Muestra de algunas páginas de la presentación final gráficas senoidales y sus características. Espero que sea de provecho esta pequeña muestra. Si desean la presentación completa favor visitar www.matematicaspr.com. Tambien tenemos en el blog de www.matematicaspr.com esta publicación con link a la presentacion interactiva.

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Trigonometría
1

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Objetivos
 Conocer que es una gráfica sinusoidal.
 Conocer las características de una gráfica sinusoidal.
– Amplitud
– Periodo
– Desfase
– Traslación vertical
 Determinar la, amplitud, periodo, desfase y traslación
vertical de una gráfica sinusoidal.
 Dibujar las gráficas sinusoidales utilizando las
transformaciones.
 Escribir la función sinusoidal que representa una gráfica.
2

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Las gráficas de las funciones seno y coseno se le considera ondas
sinusoidales porque poseen propiedades matemáticas muy
interesantes como amplitud, periodo y desfase entre otras.
Gráficas Funciones Sinusoidales
3
Es necesario estudiar de qué manera A, b, h y la suma de una
constante k afectan el comportamiento de estas gráficas. Esto
permitirá “trazar estas gráficas rápidamente”.
−5𝜋
2
−2𝜋 −
3𝜋
2
−𝜋
−π
2
0
π
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋
5π
2
3𝜋
7π
2
4𝜋
𝑥
𝑦
1
−1
2
−2
3
𝑓 𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝜋
2
+ 1
𝑓 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋
2
𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2𝑥
3
− 2𝜋
3
+ 2
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥
3
+ 2𝜋 + 2

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Gráficas Funciones Sinusoidales
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La gráfica del las funciones
𝑓 𝑥 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑏 𝑥 − ℎ + 𝑘
𝑓 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑏 𝑥 − ℎ + 𝑘
representa las
transformaciones de las gráficas de las ecuaciones
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)
Transformaciones:
Amplitud (Expansión - compresión vertical)
Es la mitad de la distancia entre el valor
máximo y el valor mínimo.
Periodo (Expansión - compresión horizontal)
Duración o tamaño de un ciclo completo.
Desfase (Traslación horizontal)
Es el cambio en posición horizontal.
Traslación vertical
Es el cambio en posición vertical
Alcance
Es el conjunto de números que son imagen
de la función.
−𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
1
−1
Traslación
vertical
desfase
período
amplitud
amplitud
alcance

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Sean 𝑓 𝑥 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑏 𝑥 − ℎ + 𝑘 y 𝑔 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑏 𝑥 − ℎ + 𝑘
las funciones trigonométricas del seno del ángulo y coseno del
ángulo entonces, la amplitud (expansión – compresión vertical)
es la mitad de la distancia entre el valor máximo y el valor
mínimo.
Amplitud
5
−𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
1
−1
𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 = 𝐴
amplitud
amplitud
amplitud
amplitud
−𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
1
−1

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Ejemplo:
Determine la amplitud de 𝑓 𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠(𝑥) y dibuje su gráfica.
Amplitud
6
Solución:
𝐴 = 2
𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 = 𝐴
𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 = 2
−𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
2
−2
Inicialmente se identifica que el dos
representa 𝐴.
Después se busca la amplitud de la
función.
Luego se dibuja la gráfica del modelo
de la función coseno del ángulo.
Finalmente se dibuja la gráfica del
modelo de la función coseno del ángulo
indicando que el valor más alto es 2 y el
valor más bajo es -2.
= 2
amplitud
−𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
2
−2
amplitud

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Sean 𝑓 𝑥 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝒃 𝑥 − ℎ + 𝑘 y 𝑔 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝒃 𝑥 − ℎ + 𝑘 las
funciones trigonométricas del seno del ángulo y coseno del ángulo
entonces, el período (expansión – compresión horizontal) es la
duración o tamaño de un ciclo completo. También se dice que es el
mínimo lapso que separa dos instantes en los que el sistema se
encuentra exactamente en el mismo estado.
Período
7
−𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
1
−1
−𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
1
−1
Período = 𝑇 =
2𝜋
𝒃
período período

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Ejemplo:
Determine el período de 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) y dibuje su gráfica.
Período
8
Solución:
𝑏 = 2
período = T =
2π
𝐛
período = T =
2π
2
período = T = 𝜋
Inicialmente se identifica que el dos
representa 𝐛.
Después se busca el período de la
función.
Luego se dibuja la gráfica del modelo de
la función coseno.
Finalmente se dibuja la gráfica del
modelo de la función coseno del ángulo
indicando que el periodo es 𝜋.
−𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
𝑥
𝑦
1
−1
período

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Sean 𝑓 𝑥 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑏 𝑥 − ℎ + 𝑘 y 𝑔 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑏 𝑥 − ℎ + 𝑘 las
funciones trigonométricas del seno del ángulo y coseno del ángulo
entonces, la desfase (traslación horizontal) es el cambio de posición
horizontal. La gráfica se desplaza a la derecha o a la izquierda h
unidades.
Desfase
9
Desfase = ℎ
−𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
1
−1
−𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
1
−1
desfase
desfase

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Ejemplo:
Determine la desfase de 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 +
𝜋
2
) y dibuje su gráfica.
Desfase
10
−𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
1
−1
Solución:
ℎ = −
𝜋
2
desfase = −
π
2
Inicialmente se identifica que el 𝜋
2
representa ℎ.
Después se busca la desfase.
Luego se dibuja la gráfica del
modelo de la función seno del ángulo.
Finalmente se dibuja la gráfica del
modelo de la función seno del ángulo
indicando que la desfase es
𝜋
2
a la
izquierda.
desfase

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Traslación vertical = 𝑘
Sean 𝑓 𝑥 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑏 𝑥 − ℎ + 𝑘 y 𝑔 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑏 𝑥 − ℎ + 𝑘 las
funciones trigonométricas del seno del ángulo y coseno del ángulo
entonces, la traslación vertical es el cambio de posición vertical. La
gráfica se desplaza hacia arriba o hacia abajo k unidades.
Traslación vertical
11
−𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
1
−1
−𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
1
−1
Traslación
vertical
Traslación
vertical

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Ejemplo:
Determine la traslación vertical de 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 1 y dibuje su
gráfica.
Traslación vertical
12
Solución:
𝑘 = 1
traslacion vertical = 1
Inicialmente se identifica que el uno
representa 𝑘.
Después se busca la traslación
vertical.
Luego se dibuja la gráfica del modelo
de la función seno del ángulo.
Finalmente se dibuja la gráfica del
modelo de la función seno del ángulo
indicando que la traslación vertical es
uno hacia arriba.
−𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
2
−2
−1
1
Traslación
vertical

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Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝐾 + 𝐴
Sean 𝑓 𝑥 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑏 𝑥 − ℎ + 𝑘 y 𝑔 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑏 𝑥 − ℎ + 𝑘 las
funciones trigonométricas del seno del ángulo y coseno del ángulo
entonces, el alcance es el conjunto de números que son imagen de la
función. Se utilizará la representación de intervalos.
Alcance (campo de valores)
13
−𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
1
−1
−𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
1
−1
alcance
alcance

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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋
2
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
14

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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋
2
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
14
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋
2
y 𝑘 = 1

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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋
2
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
14
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋
2
y 𝑘 = 1

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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋
2
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
14
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Desfase = ℎ = −
𝜋
2
(
𝜋
2
a la izquierda)
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋
2
y 𝑘 = 1

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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋
2
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
14
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Desfase = ℎ = −
𝜋
2
(
𝜋
2
a la izquierda)
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋
2
y 𝑘 = 1

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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋
2
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
14
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Desfase = ℎ = −
𝜋
2
(
𝜋
2
a la izquierda)
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Traslación vertical = 𝑘 = 1
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋
2
y 𝑘 = 1

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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋
2
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
14
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Desfase = ℎ = −
𝜋
2
(
𝜋
2
a la izquierda)
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Traslación vertical = 𝑘 = 1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋
2
y 𝑘 = 1

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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋
2
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
14
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Desfase = ℎ = −
𝜋
2
(
𝜋
2
a la izquierda)
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Traslación vertical = 𝑘 = 1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋
2
y 𝑘 = 1

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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋
2
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
14
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Desfase = ℎ = −
𝜋
2
(
𝜋
2
a la izquierda)
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Traslación vertical = 𝑘 = 1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋
2
y 𝑘 = 1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
−1
3
1
Comenzamos dibujando la grafica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 .

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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋
2
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
14
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Desfase = ℎ = −
𝜋
2
(
𝜋
2
a la izquierda)
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Traslación vertical = 𝑘 = 1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋
2
y 𝑘 = 1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
−1
3
1
Comenzamos dibujando la grafica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 .

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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋
2
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
14
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Desfase = ℎ = −
𝜋
2
(
𝜋
2
a la izquierda)
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Traslación vertical = 𝑘 = 1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋
2
y 𝑘 = 1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
−1
3
1
Comenzamos dibujando la grafica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud.
amplitud
amplitud

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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋
2
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
14
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Desfase = ℎ = −
𝜋
2
(
𝜋
2
a la izquierda)
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Traslación vertical = 𝑘 = 1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋
2
y 𝑘 = 1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
−1
3
1
Comenzamos dibujando la grafica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se localiza
el tamaño del ciclo fundamental (periodo).
amplitud
amplitud

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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋
2
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
14
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Desfase = ℎ = −
𝜋
2
(
𝜋
2
a la izquierda)
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Traslación vertical = 𝑘 = 1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋
2
y 𝑘 = 1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
−1
3
1
Comenzamos dibujando la grafica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se localiza
el tamaño del ciclo fundamental (periodo).
amplitud
amplitud
período

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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋
2
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
14
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Desfase = ℎ = −
𝜋
2
(
𝜋
2
a la izquierda)
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Traslación vertical = 𝑘 = 1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋
2
y 𝑘 = 1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
−1
3
1
amplitud
amplitud
período
Comenzamos dibujando la grafica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se localiza
el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 con la nueva amplitud y el
nuevo periodo.

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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋
2
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
14
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Desfase = ℎ = −
𝜋
2
(
𝜋
2
a la izquierda)
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Traslación vertical = 𝑘 = 1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋
2
y 𝑘 = 1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
−1
3
1
Comenzamos dibujando la grafica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se localiza
el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 con la nueva amplitud y el
nuevo periodo.

29. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋
2
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
14
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Desfase = ℎ = −
𝜋
2
(
𝜋
2
a la izquierda)
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Traslación vertical = 𝑘 = 1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋
2
y 𝑘 = 1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
−1
3
1
Comenzamos dibujando la grafica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se localiza
el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 con la nueva amplitud y el
nuevo periodo. Reflejar la gráfica verticalmente.

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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋
2
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
14
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Desfase = ℎ = −
𝜋
2
(
𝜋
2
a la izquierda)
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Traslación vertical = 𝑘 = 1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋
2
y 𝑘 = 1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
−1
3
1
Comenzamos dibujando la grafica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se localiza
el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 con la nueva amplitud y el
nuevo periodo. Reflejar la gráfica verticalmente.

31. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋
2
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
14
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Desfase = ℎ = −
𝜋
2
(
𝜋
2
a la izquierda)
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Traslación vertical = 𝑘 = 1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋
2
y 𝑘 = 1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
−1
3
1
Comenzamos dibujando la grafica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se localiza
el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 con la nueva amplitud y el
nuevo periodo. Reflejar la gráfica verticalmente. Luego se traslada la gráfica horizontalmente 𝜋
2
a
la izquierda (desfase).

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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋
2
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
14
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Desfase = ℎ = −
𝜋
2
(
𝜋
2
a la izquierda)
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Traslación vertical = 𝑘 = 1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋
2
y 𝑘 = 1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
−1
3
1
Comenzamos dibujando la grafica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se localiza
el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 con la nueva amplitud y el
nuevo periodo. Reflejar la gráfica verticalmente. Luego se traslada la gráfica horizontalmente 𝜋
2
a
la izquierda (desfase).

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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋
2
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
14
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Desfase = ℎ = −
𝜋
2
(
𝜋
2
a la izquierda)
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Traslación vertical = 𝑘 = 1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋
2
y 𝑘 = 1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
−1
3
1
Comenzamos dibujando la grafica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se localiza
el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 con la nueva amplitud y el
nuevo periodo. Reflejar la gráfica verticalmente. Luego se traslada la gráfica horizontalmente 𝜋
2
a
la izquierda (desfase). Finalmente se traslada la gráfica verticalmente una unidad.

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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋
2
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
14
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Desfase = ℎ = −
𝜋
2
(
𝜋
2
a la izquierda)
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Traslación vertical = 𝑘 = 1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋
2
y 𝑘 = 1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
−1
3
1
Comenzamos dibujando la grafica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se localiza
el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 con la nueva amplitud y el
nuevo periodo. Reflejar la gráfica verticalmente. Luego se traslada la gráfica horizontalmente 𝜋
2
a
la izquierda (desfase). Finalmente se traslada la gráfica verticalmente una unidad.

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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋
2
− 1
Gráfica Función Sinusoidal
15

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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋
2
− 1
Gráfica Función Sinusoidal
15
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋
2
y 𝑘 = −1

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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋
2
− 1
Gráfica Función Sinusoidal
15
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋
2
y 𝑘 = −1

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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋
2
− 1
Gráfica Función Sinusoidal
15
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋
2
y 𝑘 = −1

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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋
2
− 1
Gráfica Función Sinusoidal
15
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Desfase = ℎ =
𝜋
2
a la derecha
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋
2
y 𝑘 = −1

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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋
2
− 1
Gráfica Función Sinusoidal
15
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Desfase = ℎ =
𝜋
2
a la derecha
Traslación vertical = 𝑘 = −1
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋
2
y 𝑘 = −1

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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋
2
− 1
Gráfica Función Sinusoidal
15
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Desfase = ℎ =
𝜋
2
a la derecha
Traslación vertical = 𝑘 = −1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋
2
y 𝑘 = −1

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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋
2
− 1
Gráfica Función Sinusoidal
15
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Desfase = ℎ =
𝜋
2
a la derecha
Traslación vertical = 𝑘 = −1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋
2
y 𝑘 = −1

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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋
2
− 1
Gráfica Función Sinusoidal
15
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Desfase = ℎ =
𝜋
2
a la derecha
Traslación vertical = 𝑘 = −1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋
2
y 𝑘 = −1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋
5π
2 𝑥
𝑦
−3
1
Comenzamos dibujando la gráfica modelo del cos 𝑥 .

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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋
2
− 1
Gráfica Función Sinusoidal
15
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Desfase = ℎ =
𝜋
2
a la derecha
Traslación vertical = 𝑘 = −1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋
2
y 𝑘 = −1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋
5π
2 𝑥
𝑦
−3
1
Comenzamos dibujando la gráfica modelo del cos 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud.

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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋
2
− 1
Gráfica Función Sinusoidal
15
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Desfase = ℎ =
𝜋
2
a la derecha
Traslación vertical = 𝑘 = −1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋
2
y 𝑘 = −1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋
5π
2 𝑥
𝑦
−3
1
amplitud
amplitud
Comenzamos dibujando la gráfica modelo del cos 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud.

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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋
2
− 1
Gráfica Función Sinusoidal
15
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Desfase = ℎ =
𝜋
2
a la derecha
Traslación vertical = 𝑘 = −1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋
2
y 𝑘 = −1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋
5π
2 𝑥
𝑦
−3
1
amplitud
amplitud
Comenzamos dibujando la gráfica modelo del cos 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se
localiza el tamaño del ciclo fundamental (periodo).

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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋
2
− 1
Gráfica Función Sinusoidal
15
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Desfase = ℎ =
𝜋
2
a la derecha
Traslación vertical = 𝑘 = −1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋
2
y 𝑘 = −1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋
5π
2 𝑥
𝑦
−3
1
amplitud
amplitud
período
Comenzamos dibujando la gráfica modelo del cos 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se
localiza el tamaño del ciclo fundamental (periodo).

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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋
2
− 1
Gráfica Función Sinusoidal
15
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Desfase = ℎ =
𝜋
2
a la derecha
Traslación vertical = 𝑘 = −1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋
2
y 𝑘 = −1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋
5π
2 𝑥
𝑦
−3
1
amplitud
amplitud
Comenzamos dibujando la gráfica modelo del cos 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se
localiza el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del co𝑠 𝑥 con la nueva
amplitud y el nuevo periodo.
período

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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋
2
− 1
Gráfica Función Sinusoidal
15
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Desfase = ℎ =
𝜋
2
a la derecha
Traslación vertical = 𝑘 = −1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋
2
y 𝑘 = −1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋
5π
2 𝑥
𝑦
−3
1
amplitud
amplitud
Comenzamos dibujando la gráfica modelo del cos 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se
localiza el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del co𝑠 𝑥 con la nueva
amplitud y el nuevo periodo.
período

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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋
2
− 1
Gráfica Función Sinusoidal
15
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Desfase = ℎ =
𝜋
2
a la derecha
Traslación vertical = 𝑘 = −1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋
2
y 𝑘 = −1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋
5π
2 𝑥
𝑦
−3
1
amplitud
amplitud
Comenzamos dibujando la gráfica modelo del cos 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se
localiza el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del co𝑠 𝑥 con la nueva
amplitud y el nuevo periodo.
período

51. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.
Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋
2
− 1
Gráfica Función Sinusoidal
15
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Desfase = ℎ =
𝜋
2
a la derecha
Traslación vertical = 𝑘 = −1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋
2
y 𝑘 = −1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋
5π
2 𝑥
𝑦
−3
1
Comenzamos dibujando la gráfica modelo del cos 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se
localiza el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del co𝑠 𝑥 con la nueva
amplitud y el nuevo periodo. Reflejar la gráfica verticalmente.

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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋
2
− 1
Gráfica Función Sinusoidal
15
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Desfase = ℎ =
𝜋
2
a la derecha
Traslación vertical = 𝑘 = −1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋
2
y 𝑘 = −1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋
5π
2 𝑥
𝑦
−3
1
Comenzamos dibujando la gráfica modelo del cos 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se
localiza el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del co𝑠 𝑥 con la nueva
amplitud y el nuevo periodo. Reflejar la gráfica verticalmente.

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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋
2
− 1
Gráfica Función Sinusoidal
15
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Desfase = ℎ =
𝜋
2
a la derecha
Traslación vertical = 𝑘 = −1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋
2
y 𝑘 = −1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋
5π
2 𝑥
𝑦
−3
1
Comenzamos dibujando la gráfica modelo del cos 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se
localiza el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del co𝑠 𝑥 con la nueva
amplitud y el nuevo periodo. Reflejar la gráfica verticalmente. Luego se traslada la gráfica 𝜋
2
a la
derecha (desfase).

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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋
2
− 1
Gráfica Función Sinusoidal
15
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Desfase = ℎ =
𝜋
2
a la derecha
Traslación vertical = 𝑘 = −1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋
2
y 𝑘 = −1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋
5π
2 𝑥
𝑦
−3
1
Comenzamos dibujando la gráfica modelo del cos 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se
localiza el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del co𝑠 𝑥 con la nueva
amplitud y el nuevo periodo. Reflejar la gráfica verticalmente. Luego se traslada la gráfica 𝜋
2
a la
derecha (desfase).

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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋
2
− 1
Gráfica Función Sinusoidal
15
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Desfase = ℎ =
𝜋
2
a la derecha
Traslación vertical = 𝑘 = −1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋
2
y 𝑘 = −1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋
5π
2 𝑥
𝑦
−3
1
Comenzamos dibujando la gráfica modelo del cos 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se
localiza el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del co𝑠 𝑥 con la nueva
amplitud y el nuevo periodo. Reflejar la gráfica verticalmente. Luego se traslada la gráfica 𝜋
2
a la
derecha (desfase). Finalmente se traslada la gráfica una unidad hacia abajo.

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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋
2
− 1
Gráfica Función Sinusoidal
15
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Desfase = ℎ =
𝜋
2
a la derecha
Traslación vertical = 𝑘 = −1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋
2
y 𝑘 = −1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋
5π
2 𝑥
𝑦
−3
1
Comenzamos dibujando la gráfica modelo del cos 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se
localiza el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del co𝑠 𝑥 con la nueva
amplitud y el nuevo periodo. Reflejar la gráfica verticalmente. Luego se traslada la gráfica 𝜋
2
a la
derecha (desfase). Finalmente se traslada la gráfica una unidad hacia abajo.

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Ejemplo:
Escribe una función que represente la siguiente gráfica.
Gráfica Función Sinusoidal
16
Ecuación:
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥
Información que se obtienen de la gráfica
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 3
Amplitud = 𝐴 = 3
Desfase = ℎ =
𝜋
2
a la derecha
Periodo = 𝑇 = 2𝜋
Traslación vertical = 𝑘 = 0
−
𝜋
2
3
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋
5π
2 𝑥
𝑦
−3
1
alcance
Traslación
vertical
período
desfase
amplitud

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Práctica
17
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Práctica:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2
3
𝑥 + 𝜋
9
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
18

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Práctica:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2
3
𝑥 + 𝜋
9
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
18
Factorizar:
𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2
3
𝜋
6
+ 1
𝑥 + 𝜋
6
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = 1, 𝑏 = 2
3
, ℎ = −
𝜋
6
y 𝑘 = 1
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = 1 = 1
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
2
3
= 3𝜋
Desfase = ℎ =
𝜋
6
a la izquierda
Traslación vertical = 𝑘 = 1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = 0, 2
Comenzamos dibujando la gráfica modelo de la función coseno.
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋
5π
2
3𝜋 𝑥
𝑦
−1
3
1
2
−2
−3
Dibujar la caja que representa
el alcance, la desfase y el periodo.
desfas
e
alcanc
e
período
Se divide el periodo en cuatro partes iguales. Localizar puntos
principales del modelo. Dibujar la gráfica pasando por estos puntos.

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Práctica:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2
3
𝑥 + 𝜋
9
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
18
Factorizar:
𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2
3
𝜋
6
+ 1
𝑥 + 𝜋
6
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = 1, 𝑏 = 2
3
, ℎ = −
𝜋
6
y 𝑘 = 1
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = 1 = 1
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
2
3
= 3𝜋
Desfase = ℎ =
𝜋
6
a la izquierda
Traslación vertical = 𝑘 = 1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = 0, 2
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋
5π
2
3𝜋 𝑥
𝑦
−1
3
1
2
−2
−3
Nota:
La solución de las ecuaciones 2
3
𝑥+
𝜋
6
= 0 y 2
3
𝑥+
𝜋
6
= 2𝜋 representa las posiciones horizontales
del inicio y final del ciclo fundamental de la gráfica de la función coseno del ángulo.

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Práctica:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 𝜋
2
𝑥 − 1
3
− 1.
Gráfica Función Sinusoidal
19

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Práctica:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 𝜋
2
𝑥 − 1
3
− 1.
Gráfica Función Sinusoidal
19
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = 2, 𝑏 = 𝜋
2
, ℎ = 1
3
y 𝑘 = −1
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = 2 = 2
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
𝜋
2
= 4
Desfase = ℎ =
1
3
a la derecha
Traslación vertical = 𝑘 = −1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1
Comenzamos dibujando la gráfica modelo de la función seno.
−1 0 1 2 3 4 5 6 𝑥
𝑦
−1
3
1
2
−2
−3
Dibujar la caja que representa el
alcance, la desfase y el periodo.
desfas
e
período
alcance
Se divide el periodo en cuatro partes iguales. Se localizan los
puntos principales del modelo transformado. Dibujar la gráfica pasando por estos puntos.

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Práctica:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 𝜋
2
𝑥 − 1
3
− 1.
Gráfica Función Sinusoidal
19
−1 0 1 2 3 4 5 6 𝑥
𝑦
−1
3
1
2
−2
−3
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = 2, 𝑏 = 𝜋
2
, ℎ = 1
3
y 𝑘 = −1
Nota:
La solución de las ecuaciones 𝜋
2
𝑥−
1
3
= 0 y 𝜋
2
𝑥−
1
3
= 2𝜋 representa las posiciones horizontales
del inicio y final del ciclo fundamental de la gráfica de la función seno del ángulo.
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = 2 = 2
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
𝜋
2
= 4
Desfase = ℎ =
1
3
a la derecha
Traslación vertical = 𝑘 = −1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1

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Gráfica Función Sinusoidal
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