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Trigonometría
1
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Objetivos
 Conocer que es una gráfica sinusoidal.
 Conocer las características de una gráfica sinusoidal.
– Amplitud
– Periodo
– Desfase
– Traslación vertical
 Determinar la, amplitud, periodo, desfase y traslación
vertical de una gráfica sinusoidal.
 Dibujar las gráficas sinusoidales utilizando las
transformaciones.
 Escribir la función sinusoidal que representa una gráfica.
2
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Las gráficas de las funciones seno y coseno se le considera ondas
sinusoidales porque poseen propiedades matemáticas muy
interesantes como amplitud, periodo y desfase entre otras.
Gráficas Funciones Sinusoidales
3
Es necesario estudiar de qué manera A, b, h y la suma de una
constante k afectan el comportamiento de estas gráficas. Esto
permitirá “trazar estas gráficas rápidamente”.
−5𝜋
2
−2𝜋 −
3𝜋
2
−𝜋
−π
2
0
π
2
𝜋
3𝜋
2
2𝜋
5π
2
3𝜋
7π
2
4𝜋
𝑥
𝑦
1
−1
2
−2
3
𝑓 𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝜋
2
+ 1
𝑓 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋
2
𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2𝑥
3
− 2𝜋
3
+ 2
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥
3
+ 2𝜋 + 2
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Gráficas Funciones Sinusoidales
4
La gráfica del las funciones
𝑓 𝑥 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑏 𝑥 − ℎ + 𝑘
𝑓 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑏 𝑥 − ℎ + 𝑘
representa las
transformaciones de las gráficas de las ecuaciones
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)
Transformaciones:
Amplitud (Expansión - compresión vertical)
Es la mitad de la distancia entre el valor
máximo y el valor mínimo.
Periodo (Expansión - compresión horizontal)
Duración o tamaño de un ciclo completo.
Desfase (Traslación horizontal)
Es el cambio en posición horizontal.
Traslación vertical
Es el cambio en posición vertical
Alcance
Es el conjunto de números que son imagen
de la función.
−𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
1
−1
Traslación
vertical
desfase
período
amplitud
amplitud
alcance
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Sean 𝑓 𝑥 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑏 𝑥 − ℎ + 𝑘 y 𝑔 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑏 𝑥 − ℎ + 𝑘
las funciones trigonométricas del seno del ángulo y coseno del
ángulo entonces, la amplitud (expansión – compresión vertical)
es la mitad de la distancia entre el valor máximo y el valor
mínimo.
Amplitud
5
−𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
1
−1
𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 = 𝐴
amplitud
amplitud
amplitud
amplitud
−𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
1
−1
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Ejemplo:
Determine la amplitud de 𝑓 𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠(𝑥) y dibuje su gráfica.
Amplitud
6
Solución:
𝐴 = 2
𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 = 𝐴
𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 = 2
−𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
2
−2
Inicialmente se identifica que el dos
representa 𝐴.
Después se busca la amplitud de la
función.
Luego se dibuja la gráfica del modelo
de la función coseno del ángulo.
Finalmente se dibuja la gráfica del
modelo de la función coseno del ángulo
indicando que el valor más alto es 2 y el
valor más bajo es -2.
= 2
amplitud
−𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
2
−2
amplitud
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Sean 𝑓 𝑥 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝒃 𝑥 − ℎ + 𝑘 y 𝑔 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝒃 𝑥 − ℎ + 𝑘 las
funciones trigonométricas del seno del ángulo y coseno del ángulo
entonces, el período (expansión – compresión horizontal) es la
duración o tamaño de un ciclo completo. También se dice que es el
mínimo lapso que separa dos instantes en los que el sistema se
encuentra exactamente en el mismo estado.
Período
7
−𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
1
−1
−𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
1
−1
Período = 𝑇 =
2𝜋
𝒃
período período
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Ejemplo:
Determine el período de 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) y dibuje su gráfica.
Período
8
Solución:
𝑏 = 2
período = T =
2π
𝐛
período = T =
2π
2
período = T = 𝜋
Inicialmente se identifica que el dos
representa 𝐛.
Después se busca el período de la
función.
Luego se dibuja la gráfica del modelo de
la función coseno.
Finalmente se dibuja la gráfica del
modelo de la función coseno del ángulo
indicando que el periodo es 𝜋.
−𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
𝑥
𝑦
1
−1
período
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Sean 𝑓 𝑥 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑏 𝑥 − ℎ + 𝑘 y 𝑔 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑏 𝑥 − ℎ + 𝑘 las
funciones trigonométricas del seno del ángulo y coseno del ángulo
entonces, la desfase (traslación horizontal) es el cambio de posición
horizontal. La gráfica se desplaza a la derecha o a la izquierda h
unidades.
Desfase
9
Desfase = ℎ
−𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
1
−1
−𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
1
−1
desfase
desfase
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Ejemplo:
Determine la desfase de 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 +
𝜋
2
) y dibuje su gráfica.
Desfase
10
−𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
1
−1
Solución:
ℎ = −
𝜋
2
desfase = −
π
2
Inicialmente se identifica que el 𝜋
2
representa ℎ.
Después se busca la desfase.
Luego se dibuja la gráfica del
modelo de la función seno del ángulo.
Finalmente se dibuja la gráfica del
modelo de la función seno del ángulo
indicando que la desfase es
𝜋
2
a la
izquierda.
desfase
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Traslación vertical = 𝑘
Sean 𝑓 𝑥 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑏 𝑥 − ℎ + 𝑘 y 𝑔 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑏 𝑥 − ℎ + 𝑘 las
funciones trigonométricas del seno del ángulo y coseno del ángulo
entonces, la traslación vertical es el cambio de posición vertical. La
gráfica se desplaza hacia arriba o hacia abajo k unidades.
Traslación vertical
11
−𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
1
−1
−𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
1
−1
Traslación
vertical
Traslación
vertical
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Ejemplo:
Determine la traslación vertical de 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 1 y dibuje su
gráfica.
Traslación vertical
12
Solución:
𝑘 = 1
traslacion vertical = 1
Inicialmente se identifica que el uno
representa 𝑘.
Después se busca la traslación
vertical.
Luego se dibuja la gráfica del modelo
de la función seno del ángulo.
Finalmente se dibuja la gráfica del
modelo de la función seno del ángulo
indicando que la traslación vertical es
uno hacia arriba.
−𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
2
−2
−1
1
Traslación
vertical
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Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝐾 + 𝐴
Sean 𝑓 𝑥 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑏 𝑥 − ℎ + 𝑘 y 𝑔 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑏 𝑥 − ℎ + 𝑘 las
funciones trigonométricas del seno del ángulo y coseno del ángulo
entonces, el alcance es el conjunto de números que son imagen de la
función. Se utilizará la representación de intervalos.
Alcance (campo de valores)
13
−𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
1
−1
−𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
1
−1
alcance
alcance
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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋
2
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
14
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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋
2
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
14
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋
2
y 𝑘 = 1
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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋
2
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
14
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋
2
y 𝑘 = 1
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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋
2
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
14
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Desfase = ℎ = −
𝜋
2
(
𝜋
2
a la izquierda)
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋
2
y 𝑘 = 1
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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋
2
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
14
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Desfase = ℎ = −
𝜋
2
(
𝜋
2
a la izquierda)
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋
2
y 𝑘 = 1
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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋
2
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
14
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Desfase = ℎ = −
𝜋
2
(
𝜋
2
a la izquierda)
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Traslación vertical = 𝑘 = 1
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋
2
y 𝑘 = 1
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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋
2
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
14
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Desfase = ℎ = −
𝜋
2
(
𝜋
2
a la izquierda)
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Traslación vertical = 𝑘 = 1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋
2
y 𝑘 = 1
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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋
2
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
14
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Desfase = ℎ = −
𝜋
2
(
𝜋
2
a la izquierda)
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Traslación vertical = 𝑘 = 1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋
2
y 𝑘 = 1
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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋
2
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
14
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Desfase = ℎ = −
𝜋
2
(
𝜋
2
a la izquierda)
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Traslación vertical = 𝑘 = 1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋
2
y 𝑘 = 1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
−1
3
1
Comenzamos dibujando la grafica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 .
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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋
2
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
14
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Desfase = ℎ = −
𝜋
2
(
𝜋
2
a la izquierda)
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Traslación vertical = 𝑘 = 1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋
2
y 𝑘 = 1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
−1
3
1
Comenzamos dibujando la grafica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 .
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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋
2
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
14
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Desfase = ℎ = −
𝜋
2
(
𝜋
2
a la izquierda)
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Traslación vertical = 𝑘 = 1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋
2
y 𝑘 = 1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
−1
3
1
Comenzamos dibujando la grafica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud.
amplitud
amplitud
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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋
2
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
14
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Desfase = ℎ = −
𝜋
2
(
𝜋
2
a la izquierda)
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Traslación vertical = 𝑘 = 1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋
2
y 𝑘 = 1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
−1
3
1
Comenzamos dibujando la grafica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se localiza
el tamaño del ciclo fundamental (periodo).
amplitud
amplitud
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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋
2
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
14
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Desfase = ℎ = −
𝜋
2
(
𝜋
2
a la izquierda)
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Traslación vertical = 𝑘 = 1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋
2
y 𝑘 = 1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
−1
3
1
Comenzamos dibujando la grafica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se localiza
el tamaño del ciclo fundamental (periodo).
amplitud
amplitud
período
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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋
2
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
14
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Desfase = ℎ = −
𝜋
2
(
𝜋
2
a la izquierda)
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Traslación vertical = 𝑘 = 1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋
2
y 𝑘 = 1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
−1
3
1
amplitud
amplitud
período
Comenzamos dibujando la grafica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se localiza
el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 con la nueva amplitud y el
nuevo periodo.
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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋
2
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
14
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Desfase = ℎ = −
𝜋
2
(
𝜋
2
a la izquierda)
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Traslación vertical = 𝑘 = 1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋
2
y 𝑘 = 1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
−1
3
1
Comenzamos dibujando la grafica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se localiza
el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 con la nueva amplitud y el
nuevo periodo.
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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋
2
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
14
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Desfase = ℎ = −
𝜋
2
(
𝜋
2
a la izquierda)
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Traslación vertical = 𝑘 = 1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋
2
y 𝑘 = 1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
−1
3
1
Comenzamos dibujando la grafica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se localiza
el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 con la nueva amplitud y el
nuevo periodo. Reflejar la gráfica verticalmente.
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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋
2
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
14
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Desfase = ℎ = −
𝜋
2
(
𝜋
2
a la izquierda)
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Traslación vertical = 𝑘 = 1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋
2
y 𝑘 = 1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
−1
3
1
Comenzamos dibujando la grafica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se localiza
el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 con la nueva amplitud y el
nuevo periodo. Reflejar la gráfica verticalmente.
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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋
2
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
14
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Desfase = ℎ = −
𝜋
2
(
𝜋
2
a la izquierda)
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Traslación vertical = 𝑘 = 1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋
2
y 𝑘 = 1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
−1
3
1
Comenzamos dibujando la grafica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se localiza
el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 con la nueva amplitud y el
nuevo periodo. Reflejar la gráfica verticalmente. Luego se traslada la gráfica horizontalmente 𝜋
2
a
la izquierda (desfase).
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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋
2
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
14
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Desfase = ℎ = −
𝜋
2
(
𝜋
2
a la izquierda)
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Traslación vertical = 𝑘 = 1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋
2
y 𝑘 = 1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
−1
3
1
Comenzamos dibujando la grafica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se localiza
el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 con la nueva amplitud y el
nuevo periodo. Reflejar la gráfica verticalmente. Luego se traslada la gráfica horizontalmente 𝜋
2
a
la izquierda (desfase).
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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋
2
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
14
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Desfase = ℎ = −
𝜋
2
(
𝜋
2
a la izquierda)
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Traslación vertical = 𝑘 = 1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋
2
y 𝑘 = 1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
−1
3
1
Comenzamos dibujando la grafica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se localiza
el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 con la nueva amplitud y el
nuevo periodo. Reflejar la gráfica verticalmente. Luego se traslada la gráfica horizontalmente 𝜋
2
a
la izquierda (desfase). Finalmente se traslada la gráfica verticalmente una unidad.
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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋
2
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
14
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Desfase = ℎ = −
𝜋
2
(
𝜋
2
a la izquierda)
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Traslación vertical = 𝑘 = 1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋
2
y 𝑘 = 1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋 𝑥
𝑦
−1
3
1
Comenzamos dibujando la grafica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se localiza
el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 con la nueva amplitud y el
nuevo periodo. Reflejar la gráfica verticalmente. Luego se traslada la gráfica horizontalmente 𝜋
2
a
la izquierda (desfase). Finalmente se traslada la gráfica verticalmente una unidad.
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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋
2
− 1
Gráfica Función Sinusoidal
15
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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋
2
− 1
Gráfica Función Sinusoidal
15
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋
2
y 𝑘 = −1
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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋
2
− 1
Gráfica Función Sinusoidal
15
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋
2
y 𝑘 = −1
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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋
2
− 1
Gráfica Función Sinusoidal
15
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋
2
y 𝑘 = −1
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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋
2
− 1
Gráfica Función Sinusoidal
15
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Desfase = ℎ =
𝜋
2
a la derecha
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋
2
y 𝑘 = −1
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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋
2
− 1
Gráfica Función Sinusoidal
15
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Desfase = ℎ =
𝜋
2
a la derecha
Traslación vertical = 𝑘 = −1
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋
2
y 𝑘 = −1
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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋
2
− 1
Gráfica Función Sinusoidal
15
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Desfase = ℎ =
𝜋
2
a la derecha
Traslación vertical = 𝑘 = −1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋
2
y 𝑘 = −1
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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋
2
− 1
Gráfica Función Sinusoidal
15
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Desfase = ℎ =
𝜋
2
a la derecha
Traslación vertical = 𝑘 = −1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋
2
y 𝑘 = −1
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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋
2
− 1
Gráfica Función Sinusoidal
15
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Desfase = ℎ =
𝜋
2
a la derecha
Traslación vertical = 𝑘 = −1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋
2
y 𝑘 = −1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋
5π
2 𝑥
𝑦
−3
1
Comenzamos dibujando la gráfica modelo del cos 𝑥 .
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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋
2
− 1
Gráfica Función Sinusoidal
15
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Desfase = ℎ =
𝜋
2
a la derecha
Traslación vertical = 𝑘 = −1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋
2
y 𝑘 = −1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋
5π
2 𝑥
𝑦
−3
1
Comenzamos dibujando la gráfica modelo del cos 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud.
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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋
2
− 1
Gráfica Función Sinusoidal
15
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Desfase = ℎ =
𝜋
2
a la derecha
Traslación vertical = 𝑘 = −1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋
2
y 𝑘 = −1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋
5π
2 𝑥
𝑦
−3
1
amplitud
amplitud
Comenzamos dibujando la gráfica modelo del cos 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud.
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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋
2
− 1
Gráfica Función Sinusoidal
15
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Desfase = ℎ =
𝜋
2
a la derecha
Traslación vertical = 𝑘 = −1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋
2
y 𝑘 = −1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋
5π
2 𝑥
𝑦
−3
1
amplitud
amplitud
Comenzamos dibujando la gráfica modelo del cos 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se
localiza el tamaño del ciclo fundamental (periodo).
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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋
2
− 1
Gráfica Función Sinusoidal
15
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Desfase = ℎ =
𝜋
2
a la derecha
Traslación vertical = 𝑘 = −1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋
2
y 𝑘 = −1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋
5π
2 𝑥
𝑦
−3
1
amplitud
amplitud
período
Comenzamos dibujando la gráfica modelo del cos 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se
localiza el tamaño del ciclo fundamental (periodo).
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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋
2
− 1
Gráfica Función Sinusoidal
15
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Desfase = ℎ =
𝜋
2
a la derecha
Traslación vertical = 𝑘 = −1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋
2
y 𝑘 = −1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋
5π
2 𝑥
𝑦
−3
1
amplitud
amplitud
Comenzamos dibujando la gráfica modelo del cos 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se
localiza el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del co𝑠 𝑥 con la nueva
amplitud y el nuevo periodo.
período
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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋
2
− 1
Gráfica Función Sinusoidal
15
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Desfase = ℎ =
𝜋
2
a la derecha
Traslación vertical = 𝑘 = −1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋
2
y 𝑘 = −1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋
5π
2 𝑥
𝑦
−3
1
amplitud
amplitud
Comenzamos dibujando la gráfica modelo del cos 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se
localiza el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del co𝑠 𝑥 con la nueva
amplitud y el nuevo periodo.
período
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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋
2
− 1
Gráfica Función Sinusoidal
15
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Desfase = ℎ =
𝜋
2
a la derecha
Traslación vertical = 𝑘 = −1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋
2
y 𝑘 = −1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋
5π
2 𝑥
𝑦
−3
1
amplitud
amplitud
Comenzamos dibujando la gráfica modelo del cos 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se
localiza el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del co𝑠 𝑥 con la nueva
amplitud y el nuevo periodo.
período
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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋
2
− 1
Gráfica Función Sinusoidal
15
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Desfase = ℎ =
𝜋
2
a la derecha
Traslación vertical = 𝑘 = −1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋
2
y 𝑘 = −1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋
5π
2 𝑥
𝑦
−3
1
Comenzamos dibujando la gráfica modelo del cos 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se
localiza el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del co𝑠 𝑥 con la nueva
amplitud y el nuevo periodo. Reflejar la gráfica verticalmente.
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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋
2
− 1
Gráfica Función Sinusoidal
15
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Desfase = ℎ =
𝜋
2
a la derecha
Traslación vertical = 𝑘 = −1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋
2
y 𝑘 = −1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋
5π
2 𝑥
𝑦
−3
1
Comenzamos dibujando la gráfica modelo del cos 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se
localiza el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del co𝑠 𝑥 con la nueva
amplitud y el nuevo periodo. Reflejar la gráfica verticalmente.
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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋
2
− 1
Gráfica Función Sinusoidal
15
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Desfase = ℎ =
𝜋
2
a la derecha
Traslación vertical = 𝑘 = −1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋
2
y 𝑘 = −1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋
5π
2 𝑥
𝑦
−3
1
Comenzamos dibujando la gráfica modelo del cos 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se
localiza el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del co𝑠 𝑥 con la nueva
amplitud y el nuevo periodo. Reflejar la gráfica verticalmente. Luego se traslada la gráfica 𝜋
2
a la
derecha (desfase).
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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋
2
− 1
Gráfica Función Sinusoidal
15
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Desfase = ℎ =
𝜋
2
a la derecha
Traslación vertical = 𝑘 = −1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋
2
y 𝑘 = −1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋
5π
2 𝑥
𝑦
−3
1
Comenzamos dibujando la gráfica modelo del cos 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se
localiza el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del co𝑠 𝑥 con la nueva
amplitud y el nuevo periodo. Reflejar la gráfica verticalmente. Luego se traslada la gráfica 𝜋
2
a la
derecha (desfase).
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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋
2
− 1
Gráfica Función Sinusoidal
15
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Desfase = ℎ =
𝜋
2
a la derecha
Traslación vertical = 𝑘 = −1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋
2
y 𝑘 = −1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋
5π
2 𝑥
𝑦
−3
1
Comenzamos dibujando la gráfica modelo del cos 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se
localiza el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del co𝑠 𝑥 con la nueva
amplitud y el nuevo periodo. Reflejar la gráfica verticalmente. Luego se traslada la gráfica 𝜋
2
a la
derecha (desfase). Finalmente se traslada la gráfica una unidad hacia abajo.
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Ejemplo:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋
2
− 1
Gráfica Función Sinusoidal
15
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = −2 = 2
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
1
= 2𝜋
Desfase = ℎ =
𝜋
2
a la derecha
Traslación vertical = 𝑘 = −1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1
Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋
2
y 𝑘 = −1
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋
5π
2 𝑥
𝑦
−3
1
Comenzamos dibujando la gráfica modelo del cos 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se
localiza el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del co𝑠 𝑥 con la nueva
amplitud y el nuevo periodo. Reflejar la gráfica verticalmente. Luego se traslada la gráfica 𝜋
2
a la
derecha (desfase). Finalmente se traslada la gráfica una unidad hacia abajo.
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Ejemplo:
Escribe una función que represente la siguiente gráfica.
Gráfica Función Sinusoidal
16
Ecuación:
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥
Información que se obtienen de la gráfica
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 3
Amplitud = 𝐴 = 3
Desfase = ℎ =
𝜋
2
a la derecha
Periodo = 𝑇 = 2𝜋
Traslación vertical = 𝑘 = 0
−
𝜋
2
3
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋
5π
2 𝑥
𝑦
−3
1
alcance
Traslación
vertical
período
desfase
amplitud
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Práctica
17
Buscar el Manual de práctica
Hacer los ejercicios de la página 1
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Práctica:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2
3
𝑥 + 𝜋
9
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
18
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Práctica:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2
3
𝑥 + 𝜋
9
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
18
Factorizar:
𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2
3
𝜋
6
+ 1
𝑥 + 𝜋
6
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = 1, 𝑏 = 2
3
, ℎ = −
𝜋
6
y 𝑘 = 1
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = 1 = 1
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
2
3
= 3𝜋
Desfase = ℎ =
𝜋
6
a la izquierda
Traslación vertical = 𝑘 = 1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = 0, 2
Comenzamos dibujando la gráfica modelo de la función coseno.
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋
5π
2
3𝜋 𝑥
𝑦
−1
3
1
2
−2
−3
Dibujar la caja que representa
el alcance, la desfase y el periodo.
desfas
e
alcanc
e
período
Se divide el periodo en cuatro partes iguales. Localizar puntos
principales del modelo. Dibujar la gráfica pasando por estos puntos.
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Práctica:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2
3
𝑥 + 𝜋
9
+ 1
Gráfica Función Sinusoidal
18
Factorizar:
𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2
3
𝜋
6
+ 1
𝑥 + 𝜋
6
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = 1, 𝑏 = 2
3
, ℎ = −
𝜋
6
y 𝑘 = 1
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = 1 = 1
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
2
3
= 3𝜋
Desfase = ℎ =
𝜋
6
a la izquierda
Traslación vertical = 𝑘 = 1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = 0, 2
−
𝜋
2
0
𝜋
2
𝜋
3π
2
2𝜋
5π
2
3𝜋 𝑥
𝑦
−1
3
1
2
−2
−3
Nota:
La solución de las ecuaciones 2
3
𝑥+
𝜋
6
= 0 y 2
3
𝑥+
𝜋
6
= 2𝜋 representa las posiciones horizontales
del inicio y final del ciclo fundamental de la gráfica de la función coseno del ángulo.
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Práctica:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 𝜋
2
𝑥 − 1
3
− 1.
Gráfica Función Sinusoidal
19
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Práctica:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 𝜋
2
𝑥 − 1
3
− 1.
Gráfica Función Sinusoidal
19
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = 2, 𝑏 = 𝜋
2
, ℎ = 1
3
y 𝑘 = −1
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = 2 = 2
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
𝜋
2
= 4
Desfase = ℎ =
1
3
a la derecha
Traslación vertical = 𝑘 = −1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1
Comenzamos dibujando la gráfica modelo de la función seno.
−1 0 1 2 3 4 5 6 𝑥
𝑦
−1
3
1
2
−2
−3
Dibujar la caja que representa el
alcance, la desfase y el periodo.
desfas
e
período
alcance
Se divide el periodo en cuatro partes iguales. Se localizan los
puntos principales del modelo transformado. Dibujar la gráfica pasando por estos puntos.
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Práctica:
Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 𝜋
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Gráfica Función Sinusoidal
19
−1 0 1 2 3 4 5 6 𝑥
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−1
3
1
2
−2
−3
Datos :
Se obtienen de la función
𝐴 = 2, 𝑏 = 𝜋
2
, ℎ = 1
3
y 𝑘 = −1
Nota:
La solución de las ecuaciones 𝜋
2
𝑥−
1
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= 0 y 𝜋
2
𝑥−
1
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= 2𝜋 representa las posiciones horizontales
del inicio y final del ciclo fundamental de la gráfica de la función seno del ángulo.
Transformaciones:
Amplitud = 𝐴 = 2 = 2
Periodo = 𝑇 =
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
𝜋
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= 4
Desfase = ℎ =
1
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a la derecha
Traslación vertical = 𝑘 = −1
Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1
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Gráfica Función Sinusoidal
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Gráficas senoidales

  • 1. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Trigonometría 1
  • 2. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Objetivos  Conocer que es una gráfica sinusoidal.  Conocer las características de una gráfica sinusoidal. – Amplitud – Periodo – Desfase – Traslación vertical  Determinar la, amplitud, periodo, desfase y traslación vertical de una gráfica sinusoidal.  Dibujar las gráficas sinusoidales utilizando las transformaciones.  Escribir la función sinusoidal que representa una gráfica. 2
  • 3. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Las gráficas de las funciones seno y coseno se le considera ondas sinusoidales porque poseen propiedades matemáticas muy interesantes como amplitud, periodo y desfase entre otras. Gráficas Funciones Sinusoidales 3 Es necesario estudiar de qué manera A, b, h y la suma de una constante k afectan el comportamiento de estas gráficas. Esto permitirá “trazar estas gráficas rápidamente”. −5𝜋 2 −2𝜋 − 3𝜋 2 −𝜋 −π 2 0 π 2 𝜋 3𝜋 2 2𝜋 5π 2 3𝜋 7π 2 4𝜋 𝑥 𝑦 1 −1 2 −2 3 𝑓 𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝜋 2 + 1 𝑓 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋 2 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 3 − 2𝜋 3 + 2 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 3 + 2𝜋 + 2
  • 4. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Gráficas Funciones Sinusoidales 4 La gráfica del las funciones 𝑓 𝑥 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑏 𝑥 − ℎ + 𝑘 𝑓 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑏 𝑥 − ℎ + 𝑘 representa las transformaciones de las gráficas de las ecuaciones 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) Transformaciones: Amplitud (Expansión - compresión vertical) Es la mitad de la distancia entre el valor máximo y el valor mínimo. Periodo (Expansión - compresión horizontal) Duración o tamaño de un ciclo completo. Desfase (Traslación horizontal) Es el cambio en posición horizontal. Traslación vertical Es el cambio en posición vertical Alcance Es el conjunto de números que son imagen de la función. −𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 𝑥 𝑦 1 −1 Traslación vertical desfase período amplitud amplitud alcance
  • 5. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Sean 𝑓 𝑥 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑏 𝑥 − ℎ + 𝑘 y 𝑔 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑏 𝑥 − ℎ + 𝑘 las funciones trigonométricas del seno del ángulo y coseno del ángulo entonces, la amplitud (expansión – compresión vertical) es la mitad de la distancia entre el valor máximo y el valor mínimo. Amplitud 5 −𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 𝑥 𝑦 1 −1 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 = 𝐴 amplitud amplitud amplitud amplitud −𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 𝑥 𝑦 1 −1
  • 6. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Determine la amplitud de 𝑓 𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠(𝑥) y dibuje su gráfica. Amplitud 6 Solución: 𝐴 = 2 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 = 𝐴 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 = 2 −𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 𝑥 𝑦 2 −2 Inicialmente se identifica que el dos representa 𝐴. Después se busca la amplitud de la función. Luego se dibuja la gráfica del modelo de la función coseno del ángulo. Finalmente se dibuja la gráfica del modelo de la función coseno del ángulo indicando que el valor más alto es 2 y el valor más bajo es -2. = 2 amplitud −𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 𝑥 𝑦 2 −2 amplitud
  • 7. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Sean 𝑓 𝑥 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝒃 𝑥 − ℎ + 𝑘 y 𝑔 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝒃 𝑥 − ℎ + 𝑘 las funciones trigonométricas del seno del ángulo y coseno del ángulo entonces, el período (expansión – compresión horizontal) es la duración o tamaño de un ciclo completo. También se dice que es el mínimo lapso que separa dos instantes en los que el sistema se encuentra exactamente en el mismo estado. Período 7 −𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 𝑥 𝑦 1 −1 −𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 𝑥 𝑦 1 −1 Período = 𝑇 = 2𝜋 𝒃 período período
  • 8. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Determine el período de 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) y dibuje su gráfica. Período 8 Solución: 𝑏 = 2 período = T = 2π 𝐛 período = T = 2π 2 período = T = 𝜋 Inicialmente se identifica que el dos representa 𝐛. Después se busca el período de la función. Luego se dibuja la gráfica del modelo de la función coseno. Finalmente se dibuja la gráfica del modelo de la función coseno del ángulo indicando que el periodo es 𝜋. −𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 𝑥 𝑦 1 −1 período
  • 9. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Sean 𝑓 𝑥 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑏 𝑥 − ℎ + 𝑘 y 𝑔 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑏 𝑥 − ℎ + 𝑘 las funciones trigonométricas del seno del ángulo y coseno del ángulo entonces, la desfase (traslación horizontal) es el cambio de posición horizontal. La gráfica se desplaza a la derecha o a la izquierda h unidades. Desfase 9 Desfase = ℎ −𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 𝑥 𝑦 1 −1 −𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 𝑥 𝑦 1 −1 desfase desfase
  • 10. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Determine la desfase de 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝜋 2 ) y dibuje su gráfica. Desfase 10 −𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 𝑥 𝑦 1 −1 Solución: ℎ = − 𝜋 2 desfase = − π 2 Inicialmente se identifica que el 𝜋 2 representa ℎ. Después se busca la desfase. Luego se dibuja la gráfica del modelo de la función seno del ángulo. Finalmente se dibuja la gráfica del modelo de la función seno del ángulo indicando que la desfase es 𝜋 2 a la izquierda. desfase
  • 11. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Traslación vertical = 𝑘 Sean 𝑓 𝑥 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑏 𝑥 − ℎ + 𝑘 y 𝑔 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑏 𝑥 − ℎ + 𝑘 las funciones trigonométricas del seno del ángulo y coseno del ángulo entonces, la traslación vertical es el cambio de posición vertical. La gráfica se desplaza hacia arriba o hacia abajo k unidades. Traslación vertical 11 −𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 𝑥 𝑦 1 −1 −𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 𝑥 𝑦 1 −1 Traslación vertical Traslación vertical
  • 12. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Determine la traslación vertical de 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 1 y dibuje su gráfica. Traslación vertical 12 Solución: 𝑘 = 1 traslacion vertical = 1 Inicialmente se identifica que el uno representa 𝑘. Después se busca la traslación vertical. Luego se dibuja la gráfica del modelo de la función seno del ángulo. Finalmente se dibuja la gráfica del modelo de la función seno del ángulo indicando que la traslación vertical es uno hacia arriba. −𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 𝑥 𝑦 2 −2 −1 1 Traslación vertical
  • 13. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝐾 + 𝐴 Sean 𝑓 𝑥 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑏 𝑥 − ℎ + 𝑘 y 𝑔 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝑏 𝑥 − ℎ + 𝑘 las funciones trigonométricas del seno del ángulo y coseno del ángulo entonces, el alcance es el conjunto de números que son imagen de la función. Se utilizará la representación de intervalos. Alcance (campo de valores) 13 −𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 𝑥 𝑦 1 −1 −𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 𝑥 𝑦 1 −1 alcance alcance
  • 14. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋 2 + 1 Gráfica Función Sinusoidal 14
  • 15. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋 2 + 1 Gráfica Función Sinusoidal 14 Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋 2 y 𝑘 = 1
  • 16. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋 2 + 1 Gráfica Función Sinusoidal 14 Transformaciones: Amplitud = 𝐴 = −2 = 2 Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋 2 y 𝑘 = 1
  • 17. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋 2 + 1 Gráfica Función Sinusoidal 14 Transformaciones: Amplitud = 𝐴 = −2 = 2 Desfase = ℎ = − 𝜋 2 ( 𝜋 2 a la izquierda) Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋 2 y 𝑘 = 1
  • 18. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋 2 + 1 Gráfica Función Sinusoidal 14 Transformaciones: Amplitud = 𝐴 = −2 = 2 Desfase = ℎ = − 𝜋 2 ( 𝜋 2 a la izquierda) Periodo = 𝑇 = 2𝜋 𝑏 = 2𝜋 1 = 2𝜋 Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋 2 y 𝑘 = 1
  • 19. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋 2 + 1 Gráfica Función Sinusoidal 14 Transformaciones: Amplitud = 𝐴 = −2 = 2 Desfase = ℎ = − 𝜋 2 ( 𝜋 2 a la izquierda) Periodo = 𝑇 = 2𝜋 𝑏 = 2𝜋 1 = 2𝜋 Traslación vertical = 𝑘 = 1 Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋 2 y 𝑘 = 1
  • 20. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋 2 + 1 Gráfica Función Sinusoidal 14 Transformaciones: Amplitud = 𝐴 = −2 = 2 Desfase = ℎ = − 𝜋 2 ( 𝜋 2 a la izquierda) Periodo = 𝑇 = 2𝜋 𝑏 = 2𝜋 1 = 2𝜋 Traslación vertical = 𝑘 = 1 Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3 Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋 2 y 𝑘 = 1
  • 21. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋 2 + 1 Gráfica Función Sinusoidal 14 Transformaciones: Amplitud = 𝐴 = −2 = 2 Desfase = ℎ = − 𝜋 2 ( 𝜋 2 a la izquierda) Periodo = 𝑇 = 2𝜋 𝑏 = 2𝜋 1 = 2𝜋 Traslación vertical = 𝑘 = 1 Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3 Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴 Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋 2 y 𝑘 = 1
  • 22. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋 2 + 1 Gráfica Función Sinusoidal 14 Transformaciones: Amplitud = 𝐴 = −2 = 2 Desfase = ℎ = − 𝜋 2 ( 𝜋 2 a la izquierda) Periodo = 𝑇 = 2𝜋 𝑏 = 2𝜋 1 = 2𝜋 Traslación vertical = 𝑘 = 1 Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3 Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴 Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋 2 y 𝑘 = 1 − 𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 𝑥 𝑦 −1 3 1 Comenzamos dibujando la grafica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 .
  • 23. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋 2 + 1 Gráfica Función Sinusoidal 14 Transformaciones: Amplitud = 𝐴 = −2 = 2 Desfase = ℎ = − 𝜋 2 ( 𝜋 2 a la izquierda) Periodo = 𝑇 = 2𝜋 𝑏 = 2𝜋 1 = 2𝜋 Traslación vertical = 𝑘 = 1 Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3 Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴 Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋 2 y 𝑘 = 1 − 𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 𝑥 𝑦 −1 3 1 Comenzamos dibujando la grafica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 .
  • 24. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋 2 + 1 Gráfica Función Sinusoidal 14 Transformaciones: Amplitud = 𝐴 = −2 = 2 Desfase = ℎ = − 𝜋 2 ( 𝜋 2 a la izquierda) Periodo = 𝑇 = 2𝜋 𝑏 = 2𝜋 1 = 2𝜋 Traslación vertical = 𝑘 = 1 Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3 Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴 Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋 2 y 𝑘 = 1 − 𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 𝑥 𝑦 −1 3 1 Comenzamos dibujando la grafica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. amplitud amplitud
  • 25. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋 2 + 1 Gráfica Función Sinusoidal 14 Transformaciones: Amplitud = 𝐴 = −2 = 2 Desfase = ℎ = − 𝜋 2 ( 𝜋 2 a la izquierda) Periodo = 𝑇 = 2𝜋 𝑏 = 2𝜋 1 = 2𝜋 Traslación vertical = 𝑘 = 1 Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3 Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴 Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋 2 y 𝑘 = 1 − 𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 𝑥 𝑦 −1 3 1 Comenzamos dibujando la grafica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se localiza el tamaño del ciclo fundamental (periodo). amplitud amplitud
  • 26. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋 2 + 1 Gráfica Función Sinusoidal 14 Transformaciones: Amplitud = 𝐴 = −2 = 2 Desfase = ℎ = − 𝜋 2 ( 𝜋 2 a la izquierda) Periodo = 𝑇 = 2𝜋 𝑏 = 2𝜋 1 = 2𝜋 Traslación vertical = 𝑘 = 1 Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3 Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴 Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋 2 y 𝑘 = 1 − 𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 𝑥 𝑦 −1 3 1 Comenzamos dibujando la grafica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se localiza el tamaño del ciclo fundamental (periodo). amplitud amplitud período
  • 27. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋 2 + 1 Gráfica Función Sinusoidal 14 Transformaciones: Amplitud = 𝐴 = −2 = 2 Desfase = ℎ = − 𝜋 2 ( 𝜋 2 a la izquierda) Periodo = 𝑇 = 2𝜋 𝑏 = 2𝜋 1 = 2𝜋 Traslación vertical = 𝑘 = 1 Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3 Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴 Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋 2 y 𝑘 = 1 − 𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 𝑥 𝑦 −1 3 1 amplitud amplitud período Comenzamos dibujando la grafica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se localiza el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 con la nueva amplitud y el nuevo periodo.
  • 28. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋 2 + 1 Gráfica Función Sinusoidal 14 Transformaciones: Amplitud = 𝐴 = −2 = 2 Desfase = ℎ = − 𝜋 2 ( 𝜋 2 a la izquierda) Periodo = 𝑇 = 2𝜋 𝑏 = 2𝜋 1 = 2𝜋 Traslación vertical = 𝑘 = 1 Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3 Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴 Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋 2 y 𝑘 = 1 − 𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 𝑥 𝑦 −1 3 1 Comenzamos dibujando la grafica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se localiza el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 con la nueva amplitud y el nuevo periodo.
  • 29. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋 2 + 1 Gráfica Función Sinusoidal 14 Transformaciones: Amplitud = 𝐴 = −2 = 2 Desfase = ℎ = − 𝜋 2 ( 𝜋 2 a la izquierda) Periodo = 𝑇 = 2𝜋 𝑏 = 2𝜋 1 = 2𝜋 Traslación vertical = 𝑘 = 1 Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3 Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴 Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋 2 y 𝑘 = 1 − 𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 𝑥 𝑦 −1 3 1 Comenzamos dibujando la grafica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se localiza el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 con la nueva amplitud y el nuevo periodo. Reflejar la gráfica verticalmente.
  • 30. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋 2 + 1 Gráfica Función Sinusoidal 14 Transformaciones: Amplitud = 𝐴 = −2 = 2 Desfase = ℎ = − 𝜋 2 ( 𝜋 2 a la izquierda) Periodo = 𝑇 = 2𝜋 𝑏 = 2𝜋 1 = 2𝜋 Traslación vertical = 𝑘 = 1 Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3 Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴 Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋 2 y 𝑘 = 1 − 𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 𝑥 𝑦 −1 3 1 Comenzamos dibujando la grafica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se localiza el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 con la nueva amplitud y el nuevo periodo. Reflejar la gráfica verticalmente.
  • 31. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋 2 + 1 Gráfica Función Sinusoidal 14 Transformaciones: Amplitud = 𝐴 = −2 = 2 Desfase = ℎ = − 𝜋 2 ( 𝜋 2 a la izquierda) Periodo = 𝑇 = 2𝜋 𝑏 = 2𝜋 1 = 2𝜋 Traslación vertical = 𝑘 = 1 Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3 Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴 Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋 2 y 𝑘 = 1 − 𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 𝑥 𝑦 −1 3 1 Comenzamos dibujando la grafica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se localiza el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 con la nueva amplitud y el nuevo periodo. Reflejar la gráfica verticalmente. Luego se traslada la gráfica horizontalmente 𝜋 2 a la izquierda (desfase).
  • 32. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋 2 + 1 Gráfica Función Sinusoidal 14 Transformaciones: Amplitud = 𝐴 = −2 = 2 Desfase = ℎ = − 𝜋 2 ( 𝜋 2 a la izquierda) Periodo = 𝑇 = 2𝜋 𝑏 = 2𝜋 1 = 2𝜋 Traslación vertical = 𝑘 = 1 Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3 Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴 Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋 2 y 𝑘 = 1 − 𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 𝑥 𝑦 −1 3 1 Comenzamos dibujando la grafica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se localiza el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 con la nueva amplitud y el nuevo periodo. Reflejar la gráfica verticalmente. Luego se traslada la gráfica horizontalmente 𝜋 2 a la izquierda (desfase).
  • 33. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋 2 + 1 Gráfica Función Sinusoidal 14 Transformaciones: Amplitud = 𝐴 = −2 = 2 Desfase = ℎ = − 𝜋 2 ( 𝜋 2 a la izquierda) Periodo = 𝑇 = 2𝜋 𝑏 = 2𝜋 1 = 2𝜋 Traslación vertical = 𝑘 = 1 Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3 Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴 Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋 2 y 𝑘 = 1 − 𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 𝑥 𝑦 −1 3 1 Comenzamos dibujando la grafica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se localiza el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 con la nueva amplitud y el nuevo periodo. Reflejar la gráfica verticalmente. Luego se traslada la gráfica horizontalmente 𝜋 2 a la izquierda (desfase). Finalmente se traslada la gráfica verticalmente una unidad.
  • 34. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝜋 2 + 1 Gráfica Función Sinusoidal 14 Transformaciones: Amplitud = 𝐴 = −2 = 2 Desfase = ℎ = − 𝜋 2 ( 𝜋 2 a la izquierda) Periodo = 𝑇 = 2𝜋 𝑏 = 2𝜋 1 = 2𝜋 Traslación vertical = 𝑘 = 1 Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −1, 3 Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴 Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = −𝜋 2 y 𝑘 = 1 − 𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 𝑥 𝑦 −1 3 1 Comenzamos dibujando la grafica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se localiza el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del 𝑠𝑒𝑛 𝑥 con la nueva amplitud y el nuevo periodo. Reflejar la gráfica verticalmente. Luego se traslada la gráfica horizontalmente 𝜋 2 a la izquierda (desfase). Finalmente se traslada la gráfica verticalmente una unidad.
  • 35. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋 2 − 1 Gráfica Función Sinusoidal 15
  • 36. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋 2 − 1 Gráfica Función Sinusoidal 15 Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋 2 y 𝑘 = −1
  • 37. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋 2 − 1 Gráfica Función Sinusoidal 15 Transformaciones: Amplitud = 𝐴 = −2 = 2 Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋 2 y 𝑘 = −1
  • 38. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋 2 − 1 Gráfica Función Sinusoidal 15 Transformaciones: Amplitud = 𝐴 = −2 = 2 Periodo = 𝑇 = 2𝜋 𝑏 = 2𝜋 1 = 2𝜋 Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋 2 y 𝑘 = −1
  • 39. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋 2 − 1 Gráfica Función Sinusoidal 15 Transformaciones: Amplitud = 𝐴 = −2 = 2 Periodo = 𝑇 = 2𝜋 𝑏 = 2𝜋 1 = 2𝜋 Desfase = ℎ = 𝜋 2 a la derecha Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋 2 y 𝑘 = −1
  • 40. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋 2 − 1 Gráfica Función Sinusoidal 15 Transformaciones: Amplitud = 𝐴 = −2 = 2 Periodo = 𝑇 = 2𝜋 𝑏 = 2𝜋 1 = 2𝜋 Desfase = ℎ = 𝜋 2 a la derecha Traslación vertical = 𝑘 = −1 Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋 2 y 𝑘 = −1
  • 41. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋 2 − 1 Gráfica Función Sinusoidal 15 Transformaciones: Amplitud = 𝐴 = −2 = 2 Periodo = 𝑇 = 2𝜋 𝑏 = 2𝜋 1 = 2𝜋 Desfase = ℎ = 𝜋 2 a la derecha Traslación vertical = 𝑘 = −1 Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1 Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋 2 y 𝑘 = −1
  • 42. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋 2 − 1 Gráfica Función Sinusoidal 15 Transformaciones: Amplitud = 𝐴 = −2 = 2 Periodo = 𝑇 = 2𝜋 𝑏 = 2𝜋 1 = 2𝜋 Desfase = ℎ = 𝜋 2 a la derecha Traslación vertical = 𝑘 = −1 Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1 Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴 Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋 2 y 𝑘 = −1
  • 43. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋 2 − 1 Gráfica Función Sinusoidal 15 Transformaciones: Amplitud = 𝐴 = −2 = 2 Periodo = 𝑇 = 2𝜋 𝑏 = 2𝜋 1 = 2𝜋 Desfase = ℎ = 𝜋 2 a la derecha Traslación vertical = 𝑘 = −1 Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1 Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴 Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋 2 y 𝑘 = −1 − 𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 5π 2 𝑥 𝑦 −3 1 Comenzamos dibujando la gráfica modelo del cos 𝑥 .
  • 44. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋 2 − 1 Gráfica Función Sinusoidal 15 Transformaciones: Amplitud = 𝐴 = −2 = 2 Periodo = 𝑇 = 2𝜋 𝑏 = 2𝜋 1 = 2𝜋 Desfase = ℎ = 𝜋 2 a la derecha Traslación vertical = 𝑘 = −1 Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1 Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴 Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋 2 y 𝑘 = −1 − 𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 5π 2 𝑥 𝑦 −3 1 Comenzamos dibujando la gráfica modelo del cos 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud.
  • 45. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋 2 − 1 Gráfica Función Sinusoidal 15 Transformaciones: Amplitud = 𝐴 = −2 = 2 Periodo = 𝑇 = 2𝜋 𝑏 = 2𝜋 1 = 2𝜋 Desfase = ℎ = 𝜋 2 a la derecha Traslación vertical = 𝑘 = −1 Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1 Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴 Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋 2 y 𝑘 = −1 − 𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 5π 2 𝑥 𝑦 −3 1 amplitud amplitud Comenzamos dibujando la gráfica modelo del cos 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud.
  • 46. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋 2 − 1 Gráfica Función Sinusoidal 15 Transformaciones: Amplitud = 𝐴 = −2 = 2 Periodo = 𝑇 = 2𝜋 𝑏 = 2𝜋 1 = 2𝜋 Desfase = ℎ = 𝜋 2 a la derecha Traslación vertical = 𝑘 = −1 Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1 Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴 Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋 2 y 𝑘 = −1 − 𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 5π 2 𝑥 𝑦 −3 1 amplitud amplitud Comenzamos dibujando la gráfica modelo del cos 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se localiza el tamaño del ciclo fundamental (periodo).
  • 47. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋 2 − 1 Gráfica Función Sinusoidal 15 Transformaciones: Amplitud = 𝐴 = −2 = 2 Periodo = 𝑇 = 2𝜋 𝑏 = 2𝜋 1 = 2𝜋 Desfase = ℎ = 𝜋 2 a la derecha Traslación vertical = 𝑘 = −1 Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1 Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴 Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋 2 y 𝑘 = −1 − 𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 5π 2 𝑥 𝑦 −3 1 amplitud amplitud período Comenzamos dibujando la gráfica modelo del cos 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se localiza el tamaño del ciclo fundamental (periodo).
  • 48. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋 2 − 1 Gráfica Función Sinusoidal 15 Transformaciones: Amplitud = 𝐴 = −2 = 2 Periodo = 𝑇 = 2𝜋 𝑏 = 2𝜋 1 = 2𝜋 Desfase = ℎ = 𝜋 2 a la derecha Traslación vertical = 𝑘 = −1 Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1 Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴 Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋 2 y 𝑘 = −1 − 𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 5π 2 𝑥 𝑦 −3 1 amplitud amplitud Comenzamos dibujando la gráfica modelo del cos 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se localiza el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del co𝑠 𝑥 con la nueva amplitud y el nuevo periodo. período
  • 49. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋 2 − 1 Gráfica Función Sinusoidal 15 Transformaciones: Amplitud = 𝐴 = −2 = 2 Periodo = 𝑇 = 2𝜋 𝑏 = 2𝜋 1 = 2𝜋 Desfase = ℎ = 𝜋 2 a la derecha Traslación vertical = 𝑘 = −1 Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1 Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴 Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋 2 y 𝑘 = −1 − 𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 5π 2 𝑥 𝑦 −3 1 amplitud amplitud Comenzamos dibujando la gráfica modelo del cos 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se localiza el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del co𝑠 𝑥 con la nueva amplitud y el nuevo periodo. período
  • 50. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋 2 − 1 Gráfica Función Sinusoidal 15 Transformaciones: Amplitud = 𝐴 = −2 = 2 Periodo = 𝑇 = 2𝜋 𝑏 = 2𝜋 1 = 2𝜋 Desfase = ℎ = 𝜋 2 a la derecha Traslación vertical = 𝑘 = −1 Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1 Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴 Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋 2 y 𝑘 = −1 − 𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 5π 2 𝑥 𝑦 −3 1 amplitud amplitud Comenzamos dibujando la gráfica modelo del cos 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se localiza el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del co𝑠 𝑥 con la nueva amplitud y el nuevo periodo. período
  • 51. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋 2 − 1 Gráfica Función Sinusoidal 15 Transformaciones: Amplitud = 𝐴 = −2 = 2 Periodo = 𝑇 = 2𝜋 𝑏 = 2𝜋 1 = 2𝜋 Desfase = ℎ = 𝜋 2 a la derecha Traslación vertical = 𝑘 = −1 Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1 Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴 Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋 2 y 𝑘 = −1 − 𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 5π 2 𝑥 𝑦 −3 1 Comenzamos dibujando la gráfica modelo del cos 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se localiza el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del co𝑠 𝑥 con la nueva amplitud y el nuevo periodo. Reflejar la gráfica verticalmente.
  • 52. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋 2 − 1 Gráfica Función Sinusoidal 15 Transformaciones: Amplitud = 𝐴 = −2 = 2 Periodo = 𝑇 = 2𝜋 𝑏 = 2𝜋 1 = 2𝜋 Desfase = ℎ = 𝜋 2 a la derecha Traslación vertical = 𝑘 = −1 Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1 Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴 Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋 2 y 𝑘 = −1 − 𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 5π 2 𝑥 𝑦 −3 1 Comenzamos dibujando la gráfica modelo del cos 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se localiza el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del co𝑠 𝑥 con la nueva amplitud y el nuevo periodo. Reflejar la gráfica verticalmente.
  • 53. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋 2 − 1 Gráfica Función Sinusoidal 15 Transformaciones: Amplitud = 𝐴 = −2 = 2 Periodo = 𝑇 = 2𝜋 𝑏 = 2𝜋 1 = 2𝜋 Desfase = ℎ = 𝜋 2 a la derecha Traslación vertical = 𝑘 = −1 Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1 Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴 Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋 2 y 𝑘 = −1 − 𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 5π 2 𝑥 𝑦 −3 1 Comenzamos dibujando la gráfica modelo del cos 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se localiza el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del co𝑠 𝑥 con la nueva amplitud y el nuevo periodo. Reflejar la gráfica verticalmente. Luego se traslada la gráfica 𝜋 2 a la derecha (desfase).
  • 54. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋 2 − 1 Gráfica Función Sinusoidal 15 Transformaciones: Amplitud = 𝐴 = −2 = 2 Periodo = 𝑇 = 2𝜋 𝑏 = 2𝜋 1 = 2𝜋 Desfase = ℎ = 𝜋 2 a la derecha Traslación vertical = 𝑘 = −1 Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1 Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴 Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋 2 y 𝑘 = −1 − 𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 5π 2 𝑥 𝑦 −3 1 Comenzamos dibujando la gráfica modelo del cos 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se localiza el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del co𝑠 𝑥 con la nueva amplitud y el nuevo periodo. Reflejar la gráfica verticalmente. Luego se traslada la gráfica 𝜋 2 a la derecha (desfase).
  • 55. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋 2 − 1 Gráfica Función Sinusoidal 15 Transformaciones: Amplitud = 𝐴 = −2 = 2 Periodo = 𝑇 = 2𝜋 𝑏 = 2𝜋 1 = 2𝜋 Desfase = ℎ = 𝜋 2 a la derecha Traslación vertical = 𝑘 = −1 Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1 Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴 Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋 2 y 𝑘 = −1 − 𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 5π 2 𝑥 𝑦 −3 1 Comenzamos dibujando la gráfica modelo del cos 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se localiza el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del co𝑠 𝑥 con la nueva amplitud y el nuevo periodo. Reflejar la gráfica verticalmente. Luego se traslada la gráfica 𝜋 2 a la derecha (desfase). Finalmente se traslada la gráfica una unidad hacia abajo.
  • 56. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝜋 2 − 1 Gráfica Función Sinusoidal 15 Transformaciones: Amplitud = 𝐴 = −2 = 2 Periodo = 𝑇 = 2𝜋 𝑏 = 2𝜋 1 = 2𝜋 Desfase = ℎ = 𝜋 2 a la derecha Traslación vertical = 𝑘 = −1 Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1 Reflejo vertical = 𝑒𝑙 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝐴 Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = −2, 𝑏 = 1, ℎ = 𝜋 2 y 𝑘 = −1 − 𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 5π 2 𝑥 𝑦 −3 1 Comenzamos dibujando la gráfica modelo del cos 𝑥 . Luego dibujamos la amplitud. Después se localiza el tamaño del ciclo fundamental (periodo). Dibujar la gráfica del co𝑠 𝑥 con la nueva amplitud y el nuevo periodo. Reflejar la gráfica verticalmente. Luego se traslada la gráfica 𝜋 2 a la derecha (desfase). Finalmente se traslada la gráfica una unidad hacia abajo.
  • 57. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Ejemplo: Escribe una función que represente la siguiente gráfica. Gráfica Función Sinusoidal 16 Ecuación: 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 Información que se obtienen de la gráfica Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 3 Amplitud = 𝐴 = 3 Desfase = ℎ = 𝜋 2 a la derecha Periodo = 𝑇 = 2𝜋 Traslación vertical = 𝑘 = 0 − 𝜋 2 3 − 𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 5π 2 𝑥 𝑦 −3 1 alcance Traslación vertical período desfase amplitud
  • 58. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Práctica 17 Buscar el Manual de práctica Hacer los ejercicios de la página 1
  • 59. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Práctica: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 3 𝑥 + 𝜋 9 + 1 Gráfica Función Sinusoidal 18
  • 60. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Práctica: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 3 𝑥 + 𝜋 9 + 1 Gráfica Función Sinusoidal 18 Factorizar: 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 3 𝜋 6 + 1 𝑥 + 𝜋 6 Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = 1, 𝑏 = 2 3 , ℎ = − 𝜋 6 y 𝑘 = 1 Transformaciones: Amplitud = 𝐴 = 1 = 1 Periodo = 𝑇 = 2𝜋 𝑏 = 2𝜋 2 3 = 3𝜋 Desfase = ℎ = 𝜋 6 a la izquierda Traslación vertical = 𝑘 = 1 Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = 0, 2 Comenzamos dibujando la gráfica modelo de la función coseno. − 𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 5π 2 3𝜋 𝑥 𝑦 −1 3 1 2 −2 −3 Dibujar la caja que representa el alcance, la desfase y el periodo. desfas e alcanc e período Se divide el periodo en cuatro partes iguales. Localizar puntos principales del modelo. Dibujar la gráfica pasando por estos puntos.
  • 61. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Práctica: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 3 𝑥 + 𝜋 9 + 1 Gráfica Función Sinusoidal 18 Factorizar: 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 3 𝜋 6 + 1 𝑥 + 𝜋 6 Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = 1, 𝑏 = 2 3 , ℎ = − 𝜋 6 y 𝑘 = 1 Transformaciones: Amplitud = 𝐴 = 1 = 1 Periodo = 𝑇 = 2𝜋 𝑏 = 2𝜋 2 3 = 3𝜋 Desfase = ℎ = 𝜋 6 a la izquierda Traslación vertical = 𝑘 = 1 Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = 0, 2 − 𝜋 2 0 𝜋 2 𝜋 3π 2 2𝜋 5π 2 3𝜋 𝑥 𝑦 −1 3 1 2 −2 −3 Nota: La solución de las ecuaciones 2 3 𝑥+ 𝜋 6 = 0 y 2 3 𝑥+ 𝜋 6 = 2𝜋 representa las posiciones horizontales del inicio y final del ciclo fundamental de la gráfica de la función coseno del ángulo.
  • 62. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Práctica: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 𝜋 2 𝑥 − 1 3 − 1. Gráfica Función Sinusoidal 19
  • 63. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Práctica: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 𝜋 2 𝑥 − 1 3 − 1. Gráfica Función Sinusoidal 19 Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = 2, 𝑏 = 𝜋 2 , ℎ = 1 3 y 𝑘 = −1 Transformaciones: Amplitud = 𝐴 = 2 = 2 Periodo = 𝑇 = 2𝜋 𝑏 = 2𝜋 𝜋 2 = 4 Desfase = ℎ = 1 3 a la derecha Traslación vertical = 𝑘 = −1 Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1 Comenzamos dibujando la gráfica modelo de la función seno. −1 0 1 2 3 4 5 6 𝑥 𝑦 −1 3 1 2 −2 −3 Dibujar la caja que representa el alcance, la desfase y el periodo. desfas e período alcance Se divide el periodo en cuatro partes iguales. Se localizan los puntos principales del modelo transformado. Dibujar la gráfica pasando por estos puntos.
  • 64. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Práctica: Trace la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 𝜋 2 𝑥 − 1 3 − 1. Gráfica Función Sinusoidal 19 −1 0 1 2 3 4 5 6 𝑥 𝑦 −1 3 1 2 −2 −3 Datos : Se obtienen de la función 𝐴 = 2, 𝑏 = 𝜋 2 , ℎ = 1 3 y 𝑘 = −1 Nota: La solución de las ecuaciones 𝜋 2 𝑥− 1 3 = 0 y 𝜋 2 𝑥− 1 3 = 2𝜋 representa las posiciones horizontales del inicio y final del ciclo fundamental de la gráfica de la función seno del ángulo. Transformaciones: Amplitud = 𝐴 = 2 = 2 Periodo = 𝑇 = 2𝜋 𝑏 = 2𝜋 𝜋 2 = 4 Desfase = ℎ = 1 3 a la derecha Traslación vertical = 𝑘 = −1 Alcance = 𝑘 − 𝐴 , 𝑘 + 𝐴 = −3, 1
  • 65. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Gráfica Función Sinusoidal 21 Terminar la presentación Comenzar la presentación Regresar a Gráfica función sinusoidal Características función sinusoidal Ejemplos gráficas sinusoidales Práctica gráficas sinusoidales