Respuesta frecuencial.pdf

Respuesta en Frecuencia de Sistemas Discretos
1. Respuesta en frecuencia.
Cuando aplicamos a un sistema una entrada senoidal, la salida también será senoidal y
de la misma frecuencia. La salida puede diferir de la entrada en amplitud y fase.
Aplicando transformada Z a la entrada , la salida se puede expresar como:
Por fracciones parciales:
)
)(
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
)(
(
)
(
)
( T
j
T
j
T
j
T
j
e
z
e
z
T
sen
z
z
G
z
R
z
G
z
Y
e
z
e
z
T
sen
z
z
R 















u(kT)
T
G(z)
y(kT)
r(t)=sen ωt
)
(
)
( z
Y
e
z
z
A
e
z
A
z
Y G
T
j
T
j




  

z






j
T
j
T
j
j
T
j
T
j
Me
e
G
j
e
G
A
Me
e
G
j
e
G
A








)
(
)
(
)
(
)
(
2
2
Prof. Marly Fernández

1. Respuesta en frecuencia.
Reescribiendo Y(z):
Antitransformando:
donde:
Entre los métodos usados en sistemas de control para el análisis de la respuesta en
frecuencia, se tienen:
a. Diagrama de Nyquist: Representa el módulo y el ángulo en cordenadas polares
cuando ω varía de 0 a ∞.
b. Diagrama de Nichols: Es un gráfico del módulo en decibeles en función del
ángulo en coordenadas rectangulares cuando ω varía de 0 a ∞.
c. Diagramas de Bode.
)
(
z
z
2
)
( z
Y
e
z
e
e
z
e
j
M
z
Y G
T
j
j
T
j
j












 





  )
(
2
)
( kT
sen
M
e
e
e
e
j
M
kT
y kT
j
j
kT
j
j
SS 









 

)
(
)
(
)
(
)
(
T
j
T
j
e
G
e
G
M
M












2. Diagramas de Bode.
Se trata de la representación frecuencial mediante dos curvas en función de la
frecuencia,ω, en escala logarítmica. La primera es la relación de módulos, en decibelios
y la segunda el ángulo de fase, en grados.
2.1 Procedimiento para trazar los diagramas de Bode.
i. Determinar la FTP de lazo abierto del sistema.
ii. Realizar la transformación bilineal:
iii. Sustituir w por jωw y descomponer en factores.
iv. Realizar el trazado de cada factor y obtener los diagramas definitivos.
v. Determinar MF, MG, ωcf, ωcg
vi. Transformar las frecuencias al plano S:
vii. Analizar la estabilidad del sistema.
)
(
)
(
/
/ w
GH
z
GH
T
w
T
w
z






2
1
2
1
)
(
2
2 1 w
T
tg
T

 


2.2 Tabla de diagramas aproximados por factor.
A
j
G 
)
( 
k
j
A
j
G

 
)
(
k
j
A
j
G )
(
)
( 
 

2.2 Tabla de diagramas aproximados por factor (continuación).
)
(
)
( 1

 

 j
j
G
)
(
)
( 1

 

 j
j
G
1
1





j
j
G )
(
1
1





j
j
G )
(

2.2 Tabla de diagramas aproximados por factor (continuación).
1
2
2
2


 



 j
j
j
G )
(
1
2
2
2


 



 j
j
j
G )
(
1
2
1
2
2








j
j
j
G )
(
1
2
1
2
2








j
j
j
G )
(

2.3 Definiciones para el análisis de estabilidad del sistema usando los diagramas de
Bode.
a. Frecuencia de cruce de ganancia: frecuencia a la cual el módulo de FTP de
lazo abierto es igual a uno, es decir, frecuencia donde el diagrama de
módulo cruce 0dB.
b. Frecuencia de cruce de fase: frecuencia a la cual el ángulo de FTP de lazo
abierto es igual -180.
c. Margen de fase: es la cantidad de retardo de fase adicional necesaria a la
frecuencia de cruce de ganancia para que el sistema quede al borde de la
inestabilidad.
d. Margen de ganancia: es la cantidad de ganacia adicional necesaria a la
frecuencia de cruce de fase para que el sistema quede al borde de la
inestabilidad.

Ejemplo:
Realizar los gráficos aproximados de Bode.
E*(s)
T=1 s
Y(s)
E(s)
R(s)
_
+
Gp(s)
s
Ts
e
1 

G(s)
𝐺 𝑠 =
1
𝑠(𝑠 + 1)
𝐺 𝑧 =
0,368𝑧 + 0,264
𝑧2 − 1,38𝑧 + 0,38
Paso1: Calcular 𝐺 𝑧
Paso2: Realizar transformación bilineal 𝑧 =
1 + 0,5𝑤
1 − 0,5𝑤
𝐺 𝑤 =
0,0381 𝑤 − 2 𝑤 + 12,14
𝑤 𝑤 + 0,924
Paso3: 𝑤 ⟶ 𝑗𝜔𝑤 𝐺 𝑗𝜔𝑤 =
0,0381 𝑗𝜔𝑤 − 2 𝑗𝜔𝑤 + 12,14
𝑗𝜔𝑤 𝑗𝜔𝑤 + 0,924
𝐺 𝑗𝜔𝑤 =
0,0381 𝑗
𝜔𝑤
2
− 1 𝑗
𝜔𝑤
12,14
+ 1
𝑗𝜔𝑤 𝑗
𝜔𝑤
0,924
+ 1

Paso4: Construir los gráficos de cada factor y sumarlos para obtener los gráficos de la
función completa
Paso5: Calcular MF, MG, ωcf, ωcg y transformar las frecuencias )
(
2
2 1 w
T
tg
T

 


10
-1
10
0
10
1
10
2
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
System: mp
Peak gain (dB): 10.1
At frequency (rad/sec): 3.08
System: mp
Frequency (rad/sec): 4.84
Magnitude (dB): -3.03
Magnitude
(dB)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Análisis de la respuesta en frecuencia a Lazo Cerrado.
4. Diagramas de Bode Lazo Cerrado.

4. Diagramas de Bode Lazo Cerrado.
a. Pico de resonancia Mr: es el máximo valor de |M(jω)|.
b. Frecuencia de resonancia ωr: es la frecuencia en la cual el pico de resonancia
ocurre.
c. Frecuencia de corte ωc: es la frecuencia en la cual |M(jω)| cae a 0.707 (-3db) de su
valor de frecuencia cero.
d. Ancho de banda AB: es el rango de frecuencia que va desde 0 hasta la frecuencia de
corte.
e. Razón de corte: es la pendiente de la curva de magnitud logarítmica cercana a la
frecuencia de corte.
Definiciones para el análisis del sistema usando los diagramas de Bode a lazo cerrado:

Respuesta frecuencial.pdf

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

Similar a Respuesta frecuencial.pdf

Similar a Respuesta frecuencial.pdf (20)

Último

Último (20)

Respuesta frecuencial.pdf