ÁNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA

2. CIRCUNFERENCIA
Es una línea curva plana, donde cada uno de sus puntos equidistan de un punto
interior llamado centro.
A
B
d O
C

3. ELEMENTOS:
Centro: O
S
Diámetro: AB
E Radio: OC
Cuerda: DE
D Recta tangente: T
Recta secante: S
A O B
C
T

4. PROPIEDADES EN LA CIRCUNFERENCIA
2.Radio y tangente.-el radio trazado por el
1.Todo diámetro divide a la circunferencia punto de tangencia es perpendicular a dicha
en dos arcos congruentes, llamadas recta.
semicircunferencias.
180° A
A B o B
O
180°

5. 3.Tangentes exteriores:
A C
D
B
AC = BD A
P
Q
R
B
S
P
PA = PB
QS = PR

6. 5.Cuerda y mediatriz. 7.Si AB / / CD los arcos comprendidos
la mediatriz «L» de una cuerda AB pasa son iguales.
por el centro de la circunferencia.
A B
L
AM = MB
A
M C D
B
8.Si las cuerdas son iguales los arcos no
6.Si OP AB AM = MB comprendidos son iguales.
AP = PB A
B
O
M
A B R
P
P

7. 9.Si AB = CD Problemas resueltos
1.En la figura, a = b y MN = 10u , halla PC
A
B
a
O
a D
C
10.Si A y B son puntos de tangencia Desarrollo:
Por propiedad: PC = 10u
2.En la figura halla BP, si el perímetro del triángulo
a a ABC = 24cm y AC = 7m
A B

8. Desarrollo: 3.En la figura «o» es el centro y T es punto de tangencia
Por propiedad de los tangentes: halla:
m ATP
x x
a
b
Desarrollo:
a b
Por radio
24 = 2 a + 2 b + 2 x tangente
12 = a + b + x
m ATP  67
Pero a+b=7
23°
12 = 7 + x
X=5

9. 4.En el grafico AB // CD y EB // AD Rta: 60°
halla el arco EC.
5.Halla «x» si A y B son puntos de tangencia.
Desarrollo:
Si AB // CD, sus arcos comprendidos
son iguales.
X – 20° = 140° - x
X = 80° Desarrollo:
Los arcos comprendidos entre las
paralelas AD Y EB son iguales

10. 6.Si a y b son puntos de tangencia, q = 85°
halla la medida de a
9
37°
O a
q
En el triángulo rectángulo PAO
por ángulos notables de 37° y 53°
X = 74° Por propiedad a = 85°

12. PROPIEDADES:
B
1.Angulo central
El ángulo central está formado
por el radio y mide igual que el arco. A a 2a
A
C
O a a 3.Angulo semi-inscrito
El ángulo semi-inscrito está formado por una
B cuerda y una recta tangente.
Es la mitad del arco correspondiente.
2.Ángulo inscrito.
T
2a
El ángulo inscrito está formado por
A a
dos cuerdas y mide la mitad de su
arco correspondiente. B

13. 4.Ángulo interior. 4.Ángulos exteriores.
El ángulo interior está formado
por la intersección de dos cuerdas A
y es igual a la semisuma de los arcos
comprendidos.
b q P
C a
b B
B
A q
a
a b
D
q
2
a b
q
2

14. B
A
a P
b q
q P
b
A a
B
a b
q
2
a b
q
2
Además: a  b  180

15. Problemas resueltos b)
1.En los siguientes gráficos encuentra
el valor de «x»
a)
Por ángulo inscrito:
Por ángulo inscrito:
X = 40°
X = 220°

16. C) d)
Por ángulo semi –isncrito: Por ángulo interior:
60  20
x  X = 40°
X = 120° 2

17. e) f)
Por ángulo exterior:
78° + X = 180°
100  60
x 
2 X = 102°
x = 20°

18. AB // CD entonces los arcos comprendidos
son iguales.
2.En el siguiente gráfico AB // CD,
halla q .Si:
AB + CD = 260°
x
x
Sumando los arcos tenemos:
260° + 2x = 360°
X = 50°
Desarrollo: Por ángulo interior:
100
q
2
q  50

19. Por ángulos internos:
3. En la figura, halla el arco
AB. ab
50 
2
a + b =100°
Por ángulos exteriores:
a b
10 
2
Desarrollo: a – b = 20°
Sumando ambas ecuaciones:
a + b = 100°
a – b = 20°
a b
Resolviendo :
a = 60°

20. 4. AB es diámetro y PQ//AB,
halla el arco PT ( P punto de tangencia)
x
X + 40°
40°
20°
mQAB  20 Por alternos internos
Arco TB = 40° por ángulo inscrito.
Desarrollo:
Arco AP = X + 40° por propiedad de las paralelas
2 x + 80° 180°
X = 50°

21. 5.Halla «x» si arco AD = 70°
70°
Por ángulo interior:
Desarrollo: 70  x
90 
2
X = 110°