1. FLUJO BIDIRECCIONAL
• Casos de Flujo Bidireccional
• Red de Flujo para filtración unidireccional
• Red de Flujo para filtración bidireccional
• Ecuación Fundamental del Flujo de agua
•Métodos de resolución de la Red de Flujo
5. • El flujo de agua en los casos observados no es
unidireccional, podrá suponerse bidireccional
• No es válida la Ley de Darcy tal como fue definida
• Deberá definirse un modelo general del flujo de
agua en el suelo, generalizando la Ley de Darcy a
flujos en dos y tres direcciones
• El modelo utilizado será la Red de Flujo
6. Red de Flujo para filtración unidireccional
• Flujo unidireccional vertical en régimen establecido
• Muestra en tubo de sección transversal cuadrada (a x a),
altura L y pérdida de carga H.
L
Arena
H
z = 0
h
L
hz
L+h
H
h
hu
a
8. Las paredes verticales conforman dos líneas de flujo
2 líneas de flujo conforman un Tubo de Flujo de iguales dimensiones
Las Líneas de Flujo son paralelas No existe flujo de un canal a otro
Gasto total = gasto en un canal x nº de canales
Se tienen 16 canales de flujo
L
H
h
a
9. Líneas equipotenciales equidistantes la caída de carga entre
dos equipotenciales es igual
La sección superior de la muestra será una equipotencial
Líneas según las cuales la
carga total del agua que
fluye es constante
Líneas Equipotenciales
L
H
h
a
10. Red de Flujo: Malla compuesta por Líneas de Flujo y
Líneas Equipotenciales
L
H
h
a
11. L
H
h
a
• Suelo isótropo: líneas de flujo
líneas equipotenciales
• La red de flujo es un sitema de
mallas ortogonales
• El sistema más empleado es el de
mallas cuadradas
• A partir de Red de Flujo:
– Gasto (Q)
– Carga total (H) Presión de poros (u)
– Gradiente hidráulico (i)
12. Gasto (Q)
• Gasto a través del cuadrado A:
• Pérdida de carga en A:
– H: Pérdida de carga total
– nd: número de caídas de carga en la red
• Gradiente hidráulico:
Malla cuadrada: b = l
b
l
A
A
A
A a
ki
q
d
A
n
H
H
l
n
H
l
H
i
d
A
A
1
b
B
b
aA
l
n
kHb
q
d
A
d
A
n
kH
q
13. • Gasto en una sección de lado unitario
normal a la figura:
• nf: número de canales de flujo de la red
• Factor de forma de la red:
• Factor de forma: Característica de la red
independiente de k y de H
b
l
A
qA qA qA qA
f
d
f
A n
n
kH
n
q
L
Q
q
d
f
n
n
kH
L
Q
q
14. Carga Hidráulica (H) y Presión de Poros (u)
• Si H es la pédida de carga la pérdida de
carga entre dos equipotenciales será:
• Carga hidráulica en el punto C:
• n: númerode caídas de carga hasta el punto C
• En un punto cualquiera que no coincida con una
equipotencial n será un número fraccionado
d
i
n
H
H
H
C
n
n
H
H
H
d
C
i
i
w
i z
H
u
Presión de Poros:
15. Red de Flujo para filtración bidireccional
Flujo bajo un tablaestacado
• Condiciones de Contorno
a b
c
d e
f g
Equipotencial
Equipotencial
Línea de Flujo
Línea de Flujo
16. • Las Líneas Equipotenciales siguen siendo normales a las
Líneas de Flujo
• Punto crítico para el sifonamiento: Punto d
d
Línea de Flujo
Línea Equipotencial
17. Flujo bajo presa impermeable
a b
c
d e
f
g
h
i j
Equipotencial
Equipotencial
Línea de Flujo
Línea de Flujo
18. • En la zona donde las líneas de flujo son horizontales las
equipotenciales son verticales
19. Flujo a través de una presa de tierra
a
b
c
Equipotencial
Línea de Flujo
20. a
b
c
d
• Caída de carga entre equipotenciales = Dz entre puntos de
intersección de equipotencial con línea de flujo
• El flujo en el talud aguas abajo no es ni línea de flujo ni
equipotencial
Línea de
Saturación
u = 0
H = z
u (m)
z
z
21. Ecuación Fundamental del Flujo de agua en
el suelo
• Base teórica de la Red de Flujo y para otros métodos de
resolución de problemas de filtración
• Elemento cúbico de suelo a través del cual se produce
flujo laminar q con componenetes x, y, z
z
y
x
x, y, z
dz
dy
dx
Componente vertical del flujo
22. z
y
x q
q
q
q
dxdy
z
h
k
kia
q z
z
• En un elemento de suelo las componenetes de la línea de flujo
en x, y, z pueden considerarse rectas Vale Ley de Darcy
• Flujo entrante al elemento:
• Flujo saliente del elemento:
• Donde: kz = Permeabilidad según z, en (x, y, z)
h = Carga total
• Gasto neto que entra en el elemento debido al flujo vertical:
dxdy
dz
z
h
z
h
dz
z
k
k
kia
q z
z
z
2
2
dxdy
dz
z
h
z
h
dz
z
k
k
dxdy
z
h
k
q
q
q
q
z
z
z
z
saliente
entrante
z
D
D
2
2
23. • Para el caso de permeabilidad constante:
• Análogamente, el gasto en la dirección x es:
• Para flujo bidireccional: qy = 0
dxdydz
z
h
dz
z
k
z
h
z
k
z
h
k
q z
z
z
z
D 2
2
2
0
z
kz
dxdydz
z
h
k
q z
z
D 2
2
dxdydz
x
h
k
q x
x
D 2
2
dxdydz
z
h
k
x
h
k
q
q
q z
x
z
x
D
D
D 2
2
2
2
24. • Volumen de agua (Vw) en el elemento:
• Velocidad de variación del volumen de agua es:
• Como:
• Igualando las expresiones de Dq se obtiene:
t
Se
e
dxdydz
dxdydz
z
h
k
x
h
k z
x
1
2
2
2
2
dxdydz
e
Se
Vw
1
D dxdydz
e
Se
t
t
V
q w
1
.
1
cte
V
e
dxdydz
s
t
Se
e
dxdydz
q
D
1
t
e
S
t
S
e
e
z
h
k
x
h
k z
x
1
1
2
2
2
2
• Ecuación del flujo laminar
bidireccional en un suelo
25. • Considerando e y S: Cuatro tipos de flujo posible
– 1. e y S constantes Flujo estacionario
– 2. e variable; S constante consolidación o dilatación
– 3. e constante; S variable drenaje o absorción
– 4. e y S variables compresión o expansión
• Para 3 y 4 no hay soluciones satisfactorias
• Para 1: Flujo estacionario La ecuación básica se reduce a:
• Para suelo homogéneo: kx = kz
• Ecuación de Laplace
0
2
2
2
2
z
h
k
x
h
k z
x
0
2
2
2
2
z
h
x
h
26. • La solución de la Ecuación de Laplace es una
pareja de familias de curvas ortogonales entre sí
• Para el flujo laminar estacionario en un suelo
homogéneo las familias de curvas serán:
– Líneas de Flujo
– Líneas Equipotenciales
• Las redes de flujo son soluciones particulares
teóricas del problema de filtración
27. Métodos de Resolución de Problemas de
Redes de Flujo
• Dibujo de la Red de Flujo
• Métodos Analíticos
• Modelos
• Métodos Analógicos
• Métodos Numérico
28. Dibujo de la Red de Flujo
• Método primario propuesto por Forchheimer y
desarrollado por Casagrande (1937)
• La Red de Flujo se dibuja:
– Fijando las condiciones de contorno
– Cumpliendo la condición de ortogonalidad entre líneas de
flujo y equipotenciales
• Ventaja: Da una idea directa de problema
• Desventaja: Dificultad del dibujo de la red
• La literatura de Mecánica de Suelos presenta dibujos de
redes de flujo para muchos casos prácticos
29. Métodos Analíticos
• Existen soluciones teóricas para algunos problemas de
flujo
• Filtración a través de una presa de tierra:
– Solución de Kozeny (1933) para equipotencial de aguas arriba
parabólica y dren de pie horizontal
– Casagrande: Modificaciones a Kozeny
• Flujo bajo un tablaestacado
• Desventaja: Problemas complejos de flujo no tienen
solución satisfactoria
30. Modelos
• Útiles para representar los fundamentos del flujo de
fluidos (Investigación de Laboratorio)
• Desventaja:
– Requieren mucho tiempo y trabajo
– Dificultades creadas por la capilaridad
31. Métodos Analógicos
• El flujo de agua es similar al flujo eléctrico y de calor
• Los más utilizados son los modelos análogicos
eléctricos:
– Voltaje = Carga Hidráulica
– Conductividad = Permeabilidad
– Intensidad de Corriente = Velocidad de flujo de agua
• Permiten resolver problemas complejos
32. Métodos Numéricos
• Se resuelve la Ecuación de Laplace por métodos de
cálculo numérico
• Modelos computacionales: Método de Elementos
Finitos
