mucho de la media (de lo habitual)
no pasa desapercibido, nos llama la atención.
Hacemos juicios de lo que es normal encontrar entre nuestros
compañeros: el mucho y el poco, aplicados a las características de
las personas dependen de lo que es más frecuente encontrar.
Esta distribución normal es relativa a cada población: un pigmeo de
una estatura normal, cercana a la media de su población, pasa a ser
muy bajito si lo incluimos en una población de escandinavos.
En ambos grupos, encontraremos una distribución normal de
estaturas aunque con medias distintas para cada grupo.

17. Características de una
distribución
normal N( , )
• Su representación gráfica se
conoce como curva normal o
campana de Gauss.
• Es simétrica respecto de la
media .
• El eje X es una asíntota
horizontal.
• El área comprendida entre el
eje X y la curva es uno.
• Según los valores que tome la
media la curva se desplaza
hacia la derecha o izquierda.
• Según los valores que tome la
desviación la curva es más
ancha y baja, o más alta y
estrecha.

18. La probabilidad de que la variable tome valores en un
intervalo [a, b] es el área encerrada bajo la curva
normal.

19. Distribución normal estándar N(0, 1)
Una distribución
normal estándar
es la que tiene
media cero, =
0, y desviación
típica igual a 1,
= 1.
En una
distribución
normal
estándar, la
variable se
representa por la
letra z.
La gráfica es
simétrica respecto
del eje Y.
Cualquier otra distribución
normal N( , ) se puede
tipificar, es decir, se
puede reducir a una
normal N(0, 1).
La distribución normal
estándar N(0, 1) es
muy importante
porque se encuentra
tabulada.

20. p(z ≤ 1,25) =
0,8944

22. Tipificación de la variable
Tipificar una
variable
Para ello:
• Consiste en transformar una
distribución N( , ) en una
normal N(0, 1).
• Se aplica el cambio de variable:
z
x

23. Algunos ejercicios:

24. La estatura de los jóvenes de una ciudad siguen una distribución normal
N(175;7). ¿Cuál es la probabilidad de que elegido un alumno al azar su
estatura sea inferior a 180 cm?
Variable aleatoria x “estatura de los jóvenes”
 Es una distribución normal N(175; 7)
 Nos piden p(x < 180) = p(x ≤ 180)
 Hay que tipificar:

p( x 180 )
p z
180 175
7
p( z
0,71)
0,7611

25. La binomial se aproxima a la normal
Si se hace la gráfica de la
distribución binomial
B(n, p), se observa que a
medida que aumenta n, la
curva se va acercando
cada vez más a la normal.
 Una distribución binomial
B(n, p) se puede
aproximar a una normal de
media np y desviación la
raíz de npq, si np 5 y nq
5.
