Dinamica_Estructural_Aplicada_al_Disen_o.pdf

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Por:
Luis Enrique García Reyes
Profesor de Ingeniería Civil
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ingeniería Civil
Bogotá, Colombia
1998

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'-
Contenido
Contenido i
Prefacio ix
Prólogo : xi
SECCION - I - SISTEMAS DINAlIDCOS
DE UN GRADO DE LIBERTAD
Cnl'Uuro 1
(;(;lV{;El~OS B...lSffCOS lJI!) DIJ.VJ.l1'UC...1
1.1 Introducción 3
1.2 Leyes de Newton -+
1.3 Grados de libertad :i
lA Masa, peso y sistema de unidades 6
1.5 Rigidez 8
1.6 Traba] o y energía 10
1.7 Amortiguamiento 11
1.7.1 Generalidades lJ
1.7.2 Amortiguamiento viscoso 1I
1.7.3 Amornguarníer,.o de Coulomb 12
1.7A Amortiguamiento histerético ~ 12
1.8 Tipos de excitación dinámica 13
CUJ)ítulo 2
.SIS'l'El'LlS DIJ.VLUTICflS DE lIN GBlllJII DE 1..IBERTAlJ
2.1 Vibración libre no amortiguada 1S
2.2 Vibración libre amortiguada 20
2.2.1 Amortiguamiento crítico , 2L
2.2.2 Amortiguamiento mayor que el crítico 23
2.2.3 Amortiguamiento menor que el crítico 23
2.2A Decremento logarítmico 2:i
2.3 Vibraciones forzadas armónicas _ 27
2.-+ Vibraciones transitorias 31
2.-+.1 Respuesta a un impulso 32
2.-+.2 Excitación arbitraria 33
2.5 Excitación en la base 35
2.6 La energía en la respuesta dinámica 38
CUJ)ít.ub.) 8
OIITEN{;ION m: lA lrnSI~UEST.i:llJI..lVA...."ICA
3.1 Introducción -+3
3.2 Integral de convolución -+3
3.3 Método de la aceleración lineal -+8
:j.-+ Método Beta de Newrnark 51

'inál1l1ca esrruc(.(UUI UP"L""" u . . . _~_
3.5 Otros métodos 55
3.6 Sistemas no lineales 55
3.7 Solución en el dominio de la frecuencia 59
3.8 Uso del computador : 63
CA."itnlo 4
SIS~IOS~ SI:S~"OGRi-ULlS y ~1(;ELEROGlliU1AS
4.1 Introducción 65
4.2 Causas de los temblores 65
4.2.1 Tectónica y sisrnicidad global 65
4.2.2 Failas geológicas 67
4.2.3 Mecanismo focal 68
4.2.-4 Premonitorios y réplicas 68
4.3 Ondas sísmicas 69
4.4 Sismogramas 69
4.5 Magnitud del sismo 69
4.5.1 Definición de la magnitud de Richter 69
4.5.2 Tipos de magnitud 70
4.5.3 Magnitud de algunos sismos importantes 71
4.6 Intensidad del sismo 72
4.6.1 Escala de intensidades de Mercalli Modificada (ltvIJv1) 72
4.0.2 Mapas de isosistas 73
4.7 Tectónica y sismicidad colombiana 74
4.7.1 Emplazamiento tectónico 74
4.7.2 Sistemas de f'allamiento 74
4.7.3 Sísmícidad colombiana 75
4.8 Acelerogramas 77
4.8.1 Acelerógrafos de movimiento fuerte 77
4.8.2 Registros acelerográficos 77
4.8.3 Definición de los movimientos máximos del terreno 79
4.8A Efecto de las condiciones locales del suelo 80
4.8.S Variación v atenuación de los movimientos sísmicos con la distancia 81
4.8.6 Tipos de temblores según el aceierograrna 83
4.9 Estudios de amenaza sísmica 85
4.9.1 Metodología 85
4.9.2 Amenaza sísmica en Colombia 87
4.10 Predicción de sismos 96
Cnl,itnlo ;;
ESPECTBfJS DE llESPlJESTA
5.2 Obtención del espectro de respuesta 98
5.3 Relación entre Sal Svy Sd 101
5.4 Representación tripartita 102
5.5 Influencia de los movimientos máximos del terreno 104
5.6 Relación entre las diferentes componentes 105
5.7 Espectros de algunos sismos 109
5.8 Espectros de Fourier 114
5.9 Programas para el calculo de espectros 116
ii

(;nlJiíul() 6
SlSTE61l-lS l1TEL1STIC()S I)EUlV GBAl)() DE LIBERT.lU)
6. I
G.2
6.3
6A
6.5
6.6
6.7
6.8
Introducción I 17
Respuesta histereríca I 18
6.2.1 Materiales y elementos estructurales elásticos e ínelásrícos 1I8
G.2.2 Concreto estructural 123
6.2.3 Acero estructural 128
6.2.-4 Mampostería estructural 131
Modelos matemáticos de histéresis 13-1:
6.3.1 Generalidades 13-4
6:3.2 Elastoplástico 135
6.3.3 Modelo de Rarnberg-Osgood 139
6.3A Modelos con degradación de la rigidez 1-43
Conceptos de ductilidad, tenacidad
y capacidad de disipación de energía 148
Respuesta elástica equivalente él inelástica 152
Efecto de la respuesta ínelástica en el espectro 154
6.G.1 Sistemas elastoplásticos 1,3-1:
Espectro de desplazamientos totales 156
Espectro de aceleraciones máximas 159
6.6.2 Sistemas con rigidez degradante 1GO
Principio de las deformaciones iguales 16-4
Programa de computador "RESDIN" para la obtención de la
de la respuesta dinámica elástica e inelástica 169
CCIIJUul() 7
.6J.JJl'DHEl.TOS SIS6HCOS DE DISEÑO
7.1 Introducción , 173
7.2 Espectros elásticos de diseño I 7-1:
7.2.1 Espectros promedio de Housner 17-4
7.2.2 Método de Newmark-Hall 176
7.2.3 Método de Newrnark-Blurne-Kapur 0 0 179
7.2A Método de Shibata-Sozen 182
7.2.5 Comparación de resultados 18-4
7.3 Espectros inelásticos de diseño 187
7.3.1 Introducción 187
7.3.2 Método de Newmark-Hall 188
7.3.3 Procedimiento de Riddell y Newmark 190
7.3.-1: Procedimiento de Shíbata-Sozcn 192
7A Efecto en la forma del espectro de la magnitud
distancia, duración y tipo de suelo en el sitio 1~)-I:
7A.l Efecto de la magnitud y la distancia a la falla 19-1:
7A.2 Efecto de la duración del sismo 196
7A.3 Efecto de las condiciones geotécnicas locales 197
Procedimiento del ATC-3 198
Procedimiento del Uniform Building Code 199
Procedimiento del NEHRP-94 200
7.5 Estudios de amplificación de onda 20-1:
7.6 Familias de acelerogramas 208
7.7 Espectros de diseño de los códigos sísmicos 210
7.7.1 Desarrollo histórico del espectro en los códigos sismicos 210
7.7.2 Forma del espectro del ATC-:1 211
7.7.3 Forma del espectro de las nuevas normas sísmicas colombianas 2 [{i
iii

7.7A Forma del espectro del Código de Ciudad de México de 1993 219
7.7.5 Forma del espectro del Uniform Building Code (UBC-94) 221
7.7.6 Forma del espectro del NEHRP-94 223
7.7.7 Forma del espectro del Eurocódigo-S 225
7.8 Comentarios sobre la selección de los
movímíentos sísmicos de diseño 228
SECCI@N - II - SISTEMAS DINAMICOS DE
VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
ClI.j,Uulo S
11TIlODUCCIONAl.l ANALlSlS
1tl¡-tTI~IClALDE ESTRUC'J.'lI1lAJ...~
8.1 Definiciones 232
8.1.1 Introducción 233
8.1.2 Algebra lineal 234
8.1.3 Operaciones con matrices 235
8.1.4 Propiedades y operaciones con vectores 238
8.2 Sistemas de coordenadas y su transformación 239
8.3 Matriz de rigidez de un elemento de pórtico plano 244
8A Principio de contragradiente 252
8.5 Matriz de rigidez de un elemento en coordenadas globales 253
8.6 Ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura 255
8.7 Apoyos de la estructura 258
8.8 Solución para fuerzas estáticas por el método de rigidez 260
Cl1l,itulo !-)
illVAl..llSlt9 J.1lilTillCLU AVil.LVZill~{'
1'" lELE¡~1El.TOS PINITOS
9. ~ Introducción 273
9.2 Igualación de grados de libertad 273
9.3 Condensación de grados de libertad 278
9.4 Subesrructuración 281
9.5 Casos especiales 282
~1.5.1 Articulaciones y liberación de grados de libertad en los elementos. 282
9.5.2 Nudos rígidos ~86
9.5.3 Deformaciones por cortante 289
9.5A Efecto de la variación por temperatura 290
9.G Otros tipos de elemento 295
9.6.1 Definiciones 295
9.6.2 Elemento de cercha plana 297
9.6.3 Elemento de cercha espacial 298
9.6.-! Elemento de pórtico plano 299
~J.6.5 Elemento de parrilla 301
9.6.6 Elemento de pórtico espacial 302
9.7 Elementos finitos 304
~).7.1 Introducción 304
~l. 7.2 Procedimiento de análisis utilizando elementos finitos 305
-.:-------------------

9.7.3 Tipos de elementos 306
9.7.-l Formulación de la matriz de rigidez de] elemento 307
9.7.5 Ejemplo de análisis utilizando elementos finitos 312
9.7.6 Algunas observaciones sobre el uso de los elementos finitos :1]7
C~ll)Uul()1 (J
ECU11ClflNES IIE Ef~UlLI11IU(lllnv111'UCfl
EN SISTEl'L~~IIl~
l~tl='I(IS Gl=.rWOS DE LIIIEI=.TAD
10.2 Vibración libre 321
10.3 Ecuaciones de equilibrio para excitación arbitraria 323
JOA Ecuaciones de equilibrio para excitación en la base 32·"¡'
1O.,) Ecuación de Lagrange 326
(;(fIJilulo 11
lIJl~ill""ZA(;ION
',l1V1U.lIC.ll DE L-l ES'J'l='VCTIJB.il
11.2 Masa distribuida y masa concentrada 329
11.2.1 Masa distribuida 330
11.2.2 Masa concentrada 333
11.3 Idealización de la rigidez 339
11.3.1 Diafragma rígido 3-W
11.3.l(a) Se genera la matriz de ruiidez de cada pórtico 34-l
11.3.1(b) Se hacen las vigas inextensibles debido al efecto
de diafragma rígido 345
1l.3.1(c) Se ajustan los grados de libertad verticales 346
11.3.l(d) Se condensan los grados de libertad ,
rotacionales de los nudos 347
11.3.l(e) Transformación de los grados de libertad del pórtico,
de un despiazarniento por piso a las tres qrudos de
libertad por piso de cada diafragma :H8
11.3.l(f) Ensamblaje de la matriz de rigidez de
toda la estructura 351
] 1.3.1 (g) Se determina la matriz de masa de
toda la estructura :3SI
] 1.3.l(h) Ecuaciones de equilibrio dinámico de
toda la estructura :3 SI
] 1.3. 1(i) Obtención de las fuerzas en los elementos una
vez se conocen los desplazamientos de los grados
de libertad de los diafragmas 353
11.3.1U) Algunas observaciones acerca de la idealizacion
de diafragma rígido toda la estructura 35-l
11.3.2 Diafragma flexible 36-l
11.3.3 Diafragmas rígidos unidos por elementos flexibles 372
11.-l Sistemas sin diafragma 373
11.5 Excitación en varios apoyos 373
11.6 Acople estático y acople dinámico 380
/'

Inic(I estructuren lIjJlI( (n«. ,u .u..... " ._.~
Cnl,itulol2
SOLlJCION DE LA BESl·UESTA lJI1Vl1l'HCA PARA.
SISTE~JASCON tr¡-UUOS GllAlJOS DE LIBEIITAD
12.1
12.2
12.3
12.4
12.5
12.6
12.7
Introducción 385
Solución modal para el caso no amortiguado 385
Ortogonalidad de los modos naturales 392
Desacoplaje de las ecuaciones de movimiento 394
Vibración libre con condiciones iniciales 396
Análisis me'::'dl con amortiguamiento 401
Solución integrando las ecuaciones de movimiento 404
Cl41,ituW 18
bmTOIJ(JS AT(;~mlUCOSEN EL ANALISIS l'IODAL
13.2 Método directo 405
13.3 Metodo del barrido 406
13.4 Merodo de Iacobí 410
13.5 Método de iteración en un subespacio 419
13.6 Cociente de Rayleigh 420
Cnl,itulo 14
ANALISlS ¡JIOD..L CRONOl-,OGl(;O
1~.2 Vibración forzada armónica 424
14.3 Vibraciones transitorias 432
14.4 Excitación en la base 438
14.5 Análisis modal planar para excitación en la base 441
14.6 Análisis modal tridimensional para excitación en la base de sistemas con
diafragma rígido 450
14.7 Análisis modal para excitación en la base
de sistemas con diafragma flexible 469
14.8 Excitación en varios apoyos y sistemas sin. diafragma 490
Cnl,itulo 1 s
ANIU"ISIS .L"OIJJ.tL ESPECTlfAL
15.2 Formulación del análisis modal espectral 505
15.3 Métodos de combinación de la respuesta modal 519
]5.3.1 Generalidades 519
15.3.2 Método de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados (RCSC) 519
15.3.3 Método de la combinación cuadrática completa (CCC) 528
15.3A Combinación de componentes horizontales 53]
15.4 Número de modos a emplear 547
15.5 El método de la fuerza horizontal equivalente 548
~-----------------------
~ . pi
11

-------"'=
A la pri,nera lectlu-a de
la Dinámica de Garcia
He aquí un libro que no sufre de los pecados de sus predecesores; un libro que
empieza en el principio y termina en el final sin trazar meandros entre los dos
extremos. No está escrito como un catálogo y tampoco pretende incluirlo todo. Significa
más bien un compromiso.
La dinámica es una ciencia madura. Entretanto, el diseño sísmico no es ni una
ciencia ni ha alcanzado su madurez. La aplicación de la dinámica a la ingeniería fue
forzada inicialmente por la necesidad de entender el comportamiento de las máquinas.
En este sentido, la dinámica aplicada contiene todo un arsenal de algoritmos creadores y
brillantes introspecciones aplicables a mecanismos bien definidos, excitados por
movímientos bien definidos, así mismo cuando no de carácter invariante. Ahora bien,
aplicrr la dínárnica a estructuras cuyas características de rigidez y resistencia no se
conocen plenamente y tampoco están excitadas por movimientos agudamente descritos
- antes o incluso después del evento sísmico - requiere una perspectiva diferente y muy
diferentes aptitudes. La tarea que se impuso el autor de preparar un texto referente a
las estructuras, es ante todo una de resistir la tentación de parafrasear los textos
consagrados, tales como aquellos escritos por Den Hartog y por .lacobseu-Ayre, antes de
acometer el asunto de las estructuras.
Decir que el autor de este libro, Luis E. García, ha alcanzado la proeza de
mantener el objetivo en las estructuras es un dictamen que requiere el concurso de
muchos lectores durante un período largo del tiempo. Pero es innegable que se las ha
ingeniado para trazar un camino recto. Y es a este respecto que el libro representa una
rara adición a la literatura sobre dinámica estructural. Quizás su descripción correcta
sea expresar que es el segundo texto que se mantiene fiel a las estructuras siendo el
primero el tomo escrito por Biggs y publicado hace más de tres décadas. Ahora, afirmar
que el alcance, la certeza y la cohesión del texto de García es remíníscente del clásico de
Biggs es un elogio a ambos tratados. En la misma vena, puede decirse que la "Dinámica
Estructural" de García es un digno compañero de la "Ingeniería Sísmica" de Sarria.
¿Quién hubiera pensado que Colombia abriría las más amplias "puertas a la percepción"
de la ingeniería sísmica?
El encaminamiento del texto no sorprende puesto que el autor García, a la
manera de Tiresias en el mito antiguo, ha experimentado íntimamente el mundo desde
dos puntos de vista diametralmente opuestos: el académico y el pragmático en su caso.
El suma años de ejemplar profesorado y posee la reputación de haber pisado la frontera
donde se desarrolla el diseño automatizado de estructuras; esto simultáneamente con
desempeñarse como socio principal de una muy productiva firma dedicada al diseño
estructural. El ha enseñado. El ha diseñado. El texto muestra las huellas típicas de las
dos experiencias. La erudición es inmaculada. Las explicaciones son completas;
comienzan en la ciencia y culminan en la ingeniería práctica. Es este un libro que
pertenece igualmente bien a la mesa de trabajo del estudiante y a la biblioteca del
profesional. Se puede aprender de él, así como utilizarlo como referencia fácil para
problemas de diseño, y para lograr una mejor compresión de las bases de los
procedimientos de análisis.
Quizás el logro fundamental del libro es su Capítulo 5 dedicado a los espectros
lineales de respuesta, aspecto esencial para entender los problemas del diseño, que el
1 El Profesor Sozen ha dejado saber que el título de este prólogo es un préstamo deliberado ek john Keats en
su poema titulado "On Iirst looking ihto Chapmans Horner".
l' ii

autor no considera íníra-dígrutarem explicar hasta en los detalles más simples. Su
paciencia y experticía con la materia tratada son admirables.
Se ha dicho que nada grande ha sido logrado sin entusiasmo. Este libro ha sido
escrito con entusiasmo. Ha sido escrito con base en la doble experiencia de la clase y de
la práctica. Debe perdurar.
METE A. SaZEN
Profesor de Ingeniería Civil
Purdue Uníversity
Lafayette, Indiana, USA
Enero de 1998
~-_._-----------------------

Prólogo
Estas notas sobre dinámica estructural, están enfocadas primordialmente al
análisis y diseño de estructuras, dentro del ámbito de ingeniería civil, y con el énfasis
principal en las solicitaciones sísmicas. Aunque los principios de la dinámica estructural
datan de mucho tiempo atrás, su aplicación a la ingeniería sísmica se remonta a solo
algunas décadas. El presente trabajo nace como unas notas de clase del curso de pregrado
del mismo nombre, el cual se dictó por primera vez en el segundo semestre de 1973 en la
Universidad de los Andes en Bogotá. A través de los años se han mantenido dentro del
contexto eminentemente práctico que ha tenido el curso. La intención es que sirva de libro
de texto para un curso de un semestre en el tema, aunque el material en algunos apartes
es más extenso de lo que se alcanza a cubrir durante las horas de clase.
El tema se ha dividido en dos grandes secciones: una correspondiente a sistemas
dinámicos elásticos e inelástícos de un grado de libertad (Capítulos 1 a 7) y la segunda
correspondiente a sistemas dinámicos de varios grados de libertad (Capítulos 8 a 17).
En la primera sección se inicia, Capítulo 1, con las Leyes de Newton y los
fundamentos de la rigidez, la masa y el amortiguamiento. El Capítulo 2 trata los sistemas
lineales de un grado de libertad para los casos de vibración libre, no amortiguada y
amortiguada, vibraciones forzadas armónicas, vibraciones transitorias y el tema de
excitación causada por movírníentos en la base del sistema, el cual se emplea
directamente en el estudio de estos sistemas ante excitaciones sísmicas. Por último se
discute el tema de la transferencia e intercambio de energía en la respuesta dinámica. El
Capítulo 3 se dedica a los métodos matemáticos y numéricos para obtener la respuesta
dinámica de sistemas lineales de un grado de libertad. El Capítulo ..J: consiste en una breve
introducción a la sismología y a la evaluación de la amenaza sísmica. El Capítulo 5 trata
los espectros elásticos de respuesta de los sismos. El Capítulo (j discute los sistemas
ineIásticos dinámicos de un grado de libertad. Por último el Capítulo 7 trata los
movírníentos sísmicos de diseño, sus características y los procedimientos para obtenerlos.
La segunda sección sobre sistemas de varios grados de libertad, se inicia con una
introducción al análisis matricial de estructuras (Capítulos 8 y 9) con un enfoque directo a
su empleo en la dinámica estructural, En el Capítulo 10 se plantean las ecuaciones de
equilibrio para sistemas dinámicos de varios grados de libertad. El Capítulo 11 trata la
idealización dinámica de la estructura, y los diferentes enfoques y conceptos que deben
tenerse en cuenta al idealizar dinámicamente las construcciones. En el Capítulo 12 se
plantea la solución de las ecuaciones dinámicas de equilibrio para el caso linealmente
elástico. El Capítulo 13 resume los métodos más empleados en la actualidad para la
obtención de los modos y frecuencia de vibración de las estructuras. El Capítulo 1..J: trata
el análisis cronológico de la respuesta dinámica de sistemas lineales de varios grados de
libertad y el Capítulo 15 la solución espectral de la respuesta de sistemas lineales de
varios grados de libertad.
Se ha escogido en la presentación el sistema internacional de medidas (SI), el cual
por ser un sistema consistente de unidades, es el más apropiado para el trabajo en
dinámica estructural, además de ser el sistema de uso obligatorio en las nuevas normas
sismo resistentes colombianas. Las referencias se indican por medio de [autor, año]
dentro del texto y el final en la Bibliografía se listan los diferentes trabajos empleados
ix
~_.,"--_.:"':"':~-..!..." --~--------------

como referencia en orden alfabético por apellido del autor, seguido por el año de
publicación.
Los ejemplos se desarrollaron empleando diferentes programas de computador,
pero en general están realizados utilizando hojas electrónicas de cálculo, principalmente
Excel" de Microsoft", el programa Mathlab" producido por The Math Works Ine. ©, el
programa CAL91, desarrollado por el profesor E. Wilson de la Universidad de California,
Berkeley. Además muchos de los ejemplos se realizaron empleando los programas
RESDIN, y ESPECTRO, desarrollados por el autor. El programa CAL91 se puede obtener a
través de NISEE (National Information Servíce for Earthquake Engineering - Davis Hall,
University of California, Berkeley). Los programas RESDlN y ESPECTRO se pueden obtener
en la Asociación Colombiana de Ingeniería Sísmica (Carrera 20 N 8-1-1-1, Oficina 502,
Bogotá, Colombia - Teléfono 530-0826 - Fax 530-0827), o solicitar por emaiI a:
<aisrli"uniandes.edu.co>. Para estudiantes, previa presentación del carnet vigente, el
programa CAL91 puede obtenerse gracias a una generosa autorización de su creador -- el
profesor E. Wilsoo -- al costo de reproducción del material, en el Departamento de
Ingeniería Civil de la Universidad de los Andes en Bogotá (Carrera 1a N 18A-lO - Bloque IV
- 2 Piso, Apartado Aéreo -1976 Bogotá, Colombia - Teléfonos 281-51-18 o 28-1-9911
Ext.2811 y 2812).
El autor agradece cualquier observación o comentario que pueda mejorar el
contenido o la presentación del presente trabajo. Estos comentarios pueden ser enviados
al siguiente emai1: -clugarciaauniandes.edu.co>, o al Departamento de Ingeniería Civil de
la Universidad de los Andes, Bogotá.
Luis E. García
Bogotá, Febrero de 19~)8
x
~-----------------------

Capitulo 1
Conceptos básicos de dinénnica
1.1 Introducción
La dinámica, dentro del contexto de la mecaruca, es el estudio de los cuerpos, o
conjuntos de partículas, en movimiento. La dinámica se divide en dos campos: la
cinemática, la cual estudia la geometría del movímiento, relacionando el
desplazamiento, la velocidad, la aceleración y el tiempo, sin hacer referencia a las
causas del movimiento: y la cinética, la cual estudia la relación entre las fuerzas que
actúan sobre un cuerpo, la masa del cuerpo y su movímiento, permitiendo predecir los
movtmíentos que causan las fuerzas, o determinar las fuerzas necesarias para producir
un movimiento dado.
Cuando un cuerpo se desplaza de una posición de equilibno estable, el cuerpo tiende a
volver a esta posición al verse afectado por la acción de fuerzas que tienden a
restaolecer la situación de equilibrio; este puede ser el car., de las fuerzas
gravitacionales en UT;. péndulo, o de las fuerzas elásticas impuestas por un resorte en el
caso de una masa apoyada en él. En general en el instante que el cuerpo vuelve a su
posición de equilibrio tiene alguna velocidad que lo lleva más allá de esa posición,
presentándose una oscilación alrededor del punto de equilibrio. Estas oscilaciones en el
campo de la mecánica se denominan vibraciones mecánicas.
Si el cuerpo se considera como una unidad y se desprecian las deformaciones relativas
entre sus diferentes partes se aplican los principios de la dinámica de cuerpos rígidos.
Cuando es apropiado tener en cuenta los desplazamientos relativos entre las diferentes
partes del cuerpo, se aplican los principios de la dinámica de cuerpos flexibles.
La dinámica estructural estudia las vibraciones de cuerpos flexibles, aunque en muchos
casos las deformaciones relativas entre algunas partes de la estructura son de un orden
de magnitud tan pequeño, que pueden aplicarse los principios de la dinámica de
cuerpos rígidos en algunas porciones de la estructura.
La dinámica estructural se ha desarrollado ampliamente a partir de la apancion del
computador digital. Sus fundamentos se remontan más de dos siglos y medio atrás,
pero puede decirse que el enfoque moderno proviene de las últimas cuatro décadas. No
sobra advertir que en la actualidad existen numerosos textos de dinámica estructural
que cubren con mayor profundidad muchos de los temas tratados aquí, algunos son las
referencias [Berg, 1989), [Biggs, 1964], [Boiton, 1994], [Clough y Penzien, 19931,
[Chopra, 1980], [Chopra, 1995], [Craig, 1981), [Fertis, 1995], [Humar, 1990], [Hurty y
Rubinstein, 1964], [Meirovitch, 19671, [Meirovitch, 1975], [Paz, 1991], iShabana, 19891,
[Thomson, 1972], y [Timoshenko, Young y Weaver, 1974J.

2 Leyes de Newton
El problema del movimiento y sus causas fue durante siglos uno de los temas centrales
de la filosofía. Solo hasta la época de Galileo y Newton fue posible, gracias a ellos, un
gran avance en su entendimiento. Isaac Newton (1642-1727), nacido en Inglaterra en el
mismo año de la muerte de Galileo, fue el arquitecto de lo que actualmente se conoce
con el nombre de mecánica clásica. Newton llevó a la madurez las ideas de Galileo y de
otros que le precedieron.
Las conclusiones a que llegó Newton sobre el tema están resumidas en sus tres leyes,
las cuales son el fundamento de la estática y de la dinámica, tanto de cuerpos rígidos
como de cuerpos flexibles:
1a Ley de Newton: "Todo cuerpo permanece en su estado de reposo, o movimiento
uniforme rectilíneo, a menos que sea obligado a cambiar ese estado debido a la
aplicación de cualquier tipo de fuerzas."
Esta primera ley de Newton se conoce también con el nombre de Ley de Inercia. Los
marcos de referencia sobre los cuales se aplica son conocidos con el nombre de marcos
inerciales. Estos marcos de referencia están fijos con respecto a una estrella distante, o
se mueven a velocidad constante con respecto a ella. Es importante anotar también que
la 1a ley de Newton es válida tanto para cuerpos sobre los cuales no actúa ninguna
fuerza, como para aquellos sobre los cuales actúan varias fuerzas cuya resultante es
nula.
2a Ley de Newton: "La fuerza que actúa sobre un cuerpo y causa su movimiento, es igual
a la tasa de cambio del momentum del cuerpo. "
Dado que el momenturn Q, es igual a la masa del cuerpo por su velocidad, se puede
expresar matemáticamente como:
dx
Q=rnv=rn-=mX
dt
(1-1)
donde:
Q
rn
v
x
momentum del cuerpo
masa del cuerpo
velocidad del cuerpo
desplazamiento del cuerpo o coordenada de localización del mismo
De acuerdo con la 2a ley de Newton y baio el supuesto de que la masa del cuerpo
permanece constante, las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son iguales a la tasa de
cambio del momentum:
dQ d dv dx ..
F=-=-(rnv)=rn-=rn-=rnx=rna
dt dt dt dt
(1-2)
donde:
F
a
resultante de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo
aceleración del cuerpo
Por lo tanto la 2d
ley de Newton puede expresarse también como: La resultante de las
fuerzas que actúan sobre un cuerpo es igual a la masa del cuerpo multiplicada por su
aceleración.
4
k-o- - - - - - - - - -

Es importante anotar que la 1<1 ley de Newton es un caso especial de la segunda ley, Ya
que si la aceleración es cero, entonces la resultante de las fuerzas también es igual a
cero. En este caso el cuerpo está en reposo, o se mueve a una velocidad constante. La
aceleración cero conduce a lo que llamamos estática, mientras que los casos de
aceleración diferente de cero nos lleva al campo de la dinámica.
Con posterioridad a Newton, D'Alernberr (1717-1783) sugirió que la ecuación (1-2) se
escribiera de una manera similar a la ecuación de equilibrio en estática (F =O), en la
forma que se conoce como principio de D'Alembert:
F-ma=O 0-3)
El principio de D'Alernbert hace evidente que la denominada fuerza inercial (ma) actúa
en la dirección opuesta a la dirección de la aceleración del cuerpo.
3<1 Ley de Newron: "A toda acción se opone siempre una reacción de igual magnitud; o
las acciones mutuas entre dos cuerpos son siempre iguales y opuestas. "
La 3<1 ley de Newton permite extender las dos leyes anteriores a cuerpos compuestos
por varios componentes o, cuando se fracciona un cuerpo en varias partes, a definir las
fuerzas que obran sobre éstas. Este procedimiento se conoce como cuerpo libre, donde
una fracción de un cuerpo se aísla de las otras partes y de esta manera se obtienen las
fuerzas sobre los componentes. En el punto de aislamiento del cuerpo libre se tiene una
fuerza de igual magnitud, pero opuesta en dirección, aplicada a cada una de las partes.
Las tres leyes de Newton son las bases sobre las cuales se desarrolla la dinámica de
cuerpos rígidos y la dinámica estructural y se aplican repetidamente durante el
desarrollo de la teoría de la dinámica estructural.
1.3 Grados de libertad I
El número de grados de libertad de
un sistema, desde el punto de vista de
la dinámica, corresponde al número
mínimo de coordenadas necesarias
para definir la posición en el espacio
y en el tiempo de todas las partículas
de masa del sistema. Cuando se trata
de sistemas rígidos, en los cuales no
puede haber desplazamiento relativo
entre las partículas de masa, las
propiedades de la masa se pueden
describir referidas a su centro de
masa. Esto conduce a lo que se
conoce como sistemas de masa
concentrada. Cuando la masa hace
parte de un elemento flexible tenemos
un sistema de masa distribuida y por
consiguiente se puede hablar de un
número ínñníro de grados de libertad.
-- -------
~--------::::.~~
Ii. ~ _~
~ ..:::-_==~-:- __ 7171m
(a) viga vibrando transversalmente
dx
(b) tmsa ástribuida con infinito número de grados de libertad
..
777T777
(e) masa concentrada con número finito de grados de libertad
Figura 1-1 - Grados de libertad
Para aclarar estos conceptos, por ejemplo en una''iga simplemente apoyada que está
vibrando transversalmente, como indica la Figura 1-1(a), la masa proviene de la masa
propia del material de la viga. Si se toma una longitud diferencial de la viga, Figura
l-l(b), esta longitud diferencial también tiene una masa diferencial. Para describir la
posición de cada uno de estos elementos diferenciales de masa se necesita un número
-
,,·"~-'2".-------------

iluí111icCl est ructurol aplicada al (lISí'l/u :"'''",''"
infinito de grados de libertad. Esto se resuelve por medio de una función matemática
continua. Este mismo caso se puede visualizar acumulando porciones de la masa en
algunos puntos escogidos y tratándolas allí como varias masas concentradas, tal como
se muestra en la Figura l-l(c).
La cantidad de lugares donde se concentre la masa va a depender de la precisión que se
requiera en la solución del problema y de otros factores que se harán evidentes más
adelante. Los sistemas de masa concentrada, en la medida que el número de puntos
donde ésta se concentre se haga mayor, tienden en el límite a convertirse en sistemas
contínuos,
1.4 Masa, pesoy sistema de unidades
La masa, m, es una medida de la cantidad de materia. El peso, W, es una medida de la
fuerza necesaria para impartir una aceleración dada a una masa. En la tierra, al nivel del
mar, la aceleración que impone la gravedad del planeta se denomina g y tiene un valor
aproximado de 9.81 m/s- (= 9806.65 rnm/s-, por acuerdo internacional, para ser
exactos). Por lo tanto el peso W que tiene una masa ID en la tierra, al nivel del mar, es
igual al producto W =mg.
Se ha escogido en la presentación el sistema internacional de medidas (S1), el cual por
ser un sistema consistente de unidades, es el más apropiado para el trabajo en
dinámica. Los ingenieros por muchos años utilizaron el sistema métrico tradicional, o
sistema mks (metro-kilogramo-segundo), cuyas unidades son distancia, fuerza y ríempo.
En este úírirno sistema el kilogramo es una unidad de peso, correspondiente al peso de
m, litro de agua al nivel del mar, por esta razón es una unidad de fuerza que muchas
veces se denomina kilogramo-fuerza (kgf), La tonelada dentro de este sistema
corresponde también a una unidad de fuerza y tiene un valor de 1000 kgf. En el sistema
SI las unidades son distancia, masa y tiempo. Como unidad de distancia se utiliza el
metro (m), como unidad de masa el kilogramo (kg) y como unidad de tiempo el segundo
(s). Dentro de este sistema la unidad de fuerza es el Newton (N), definido como la
fuerza que impone una aceleración de 1 m/s? a una masa de 1 kg.
El sistema SI se estableció en la Decimoprimera Conferencia Mundial de Pesos y
Medidas, que tuvo lugar en Sevres, Francia, en 1960. El sistema está basado en siete
unidades básicas, que son para longitud el metro (m), para masa el kilogramo (kg), para
tiempo el segundo (s), para corriente eléctrica el amperio (A), para temperatura el kelvin
(K), para intensidad luminosa el candela (cd) y para cantidad de substancia el mol (mol).
Estas unidades tienen definiciones físicas. Por ejemplo el metro (m) es la longitud de la
trayectoria que viaja la luz en el vacío durante un intervalo de tiempo equivalente a
1/299 792 -158 de segundo; y el kilogramo (kg) es igual a la masa de un prototípo
internacional de iridio-platino, que conserva la Oficina Internacional de Pesos y Medidas
en Sevres, Francia. A continuación se presentan algunos conceptos básicos del sistema
SI y se dan algunas conversiones que serán útiles para aquellas personas que no estén
familiarizadas con él. Las unidades que se utilizan en el texto son las siguientes:
Unidades básicas:
distancia:
masa:
tiempo:
Unidades suplementarías:
ángulo plano:
Unidades derivadas:
frecuencia:
fuerza:
esfuerzo:
el metro (m).
el kilogramo (kg),
el segundo (s).
el radian (rad)
el hertz (Hz) l Hz = 1 s 1
el newron (N) l N == l kg· mis"
el pascal (Pa) 1 Pa = 1 N/m2
•

energía, trabajo joule (J) IJ=lNom
El sistema SI utiliza los siguientes prefijos: exa, E, (1018); peta, P, (1015); tera, T, (10 12
) ;
giga, G, (109); mega, 11, (lOG); kilo, k, (103
); mili, m, (10 3
) ; micro, ¡J., (10 6
) ; nano, n, (lO9);
pico, p, (lO 12); femto, f, (1015); Yatto, a, (10 1
8).
El sistema SI requiere que se diferencie claramente entre masa y peso, en lo cual se
distingue de los sistemas de unidades "gravítacionales". La masa de un cuerpo es
independiente de su localización. Puede estar en el ecuador o en el polo, sumergido en
agua, o en la Luna, y esto no afecta su masa pues la masa es la cantidad de materia que
posee el cuerpo. La unidad de masa es el kilogramo (kg), la cual es igual a la del
prototipo internacional (el cual tiene aproximadamente una masa igual a la de un
decímetro cúbico, o sea un litro, de agua al nivel del mar). La atracción gravitacional de
la tierra impone a un cuerpo en caída libre una aceleración g, cuyo valor varía
aproximadamente del orden 0.5 por ciento sobre la superficie de la tierra, pero que se le
ha dado un valor fijo estándar de 9.80() G')O m/s". Por lo tanto se requiere una fuerza
de 9.80G G:)U N para sostener una masa de 1 kg sobre la superficie de la tierra, esto se
conoce como el peso del cuerpo. Generalmente la masa de un cuerpo se obtiene
pesándolo, o sea comparando la atracción graviracional de la masa con la de otra
conocida por medio de una balanza; de ahí la confusión común entre masa y peso. En el
sistema métrico original se definió una unidad de fuerza equivalente a la que obtendría
una masa unitaria al ser acelerada un g. Esta unidad se conoce como el
kilogramo-fuerza (kgf) o kilopondio, y corresponde a 9.806 65 N. Análogamente, para
efectos de medir presión, o esfuerzo, en el sistema SI se utiliza el pascal (1 Pa = 1
N/m2
) , lo cual corresponde a valores relativamente pequeños, por esto se emplea el
megapascal (1 MPa = 10" Nzrn"), el cual corresponde a 10.197 kgf'/crn".
Con el fin de evitar confusión en el uso del sistema SI, existen las siguientes reglas
aceptadas internacionalmente respecto a la sintaxis que debe emplearse:
• Nunca se intercambian minúsculas y mayúsculas: mm y no 1v1M, o kg y no KG.
• Los símbolos no se alteran en el plural: kg, y no kgs,
• No se deja espacio entre el prefijo y el símbolo: ¡IPa y no M Pa.
• No se agrega punto al final del símbolo, a menos que sea el punto final de una
oración.
• Los símbolos no son abreviaturas, por lo tanto: Pa y no Pase, m y no mts.
• En los productos de símbolos se utiliza un punto levantado: kN .m.
• En los cocientes se utiliza un solo simbolo de división, o pueden utilizarse potencias
negativas: kg/(m o s), o kg o m 10 SI, pero no kg/rn/s.
• Puede utilizarse punto, o coma, para indicar los decimales. dependiendo de la'
costumbre local. Esto significa que ninguno de los dos se debe utilizar para separar
grupos de dígitos, para esto se utiliza un blanco. Eiemplo: g = 9.806 650 m/s",
• Para números menores que la unidad, no se omite el cero inicial: 0.123 y no .123.
• Debe haber siempre un espacio entre el número y las unidades: 12.3 rrr/s, excepto
cuando se trata de grados celsius: 12C.
• Las unidades cuyo nombre es el apellido de un científico, se emplean con
mayúscula: N, Pa, etc., pero cuando se refiere a ellas no se utiliza la mayúscula:
pascales, etc.
Nota: Para facilitar la solución de problemas de dinámica estructural, cuando se utiliza
el sistema internacional de unidades (5J), se recomiendan dos alternativas: (a) emplear
masas en IIg (rnegagramos = 1000 kg) Y rigideces en kN/m donde kN/m =
J000 kg o m/s- o l/m = 1000 ' kg/s2
, o sea que son totalmente equivalentes pues las
masas se van a multiplicar por aceleraciones en m/s- y las rigideces por m; o (b)
emplear masas en kg y rigideces en Nyrn, caso en el cual dado que 1 N = I kg o mis",
las cuales también son equivalentes.
7
._._-- ->--~", --. . . .
- - - - - - - - - - - - - -

s Rigidez
Todo cuerpo elástico que sea sometido a fuerzas externas, ya sean estáticas o
dinámicas, sufre una deformación. .1a,~e_define como la relación entre estas
fuerzas externas y las_deforn:Hl.J:iOllg::Lqu~ ellas inducen en el cuerpo, ÉICasomassimple
corresponde a un resorte helícoídal, como el que-semüéstra esquemáticamente en la
Figura 1-2(a).
u
,,--",,,_P
P
(a) (b)
Figura 1-2 - Relación fuerza-deplazamiento para un resorte
Cuando el resorte se estira debido a la aplicación de una fuerza P en uno de sus
extremos, estando el otro extremo adherido a un apoyo, las deformaciones son
resistidas por medio de un trabajo interno que está asociado con la magnitud de la
deformación del extremo libre. La relación entre la fuerza que resiste el resorte y la
deformación entre sus extremos tiene la forma mostrada en la Figura 1-2(b). En general
esta relación no es totalmente lineal, pero cuando las deformaciones son pequeñas se
puede idealizar como una linea recta.
La rígidez.es;porlo -tanto, la relación entre las .fuerz.as y los desplazamientos y
- - - --- , , ) - - - - - - - - '
usualmente se._d_e.:gomina.pQr, medio de la letra k. Matemáticamente se expresa por
medio de la siguiente relación: ,.'
k=P
u
(1--1:)
El mismo concepto se puede extender a cuerpos elásticos que tienen otras formas. Es el
caso, por ejemplo, mostrado en la Figura 1-3, en la cual se aplica una fuerza en la punta
de una viga en voladizo, lo cual causa en su extremo libre un desplazamiento, u, en la
dirección de la fuerza.
Figura 1-3 - Relación fuerza-deplazamiento para un voladizo
Utilizando los principios de la resistencia de materiales es posible demostrar que para
el voladizo presentado en la Figura 1-3, la deflexíón u, está dada por:
PL3
u='--
3EI
donde L es la luz de la viga, E es el módulo de elasticidad del material de la viga, e 1 es
el momento de inercia de la sección de la viga. En este caso la rigidez k, está dada por:
k = P = 3EI
U L3
8
k-o- - - - - - - - - - - - - -
---~-,-------

La rigidez puede también definirse como la fuerza que debe aplicarse al sistema para
obtener una deformación unitaria en la misma dirección y sentido de la carga.
.- continuación se presentan varios casos comunes de rigidez para diferentes sistemas:
Tabla 1-1- Rigidez de algunos sistemas elásticos
Resortes en serie: 1
k=
1 1
-+-
k¡ k 2 k¡ k 2
Resortes en paralelo:
k¡
k=k¡+k 2
k 2
Barra sometida a fuerza axial: AE
k=-
~ 1--.. L
i--L---j
"
Barra sometida a torsión:
@ ¿G} k= JG
L '.
Barra en voladizo:
t=L~
k = 3EI
e
-,~"._,~" _....-~, ..~,-~ "
.. ,--
Barra simplemente apoyada, fuerza transversal en
el centro de la luz: :;111, .
,
¡ K
L
3
~ ~
l· L ·1
-
Barra empotrada-empotrada, fuerza transversal en
el centro de la luz:
k =!?2EI
F~ ~
. L3
1- L "1
Barra empotrada-simplemenie apoyada, fuerza
transversal en el centro de la luz:
k = 768E!
FU::¿j 7L3
-~
l· L -1
"
,,;
Barra simplemente apoyada, fuerza transversal en
el cualquier punto:
k = 3EII~
l;=-
a
~
a 2
b2
1 L ·1

.6 Trabajo y energía
El trabajo realizado por una fuerza al recorrer una distancia, Figura 1-4(a), está dado
por la siguiente expresión:
L
w= fFdl=FL
o
(l-S)
Dibujando un gráfico, como el mostrado en la Figura 1-4(b), en el cual se presenta el
valor de la fuerza P, contra la distancia recorrida L, es evidente a partir de la ecuación
(I-S), que el trabajo realizado por la fuerza es igual al área bajo la curva que describe el
valor de la fuerza, con respecto a su variación con la distancia recorrida, en este caso
una línea recta horizontal,
(a)
F~
I
p
(b)
L u
Figura 1-4 - Trabajo realizado por una fuerza
En el caso de una fuerza que se aplica en el extremo de un resorte, el valor de la fuerza
es cero cuando se inicia el desplazamiento, y al final su valor es igual al producto ku.
---
x u
x
I
,.-"""'Q)_P
fin
".--0)_0
inicio
F
P t----,
(a) (b)
Figura 1-5 - Trabajo realizado por una fuerza que deforma un resorte
En este caso, que se muestra en la Figura loS, el área bajo la curva corresponde al
trabajo realizado por la fuerza, el cual es equivalente a la energía de deformación
acumulada en el resorte.
x x [1]X 1
w= fPdu= fkudu= -ku2
=-kx2
o o 2 o 2
(1-6)
La energía de deformación, o energía potencial, acumulada en un resorte que es
mantenido en un estado de deformación por una fuerza, es igual a:
1 2
Ep =-kx
2
(1-7)
donde x es la deformación relativa entre los extremos del resorte.
10
k - - - - - - - - -

Cuando una masa m se encuentra en movimiento, la energía cinética que lleva la masa
es:
1 2
EC =-rnv
2
(1-8)
donde v es la velocidad de la masa. En todo sistema conservativo la energía total es
invariante, por esta razón la suma de la energía cinética y la energía potencial es igual a
una constante:
(1-9)
y la derivada contra el tiempo de la energía es:
(1-10)
1.7 Amortiguamiento
1.7.1 Generalidades
En general en todo cuerpo en movimiento, este último tiende a disminuir con el tiempo.
La razón de esta disminución está asociada con una. perdida de la energía presente en el
sistema. Esta pérdida de energía es producida por fuerzas de amortiguamiento o de
fricción que obran sobre el sistema. La energía, ya sea cinética o potencial, se
transforma en otras formas de energía tales como calor o ruido. Estos mecanismos de
transformación de energía son complejos y no están totalmente entendidos, aún hoy en
día. No obstante, existen varias formas de describir estos fenómenos que en alguna
medida se ajustan a la observación. A continuación se presentan algunas de las formas
más utilizadas para describir los fenómenos de amortiguamiento.
1.7.2 Amortiguamiento viscoso
Un cuerpo que se encuentra en movimiento dentro de un fluido tiende a perder energía
cinética debido a que la viscosidad del fluido se opone al movímíenro. Esta pérdida de
energía cinética está directamente asociada con la velocidad de] movimiento. La
descripción matemática del fenómeno de amortiguamiento viscoso es la siguiente:
donde:
Fa
e
x
fuerza producida por el amortiguador
constante del amortiguador
velocidad relativa entre los dos extremos del amortiguador
(1-11)
En general se representa por medio del diagrama de la Figura 1-6(a), el cual recuerda los
amortiguadores utilizados en los automóviles, los cuales son amortiguadores viscosos
pues producen un efecto de amortiguamiento al forzar el paso de un fluido viscoso a
través de unos orificios en el émbolo de un pistón de acción doble.
11

.'I.(Uluca eSl,rUCI.lU(U U1J(I'LU-UU ~-. _
(a) (b)
Figura 1-6 - Relación fuerza-velocidad para un amortiguador viscoso
El amortiguamiento víscoso se presta para una descripción matemática simple, lo cual
permite resolver las ecuaciones diferenciales de movimiento de un sistema dinámico sin
mayor problema. Por esta razón se utiliza aún en casos en los cuales la descripción
matemática no corresponde exactamente al fenómeno físico.
'.7.3 Amortiguamiento de Coulomb
Este amortiguamiento corresponde al fenómeno físico de fricción entre superficies
secas. La fuerza de fricción es igual al producto de la fuerza normal a la superficie N, y
el coeficiente de fricción, /.l.
Se supone que el amortiguamiento de
Coulomb es independiente de la velocidad
del movimíento, una vez éste se inicia.
Siempre se opone al movimiento, por lo
tanto tiene el signo contrario al de la
velocidad.
J.LN
Matemáticamente se puede expresar por
medio de la ecuación (1-12):
Figura 1-7 - Amortiguamiento de Coulomb
(I -1
donde:
Fa
11
N
fuerza producida por el amortiguamiento
coeficiente de fricción dinámica (adimensional)
fuerza normal a la superficie de fricción
Su tratamiento matemático no puede realizarse por medio de funciones continuas,
debido a que depende del signo de la velocidad, lo que introduce complejidad a la
solución.
1.7.4 Amortiguamiento histeréttco
La histéresis es un fenómeno por medio del cual dos, o más, propiedades físicas se
relacionan de una manera que depende de la historia de su comportamiento previo. Este
tipo de amortiguamiento se presenta cuando un elemento estructural es sometido a
inversiones en el sentido de la carga aplicada cuando el material del elemento se
encuentra en el rango inelástico o no lineal. El hecho de que la curva de carga tenga una
trayectoria diferente a la curva de descarga conduce a que no toda la energía de
deformación acumulada en el elemento se convierta en energía cinética en el ciclo de
descarga. Dependiendo del tipo de material la forma tanto de la curva de carga como la
de descarga varia. A modo íh.stratívo, en la Figura 1-8 se muestra el comportamiento,
en términos de fuerza-deformación, de un elemento estructural construido con un
12
~---------------------

material inelastíco durante unos ciclos de carga y descarga, incluyendo reversión del
sentido de las fuerzas aplicadas,
u
F
Figura 1-8 - Curva fuerza-deformación
para un material inelástico
-~=----+-- -F;,
En la figura se ha marcado la fuerza de
fluencia Fy, a partir de la cual hay deformación
sin que se presente un aumento en la fuerza.
Una vez se invierte el movimiento, se inicia el
ciclo de descarga, y el material reacciona de
una manera diferente a cuando fue cargado,
hasta cuando llega a la fluencia en el lado
opuesto, -Fy•
La acumulación de energía de deformación
corresponde al área bajo la curva de carga,
Figura 1-9(a). Cuando el sistema descarga la
energía que el sistema transfiere para
convertirse en energía cinética corresponde al
área bajo la curva de descarga, Fígura 1-9(b).
La diferencia entre las dos áreas corresponde
a energía disipada por el sistema y que se
convierte en calor, ruido u otros tipos de energía, Figura 1-9(c).
I
(a) ciclo de carga
Ft
Fy-r------==-......,
u u
(b) ciclo de descarga (c) energía disipada
Figura 1-9 - Disipación de energía en un sistema inelástico
Aunque en algunos casos el comportamiento histerético de los elementos estructurales
puede describirse por medio de modelos relativamente simples como modelo
elasto-plástico, en la gran. mayoría de los casos hay necesidad de recurrir a modelos
matemáticos más complejos. En el Capítulo ti se hace una descripción detallada de
estos fenómenos para diferentes materiales estructurales.
1.8 Tipos de excitación dinámica
Toda estructura se ve afectada numerosas veces durante su vida por efectos dinámicos
que van desde magnitudes despreciables, hasta efectos que pueden poner en peligro su
estabilidad. Dentro de los tipos de excitación dinámica que pueden afectar una
estructura, o un elemento estructural, se cuenta (véase la Figura 1-10) entre otros:
Causada por equipos mecánicos - Dentro de este grupo están los efectos causados por
maquinarias y equipos que tengan componentes que roten o se desplacen
periódicamente.
Causada por impacto - El hecho de que una masa sufra una colisión con otra, induce
una fuerza impulsiva aplicada sobre las dos masas, la cual induce vibraciones.
Causada por explosiones - Una explosión produce ondas de presión en el aire, o
movímienros del terreno. -mbos efectos afectan estructuras localizadas cerca
del lugar de la explosión.
18

Causada por el viento - La intensidad de las presiones que ejercen el viento sobre las
estructuras varía en el tiempo. Esto induce efectos vibratorios sobre ellas.
Causada por olas - En las estructuras hidráulicas las olas inducen efectos dinámicos
correspondientes a las variaciones del empuje hidráulico sobre ellas.
Causada por sismos - El efecto sobre las estructuras de los movímíentos del terreno
producidos por la ocurrencia de un sismo conduce a vibraciones importantes de
la estructura.
tiempo
•
fuerza
~Í -,
. ~V~
I
[1_
impacto
equipos
mecánicos
explosiones
viento
t---------t-'--------------t--------------t
olas
PÍ tiempo
VV~
~ ~ ""'
.....•......•...•.•..•..•..••.....•...
. ~ '-'" '?"::~
sismos
aceleración
~ •. .AhA .H Uempo
r '~VV 'V "V'
Figura 1-10 - Tipos d~ excitación dinámica
14
s

Capitulo 2
Sisie"UUj dinán.icos de
un grado ele libertad
2.1 Vibración libre no amortiguada
En la Figura 2-l(a) se muestra un sistema elástico de un grado de libertad compuesto
por una masa m, la cual puede deslizar sin fricción sobre una superficie horizontal y
cuya posición se describe por medio de la coordenada x, y por un resorte-que conecta la
masa con un apoyo inmóvil,
_mX
(a)
ID k x _
(b)
Figura 2-1 - Sistema elástico de un grado de Iibf'!rtad
Bajo el supuesto de que la fuerza ejercida para deformar el resorte, ya sea en tensión o
en compresión, es proporcional a la deformación y siendo k la Oí),; ante de
proporcionalidad, o rigidez, podernos determinar la fuerza que ejerce el resorte por
medio de:
donde:
Fr
k
x
fuerza ejercida por el resorte (N)
rigidez del resorte (N/m)
desplazamiento relativo entre los dos extremos del resorte (m)
(2-1)
La fuerza inercial que se tiene en la masa m debido a la aceleración a, está dada, según
la segunda ley de Newron, por:
donde:
F¡
m
x
F¡ =-mx
fuerza inercial que obra sobre la masa (N)
masa (kg)
aceleración de la masa (m/52
)
lB
(2·2)

inámica estructural ajJunlUlI ((( u ..,,, •• ~ ". __.. _
Esta fuerza inercial obra en la dirección contraria a la dirección de la aceleración.
Aplicando el procedimiento de "cuerpo Libre" en la masa, Figura 2-l(b), se obtienen las
dos fuerzas que obran sobre la masa, correspondientes a la fuerza ejercida por el
resorte y la fuerza inercial. Por lo tanto, aplicando el principio de D'Alernbert:
Fr - F¡ =k x + m x=O (2-3)
Así se obtiene la siguiente ecuaClOn de equilibrio, correspondiente a una ecuación
diferencial lineal homogénea de segundo orden:
m x s-k x e ü (2-4)
Dividiendo por m y llamando cJ- la constante klm, se obtiene:
(2-5)
y la solución de esta ecuación diferencial (2-5) es:
x(t) = Asen(rot)+ B cos(rot) (2-6)
donde A YB dependen de lascondiciones iniciales que indujeron el movtmíentoPor lo
tanto, si se define x, como el desplazamiento que tenía la masa en el momento t=O y Vo
como su velocidad también en el tiempo t=O, se obtiene:
X o = Asen(roO)+Bcos(roO)=B (2-7)
Ahora derivando la ecuación (2-6):
x= Arocos(rot) - B rosen(rot) (2-8)
que al tiempo t=O es igual a:
V o =Arocos(mO)-Broscn(roQ) =Aro (2-9)
y entonces
A=~
ro
(2-10)
Por lo tanto la solución de la ecuación (2-5) se convierte en:
x(t) = ( ~)sen(rot) + X o cos(rot)
donde:
Vo velocidad de la masa en el instante t=O (m/s)
x, desplazamiento de la masa en el instante t=O (m)
ro frecuencia natural del sistema (rad/s)
(2-11)
El haber introducido un desplazamiento y una velocidad iniciales a la masa hace que
ésta oscile con un movimiento periódico: a partir del momento (1=0) en que se
introdujeron estas condiciones iniciales. En la Figura 2-2 se presenta el gráfico del
desplazamiento de la masa con respecto al tiempo, correspondiente a la solución de la
ecuación (2-11).
i6
~-~----~--
h

x
- ' - ..:....-...
penodo T b:~;~i~;~.:.c;:.!.;.;.¡.-.i¡~~;iF,l
~':>..
ro-o: "'.~J .- t
Figura 2-2 - Desplazamiento de la masa en .el tiempo ante . ", "'''',.,-.,~~_
condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad
Puede verse que se trata de un movimiento periódico. Esta periodicidad hace que el
valor de x sea el mismo cada (21t1ro) segundos. Por lo tanto, es posible definir los
siguientes términos:
ro = ¡g;= frecuencia natural del sistema en radianes por segundo (rad/s)
ro
f =- = frecuencia natural del sistema en ciclos por segundo o Hertz (Hz ó L/s)
21t
2It 1
T =- =- = período natural del sistema en segundos (s)
ro f
Estas relaciones se han enmarcado para resaltar su importancia.
============================================
Eiemplo 2-1
UItCiL CCiLjCiL qlH' tiene IH'LCiL f'l'LCiLSCiL 1Itr. 1000 kg es soltCiLlltCiL lItesllte 1 metro lite CiLLtluu soine eL centro lite
LCiL LllZ lite I1HCiL VigCiL sif'npLef'lte/tte CiLYJ0I:1UlltCiL. de m(A,sa ~tcspreciabLe. La VigCiL tievLe IU'La L,u L de
10 ID 1:1 SIl, secciólt tielte 0.20 m de CiL/tdw p(lr 0.50 m de CiLLto_ Estri constrtÜdCiL de IU'L I'ltCiLteriCiLL
(HijO f'ltódlÚO de eLasiicidallt E es 25 000 MPa. Elt La Fig/UCiL 2-3 se mlH'strCiL eL sistel1tCiL.
masa 1000 kg - -
0.2 m
-t-t
m
O•S m
sección
10m
.Figura 2-3 - Viga sobre la cual se deja caer una masa
SILIJOIticltdo (,j1H' LCiL CUjCiL (,jlted(A. toLuLI1te/tLe udlwrid(A, U Lu vigCiL a pwtir deL flwlnel1Jo deL
CCillt(A,clo LfticiaL detlf' en('()l1trarse I1HU dcscriYJCión deL l'ltovimiel'Lto OSCiLlA-torio ql1t' se genera.
17
~- .; __ ._,._.'c_
.... ,--·",,,,,,,~· _

rílnicH est r!IClUnll <lJllIllHl" u ....,,~ •• ~ __ ,_,
L14 vvuixil1tU cüjlexiém. vertiml ¡/lIte tiene L14 vig14 I:J l14sJw'Yl14S vnrixÜ1tlA's tljlte se iVLdli'(~ft ev¡, L14
vig14.
EL rrimfr f'l14S0 elt L14 soLI·tción consiste eltjormltLrítr el I1wdeLo de 1m sistem14 de H,vl- grÓl.do de
líl'iertcu;t íjlte tWS remtit14 descritlir el I1wvü'ltieJtto osciL14torio Cj'~.e se geltem. Es evidev¡,te íjlte
IUt14 vez L14 C14jrít se w;ULÍere rít Lrít vigrít se tiene IUtsíste mrít dil1út1tico elt el (I1.rítL LiA. 11t14Srít r¡roviev,('
solamente de tiA. C14j14 drítdo CjH.e l14 vigrít tiene VltiA.SiA. deswecirítble. L14 rigidez del sistem14 es L14
rigic;{,ez de L14 vigrít. Como LiA. mj14 me verucaünenre L14s dcjtexiovl-es de L14 vig14 serúvl-
trcutsversrítLes a Sil lli2. p¡.:Hrít obtener lrít rigidez se etebe deLermiVLrítr L14 dEflexiém de l14 vigrít elt eL
ceutro de L14 LHZ (sitio etd imr1f,1,cto) rl14m ,uta carga ,utitaria colometiA. aLLí. taL COl11.O se
1'ltltCstm en Lrít FiglH14 2-4.
Figura 2-4 - Deflexión de la viga ante una carga unitaria
UtiLiZlA.Itdo Clt14Lqlüem ete Los tnétoetos cLúsicos de resistettcirít de materiaLes ¡·mm mLc,üar
dejlexiOltes en vigas (úrea momento. vigrít col1:Íllga(,1.rít. etc.) es yJosibLe obtener (véase Laseccíón
1.5) la siglüeVLte eXf'lresiólt yJam la dEflexiólt CI1, el centro de Lrít L/lZ de la viga:
pe
0=-
48EI
dOltdc
L
E
I
LHZ de La vigrít = 10 m
l1wd,tLo cte eLasticid14d del mrítlerirítL de lrít vigrít = 25000.MPa
VlWl1telttO de inercirít de liA. sección de liA. viga = 0.53. 0.2/12 = 0.002 ()83m1
Dado íjltC P =k (). entonces
k = P = P 48 El = 48 El
o PU L3
I:J /'lar Lo tanto
k = 48·25000· 0.002083/103= 2.S MPa' ID = 2.5 '106
Nlm
[a l'ltaS14 ID [-'te lct mja es 1000 kg. r10r lo tanto lrítJrec'teltü{~. 11,14tltml del sistema (viga + mjrít).
elt mdiaites rJor seglutdo. se obtíene de:
ro= {k = 2.5.10
6
N/m = 2.5.103 kg·m·s-
2
1m =50 rctd/s
V;¡ 1000 kg kg
slljreCltelt(Íct en ciclos por segl-tlteto
f =roI21t =SO/21t =7.96 Hz --
lj SIl, f'leriodo elt segl1.netos
T =l/f =117.96=0.126 s
18
~-
... - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
b [ •

Cavi, tJase CI1 ío wtt.erior. se rJl1.ede p~aVl-tear ~a ecnaciólt d.ífere¡·u:ia~ de eqlúLíbrío segt'ut la
eW.a(ÍóVl- (2-4-). en la Cltal se ~"a tOlnlA.ÚO COVVLO niveL úe reJerevu:ia (x=O). et niveL al C/HA.L se
el.lLCOvLtraría LIA. vigu con Lucaja coLocaliLa lelttaVlteltte. o sea aL l'tÍveL liLe LaliLeJLexíón estútica oe'
de Luviga evteL centro liLe S11. L,1Z (oe = WIk = rnglk):
mx+kx=O
oividieJtliLo por m :
La soLnciém. de uCIi.Crdo con Lu emaciém (2-11). es:
x(t) = ( :; )sen(cot) +X o cos(cot)
Alwra. eli. f'i f1UH11.f'-I1.W deL ÍfnrJlA.uo úe La caja con LIA. vigu. eL cl1.aL se dCJÍlte conto t=O. eL
desrJLazalnientode LuVHIA.Sa es cero. por Lo tanto Xo=O.
Para OtJtcfter LIA. veLociúlA.d qlv~ tievlf La VltaSU, eJt eL 11WI1tfltW deL impacto se debe obte/ter La
vefoci(;{.llÍ.d qttf Lielte La caju riesfJl1·rs rie I"utl('r ({A.íIAG.1m Inetrn. La energí(;j, cÍltéticcl (mv2/2) ¡;jltf
tiene Lucuja en eL num1eltlo del lmplA.ClO es uJlüA.L lA. La ellergf",¡, rJotevtciaL qli.C líe/te av"tes de
soLtarLa (wh). Por Lo tWtto:
mv2/2 = wh Ij dado qlle rn = w/g. sc.ohtíene v2 = 2gh.
v2 = 2gh = 2 . 9.8 . 1 = 19.6 m2/s2
Lu vcLoddad de La caja el1. eL V11CHnenlO deL Íln!',acto es. entonces.
v =4.43 mis
Por lo taltlo Vo es 4.43 mis Ij La rieJkxiém CI1 el cel11ro de /IJ. LIE en CltlA.Lqlúer instr;uHe úesyntés
rieL ilnr,acto se fJllede o!'ltener de:
x(t) = (vJro) sen(cot) + x, cos(rot) =(4.43/50) sen(50t) + (O) cos(50t) =: 0.0886 sen(50t)
..---...
/b", I -~
/ -, I
/ /
I i i I
1/ , I I
I
--
!
;~
I /
¡ I /
i .. :/ ,...._./ -l
"-'f
0.10
0.08
0.06
0.04
x(t) 0.02
0.00
(m) -0.02
-0.04
-0.06
-0.08
-0.10
0.00 0.05 0.10 0:15 0.20 0.25
tiempo t (s)
Figura 2-5 - Deflexión de la viga en el centro de la luz

~{¡l1UC(J eSITU("((U «' "pi" I n n l U' .
La f'l'táxünu cieflexLól'L ciLnávvüca 0We tiene Lu viga eVL SIl, centro de La LHz se ,presel1ta evi, d
il1stul'Lte Cltul'LCÍO 50t = rrJ2, o sea CI{,w1cio t = rrJ100 = 0.0314 s. lJ esta citjLexióvL tiene IH'L valor de
0.0886 ID, igltaL u La uvnpLitltci de LujlH1Ción SÜ11150iciaL.
LG1, máximujlterza ü'Lt'rciu[ lijlte impCH'Le el VlwvilnLento (/, LCA viga es iglÜAJ a Lajlterzu estáUcu
Gjlte ILUI'lrfu l'Lecesiciuci de colocar /"lrMa ohtener LIA l'l'LisH'La oLeflexiól'L de 0.0886 ro, o se«.
0.0886 k = 0.0886' 2.5' 106
= 221500 N
A esta vl1LsmüJlterzu se J1aecie LLegur cuLwJw'LoLo Lü l'l'Láximu üceLerüció~'L Id Vl11üüYlLicál1oLoLa
por Lu Vl'Lüsü. Lü emudóv' de La aceLerüciól'L se ouuene derivando dos veces COI'Ltrü el tiempo La
eCltució'L cid aesYJLcuamie~tto Gj/U' se obtuvo (/'1'Lterioff'J'LCf'Lte. La cltüL se presenta ae rtltevo (/,
cm'Lti~'L1 t(/,dÓi'l:
x(t) =0.0886 sentcot)
aerLVÜi'LoLo IU'LÜ vez se ohtíerte [ü eC/tadól'L de LuveLoda(/,d:
x(t) =0.0886 ro cosúot)
x(t) = -0.0886 (f)2 sen(rot) = -221.5 sen(rot)
Lu Vl'Láxiina üceLerüdól'L se r1reSel'Lta C/ttimao 50t =rr/2. o sea Cltünclo t =rr/l00 = 0.0314 s. o sea
Clt(/'i'1d.O el despLcuamiel'LLo t(/,m~)Lél'L es máxLvno. 11 tiene ai1vaíor de -221.5 mls2
. Por Lo t(/,l'Lto Lü
máxLm(/,jaerzü üterciuL correspol'Lae ü:
F¡ =-mx =-1000, -221.5 =221500 N
Opte es el mismo valor oL! te~üdo unterioff'J'Lel'Lte.
vaLe L(/, pei'LÜ (esaLt(/,r Lvl eltCrVlte aifert:ftCirA lijltf se ()LJtev~drí~l. si [CA. mja se c.o!üu,,,- sin dejarLu
caer. caso en el clt(/,L La cargü SO~'lYe Lu vLgu sería 1000 kg x 9.8 mls2
=9800 N 11 La máxLVl'L(/,
atjLexiÓi'L verticaL Gjlte tel'LoLrfu Lu vigü serfu oe = PIk = 9800/2.5 . 106
= 0.004 ro = 4 mm. Debe
üavertirse qlte Lüs oLeJLexim'Lt's o~lte~'Littas correSpm'Laef'L It~ticamef'Lte ü Lu YItMte DiLl'LáVltlca. !j (;jIte
La vLga tiene IU'L(/' agLexLÓi'L e'trÁlLca. COi'L 1m valor Lg/taL a 4 mm. o seu Gjlte Las osciLacimtes
oLil'Lávl'LLc.as SOi'L aeJLexLmtes reLatwas COVi, respecto a esta atjLexLÓf'L estática.
•
2.2 Vibración libre amortiquada
Los movimientos oscilatorios tienden a disminuir con el tiempo hasta desaparecer. Esto
se debe al amortiguamiento que se presenta, el cual hace que parte de la energía se
disipe. Las causas de este amortiguamiento están asociadas con diferentes fenómenos
dentro de los cuales se puede contar la fricción de la masa sobre la superficie de apoyo,
el efecto del aire que rodea la masa, el cual tiende a impedir que ocurra el movírníenro,
la no linealidad del material del resorte, entre otros.
Existen numerosas maneras de describir matemáticamente el efecto de fricción. Dentro
de estos modelos, uno de los más utilizados es el que se conoce como
amortiguamiento viscoso (véase la Sección 1.7). E~ el amortiguamiento viscoso la
20
l.:----.---------------------
- ~_.L

fuerza de amortiguamiento es directamenteproporcional a la velocidad relativa entre
los-e:~r~ill-os-del ~lmortlguaaor, lo cual sé puede descriºiJ;:_p_or!lH~di9j;ie.lasiguiente
ecuación:
donde:
Fa
e
X
fuerza producida por el amortiguador (N)
constante del amortiguador (N· s/rn)
velocidad relativa entre los dos extremos del amortiguador (mis)
(2 -12)
En la Figura 2-6 se muestra un sistema lineal amortiguado de un grado de libertad. El
grado de libertad está descrito por la ordenada x, la cual indica la posición de la masa
m. A esta masa, colocada sobre una superficie sin fricción, están conectados un resorte
con constante de rigidez k y un amortiguador cuya constante es c.
(a)
ID
k x -
c x -
-mX°
(b)
Figura 2-6 - Sistema tlneel amortiguado de un grado de libertad
De la aplicación del procedimiento de cuerpo libre sobre la masa, se obtienen las tres
fuerzas que obran sobre ella, correspondientes a la fuerza del resorte F" descrita por la
ecuación (2-1); la fuerza inercial producida por la aceleración de la masa, dada por la
ecuación (2-2) y por la fuerza ejercida por el amortiguador dada en la ecuación ('2-12).
Utilizando el principio de D'Alembert puede plantearse la siguiente eruación:
y al reemplazar las definiciones de las diferentes fuerzas:
kx-t-cx>- (-mi) = O
(2-13)
(2 -14)
lo cual conduce a la siguiente ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden:
mx t-cx-t kx e Il
La ecuación característica de la ecuación anterior es:
cuyas raíces son:
-C+~C2 -4mk
A= -
2m
o sea
-c+Jc2
-4mk
A1 = - - - - - -
2m
21
(2-15)
(2-16)
(2-17)
(2-17a)

~Dillánlica eszruceur«r ({Pll~UUu <.. ".~_. _
"'"
.",
y
_C_~C2 -4mk
A2 = - - - - - -
2m
(2-17b)
Por lo tanto la solución de la ecuación diferencial de equilibrio del sistema (2-1 S), es:
(2-18)
donde:
A
B
e
constante que depende de las condiciones iniciales del movimiento
constante que depende de las condiciones iniciales del movimiento
base de los logaritmos neperianos .
Existen tres casos de solución para la ecuación anterior dependiendo del valor del
radical de la ecuación (2-17), los cuales se presentan a continuación.
2.2.1 Amortiguamiento critico
Cuando el radical de la ecuación (2-17) es igual a cero la cantidad de amortiguamiento
e, se denomina amortiguamiento crítico y se define como Ce Y se obtiene así:
C~ -4mk= O (2-19)
por lo tanto
Ce = 2-Jmk = 2.Jmk(m I m) = 2moo (2-20)
Definiendo é. como el coeficiente de amortiguamiento crítico, igual al cociente ele¿
entonces:
c=2~moo (2-21)
que al ser reemplazado en las ecuaciones (2-17a) y (2-17b) se obtiene:
y
Al =[-~+ ~~2 -1Joo
A2=[-~-J~2-1Joo
(2-22)
(2-23)
Ahora, los tres casos de interés se han convertido en ~ =1, ~ > 1 y ~ < 1, que se
denominan amortiguamiento igual, mayor y menor del crítico, respectivamente.
Para el caso de amortiguamiento igual al crítico (~= 1):
(2-24)
Debido a la doble raíz la solución para el movimiento x, es del tipo:
(2-25)
22
Reemplazando las condiciones iniciales se obtiene:
~------

(2-26)
donde x, YVo son el desplazamiento y la velocidad iniciales respecttvamente.
X..,
i
------------=~~""""""---->- t
Figura 2-7 - Respuesta de un sistema con amortiguamiento igual al crítico
Este es un movimiento aperiódico pues no hay oscilación, como puede verse en la
Figura c¿-7. Este es el caso en el cual el sistema regresa de la manera más rápida a su
condición de reposo.
2.2.2 Amortiguamiento mayor que el critico
En este caso ~ > 1. Tomando los valores de 11.1 y 11.2 de las ecuaciones (2-22) y (2-23) e
,... introduciéndolos en la ecuación (2-18),
se obtiene:
x(t) = e-~cot[A e~~2-lcot +B e_~~2_l cot]
(2-18)
(2-27)
A YB son constantes arbitrarias que dependen de las condiciones iniciales. En este caso
el movímíenro también es aperiódico como en el caso de amortiguarníento critico, con leí
diferencia que el movimiento decrece más lentamente que cuando se tiene
amortiguamiento igual al crítico, .
2.2.3 Amortiguamiento menor que el critico
Corresponde a la posibilidad de mayor interés por cuanto se presenta vibración. La gran
mayoría de aplicaciones prácticas en vibraciones están regidas por este caso debido al
hecho de que la gran mayoría de los sistemas estructurales tiene valores de
amortiguamiento bajos. En este caso ~_..'S._!:_Tomando los valores de 11.1 y A2 de las
ecuaciones (2-22) y (2-23) puede verse que la parte interna de los radicales es negativa,
por lo tanto la solución es imaginaria:
Aplicando la transformación de Euler, la cual se expresa como:
eiy
=cos(y)+isen(y)
e-iy = cos(y) - i sen(y)
(2-28)
(2-29a)
(2-29b)

I.JIIUlIIU, .t: '-,~,H.... "' ...... ,~. ~ __
se obtiene una forma no imaginaria de la ecuación (2-28):
(2-30)
Al resolver las constantes e y D para las condiciones iniciales de desplazamiento inicial
Xo, y velocidad inicial vo, se obtiene:
(2-31)
donde COa se conoce como la frecuencia amortiguada y está definida por:
(2-32)
El movimiento disminuye de amplitud exponencialmente como se muestra en la Figura
2-8. La porción oscilatoria tiene un período un poco mayor que el que tendría un
sistema no amortiguado con la misma rigidez y masa:
T = 21t = 21t
a roa Jl-~2 ro
(2-33)
x
X o
-f------+----I-----------I---~--.~~t
Figura 2-8 - Respuesta de un sistema con amortiguamiento menor del crítico
Ejemplo 2-2
UtiLlZCJtVLcto los dlíttos ctel Ejeml'llo 2-1, e~t el Cltlítl se ctejó caer IUtlil. Clil.jeA. COV11UteA. mlil.slít cte 1000
kg sobre ItVLeA. vigeA.1j UptE' el sistemlít CO~1jIUttO ttene IHtlítjrecl,te¡teieA. It¡;ültml cte50 rad/s. se cteseeA.
enrontrar leA. ~n(;ixúltlít lítnt~litltct cteL v¡lOvif'nie~tto ctlítcto (~HR el sistemlít eA.hom tíeVlR It~t
lítI11Ortigltlil.mie¡tto e cte 5000 N • slm.
EL coejtcteate cte eA.f'lwrtiglteA.mieltto crítico, ~, se obtie¡te cte:
e 5000
~=--= =0.05=5%
2mro 2·1000,50
Dlil.uto qlH' el coficie¡tte cte tJLf11.ortiglleA.f11.ÍeVl,to crítico c.'> I1tCVWI' ql{e llil. luüalil.u1. el 111OVÚ1ÜCVltO
estú aescrilO por:
L.
24
ll-----~------
~----

AL rcel1wLazar Los vaLores ay¡roynados, tol·nuvLus udejel1ty¡Lo ).-1, se ov,UeI1e:
U;¿-'/;):,; ".i
F;){:(H<n~ ur: 0;;::::,,<
roa =Jl-~2 ro=Jl-(0.05)2 50 =49.94 rad/s
0.25
0.20
0.15
0.10
0,05
0.10 -,--------,----------,------,-------,---------,
0.08 t----~-~-+----------t
0,06 r---;'--------Cl~-----T--~-_r~-o;;T""--_¡_----.:.--,-_j
,
0,04 +---cr----~--,--
0.02 +-F-----++----r-------u----+------'li~___1--------I
O.00 -f--+--+--+---+---+-~..___._--+----+___1-r--+_;+----+---+----+--+~-+---+-t--+---+-----;!
-0.02 t--------+---;----t------¡'I----+-----"'~----_fF1
-0,04 t--------+------'~--t---.H----+-.----~
"",,=--,-~~
-0,06 +-------+-----v''''-::----"1c/-cf-------+-------f'<-
-0.08 +-------+-----~---"1c/-
_0,10.L--------"------'---------L.-------'---
0.00
x(t)
(m)
t (s)
Figura 2-9 - Deflexión de la viga en el centro de la luz
EL In6tximo vl1ovimieltto ocnrre rara sen(ro"t) =1. o sea rara ro"t =rrJ2
t =rrJ(2ro,,) =0.0315 s. La Ul11rLitl1.u en este i/1stcmtc es:
_ -2.5'0.a31S[ 4.43 1] _ U.~243· 4.43 - O082
x-e __ o - - . m
49.94 49.94
F¡ =0.082 k =205 000 N
EstajI1.cI'Za es mClwr CjI1.C Lu I/jltC se Otlt/1VO eH eL Fjcl1ly¡Ln 2-1 sü'. ctI1wrtigl1cu1ÜeJ1to. En Ju
Fígltra 2-9 se ml1.cstra tu resrJt1k'sta ae Lu vigu el'. eL CUSO u/1wrtigltudo L) 0 1'10
á l1w rtigna do (Ejf'f11rJLo 7.-1),
•
2.2.4 Decremento logarítmico
Existen diferentes métodos para obtener el coeficiente de amortiguamiento crítico, S. SI
se conocen las amplitudes de los picos de oscilaciones sucesivas, xn , Xn+1< Xn+2, ... , tal
como se muestra en la Figura 2-10, es posible ver que el intervalo de tiempo entre picos
sucesivos es el período amortiguado Ta.

liílllicu estructural ajJIICU(UI (Ir ({.:,ellll .7"."",,_
Tomando el cociente entre la amplitud de dos picos sucesivos XJX¡+l Y por medio de la
ecuación (2-31), es posible obtener:
El logaritmo natural de este cociente se conoce con el nombre de decremento
logarítmico:
Xi -~Ol(t·-t. ¡) ~01f
--=e ..+ =e" a
Xi+l
(2-]-l)
(2-35)
a partir del cual es posible calcular ~:
(2-36)
X
Figura 2-10 - Cálculo del decremento logarítmico
El valor del decremento logarítmico para valores pequeños de b se convierte en:
(2-37)
Por lo tanto, disponiendo de un registro de las oscilaciones es posible entonces
determinar el coeficiente de amortiguamiento crítico con facilidad. Cuando el
movimiento decrece muy poco, debido a que el amortiguamiento es pequeño, el valor
del decremento logarítmico puede obtenerse comparando las amplitudes localizadas n
ciclos aparte por medio de:
1 (X.)
b=-ln -'-
n Xi+o
(2-38)
• lIIl
____di
26
L-
...-------------------------

------------_.-----
Ejemplo 2-3
EL 11wvLvvLÍevLtCl CVL vLbmdéll1 LLbre áe IU1 sLstel1tu áecredó áe Juta am¡r¡LLtliá áe 0.155 ID a 0.006
ID aL cMJO ác 22 cíctos. Se áescu saber wúL es eí corjiúcnte áe af1Wrügl1W1ÜelttcJ críüco áe1
sLsLema. S.
Lu soL/telón es:
•
(0.~:78)
1+(0.~:78r
s= -;====== 0.0235 = 2.35%
1 (0.155)
b = -In - - = 0.1478 Y
2~ 0.006
2.3 Vibraciones forzadas armónicas
En la Figura 2-11 se presenta un sistema de un grado de libertad a cuya masa se le
aplica una fuerza que varía en el tiempo con una periodicidad constante. Esta fuerza
periódica puede describirse por medio de Fosen(Qt), de la cual podemos decir que su
máximo valor es Fo Y que tiene una frecuencia de Q rad/s. Del cuerpo libre es posible
plantear la siguiente ecuación de equilibrio:
mx + ex + kx = Fosen(Qt) (2-39)
ex
_mx
(al (hJ
Figura 2-11 - Sistema de un grado de libertad sometido a excitación armónica
La solución de esta ecuación diferencial no homogénea de segundo orden se divide en
dos partes: una solución homogénea y una solución particular. La soluciónhomogénea
corresponde a la respuesta ante las condiciones iniciales, la cualse rige por la ecuación
(2-1~) Y dependiendo del valor del coeficiente del amortiguamiento crítico tiene las
diferentes soluciones planteadas anteriormente. La solución particular depende de la
fuerza externa que se le impone al sistema. Es importante anotar que la parte de la
respuesta correspondiente a la solución homogénea desaparece pasado algún tiempo
pues el amortiguamiento la diminuye; por lo tanto, sólo la solución particular es de
interés cuando ha transcurrido algún tiempo después de iniciado el movimiento.
Puede suponerse que la solución particular tiene la siguiente forma:
x =Xsen(Qt - <1» (2-40)
donde:
X
<1>
es la amplitud del movimiento (m)
es el desfase de la respuesta con respecto ¿: Iél excitación (rad)
9-
_1
En la Figura '2~1::¡)se muestra la amplificación dinámi~~_en ~'unci~n del coc~en~e en:re la:"
frecuencias, (Q/ro). Es importante anotar que la arnpliñcación esta dada en función del
29

:CIJillálllica est rllC(llr(l1 (I[>ucuczu Ul "''''''·HU .'-......_"
.-----------"'----------------------
Al derivar contra el tiempo la ecuación (2-40) se llega a:
x= XQcos(Qt- <ji) (2-41)
y derivando nuevamente:
x=_XQ2 sen(Qt-<jI) (2-42)
Reemplazando (2-40), (2-41) Y (2-42) en (2-39), y pasando todos los términos al lado
derecho de la ecuación, se obtiene:
Fosen(Qt) + mXQ2 sen(Qt - <1» - cXQcos(Qt - <ji) - kXsen(Qt - <1» = O (2-43)
Para describir el movimiento puede utilizarse un sistema cartesiano en el cual alrededor
de su origen rotan unos vectores correspondientes a cada uno de los términos de la
ecuación (2-43). El eje de las abcisas corresponde a la línea de referencia sobre la cual se
mide el ángulo Qt. La ecuación de equilibrio (2-43) se representa por medio de la
proyección de sus términos sobre el eje vertical. Los vectores correspondientes a cada
uno de los términos de la ecuación rotan con respecto al origen, y su posición se
describe por medio del ángulo apropiado. En la Figura 2-12 se presenta de esta manera
la ecuación (2-43).
XcQ
Figura 2-12 - Respuesta a la excitación armónica como vectores que rotan
El conjunto de vectores que rotan está en equilibrio, pues su suma vectorial conduce
nuevamente al inicio del primer vector. Al sumar los vectores correspondientes a {kX} y
{XmQ2} se obtiene la representación mostrada en la Figura 2-13.
xcn
eje de referencia
Figura 2-13 - Respuesta a la excitación armónica como vectores que rotan
Allí es posible, utilizando el teorema de Pitágoras, encontrar:
(2-44)
de donde podemos calcular la magnitud de X
,
---- .
(2-45)
28
~-----

~.
,
y el ángulo de desfase ~ con respecto a la excitación:
eQ
tau<!l=---
k_mQ2
(2-46)
Realizando las transformaciones apropiadas, las ecuaciones anteriores se convierten en:
(;)
[I-(~rr +H~)J
2~(~)
tan ó = 2
1-(~)
(2-45a)
(2-46a)
La ecuación (2-45) describe un fenómeno clásico de resonancia. Cuando el coeficiente de
amortiguamiento crítico ;, es igual a cero y la relación entre frecuencias (Q/ro), es igual a
la unidad, el denominador de la ecuación (2-45) es cero y por lo tanto la amplificación
se convierte en infinito.
3.0,------,-----rr-.,.-..,.,------r----,------¡-----,
-----t- 1; = 0.0
2.5 +--------j---H-~""'k_----'H---+----__t----_+_---__J
U-------t-1; = 0.1
2.0 +-------j---IJ'-I---+-+---t---+--------j---- - - -l .
----t-1; =0.2
Fo /k 1.5 +------!---/>~--__+_--+_-+___,,____~:_+----+_
0.5 +--------j--------="""i-=-=""-=----?"l--;;:~"""'-_+---
3.(J
2.5
2.0
1.5
QjO)
1.0
0.5
0.0·c¡:·----1------4-----+----4----i-------j
0.0
Figura 2-14 - Amplificación dinámica
El hecho de que el amorríguamíento no sea cero indica que este denominador es
diferente de cero y por lo tanto la amplificación, aunque de magnitud importante, tiene
un valor finito. Es posible demostrar que el máximo valor de X se obtiene cuando:
(2-47)
.....~""
, "
En la Figura 2-14)se muestra la amplificación dinámica en función del cociente entre las
frecuencias, (Q/ro). Es importante anotar que la amplificación está dada en función del
29

~1D;.1JIlIUIHIlU Il:·~"·.u""",u,."" "~r'-,- -
;;.."
..
1,.
desplazamiento estático del sistema (F.,Ik), el cual corresponde a la deflexión que
tendría el sistema si la fuerza F, se aplica muy lentamente.
En algunos casos es conveniente expresar la ecuación (2-40) como una suma de un seno
y un coseno, en vez de un seno más un ángulo de desfase. Definiendo ~ = Q/ro y
utilizando sen(a - y) =sella cosy- cosa seny, obtenemos:
(2-48)
y
Fo
x(t)= 2
k [(1-132)sen(Qt)-21;13cos(Qt)]
[1-/32] + [21;/3]2
Ejemplo 2-4
(2-49)
UV, taltCjlte ete l/l.glta con It,ftl/l. sección
I10rizoIttl/l.L etc 1 ID
2
etc árca está
colocarte eit Ll/l. plll.ltc ';Itperior ete luta
COLIHitlta ttdJ/ül/l.r ete 8 ID ete aLtiva
cltlja secció.: tiOte IUt cHárnetro d =
0.25 ID con 1~.ltl/l. rJured t = 0.01 ID ae
espesor Ij COltstnüal/l. de /Ut rnateril/l.L
COV, 1m fiWdltLO de eLusticidaet E =
200000 MPa.
EVI. Ll/l. rJwte iviferior eteL tWtCjlie ILl/l.1j
Ime-{. bmi1vlu (,1(' (..gl~.a Wtf ejerce liVl.a
Jlterzl/l. horizol1.taL l/l.Yf1w!'LÍm ete Fo =
100 N con lutl/l.jrecltevLcLl/l. Q =5 rad/s.
EL tlll.ltCj/{.(' Vl/l.(ÍO ÍI'LCLtiljcltdo Ll/l.
coL/u1tltl/l.. tievLf IUtU rnl/l.Sl/l. de 500 kg.
EL l/l.vJtOrtiglil/l.I1Úeltto ctcL sistenll/l. es ~
=2% det crítico.
8m
área = 1 m2
h
no0001 m
0.25m
D
seccion de la columna
Figura 2-15 - Tanque de agua
Elt Ll/l. Fígltxu 2-15 se rnlteSUu corno está etiSpl1.eStO el sistenua. Se desea Sl/l.lJCr Ll/l. aLluyu deL
ugltiA. cieL tl/l.ltCj/1.e rJl/l.YU Ll/l. CltiA.L se preseJll,t.aVl. Las Incixilnl/l.sjlterziA.S horizoVl.tl/l.Les illal1.cietl/l.S r10r LiA.
bornlll/l.1j el VJtOl1tefltojLector (¡111.e proetlM:nlestasJ'terzlíLS en Ll/l. lIase ete La coLIUnltl/l..
EL sisterna p/1.ede ideaLizarse corno lUla coLlunltiA. ea voLctetizo COI'L IUliA. Inl/l.sa ell La purte
saperior. AL upLimr Ima Jlterza horizol'LtaL P el'L La piA.rte s¡tperior ete La coLt.trnVl.a es posibLe
obtener por cltl/l.LCj/üer rnét.odo de resistenci« de li1.ateril/l.Les (véiA.sf La Secciólt1.5) La sigl1.Íel'Lt.e
reLacLóVl.:
P= k S = 3EI 8
L3
80
_-1-.

E = 200 000 MPa
1 = 1t t d3/S= n- 0.01 . (0.25)3/ 8 = 6.14 . 10-5 m"
L=Sm
entonces
k = 3'200000'6.14.10-5/83= 72 000 N/m
La ntL1SL1 corresrlO/tae L1 LIA, mL1SL1 deL t.UltqIH? U LL1 coL/tf'ltVLL1, mús LL1 deL L1g/1Ü U¡I1.e cont.e/tgL1
eL t.Wtu¡ /1,e
m = mtan+col + magua = 500+ h- 1 m2 ,1000 kg / m:' = 500+ 1000h (kg)
LL1jreutcnci(A, ItL1w,mL deL sistentL1 es:
{k I 72000
ro = V-;;; = ~ 500+1000h
rad/seg
Ui Inúxi¡'1114 jl1.e/7.l1 IwrizcllttuL se y¡rodltcC' cl1.wtdo se ticlte LL1 múxintL1 w1tpLitI1.&t () scu
cl1,wldosc preselt1.l1L rcsOltL1ltciL1. Esto OrJ1rrc' c/t,L1ltdo eL cociente fJjro es igl1.L1L L1:
Q = ~l- 2V = ~1- 2(0.02)2 = 0.9996 == 1.0
ro
72000
ro = =Q =5 rad / seg
500+1000h
h= 72000/5
2-500
=2.38 m
1000
C/1wtdo eL ug/tU til'/'lC' /HtL1 L1LUuu ig/~,14L 14 2.3~ m se preseltt14 L14 múxiln14 Lv0Llí.t'ltciu 'de Lu
Vi~JmCiém CUl15Uíi14 por Lu tJo/'ÜJ14 í,tl' L1gt~,L1, LL1 múx¿mn, 14mpLit/~,d de L14 defiexiált lLOriZ0I1tuL
se obtie/'Lt' por nteaio {¡Le LueCl1,uciólL (2-45):
(~ )
[l-(~rr+s(~)r
( 100 )
l72000
LL1 múxim,L1jI1.erZU es por Lo tWtto,
P = k X = 72 000 . 0.035 = 2520 N
Uet InúxÍlno ''lWI1telttO en Lu b14se de LL1 COLl1./'lUtU es
M = P L = 2520 . 8 = 20 160 N . m
•
:31
i
.".'----~-, .........------------------

Dinámica estructural aplicada a/ (/Isellu '')'''''''nv
2.4 Vibraciones transitorias
La determinación de la respuesta de un sistema de un grado de libertad que se ve
afectado por una excitación que no es ni periódica ni armónica presenta un grado de
complejidad mayor. No obstante, el planteamiento matemático de su solución es
relativamente sencillo. En muchos casos prácticos donde se tienen excitaciones que no
se prestan a una descripción matemática hay necesidad de recurrir a métodos
numéricos para obtener la solución. Desde la aparición del computador la alternativa de
utilizar soluciones por medio de métodos numéricos ha cobrado mayor popularidad y
puede afirmarse que aún en muchos casos para los cuales existe solución trascendental,
se recurre al computador. A continuación se presentan los fundamentos matemáticos
del problema, y posteriormente en el Capítulo 3, la solución por medio de métodos
numéricos.
2.4.1 Respuesta a un impulso
Un impulso es una fuerza de gran fuerza t
magnitud que actúa durante un tiempo
muy corto.
El efecto del impulso está definido por
dos parámetros, el valor de la fuerza y su
duración. En la Figura 2-16 se muestra un
impulso cuya fuerza tiene una magnitud
F y que obra por un instante de tiempo At.
F
tiempo, t
La magnitud del impulso F está definida
por:
~t
Figura 2-16 -Impulso
t+t.t
F= fFdt
t
(2-50)
Utilizando la segunda ley de Newton, ecuación (1-2), la cual se puede expresar corno:
dv
F=ma=m-
dt
(2- 51)
Aceptando que la derivada de la velocidad es expresable corno un diferencial se
obtendría:
F=m
Av
At
(2-52)
y al reordenar:
F .M=mAv (2-53)
por lo tanto la magnitud del impulso F =FM, es equivalente a la masa multiplicada por
U;} cambio en velocidad, m Av.
Al aplicar lo anterior a un sistema elástico de un grado de libertad imponiendo un
impulso a la masa del sistema, o sea una fuerza de magnitud definida por en intervalo
~------...;.---

de tiempo muy corto, se le está produciendo un cambio de velocidad Llv, que es
equivalente a:
Llv = F M
m
(2-54)
Por lo tanto, el sistema sufre un cambio de velocidad pero no de desplazamiento. Esto
es totalmente equivalente a imponer una condición inicial de velocidad vo, mientras que
la condición inicial de desplazamiento Xo, es nula. La condición inicial de velocidad es:
F
v=-
o m (2 -55)
Entonces para un sistema no amortiguado en vibración libre con condiciones iniciales,
ecuación (2-11), la respuesta al impulso para cualquier tiempo t después de su
aplicación es:
(
V '1 [ F 1 (
x(t)= ;; )sen(rot)= mro Fen~rot)
y análogamente para el sistema amortiguado, ecuación (2-31), se obtiene:
que al incluir la definición de ro" se convierte en:
(2-56)
(2-57)
58)
Es evidente que esta ecuacion adolece de la claridad que requiere la definición de
impulso: "Es una fuerza de gran magnitud que actúa durante UD tiempo muy corto".
Desde el punto de vista de ingeniería "gran" y "corto" no pasan de ser apreciaciones
imperfectas sobre un fenómeno. Lo anterior se aclara en el numeral siguiente, donde
esta definición se utiliza para plantear una integración clásica.
Basta recordar que el término F = FM provino de expresar como diferencias las
derivadas de la 2a Ley de Newton y que por lo tanto al expresarla nuevamente en
términos diferenciales F = F dt, Y para un impulso aplicado en cualquier tiempo r las
ecuaciones (2-56) y (2-58) se pueden expresar diferencíalmente como:
~¡
!
I
I
. F('t) { }
dx = --sen ro(t - 't) d't
mro
y para el caso con amortiguamiento:
dx e F('t) e-~0l(t-'t){sen[~1_~2 ro(t-'t)]}d't
mro~
(2-59)
(2-60)

. jJillallllca eSI Hll(((llll ..1'.." ..... '" .....
2.4.2 Excitación arbitraria
Cuando un sistema como el mostrado en la Figura 2-17 se somete a una excitación
arbitraria expresada en términos de fuerza, como la indicada en la Figura 2-18, es
posible dividirla en una serie de impulsos que se aplican en el tiempo 't y que tienen una
duración dt.
t
1:
F(t}
d1:
o
F
Figura 2-17 - Sistema lineal amortiguado Figura 2-18 - Excitación Arbitraria
Al integrar el efecto de cada uno de estos impulsos diferenciales variando r; se obtiene
para el caso sin amortiguamiento:
t l '
x(t) = fdi = -fF('t)sen{ro(t- 't)}d't
o meo o
(2-61)
y para el caso con amortiguamiento: ,
(2-62)
Estas integrales se conocen como integrales de convolución o de Duhamel, y
corresponden a la solución particular del sistema. Si hay condiciones iniciales hay
necesidad de adícíonarles la solución homogénea, ecuaciones (2-11) Y (2-31)
respectivamente,
Ejemplo 2-5
Uv, SlStt'I1tl/l. ae IUt gmao ae LLbertC/ta siv¡,
l/l.VVWrÜUIIW'lÜenlo 1;=0. es sometido l/l. Ll/l.
jlterzC/t VltOstmal/l. en Ll/l. Fig/tm 2-19. covwcLdC/t
con eL ItOVl"tLlre aeJlutCiéHt escl/l.Lón.
Debe encontrarse Ll/l. res¡m,estC/t eVI,
aeSpLlil.Zl/l.VlÜeJtlO rJl/l.m c/tGlLCj/üer tleVl1po t.
UtLLiZl/l.ltao Ll/l. eCI1-l/l.cLóv¡, (2-61) se obuene.
Figura 2-19 - Ejemplo 2-4
Excitación con una función escalón
• t P t
x(t) =-J.-fF('t)sen{ro(t- 't)}d't =_ 0 fsen{ID(t- 't)}d't
mro o mIDo
p [ ]' p
= _ 0 .!.COS{ID(t-'t)} = -º-(l- cosrot)
meo ro o k
84

--~._---_. __ .- ---- -- ---
[Ii, Lu Fignm 2-20 se I1tl1-estm eL gráfico de Lu resYJI1-estu. Los f1táxil1wS valores de La resYJI1-estu se
otJtieVLeVL CltGUi,GLO cos(rot) es ig/taL a -1.0. Lo CIt.uL ocurre pum valores GLe rot = 1t, 31t, 57t, ...... , etc.
FL vuíor fltW<i'·lt(J DjH.e tiene La resYJltesta es:
1/ 'J 1/ "
I f / 1
1/ 1 1/
/ 1 /
/ ./ 1
I
1
I I
I
/1 i ! i / 1 I
I I
/ i I
, I I
/1 I I 1../
2.0
1.8
1.6
1.4
1.2
Po 1.0
k 0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
o 1t
rot
21t 31t
Figura 2-20 - Ejemplo 2-5 - Respuesta a la función escalón
2.5 Excitación en la. base
El caso en el cual la excitación del sistema proviene de un movimiento en su base es
muy importante en la dinámica estructural, pues la excitación sísmíca este tipo
de respuesta del sistema. En la Figura 2-21 se presenta la idealización de un sistema
dinámico de un grado de libertad para este caso.
La ordenada x, describe el movirníento de la base de la estru: ,;<'nada x
corresponde a la posición de la masa. Los otros parámetros son los mismos de los
sistemas estudiados anteriormente.
amor#guador
elemento
estrucusrst
(a)
Figura 2-21 - Sistema sometido a excitación en su base
Al hacer cuerpo libre de la masa del sistema puede verse que la fuerza inercial,
ecuación (2-2), está dada por:
L
F¡ =-mx (2-G3)

La fuerza en el resorte, o elemento estructural, está descrita por la constante del resorte
multiplicada por el desplazamiento relativo entre sus extremos, ecuación (2-1):
(2-64)
De igual manera la fuerza ejercida por el amortiguador, ecuación (2-12), se determina
por medio de la constante del amortiguador multiplicada por la velocidad relativa entre
sus extremos:
(2-65)
Al aplicar el principio de D'Alembert se obtiene:
(2-66)
Lo cual conduce a la siguiente ecuación diferencial de equilibrio:
(2-67)
Si se define la variable u para describir el desplazamiento relativo entre la masa y la
base de apoyo del sistema, entonces:
(2-68)
que al derivarla contra el tiempo conduce a:
y al derivarla nuevamente:
(2-69)
Reemplazando (2-6P», ('2-69) y (2-70) en la ecuación (2-67) se obtiene la siguiente
ecuación:
mu-s cú-e ku « -mxo
" " .,
u= x-xo y (2-70)
(2-71)
1
!
1
¡
r
La cual indica que un sistema al que se le introduce movímiento en su base es
equivalente a un sistema con su base fija al cual se le aplica una fuerza igual a la masa
del sistema multiplicada por el negativo de la aceleración del terreno. Utilizando la
ecuación (2-62) se obtiene la siguiente solución para la respuesta del sistema:
(2-72)
Ejemplo 2-6
UVI, sistevl1lít de Itl1 grlítdo de lil-wrtlítd COl1lítmortigH,lítVltiel1to 1;: como I:'l mo:.tmGÍo en llít Figlulít
2-22, es sometirto lít IHtlít lítcelemcióvl, en SIl, blítse tlítl corno se maestm en lu FigIWA, 2-23(í~). Llít
Cltlítl correspoVLde lít lu SltVlllít (,1e dos JIUtCiOlteS eSClítLÓVL COVltO ml1,eslm llít Figlulít 2-23(l-I), Llít
lítcelemciélll del terreno :lo, es 0.20g Ij el tiemr}o t, de C{,IH'ucióft de lu lítceLemdém es de 10 s.
3f)

Debe eVlcmtlmrse ~u resYJltestu e~t ténninos de des/'l~CílZwniento YJum w,u~qlúer tievn/'lo t. /'lum
IHt sistelnu con IUt /'leríot'to T, t'te 2 s l:1 1m coeJiciente t'te íHltortig/twniento crítico~, de 5%.
t
t a t
(a)
o
301---------
o
--1--X
o
,
!
I
!
t
i
I
-30'-- _
(b)
Figura 2-22 - Ejemplo 2-6 - Sistema
sometido a excitación en su base
Figura 2-23 - Ejemplo 2-6
Aceleración en la base
utiLizultdo ~iIL e(/.üAÚÓ~t (2-72) se olltievle YJum O~ t < t,.:
Por medio t'te Lu sig/üente soLltción de L¡;l integmL:
e
ay
fe
ay
sen(3y)dy = 2 2 [asen(3y) - í3cos(3y)]
a +3
AL reuLizur Lus ütteWilLLes corres/'l0ltdiCltU's se LLegr~ YJum t z t,., u:
:37

~., lJitUl/lllCa eSIJ"U("HUHI "JJ"~l"'" «, « ..." .. " ".".
,--"
Pam 11,v, sistema COVL 11,11. perroeto T. etc 2 s U I1YL cotJieievLte ete a¡1tortigljwnie~tto crítico ~. etc
5%, con ¡uta aeeLemciÓlt eteL terreno ao. etc O.20g U 11,11. tiCfltpO t, ete et¡uació¡t etc La aecLcm.cióvl.
etc 10 s. se obtiene La respl1.esta f1tostmeta en La FLglua 2-24.
20
18
16
14
10 12
t (s)
8
6
4
0.2
0.1
I
I
u(t) 0.0
(ro)
-0.1
-0.2
-0.3
-004
o 2
Figura 2-24 - Respuesta
•
2.6 La energía en la respuesta dinámica
En la Sección 1.6 8e discutió el trabajo asociado con la deformación de un elemento
estructural elástico, representado por medio de un resorte, y la energía de deformación
que se tiene, mientras el elemento se mantenga deformado, ecuación (l-7). Así mísrno,
se presentó la energía cinética asociada con una masa que esté desplazándose
dinámicamente con una velocidad, ecuación (l-8). Por tratarse de un sistema
conservativo, el cual no recibe ni disipa energía, ésta última se mantiene constante.
Figura 2-25 - Energía durante la vibración libre
!
I
, -
_J
Energía Potencial
Energía Cinética
88

En la Figura 2-25 se muestran los estados de energía de un sistema dinámico, no
amortiguado, durante dos ciclos de vibración inducida por el desplazamiento inicial
forzado de una masa apoyada elásticamente.
Se le impone a la masa una deformación inicial, correspondiente a "o. En ese instante la
única energía que existe en el sistema es la energía potencial, acumulada como energía
de deformación en el resorte. Esta energía corresponde a:
E - 1 kx2
P-"2 o (2-73)
como se dedujo en la ecuacion (1-7). El sistema no tiene ninguna fuente de energía
diferente a ésta. Al soltar la masa, esta tiende a volver a su posición de equilibrio,
donde el resorte no tiene ninguna distensión; y por lo tanto no tiene ninguna energía
acumulada que le impida estar en un estado de reposo. Al iniciar su búsqueda del
estado de reposo se desplaza hacia su posición de equilibrio adquiriendo una velocidad,
como resultado de su tendencia intrínseca de mantener la energía constante dentro del
sistema. La adquisición de velocidad hace que la masa, o el sistema, adquiera una
energía cinética, que se expresa a través de su velocidad instantánea, dada por la
ecuación (1-8):
(2-7-!)
donde v, es esa velocidad instantánea. En el punto en que el resorte llega a su situación
de cero distensión, expresada a través de un desplazamiento x =O en la gráfica 2-25,
toda la energía potencial que tenia el resorte se ha <onvertidc en energía cinética. Dado
que este sistema no tiene amortiguamiento, la energía dentro de él se mantiene
constante; y se produce una situación perpetua de intercambio de energía potencial y
cinética que produce, a su vez, un estado perpetuo de oscilación pues la energía no
disminuye, ni escapa del sistema. Esto simplemente prueba, de una manera intuítíva, lo
postulado en la Sección l.G.
Anteriormente se presentó la forma como puede evaluarse la respuesta dinámica de un
sistema amortiguado sometido a vibración libre, en la cual se imponen unas
condiciones iniciales de deformación, velocidad, o ambos; o vibración forzada donde Se
impone una fuerza periódica que actúa sobre la masa; o una excitación en su base por
medio de la imposición de unos movimíentos en su base.
En las secciones 2.2 a 2.;), se presentaron las diferentes soluciones al problema del
movimiento en este tipo de sistemas, a través de una formulación en una ecuación
diferencial de equilibrio dinámico.
mx s- cx + kx = P(t)
Al reemplazar cada uno de 10s términos, por su denominación, obtenemos
(2-7 S)
(2-76)
fuerza inercial
fuerza en el amortiguador
fuerza én el resorte
fuerza externa aplicada
35)
---------------------_._--_.__.... _-_.

':;:. -----------"-----------
Si imponemos un desplazamiento diferencial dx, y se integra, se obtiene el trabajo que
hacen todas estas fuerzas durante un desplazamiento x.
o
x d2 x dx x x
fID-i-dx+ J c-dx+ Jkxdx= fFEdx
o dt o dt o o
(2-77)
(2-78)
Esta última ecuación nos da el balance de energía del sistema en cualquier instante t,
siendo EA la energía disipada por el amortiguador y EE la energía que aporta la
excitación al sistema.
Para el trabajo de la fuerza inercial, reemplazando:
d2x dx . d2x dx . .2
dx ee xdt y --=- se obtiene --dx=-xdt=1.x dt
dt2 dt' dt2 dt 2
que en (2-77), conduce a
x d 2 t
Ec = J ID ~ dx = fIDtx2
dt
o dt o
Por lo tanto la energía cinética en cualquier instante t, es:
Para el trabajo de la fuerza del amortiguador:
x d t
EA = Jc~dx= fcx
2dt
o dt o
Para el trabajo de la fuerza del resorte:
x
Ep = fkxdx = t lu2
o
(2-79)
(2-80)
(2-81)
(2-82)
{2-83}
Por lo tanto la energía potencial acumulada en el resorte en cualquier instante tes:
(2-8-l)
El lado derecho de la ecuación (2-77) corresponde al trabajo realizado por la fuerza que
induce la excitación. Por lo tanto, para cualquier instante t la energía está distribuida de
acuerdo con:
t t
t IDx2+ fcx2dt+tk x2= fFE(t)xdt
o o
40
(2-8 S)

Tomemos el caso de excitación armónica de una fuerza de amplitud Fo Y frecuencia a,
donde FE(t)=Fosen(at). En la Sección 2.3 se dedujo que la respuesta del sistema se puede
describir por medio de la siguiente ecuación:
x=Xsen(Qt-<jI) (2-86a)
Reemplazando la ecuación (2-8Gb) en la ecuación (2-82) correspondiente a la energía
disipada por el amortiguador, obtenemos:
(2-87)
(2-89)
(2-88)
(2-8Gb)
t t t
EA = fcJi::
2
dt = fc[X.Qcos(Qt-<jI)tdt = cX
2Q2
fcos
2(Qt
- <jI)dt
o o o
cX2Q2
= [t-sen(Qt-<jI)ocos(Qt-<jI)]
2
x = X a cos(at - <ji)
y
donde X está dado por:
y la velocidad:
Aplicando la anterior ecuación a un ciclo de respuesta correspondiente a t =21ÚQ,
obtenemos:
¡
!
(2-90)
De igual manera, para la energía que impone la excitación durante un ciclo:
2~/Q 2~/Q
EE= fFE(t)xdt= fFosen(Qt)XQcos(Qt-<l)dt=1tFoXsen<l (2-91)
o o
Utilizando seno = Xd2/Fo (véase la Figura 2-13), Y c = 29000, obtenemos:
(2-92)
1
Que es exactamente igual a la energía que disipa el amortiguador durante el mismo
ciclo. En ambos casos la energía es proporcional al cuadrado de la amplitud de
respuesta, x', La variación en la energía cinética, Ec, durante un ciclo completo es cero,
pues la velocidad al inicio y a la terminación del ciclo es la misma. De igual manera la
energía potencial en el resorte, Ep , es la misma al comienzo y al final del ciclo, pues el
desplazamiento es el mismo en los dos instantes. Esto quiere decir que el intercambio
de energía, en este caso entre la que entra y la que se disipa, ocurre solamente entre la
excitación y el amortiguador.
41

Para el caso de excitación en la base, la ecuación diferencial que rige la respuesta se
obtuvo en la Sección 2.5, y está dada por:
mü+ cu-í-ku = -mxo (2-93)
donde u es el desplazamiento relativo entre la masa y la base de la estructura, pues
u =x-xs, Este caso es exactamente igual al planteado en la ecuación (2-75), solo que en la
energía que entra al sistema debido a la excitación, hay necesidad de reemplazar:
y derivando contra t y haciendo las transformaciones trigonométricas apropiadas:
Esta energía está medida con respecto a la velocidad relativa entre la masa y su base. Si
tomamos el caso no amortiguado, la solución de la respuesta del sistema es:
y
u t
EE = f(-mxo)du= -mfXoudt
o o
_lt
u(t) = -fxo('t)sen[ro(t - 't)]d't
ro o
t
úít) =-fXo('t)co.;~ro(t-'t)]d't
o
t t
= - cos(rot)fXo('t)cos(ro't)d't - sen(rot)fXo('t)sen(ro't)d't
o o
(2-94)
(2-95)
(2-96)
(2-97)
¡
~.
f
¡
I
I
I
,
Ahora reemplazando (2-97) en la ecuación (2-95), y dividiendo por m:
2E ~ . t t t
__
E = Jxo(t)cos(rot)dt· Jxo('t)cos(o}t)d:t-r Jxo(t}sen(wt)dt· fxoCt)gen(on)d.'!: (2-98)
m o o o o
Cambiando la variable 't por t, obtenemos la siguiente expresión para la energía medida
con respecto a la base de la estructura, que induce el acelerograma a un sistema sin
amortiguamiento:
(2-99)
Posteriormente, en la Sección 5.8, se verá que el lado derecho de la ecuación (2-99)
corresponde al espectro de Fourier del acelerograma.
l-
.. -------,------

SisJJ1OS, sislnogrcu.UJS y
acererogranJaS
Capitulo 4
•
4.1 Introducción
El presente texto no pretende cubrir temas tan amplios y especializados como son la
sismología y la ingeniería sísmica. No obstante para efectos de poder explicar algunos
aspectos fundamentales de la respuesta sismica de estructuras se requieren algunos
conocimientos básicos sobre estas disciplinas. Las personas interesadas en ampliar sus
conocimientos sobre el tema deben dirigirse a publicaciones especializadas como la
referencia [Sarria, 1995al.
4.2 Causas de los temblores
4.2.1 Tectónica y sismicidad global
Al aceptar la comunidad científica el hecho de que la corteza terrestre está en un estado
permanente de cambio, la explicación sobre las causas de los sismos fue adquiriendo
connotaciones cada vez más realistas. La corteza terrestre es relarívarnent. )~"da. Se
extiende hasta profundidades de 70 km en los océanos y 150 km bajo los continentes.
Es muy válida la analogía, IGere y Shah, 19841. de que al comparar la Tierra con un
huevo duro, la corteza tendría un espesor semejante a la cáscara y ésta estaría
fracturada en una serie de fragmentos que en la Tierra se conocen con el nombre de
placas tectónicas.
i
~
Figura 4-1 - Placas tectónicas de la Tierra
6.5
l _

1
¡
t
Figura 4-3 - Zona de subducción
En general las fronteras entre placas tectónicas no son superficies de fallamiento
simples y únicas. El movimiento relativo entre las dos placas se extiende a grupos de
fallas paralelas a la subducción y los sismos no solo ocurren en estas fallas sino
también en fallas transversales a las fronteras entre placas, formadas también por los
movírníenros entre ellas.
4.2.2 Fallas geológicas
Las fallas geológicas que son capaces de producir sismos se conocen con el nombre de
fallas activas. Los esfuerzos que induce en la corteza terrestre el movimiento entre
placas en la subducción producen fallamientos dentro de la placa, algunas veces
alejados de la zona de subducción. En razón de lo anterior, la acumulación de energía
causada por la imposición de movímíento puede conducir a deslizamientos pequeños,
pero permanentes. En este caso no se presentan sismos.
Cuando la fricción entre las superficies del fallamíento es alta se produce lo que se
llama un engatillamiento de la falla. Cuando la energía acumulada vence esta fricción se
presenta un deslizamiento súbito de la falla, asociado con la liberación de la energía
acumulada, lo cual produce el sismo.
(a) Falla transeurrente de desplazamiento izquierdo
(e) Faifa de desplazamiento normal
(b) Faifa transeurrente de desplazamiento derecho
(d) Falla de desplazamiento inverso
I
1
Figura 4-4 - Tipos de movimiento en las fallas geológicas
En la Figura -l--l se muestran los típos de fallamiento de acuerdo con el movimiento en
la falla. La distancia de A a B corresponde al desplazamiento de la falla. En los casos
mostrados en las Figuras +4 (a) y (b), la falla presenta desplazamiento lateral, con la
dirección del movímienro identificado como derecho o izquierdo. Nótese que la
dirección del movimíenro es independiente del lado que se tome como referencia. Las
fallas de desplazamiento normal, Figura 4-4(c) presentan movimiento normal a la falla
pero no hay desplazamiento lateral. En los casos de desplazamiento inverso, Figura
e:

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