1. TEMA 6
Variables aleatorias discretas
Probabilidades y Estadística I

2. Esquema inicial
1. Proceso de Bernoulli
2. Distribución Binomial
3. Distribución Geométrica
4. Distribución Binomial Negativa.
5. Distribución de Poisson
Probabilidades y Estadística I

3. Esquema inicial
1. Proceso de Bernoulli
2. Distribución Binomial
3. Distribución Geométrica
4. Distribución Binomial Negativa.
5. Distribución de Poisson
Probabilidades y Estadística I

4. 1. Proceso de Bernoulli
DEFINICIÓN
El experimento aleatorio más sencillo (binario). Sólo tiene dos resultados:
A A
1 si ocurre A
X = P [ X = 1] = p P [ X = 0] = q = 1 − p
0 si ocurre A
Variable aleatoria asociada Función de probabilidad
Probabilidades y Estadística I

5. Esquema inicial
1. Proceso de Bernoulli
2. Distribución Binomial
3. Distribución Geométrica
4. Distribución Binomial Negativa.
5. Distribución de Poisson
Probabilidades y Estadística I

6. 2. Distribución Binomial (1/6)
GÉNESIS
• Proceso generador (experimento aleatorio)
Realizar n pruebas de Bernoulli independientes.
• Variable aleatoria
X ≡ “nº de veces que aparece A en las n pruebas” Rango de X ={0,1,2….,n}.
Probabilidades y Estadística I

7. 2. Distribución Binomial (2/6)
GÉNESIS
• Espacio probabilístico asociado
P[ X x= P[( A1  Ax  Ax +1  Ax + 2  An )  ( A1  Ax −1  Ax  Ax +1  An ) ]
= ] =
P[ A1  A2   Ak  Ax +1  An ] + P[ A1  Ax −1  Ax  Ax +1  Ax + 2  An ] + 
=
n
= pp  p ⋅ qq  q +  qp q  q= p x q n − x + p x q n − x +    p x q n − x
p  p  + .. =
      x
x n− x x −1 n − x −1
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8. 2. Distribución Binomial (3/6)
FICHA TÉCNICA X  β (n, p )
 n  x n − x
 x = 0,1, 2, , n
p ( x) =  x 
pq
a) Función de probabilidad  
0
 en el resto
0 x<0
 k
 n
b) Función de distribución F ( x) ∑   p i q n −i k ≤ x < k + 1 = 0,..., n − 1)
= (k
 i =0  i 
1
 x≥n
c) Esperanza E [ X ]= n × p d) Varianza Var [ X ] = n × p × q
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9. 2. Distribución Binomial (4/6)
GRÁFICAS
p(x) p(x)
n=10 p=0.1 X n=10 p=0.5 X
p(x) p(x)
n=50 p=0.1 X n=50 p=0.5 X
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10. 2. Distribución Binomial (5/6)
TABLA
Probabilidades y Estadística I

11. 2. Distribución Binomial (6/6)
EJEMPLO
Un club automovilístico comienza una campaña telefónica con el propósito de aumentar el
número de socios adscritos al club. En base a la experiencia previa, se sabe que una de cada
20 personas que recibe la llamada se suma al club. En un día cualquiera de trabajo se realizan
25 llamadas de forma independiente.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que se una ese día dos personas al club?
b) Determinar el número de persona que se espera que se sumen al club un día cualquiera.
Probabilidades y Estadística I

12. Esquema inicial
1. Proceso de Bernoulli
2. Distribución Binomial
3. Distribución Geométrica
4. Distribución Binomial Negativa.
5. Distribución de Poisson
Probabilidades y Estadística I

13. 3. Distribución Geométrica (1/4)
GÉNESIS
• Proceso generador (experimento aleatorio)
Realizar pruebas de Bernoulli independientes hasta que aparezca A
• Variable aleatoria
X ≡ “nº de pruebas hasta que aparezca A” Rango de X ={1,2,3….}.
• Espacio probabilístico asociado
P[ X x= P[ A1  A2  Ax −1  A] q x −1 p
= ] =
Probabilidades y Estadística I

14. 3. Distribución Geométrica (2/4)
FICHA TÉCNICA X  Ge( p )
 pq x −1 x = 1, 2,
a) Función de probabilidad p( x) = 
0 en el resto
0 si x < 1
b) Función de distribución F ( x) = 
1− q j si j ≤ x < j + 1 ( j =2,....)
1,
1 q
c) Esperanza E[X ] = d) Varianza Var [ X ] = 2
p p
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15. 3. Distribución Geométrica (3/4)
GRÁFICAS
p(x) p(x)
X X
p=0.1 p=0.5
Probabilidades y Estadística I

16. 3. Distribución Geométrica (4/4)
EJEMPLO
Un club automovilístico comienza una campaña telefónica con el propósito de aumentar el
número de socios adscritos al club. En base a la experiencia previa, se sabe que una de cada
20 personas que recibe la llamada se suma al club. En un día cualquiera de trabajo se realizan
25 llamadas de forma independiente.
c) ¿Cuántas llamadas hay que realizar hasta captar el primer socio?
Probabilidades y Estadística I