El documento describe dos métodos para diseñar controladores digitales: indirecto y directo. Explica que el método directo diseña el controlador digital directamente en el dominio discreto utilizando la función de transferencia del proceso, mientras que el método indirecto primero diseña el controlador en el dominio continuo y luego lo transforma al dominio discreto. También presenta el concepto de lugar geométrico de las raíces y cómo se puede usar para analizar la estabilidad de un sistema de lazo cerrado en función de la ganancia del controlador y el período de muest

1. 03/06/2013
1

DISEÑO DE
CONTROLADORES
DIGITALES



Existen dos formas generales de diseñar el
control de sistemas en tiempo discreto:
Indirecto: consiste en diseñar el
controlador digital en el dominio de
tiempo continuo, utilizando las técnicas
analógicas y luego transformando el
resultado del dominio continuo al dominio
discreto.
Directo: se diseña el controlador digital
en el dominio discreto directamente,
utilizando una función de transferencia
del proceso a controlar. Se utilizan
técnicas de diseño en el dominio .

2. 03/06/2013
2



La estrategia de diseño es definir las
características de la respuesta del
sistema en el tiempo o en frecuencia;
como el sobre paso máximo, el tiempo de
asentamiento, el tiempo de levantamiento
márgenes de fase o magnitud, etc. Estas
características determinan la ubicación
de los polos de la función de
transferencia z de lazo cerrado. Entonces
se determina el periodo de muestreo
teniendo en cuenta el teorema de
y los criterios de elección para que se
obtenga la función de transferencia
deseada.


El periodo de
muestreo es un
aspecto crítico en la
discretización de
compensadores
continuos. Como norma
general, cabe anotar
que interesa es un
periodo de muestreo
lo mas pequeño
posible, siempre que
no condicione al
sistema a dos
aspectos importantes:
su implementación y
los errores de
cuantificación. Los
criterios se basan en
los siguientes
aspectos:
75a25
ientoestablecimdetiempo:
20a10
ntolevantamiesubida,detiempo:
bandadeancho
40a20N2 B
r
s
r
s
s
r
r
r
r
s
B
s
s
N
t
N
t
T
N
t
N
t
T
BW
BWN
T
LAZO CERRADO
LAZO ABIERTO
gananciadecrucedefrecuencia:
80a04
2
Tg
g
ggs
N
N

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3

OGATA, Katsuhiko. Sistemas De Control En Tiempo
Discreto. Segunda Edición.
DORSEY, John. Sistemas de Control Continuo y
Discreto
BIBLIOGRAFÍA WEB
ASTRÖM, Kral J- Computer Controlled Systems.
Tercera Edición
PARASKEVOPOLUS,P. Modern Control Engineering.
Primera Edición.
CHEN, Chi-Tsong. Analog And Digital Control System
Design. Tercera Edición
SMITH C., CORRIPIO A., Control Automático de
Procesos. Primera Edición
DORF R., BISHOP R., Sistemas de Control Moderno.
Décima Edición.

DISEÑO DIRECTO: BASADO
EN LA RESPUESTA EN EL
TIEMPO
0
*
)()()(
k
kTtkTxtx

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


Para el sistema mostrado la ecuación
característica es:
La cual es la misma que la encontrada
en el lugar geométrico de las
raíces en tiempo continuo (plano )
0)()(1 zHzG
CONDICIONES DE ÁNGULO Y MAGNITUD: en
muchos sistemas en tiempo discreto, la
ecuación característica puede tener
cualquiera de las dos siguientes formas
y
Para combinar esta dos formas en una,
definamos la ecuación característica
Donde:
o
0)()(1 zHzG 0)(1 zGH
0)(1 zF
)()()( zHzGzF )()( zGHzF




5. 03/06/2013
5
Observe que es la función de
transferencia de lazo abierto. La
ecuación característica se puede escribir
de esta manera también:
Dado que es una cantidad compleja se
puede hallar la magnitud y el ángulo de
dicha cantidad, de esta manera:
1)(zF
1)(zF
0,1,2,...N),12(180)( NzF



Los valores de que satisfacen tanto las
condiciones de ángulo como de magnitud se
encuentran en las raíces de la ecuación
característica, es decir en los polos de la lazo
cerrado.
Una gráfica de los puntos en el plano complejo que
satisface solamente la condición de ángulo es el
lugar geométrico de las raíces. Las raíces de la
ecuación característica que corresponden a un
valor dado de la ganancia pueden localizarse en el
lugar geométrico de las raíces mediante la
condición de magnitud.




6. 03/06/2013
6



Ahora se investigará los efectos de la
ganancia y el periodo de muestreo sobre
la estabilidad relativa de un sistema de
lazo cerrado.
Suponga el sistema de control siguiente
)(*
sG D ZOH
1
1
s
+ _
Controlador
digital Gh(s) Gp(s)
r(t) c(t)
Donde el controlador digital es de tipo integral, es
decir
Se dibujará el lugar de las raíces para tres valores
del periodo de muestreo (T=0.5 seg, T=1 seg y T=2
seg), también se hallará el valor crítico de la
ganancia para cada uno de los casos. Finalmente
localizaremos los polos en lazo cerrado
correspondiente a para cada uno de los tres
casos.
11
)( 1
z
Kz
z
K
zGD




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7
En primera medida obtenemos la
de .
De esta manera:



La función de transferencia pulso de la
trayectoria directa es
La ecuación característica
Es decir
0
))(1(
)1(
1 T
T
ezz
eKz
0)(1 zG



T
T
phD
ez
e
z
Kz
sGsGZzGzG
1
1
)()()()(

8. 03/06/2013
8
Para un periodo de muestreo T=0.5
seg
Observe ve que tiene polos
z=1 y z=o,6065 y un cero en z=0
)6065,0)(1(
3935,0
)(
zz
Kz
zG
)(
)(
zB
zA
K



Entonces:
Diferenciando la ecuación en función
de z obtenemos
De allí que:
Con esto se obtiene: z=0.7788 y z=-
0.7788
z
zz
K
3935,0
)6065,0)(1(
6065,0
0
3935,0
6065,0
2
2
2
z
z
z
dz
dK




9. 03/06/2013
9
Al reemplazar en la ecuación
de se obtiene un valor de ,
en tanto que al reemplazar el valor
de obtenemos un valor de
Como resultó positivo entonces, el
valor es un punto de ruptura
de salida real y el valor
es un punto de ruptura de entrada
real.



Para hallar el valor crítico de la
ganancia se obtiene mediante la
condición de la magnitud de la función
de transferencia pulso de la
trayectoria directa, así:
Kezz
ez
T
T
1
))(1(
)1(




10. 03/06/2013
10
Para el caso de T=0.5 se obtiene
La ganancia crítica ocurre en z=-1, con
este valor se obtiene:
Con lo que K=8.165
Con un K=2 se obtienen dos polos
complejos conjugados en lazo cerrado
que son
)6065,0)(1(
3935,01
zz
z
K
)6065,01)(11(
)1(3935,01
K



6623.04098.0y6623.04098.0 21 jzjz
Gráfica del lugar de las raíces con
un T=0.5 seg



Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata

11. 03/06/2013
11
Para obtener la función de transferencia de lazo
cerrado primero se halla la función de
transferencia de la planta en Z, de esta manera
n=[1] ;
d=[1 1];
Gps=tf(n,d);
Gpz=c2d(Gps,0.5,'zoh') % FT de la Planta en Z
Gdz=tf([1 0],[1 -1],0.5) % FT del controlador
%en Z
G=series(Gpz,Gdz) % función de trasferencia de
%lazo abierto
M= feedback (G,1) %función de trasferencia de
%lazo cerrado
1
1
)(
s
sGp
11
1
)( 1
z
z
z
zGD



Después de obtener la función de
transferencia de lazo abierto del
sistema, se procede a graficar el LR en
de la siguiente manera:
num=[0 0.3935 0];
den=[1 -1.6065 0.6065];
G=tf(num,den,0.5)
G2=tf -
%potencia de z negativas
rlocus (G) % lugar de las raíces en z
rlocus (G2) % lugar de las raíces en z^-1
Sisotool (G) % diseño de compensadores y
%controladores
)6065,0)(1(
3935,0
)(
zz
Kz
zG




12. 03/06/2013
12
Respuesta en Matlab del L.R.Root Locus
Real Axis
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
System: G
Gain: 2
Pole: 0.409 + 0.662i
Damping: 0.24
Overshoot (%): 46.1
Frequency (rad/sec): 2.09



EJERCICIO1: La ecuación obtenida para un
periodo de muestreo de 1 seg. es:
Con polos en z=1, 0.3679 y cero e z=0
El punto de ruptura de salida y el punto
de ruptura de entrada son z=0,6065 y
z=-0,6065 respectivamente con valores
correspondientes de ganancia K=0,2449
y K=4,083 respectivamente. El lugar de
las raíces se gráfica de esta manera.
)3679,0)(1(
6321,0
)(
zz
Kz
zG




13. 03/06/2013
13
El valor crítico de la ganancia
K es 4,328. Los polos de lazo
cerrado para K=2 son:
6043.005185.0y6043.005185.0 21 jzjz



Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata
EJERCICIO2: La ecuación obtenida para un
periodo de muestreo de 2 seg. es:
Con polos en z=1, 0.1353 y cero e z=0
El punto de ruptura de salida y el punto
de ruptura de entrada son z=0,3678 y
z=-0,3678 respectivamente. Sus
valores correspondientes de ganancia
son K=0,4622 y K=2,164
respectivamente. El lugar de las
raíces se gráfica de esta manera.



)1353,0)(1(
8647,0
)(
zz
Kz
zG

14. 03/06/2013
14
El valor crítico de la ganancia
K es 2,626. Los polos de lazo
cerrado para K=2 son:



2169.02971.0y2169.02971.0 21 jzjz
Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata
Conclusión:
.
Una regla práctica es muestrear la
señal de ocho a diez veces durante un
ciclo de oscilaciones senoidales
amortiguadas de la salida de un sistema
subamortiguados. Para sistemas
sobreamortiguados prueba de ocho a diez
veces durante el tiempo de
levantamiento de la respuesta escalón.




15. 03/06/2013
15
Conclusión: De manera
alternativa, al reducir el
periodo de muestreo permite
que el valor crítico de la
ganancia respecto a la
estabilidad sea mayor. Esto
hace que el sistema se
comporte mas como un sistema
continuo.



El factor de amortiguamiento
relativo de un polo en lazo
cerrado se puede determinar de
forma analítica a partir de la
localización del polo en lazo
cerrado en el plano z.
Sabiendo que
Al igual que
entonces
2
1nn js
2
1nn jT
ez




16. 03/06/2013
16
De lo cual obtenemos
y
A partir de estas ecuaciones se
puede hallar los parámetros de
respuesta de .
Por ejemplo en el caso del periodo
de muestreo igual 0,5seg. tenemos
un polo en lazo cerrado para y
. Por lo tanto
resolviendo
Tn
ez radTTz dn
1 2
7788,06623,04098,0 22
z
7788,0Tn
ez



Con lo cual
También se halla
Dividiendo ambos resultados
radTz n 0167,1
4098,0
6623,0
tan1 12
25,0Tn
0167,1
25,0
1 2
n
n
T
T




17. 03/06/2013
17
Es decir
Con lo que nos queda
Cabe anotar que esta valor se
puede también obtener de forma
gráfica
2459,0
1 2
2388,0



La respuesta al escalón de la función de
transferencia de lazo cerrado del diagrama
de bloques del ejemplo es
Usando un valor de Periodo igual a y
una ganancia de se obtiene una
respuesta para una entrada escalón unitario
Kzzz
Kz
zG
zG
zR
zC
3935,0)6065,0)(1(
3935,0
)(1
)(
)(
)(
121
1
1
1
6065,08195,01
7870,0
)(
23935,0)6065,0)(1(
23935,0
)(
zzz
z
zR
zzz
z
zC




18. 03/06/2013
18
Se obtiene un ángulo de
Para completar un ciclo se halla 360°/58,25°
=6,16 muestras por ciclo de oscilación
amortiguada Con la cual se obtiene la
secuencia c(kT)
25,580167,1
4098,0
6623,0
tan 1
radz
T=0.5
G=zpk([0],[1,.6065],[.393
5*2],T)
M= feedback (G,1)
step(M,0:T:15)
figure
stem(0:T:15,
step(M,0:T:15))
grid
0 5 10 15
0
0.5
1
1.5
kT



0 5 10 15 20 25
0
0.5
1
1.5
Step Response
Time (sec)



dstep([0 .787 0],[1 -.8195 .6065])
hold on
stem(step(M))
grid

19. 03/06/2013
19
Para periodos de muestreo de 1 y 2 seg las
gráficas son:
T=1;
Gps=tf([1] , [1 1]);
Gpz=c2d(Gps,T,'zoh')
Gdz=tf([2 0],[1 -1],T)
G=series(Gpz,Gdz)
M= feedback (G,1)
step(M,0:T:15)
figure
stem(0:T:15,
step(M,0:T:15))
grid
0 5 10 15
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
kT
360°/85.10°=4,23 muestras por ciclo
0 2 4 6 8 10 12 14
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
kT
360°/143,87°=2,5 muestras por ciclo




Comparación Función de
Transferencia Continua y con
función de transferencia ya
discretizada.
Zero-Order
Hold
1
s+1
Transfer Fcn
y2
To Workspace2
y1
To Workspace1
Step
Scope
K
Gain1
K
Gain
First-Order
Hold
z
(z-1)
Discrete
Zero-Pole1
.3935z
(z-1)(z-0.6065)
Discrete
Zero-Pole

20. 03/06/2013
20
De las gráficas se sabe que para un periodo de
muestreo pequeño la secuencia en
función de dará una imagen precisa de
Sin embargo si no se utiliza un periodo de
muestreo considerablemente pequeño la función
no presentará una solución precisa.





Ahora analizando el efecto del
periodo de muestreo sobre la
exactitud en estado permanente.
Por ejemplo para la
ganancia . La función de
transferencia de lazo abierto
es
)6065,0)(1(
787,0
)(
zz
z
zG

21. 03/06/2013
21
Con lo cual la constante de error
estática de la velocidad Kv es
Y su error en estado estable en
repuesta a una entrada rampa
unitaria es 25,0
4
11
v
ss
K
e
4
)6065,0)(1(5,0
787,0)1()()1(
lim
1
1
v
z
v
K
zzz
zz
T
zGz
K


Secuencia de la respuesta del sistema
a una entrada rampa unitaria, para
T=0,5 seg


Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata

22. 03/06/2013
22
Para un periodo de se obtiene de
la misma manera la constante de error
estable de la velocidad y error en
estado estable en repuesta a una
entrada rampa unitaria
Y su error en estado estable en repuesta
a una entrada rampa unitaria es
2
)6065,0)(1(5,0
6321,0)1()()1(
lim
1
1
v
z
v
K
zzz
zz
T
zGz
K
5,0
2
11
v
ss
K
e


Y por último para un periodo de
se obtiene de igual forma la
constante de error estable de la
velocidad y error en estado
estable en repuesta a una entrada
rampa unitaria, respectivamente.
1
1
)6065,0)(1(5,0
8647,0)1()()1(
lim
1
1
ss
v
z
v
e
K
zzz
zz
T
zGz
K



23. 03/06/2013
23
Y para T=1 seg y T= 2 seg
respectivamente


Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata
en los tres casos se observa que
al aumentar el periodo de muestreo la
estabilidad relativa del sistema se ve
afectada de forma adversa.



24. 03/06/2013
24

Como ya se ha explicado, la respuesta transitoria
depende de la posición de los polos y los ceros de
la función de transferencia en lazo cerrado y del
periodo de muestreo T. En general, las
características de desempeño estarán especificadas
como la respuesta a una entrada escalón. Los
parámetros utilizados son los mismos que se
utilizaban para caracterizar la respuesta en
régimen transitorio de un sistema continuo, y son:
El tiempo de retardo .
El tiempo de subida .
El tiempo de pico .
El sobreimpulso máximo .
El tiempo de asentamiento o asentamiento .
Recordando
rt
pt
pt
peeMp
2
1
st
22
cos2
)(
ezez
K
zG
Si se posee un sistema con
dos polos complejo
conjugados el sistema se
puede expresar como:
j
eep
e
1
1p


25. 03/06/2013
25



Al igual que en el caso continuo, la
posición de los polos de un sistema
determinan las características de
su respuesta en transitoria.
Para hallar regiones en el plano
que garanticen valores de sobre-
impulso, tiempo de asentamiento o
frecuencia natural no amortiguada,
se analiza la forma en como se
transforman las regiones
correspondientes del plano
: para
garantizar un tiempo de asentamiento menor a cierto
valor en un sistema continuo, los polos deben estar
en la región sombreada de la derecha de la figura 1.
En la figura 2 se muestra su contraparte en
obtenida mediante la transformación
Figura 1 Figura 2
Ts
ez



Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata

26. 03/06/2013
26
para garantizar un sobre pico pequeño
(SP<5%) los polos del sistema continuo,
deben estar en la zona sombreada de la
figura 1. En la figura 2 se observa su
contraparte en .
Figura 1 Figura 2



Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata
cuando se quiere garantizar que
la frecuencia se menor a cierta cantidad, esto
implica que los polos en un sistema de tiempo
continuo están a una distancia del origen, con el
fin de garantizar un tiempo de subida dado como en
la figura 1, se observa además su contraparte en
Figura 1 Figura 2



Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata

27. 03/06/2013
27

: El control digital
incluye muchos componentes que no se encuentran
en los sistemas de control continuos, como son
los convertidores A/D y D/ A, los prefiltros,
etc.
El prefiltro analógico se suele situar entre el
sensor y el convertidor A/D. Su tarea es reducir
el ruido de alta frecuencia en la señal continua
para prevenir el aliasing. En efecto, en los
sistemas continuos, el ruido de alta frecuencia,
estando fuera del alcance del ancho de banda del
sistema, no da respuestas apreciables. En cambio
en los sistemas digitales dicho ruido, por
efecto del puede convertirse en ruido
de baja frecuencia y dar respuestas
significativas.

Es el aparato que hace todos
los cálculos y aplica la ley de control. Su
coste depende de la frecuencia de trabajo y
del tamaño de las palabras de bits usadas.
Es el
compromiso de dos factores principalmente: el
costo y la eficacia de control. Bajar la
frecuencia significa dejar más tiempo para
los cálculos de control, poder usar
ordenadores más lentos o poder aplicar leyes
de control más complicadas: en pocas
palabras, el costo por función baja. Por eso
hay que elegir la frecuencia de muestreo
menor posible.

28. 03/06/2013
28

Existen varios métodos de aproximación para lograr
la discretización de un PID continuo. El más
general consiste en aproximar la integral por el
integral del trapecio y la derivada por el método
de diferencia hacia atrás:
)()1(
1
1
2
1)()()1(
1
1
2
1)(
obtienesedosolucionan
11
2
1
)(
)(
1
)(
1
1
1
1
1
1
0
zEz
T
T
zT
T
T
T
KzMzEz
T
T
z
z
T
T
KzM
TieiTe
T
T
TieiTe
T
T
kTeKkTm
dt
tde
Tdtte
T
teKtm
d
ii
d
i
d
k
ii
d
t
i
Forma Posicional del PID
Integral
trapecio
Derivada hacia
atrás
Al ecuación anterior se puede
escribir también así:
Si ahora definimos las constantes
como
Si seguimos solucionando la
ecuación
T
KT
K
T
KT
K
T
T
KK D
D
i
I
i
p
2
1
z
z
K
z
z
KKzK
z
K
K
zE
zM
DIpD
I
p
1
1
)1(
1)(
)(
obtienesedoReemplazan
1
1
)1(
)2()(
)1(
)12()(
)(
)(
)(
2222
zz
KzKKKKKz
zz
zzKzKzzK
zE
zM
zG
DDpDIpDIp
PID


29. 03/06/2013
29
Si ahora definimos las constantes como
que se conoce como forma de velocidad del PID, cuya
ventaja principal es que elimina el problema del
integral windup. El problema principal es que sólo el
término de control integral incluye la entrada R(z),
por lo que este último no se puede excluir del
controlador digital si éste se utiliza en su forma de
velocidad.
T
T
KKqKKKq
T
T
T
T
KKKKq
d
DT
T
T
T
Dp
d
i
DIp
d
i 2
2
21
0
y1)2(
2
1
)1(
)( 21
2
0
zz
qzqzq
zGPID
TkeqTkeqkTeqTkmkTm 211 210

Otro método usual es por
aproximación de Operadores
)()1(
1
1
1)(
Zrmadaen transfoobtienesedosolucionan
integral)(operadorderivada)(operadorsi
)()(
1
)()(
Laplacedeadatransformaplicando
)(
)(
1
)(
1
1
1s
11
0
1
1
zEz
T
T
zT
T
KzM
s
ssETsE
sT
sEKsM
dt
tde
Tde
T
teKtm
d
i
z
T
T
z
d
i
d
t
i


30. 03/06/2013
30
Continuando
Dicha expresión tiene la misma forma
que la calcula anteriormente en la
que varían q0, q1, q2. Estas
diferencias son pequeñas si:
en la primera representación.
1
2
2
1
10
1
21
1
1
1)(
)(
1
211
)(
)(
)1(
1
1
1
)(
)(
z
zqzqq
zE
zM
z
z
T
T
Kz
T
T
K
T
T
T
T
K
zE
zM
z
T
T
zT
T
K
zE
zM
ddd
i
d
i




Se procede:
1. Eliminar las acciones integral y
derivativa del controlador
2. Colocar una ganancia pequeña, y
empezar a aumentarla hasta que
el sistema oscile, se anota como
(Ku).
3. Se mide el periodo de la
oscilación y se anota como (Tu).

31. 03/06/2013
31


P 0.5KU - -
PI 0.45KU 0.83TU -
PID 0.6KU
0.5TU 0.125TU
C(t)
t
Tu
Una vez calculados se puede
obtener el algoritmo de control requerido
utilizando las ecuaciones de discretización
de Controladores PID.
Usando este método se obtiene un sistema de
lazo cerrado con coeficiente de
amortiguamiento bajo.


Este método fue propuesto por Ziegler y
Nichols, en donde se aproxima la función
de lazo abierto de la planta a una
función de primer orden de esta forma
donde es la ganancia, la
constante de tiempo y el retardo.
Los parámetros del controlador se estiman
a partir de una tabla, teniendo en cuenta
que:
Donde T es el periodo de muestreo

32. 03/06/2013
32


El método de Ziegler y Nichols
es aplicable sí 0.1< / <1
P - -
PI 3.33 -
PID 2 0.5
Línea tangente
t
C(t)
K


Este método parte con la exigencia de
que el error debe ser mínimo.
A continuación se presentan algunos
índices de desempeño basados en
integrales del error y utilizados
ampliamente en el diseño de sistemas de
control, todos basados en la ecuación de
primer orden de .
Control P ICE IAE IAET
ICE: Integral de Cuadrado del error
IAE: Integral del Valor Absoluto del error
IAET: Integral del Valor Absoluto del error por tiempo
Ajustes del Controlador P

33. 03/06/2013
33


Control PI ICE IAE IAET
Control PID ICE IAE IAET
Ajustes del Controlador PI
Ajustes del Controlador PID

Un regulador proporcional permite seleccionar la posición
de los polos en bucle cerrado del sistema al
desplazarse éstos por las ramas del lugar de raíces.
Para su diseño, los pasos a seguir son:
Fijar la posición de los polos dominantes del sistema
final. A partir de las especificaciones dinámicas se
pueden acotar las regiones del plano en las que deben
estar situados los polos dominantes para cumplir las
especificaciones.
Representar el lugar de raíces con el objetivo de
comprobar si es posible situar las raíces en la región
acotada de las especificaciones usando sólo una acción
proporcional (regulador tipo P).
En principio debe elegirse el valor de que,
cumpliendo las especificaciones, lleve al mínimo error
en régimen permanente. Esto se consigue eligiendo el
máximo valor de K que sitúa las raíces en el lugar de
las especificaciones.

34. 03/06/2013
34

La función de transferencia del controlador PD es:
donde
De esta expresión se puede deducir que el regulador
PD introduce un polo en el origen y un cero en
que está situado entre el origen y el punto (1,
0). Para obtener la posición del cero se utiliza
generalmente el criterio del ángulo. Una vez
fijada ésta, se puede determinar la ganancia
mediante el criterio del módulo. Una vez calculada
la ganancia hay que comprobar que los polos
dominantes del sistema cumplen las
especificaciones.
z
cz
KzG d
1
d
d
d
TT
T
c

Matemáticamente también se puede obtener
el PD a partir dela forma posicional del
PID, excluyendo la parte integral
z
z
KK
z
KKKz
zG
z
KzKzK
z
z
KKzG
DP
D
KK
K
DP
DDP
PD
DDP
DPPD
)(
1
)(
obtienesedoReemplazan

35. 03/06/2013
35

El efecto que produce el controlador PI es la
introducción en la función de transferencia en
bucle abierto de un polo en z = 1 y un cero que
en condiciones normales ( ) estará
próximo a ese polo, ya que en el caso de la
aproximación trapezoidal su posición vendrá
dada por:
y función de transferencia
Al introducir un polo en z = 1 aumenta el tipo
del sistema en una unidad, con lo que se mejora
el comportamiento en régimen permanente.
Además, al encontrarse el par polo-cero muy
cercanos entre sí hace que la forma del lugar
de raíces del sistema original sin regulador no
varía demasiado.
1z
cz
KzG i
TT
TT
c
i
i
i
2
2

De igual forma se puede obtener el controlador PI
a partir dela forma posicional del PID, excluyendo
la parte derivativa
11
)(
11
)(
obtienesedoReemplazan
z
z
KK
z
KKKz
zG
z
zKKzK
z
z
KKzG
IP
I
KK
K
IP
IIP
PI
IPP
IPPI

36. 03/06/2013
36

Para un sistema cuya
calcular el regulador
más sencillo que cumpla
las siguientes
especificaciones:
Mp
ts
ep
9.07.0
1
)(
zz
zGp
El primer paso es
establecer la región de validez de
las especificaciones. A partir de
las ecuaciones vistas con
anterioridad:
323,07435,0p
sistemadeldominantepoloelobtenerpuedeseresultadoesteCon
º48.2321.0
2.0
15
48,2321.0
1,2 jee
eM
t
j
p
s


37. 03/06/2013
37
Graficando el LGR de Gp(z)
encontramos:
Root Locus
Real Axis
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1

Podemos
comprobar que
no nos vale con
un controlador
P.
El siguiente
paso es probar
con un
controlador PD.
Para calcular la posición del
cero se hace uso del criterio del
ángulo. De esta forma
y, por tanto, el cero estará en
38,23)(tan3
329.82)(tan2
85.115)(tan1801quesabiendo
º6,4112180321
7435.0
32.01
7.07435.0
32.01
7435.09.0
32.01
a
a
a
bnbaaa
38.0
6.41tan
323.0
7435.0c
c


38. 03/06/2013
38
El nuevo valor de la ganancia se puede calcular
mediante el método del lugar de raíces,
mediante la herramienta , o mediante
el criterio de Magnitud. En la siguiente
figura se ve que el nuevo lugar de raíces sí
pasa por los puntos establecidos mediante las
especificaciones, y que la ganancia
proporcional asociada será .
197.0
1281.5
1
0.0035j+5.1281-
1
1
)9.0)(7.0(
)38.0(
323.07435.0
K
zzz
zK
jz

Gráfica usando sisotool y encontrando el valor de la
ganancia K


39. 03/06/2013
39
De esta forma, nos vale con el
regulador PD cuya función de
transferencia en el dominio
digital vendrá dada por:
La última condición a comprobar
tiene que ver con el error en
estado permanente. Para comprobar
si se cumple utilizamos el
teorema del valor final:
%22%71.19
071.41
1
071.4lim
1
p
z
p ezGzRK
z
z
zR
38.0
197.0

Vemos que, efectivamente, el sistema propuesto
cumple con todas las especificaciones impuestas.
Su respuesta a una entrada escalón se muestra en
la siguiente figura:


40. 03/06/2013
40

Modelo montado en Simulink
y2
To Workspace2
t
To Workspace
Step
Scope1
k
Gain1
(z-0.38)
z
Discrete
Zero-Pole2
1
(z-.7)(z-0.9)
Discrete
Zero-Pole1
Clock

OGATA, Katsuhiko. Sistemas De Control En Tiempo
Discreto. Segunda Edición.
DORSEY, John. Sistemas de Control Continuo y
Discreto
BIBLIOGRAFÍA WEB
ASTRÖM, Kral J- Computer Controlled Systems.
Tercera Edición
PARASKEVOPOLUS,P. Modern Control Engineering.
Primera Edición.
CHEN, Chi-Tsong. Analog And Digital Control System
Design. Tercera Edición
SMITH C., CORRIPIO A., Control Automático de
Procesos. Primera Edición
DORF R., BISHOP R., Sistemas de Control Moderno.
Décima Edición.