Algebra Lineal

1. ESCUELA POLITÉCNICA
NACIONAL
ÁLGEBRA LINEAL
GRUPO N° 4
DETERMINANTES

2. Determinantes

3. Definición:
• Es una función que establece una correspondencia
entre el conjunto de matrices y el campo real o
complejo
Así:
𝑓: 𝑀 𝑛𝑥𝑛 → 𝐾
𝐴 → 𝑓 𝐴 = det(𝐴)

4. Notación:
𝐴 =
𝑎11 𝑎12 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎2𝑛
𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛2 𝑎 𝑛𝑛
• Sea A= (𝑎𝑖𝑗)
𝑛
, el determinante de A se nota
Así:
𝐴 = det (𝐴)
O también:

5. Ejemplo:
𝐴 =
1 3
5 4
→ 𝐴 =
1 3
5 4
Matriz A → Determinante A

6. • Determinante de una Matriz de Orden 1
Si es una matriz de orden uno, entonces:
Tenemos:
det 𝐴 = 𝑎
𝐴 = 𝑎11

7. Determinante de orden 2x2
Sea A ∈ 𝑀2𝑋2
Si:
𝐴 =
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝐴 =
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
𝐴 = 𝑎11 ∗ 𝑎22 − 𝑎12 ∗ 𝑎21
Se resuelve a través de los productos de su diagonal
principal menos el producto de su diagonal
secundaria.
- +

8. Determinante de orden 3x3
Estos determinantes se pueden resolver de varios
métodos, pero a continuación les explicaremos
los mas importantes:
• Método de Sarrus
• Método de las estrella
• Método de Determinantes por
menores

9. Método de Sarrus
• Para aplicar este método se deben aumentar dos filas o dos
columnas a continuación del determinante. Se multiplican los
elementos de las diagonales principales y los de las diagonales
secundarias, pero el resultado de estos va con signo negativo, se
suman los resultados de las multiplicaciones y ese es el valor del
determinante.
𝐴 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
=
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
𝑎11
𝑎21
𝑎31
𝑎12
𝑎22
𝑎32
𝐴 = 𝑎11 𝑎22 𝑎33+𝑎12 𝑎23 𝑎31+𝑎13 𝑎21 𝑎32 − 𝑎13 𝑎22 𝑎31-𝑎11 𝑎23 𝑎32-𝑎12 𝑎21 𝑎33
+ + +---

10. Método de la estrella
• Este método es muy parecido al de Sarrus, pero aquí no se aumenta ni
filas ni columnas. Directamente pasamos a multiplicar manteniendo el
criterio de seguir las diagonales para lo cual se debe observar el camino
que estas siguen.
•
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
= 𝑎11 𝑎22 𝑎33+𝑎12 𝑎23 𝑎31+𝑎21 𝑎32 𝑎13 − 𝑎13 𝑎22 𝑎31-
𝑎12 𝑎21 𝑎33-𝑎23 𝑎32 𝑎11
•
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
= −𝑎31 𝑎22 𝑎13 − 𝑎21 𝑎12 𝑎33 − 𝑎32 𝑎23 𝑎11 + 𝑎11 𝑎22 𝑎33 +
𝑎12 𝑎23 𝑎31 + 𝑎21 𝑎32 𝑎13

11. Cálculo de determinantes por
menores:
• Sea la matriz A=(𝑎𝑖𝑗) 𝑛 y 𝑀𝑖𝑗 la sub matriz de a
de orden (n-1), obtenida de la eliminación de la
i-ésima fila y la j-ésima columna de A.
El determinante 𝑀𝑖𝑗 se denomina menor de 𝑎𝑖𝑗.

12. Ejemplo:
𝐴 =
3 1 −4
2 5 6
1 4 8
= 3
5 6
4 8
− 2
1 −4
4 8
+ 1
1 −4
5 6
= 3 16 − 2 24 + 1 26 = 282