algebra

1. Capítulo Pág.
1. Exponentes I ................................................................................................................... 43
2. Exponentes II .................................................................................................................. 49
3. Productos notables........................................................................................................... 53
4. Ecuaciones de primer grado .............................................................................................. 59
5. Factorización I ................................................................................................................. 67
6. Factorización II ................................................................................................................ 73
7. Ecuaciones de segundo grado ........................................................................................... 79
8. Repaso ........................................................................................................................... 85
Álgebra
ÍNDICE
B lackames

2. CIENCIAS - PAMER
4
AÑO
ÁLGEBRA
Exponentes I
Capítulo I
Los armarios
En las escuelas superiores de EEUU, los estudiantes guardan sus pertenencias en armarios particulares durante el
tiempo de clase. En una determinada escuela había 1000 estudiantes y 1000 armarios. Cada año el primer día de
clase, los estudiantes se alinean por orden alfabético y realizan el extraño ritual que sigue:
El primer estudiante abre todos los armarios. El segundo cierra los armarios pares comenzando por el dos. El
tercero cambia la situación de cada tercer armario (abre los cerrados y cierra los abiertos). El cuarto cambia la
situación de cada cuatro armarios; el quinto cambia cada quinto,etc.
¿Qué armarios se quedan abiertos cuando todos los estudiantes han terminado?
La notación exponencial se emplea en varias situaciones.
El ejemplo muestra el uso de exponentes para analizar
una situación en la que cierta sustancia esta decreciendo
de modo exponencial.
Ejemplo:
Supongamos que una sustancia radiactiva se desintegra
de tal manera que solo queda 1/2 de la cantidad previa
después de cada hora. Si en un momento dado hay 320
gramos de dicha sustancia, ¿qué cantidad quedará después
de 8 horas?, ¿cuánto quedará después de “n” horas?
Solución:
Como la cantidad restante, después de cada hora, es 1/2
de los gramos que había al final de la hora anterior, podemos
encontrarla multiplicando el número precedente de gramos
por (1/2).
Gramos restantes
Inicio: 0 horas 320
2
1
320
0






Después de 1 hora 160
2
1
320
1






Después de 2 horas 80
2
1
320
2






Después de 3 horas 40
2
1
320
3






:
:
Después de 8 horas
4
5
2
1
320
8






Fíjese usted en que cada potencia de 1/2 es la misma que
el número de horas que ha estado desintegrándose la
sustancia. Si suponemos que seguirá aplicándose la misma
norma sacamos la conclusión de que después de “n” horas
quedarán:
n
n
2
320
2
1
320 





gramos de la sustancia original.
Problemas resueltos
1. Reducir :
        
     33753
254223222
)x(
xxxxx
xxxxx
S  ; x  0
Solución:
Aplicando : (am)n = amn
tenemos : 9753
108642
)x(
x.x.x.x.x
x.x.x.x.x
S  ; luego aplicando:
am . an = am+n
tenemos :
5
25
30
97531
108642
)x( x
x
x
x
x
S  

5
)x( xS 
2. Reducir:
8
4
22
222
S












3. Solución:
Aplicando: mpr
sr)qnp(
m p r sqn
aaaa

 tenemos:
422
2
2
S
8
8
2
8
8
5
8
7
8
8
5
8
7































 S = 4
3. Si: xm yn = 3m ......... (  )
xn ym = 3n ......... ()
Hallar :
xy
y
x
S 






Solución :
Multiplicando: ( )()
tenemos :
xm yn . xn ym = 3m . 3n
de donde: xm+n yn+m = 3m+n
acomodando: (xy)m+n = 3m+n
xy = 3
Dividiendo:


n
m
mn
nm
3
3
yx
yx
 
nm
nm
nm
3
y
x 



nm
nm
3
y
x 







 3
y
x

Luego reemplazamos:
S = 33 = 27
 S = 27
4. Simplificar: 294
336
30.14.15
80.35.21
S 
Solución:
Descomponiendo en base 5, 3 y 7
2229944
3123366
294
3436
5.2.3.2.7.3.5
5.2.5.7.3.7
)5.2.3()2.7()3.5(
)5.2()5.7()3.7(
S 
2
2.5.3.7
2.5.3.7
S 11669
12669

 S = 2
PRECAUCIÓN: Aprenda a evitar errores como estos
Mal Bien
52 . 54 = 58 (No multiplique los exponentes) 52 . 54 = 56
52 . 54 = 256 (No multiplique las bases de las potencias)
3
2
6
5
5
5
 (No divida los exponentes)
4
2
6
5
5
5

4
2
6
1
5
5
 (No divida las bases de la potencia)
(52)6 = 58 (No sume los exponentes) (52)6 = 512
(-2)4 = -24 (Mala interpretación del paréntesis) (-2)4 = (-1)424 = 24
(-5)0 = -1 (Mala interpretación de la definición de b0) (-5)0 = 1 (Definición de b0)
3
3
2
1
2 
(Mala interpretación de la definición de b-n) 3
3
2
1
2 
(Definición de b-n)
143
4
3
22
2
2 

 (Descuido al restar exponentes)
7)4(3
4
3
22
2
2
 

53 + 53 = 56 53 + 53 = (1 + 1)53 = 2 . 53
(La adición de exponentes no se aplica con el signo de suma) (Propiedad distributiva)

4. (a + b)-1 = a-1 + b-1
ba
1
)ba( 1

 
(Mala aplicación de la definición del exponente negativo) (Definición del exponente negativo)
525  (Mal uso de la definición de a ) 525 
434/3
)16(16  (Mal uso de la definición de bm/n)   4 3
344/3
16ó1616 
(-2)-1/3 = 21/3 33/1
3/1
2
1
)2(
1
)2(



 
ba
1
ba 2/12/1

 
b
1
a
1
ba 2/12/1
 
EXPONENTES Y RADICALES
definimos:
tenemos:
b.b.b.b. .......b = b
n
; n lN
exponente natural
"n" veces
Exponente nulo
a = 1 ;
-n
a
n
Exponente negativo
n > 0
a  
a = 1 ; a 0
0

Exponente fraccionario
a =
m
n
amn
Multiplicación de
bases iguales
a . a = a
m+nm n
Potencia de un producto
Raíz de raíz
(ab) = a b
n n n
= a
n
b
n ; b 0a
b
n
= a
mnp
a
m n p
División de bases
iguales
=a
m
a
n a ; a 0
m-n
 Raíz de un producto
=ab
n
a
n
b
n
a > 0 b > 0
a > 0 b > 0
=
n
a
n
b
a
b
n
Consecuencia
= aa
m n p
a
q
a
r s
(np+q)r+s
mpr
Potencia de potencia
(a ) = a
m n mnp
p
Potencia de exponente
además:
= |a|a
2
en general:
= |a|a
2n2n
Nota:
= a ; a > 0a
nn
.
a = a
m m
n n
p p
Potencia de un cociente

5. BloqueI
1. Reducir:
22625324
24332342
)y,x(
)y()x()y()x(
)y()x()y()x(
S  ; x, y  0
a) x3y5 b) x5y3 c)
35
yx
1
d) x-3y-5 e) 1
2. Simplificar:
129
125
1
K








a) 1 b) 5 c)
5
1
d) -
5
1
e) - 5
3. Reducir:
2
4 2
33
812793
P









a) 1 b) 2 c) 3
d) 9 e) 27
4. Si: n = 24 . 48
Hallar el valor de: S = 5
n
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 16
5. Simplificar:
abbc
1c ba
cb
a
1
x.x
x.x
R 



 ; a  b ; c  0; a  0
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 8
6. Simplificar:
0n-3
1
2-n-3
1
2-
}).(-8)((-2)).8{(2 
“n” es par.
a) 0 b) 1 c)
2
1
d) 2 e) -1
Problemas para la clase
7. Simplificar:
1n21n
1n1n2
3-9
93



a) 4 b) 2 c) 1
d)
2
1
e)
3
1
8. Calcular:
3n2
33n223n2
3n2
5.54.5.5
225.)225(



a) 45 b) 25 c) 15
d) 5 e) 1
9. Hallar: a2 + b2; si: a, b  IN en:
3
4
ba-
a b
b a
3
b.a
b.a

a) 2 b) 8 c) 10
d) 15 e) 20
10.Reducir:
3
4
182 41682644
)x.])x([
Si: x > 0
a) 2x b)
2
x
c) x
d) x2 e) x3
BloqueII
1. Reducir:
1x
x
x
11 12x
2x
xE

 
















 ; x  0
a) x2 b) xx c) x
x
d) 1 e) x
2. Si: a + b = 7
Reducir:
ba
a2a
7a
aa
aaS 










 
a) 1 b) 2 c) a
d) b e)
2
1

6. 3. Reducir:
3 3 33 3 3 913 3
3
27L




 

a) 1 b) 3 c) 9
d) 27 e)
3
1
4. Calcule: UNI
Si :
12416
16U

 ;   44
4N  ; I = NU
a) 16 b) 8 c) 32
d) 1 e) 2
5. Simplifique:
m
mm3
m2m1m21m
55.2
5.25.2
E




; m  0
a) 5m b) 5 c) 10
d) 10m e) 2
6. Operar:
6
1
1-
1-
1-
2-2
5
3
-2
2
5
5
1













































a) 2 b) 2 c) 3
d) 5 e)
2
1
7. Simplificar:
3 43103 259 3 5
3 203 503125
9
)25(
5


a) 1 b) 2 c) 5
d)
2
1
e)
5
1
8. Simplificar:
nnn
nnnnnnn nnnn
n
1
.n








a) 1 b) 2 c) n
d) n2 e) nn
9. Calcular aproximadamente:
A = ...4242
a) 2 b) 2 3
2 c) 2
d) 16 e) 4 5
2
10.Hallar una relación entre “x” e “y” en:
3xy
y x-2yxxy
3
1
x.y
y.x


a) x = y b) y = 3x c) y = 2x
d) y = 5x e) 2x = 3y
BloqueIII
1. Si: nn = n+1
Reducir: n
nn n
n
1n
.nnM


a) 1 b) n c) n-1
d) n-2 e) n2
2. Simplificar:
0x;
x.x.x
x.x.x
P
1a 2a 3a 2a1aa
3a 2a 1a a1a2a

   
  
si: a = 2003
a) x2003 b) x2002 c) x
d) x-1 e) 1
3. Reducir :
12
2
2 2
2 2
2S












a) 1 b) 2 c) 2
d) 4 e) 2
2
4. Reducir:
aax
x ax
x axx 1aax
2R













 ; x  0
a) 2 b) 2x c) 2-1
d) 22 e) 1
5. Simplificar:
13 3
3 39
13 33
3 33
3 23 33
3
3
P

















7. a) 3 b) 9 c) 81
d) 27 e) 1
6. Simplificar:
125
5.5
5
1-
453
55
4
5


















a) 1 b) 5 c) 25
d) 125 e) 5
7. Si: ab =
a
b
1






= 2; calcular:
ab.ba1
b1aa1b
b-1aa-1b
ba
ba












a) 2 b)
2
1
c) 4
d)
4
1
e) 8
8. Reducir:
)1x(x
x)x(
4x
xxxx-x5




Si: xx = 5
a) 1 b) x c) x + 1
d) x2 e) x5
9. Si: x
x = 4; calcular:
x
x
2
1
xx
102
1
x























 








a) 3 b) 4 c) 2
d) 4
2 e) 41/4
10.Calcular:







 
1-aa
1aa
a ; si: a-a =
3
1
a) 2 3 b) 3 3 c) 4 3
d) 5 3 e) 3
1. Simplifique:
 
   
0y;0x;
yx
yyx
S 2322
323

a)
y
x
b)
x
y
c) 2
y
x
d)
y
x2
e) x.y
2. Reducir:
    0x;
x6
x3x2
P 4
223

a) 1 b) 4x8 c) 6x7
d) 6x8 e) 6x4
3. Simplifique: 0a;0b;
ba
ba
Q 25
5
23
32









 

a)
b
a
b)
a
b
c) ab
d) 2
2
b
a
e)
5
b
a






4. Reducir:
3
2
6
3
b
a8
R







 
 
a) - 4a2b4 b) 4a2b4 c) 2a2b3
d) 4b2a4 e) 1
5. Simplifica: 3
n44n3
n1n3
yx
yx
L 


a) x-1 y-n b) n
xy
4
c)
xy
2
d) xyn e) n
y
x
Autoevaluación
Claves
1. d 2. d 3. b
4. b 5. a

8. CIENCIAS - PAMER
4
AÑO
ÁLGEBRA
Exponentes II
Capítulo II
Hermanas con hermanos
Tres amigas, Irene, Sandra y Erika, tienen un hermano cada una, con el tiempo, cada chica acaba saliendo con el
hermano de una de sus amigas. Un día Irene se encuentra con el hermano de Sandra y le dice: “¡Mira!, ahí veo entrar
al cine a alguien con tu pareja”.
¿Puedes decir cómo están formadas las parejas?.
EXPONENTES Y RADICALES
definimos:
tenemos:
b.b.b.b. .......b = b
n
; n lN
exponente natural
"n" veces
Exponente nulo
a = 1 ;
-n
a
n
Exponente negativo
n > 0
a  
a = 1 ; a 0
0

Exponente fraccionario
a =
m
n
amn
Multiplicación de
bases iguales
a . a = a
m+nm n
Potencia de un producto
Raíz de raíz
(ab) = a b
n n n
= a
n
b
n ; b 0a
b
n
= a
mnp
a
m n p
División de bases
iguales
=a
m
a
n a ; a 0
m-n

Potencia de un producto
=ab
n
a
n
b
n
a > 0 b > 0
a > 0 b > 0
=
n
a
n
b
a
b
n
Consecuencia
= aa
m n p
a
q
a
r s
(np+q)r+s
mpr
Potencia de potencia
(a ) = a
m n mnp
p
Potencia de exponente
además:
= |a|a
2
en general:
= |a|a
2n2n
Nota:
= a ; a > 0a
nn
.
a = a
m m
n n
p p
Potencia de un cociente

9. Problemas para la clase
Bloque I
1. Efectuar:
3
1
1
2
1
343
1
3
1
4
1
4
1
2
4
1
M
 
































a)
2
1
b) 2 c) 8
d) 16 e) 32
2. Reducir:
)3(3
33
S 1n
1n3n




a) 3n - 1 b) 3n+1 - 1 c) 24
d) 1 - 3n e) 18
3. Reducir:
  }1{lNn;999E
n n21n
n
1n1n
1
n







a) 9 b) 18 c) 81
d) 162 e) 243
4. Efectuar:
5,049
27
8M



a) 0,5 b) 2 c) 0,75
d) 0,25 e) 2,5
5. Reducir:
25
27
3 3 3 222
)x( x.x.x.xM 









a) x b) x2 c) x3
d) x4 e) x7
6. Reducir:
x3 y3x
x2 y4xx yx
b
b.b
M



a) x6 y12x
bb19 b) x6 y12x19
b 
c) x3 y12x9
b  d) 63
b.b
e) 6
b.b
7. Reducir:
0n;nS
1n
1n
0n
n
n
2
2
n





























a) n
-2n b) n-n c) n2n
d) nn e) nn/4
8. Reducir:
3 3 3 222
radicales.............x.x.xS 
a) 1 b) 2x c) x
d) 3x e) 4x
9. Reducir:
x1x2x3x4x
x1x2x3x4x
77777
77777
S


 

a) 49 b) 343 c) 2401
d) 16807 e) 4096
10.Si:
xnym = 10n  xmyn = 10m
Hallar: x
y
)xy(A 
a) 1010 b)
10
1
10
1






c)
10
10
1






d) 10
1
10
e) 10
Bloque II
1. Reducir:
x
xx
xx
ba
ba
S 



a) ab b) a + b c)
ab
1
d)
b
a
e) a2 + b2
2. Calcular el valor de:
9n
29n229n
19n
39
90
S




a) 1 b) 2 c) 10
d) 9 e) 40

10. 3. Reducir:
133
3
93
3
22L











a)
2
1 b) 2 c) 4
d) 8 e) 216
4. Simplifique:
a
2a1 aa 2a1
2a1 1aa2
a.a
)aa(
J













 
a) a + 2 b) a
2 + a c) a - 2
d) a + 1 e) a
5. Simplifique:
abba:para;
xx
xx
M ba
b aa b




a) x b) 1 c) x -1
d) xa e) xb
6. A partir de:
9
a
ba
b 1
a 1
3
1
ba
ab
2












La relación que existe entre “a” y “b” es:
a) b = 3a b) b = 9a c) b = 6a
d) b = 27a e) a = b
7. Calcular:
5
3
812793
E 
a) 3 b)
3
1
c) -3
d) 9 e) 27
8. Reducir:
3
3
3 27
3
163
3 3
3 4
4
3
1
E





































a) 1 b) 3 c)
3
1
d) -3 e) 3-2
9. Simplificar:
0x;xxxS
0
x
2
x x
5
x5 x 2





















a) x b) x-1 c) x2
d) x-2 e) 2x
10.Efectuar:
0x;xxA
x
x
x
x 1x
1
1x













a) 1 b) x c)
x
1
d) -x e) x2
Bloque III
1. Reducir:















n n n n
n n n n
n 2
xxxx
xxxx
xS
2
a) n
x b)
2
n 2
x c)
3
n
x
d) n e)
4
n 2
x
2. Reducir:
 
  
0n;
)n(n
)n(nn
R
nnnn11
n
nnnnn









a) n b) n2 c) n-1
d) n-2 e) 1
3. Simplificar:
12
x
x
x
x
x
x
x
x
9
1a
a
a
2a
a
1a
3 a
2a
1
2
2
2
2.8
1
2
2.6
8
2
P























a) 2 b)
x
a
2 c) 1
d) 22 e) 2

11. 4. Reducir:
1
2
1
10
2
16323
1
4,0
)
16
1
()
125
1
()
2
1
()64()32(A
















a) 1 b)
3
1
c) -1
d) -
3
1
e) 3
5. Simplificar:
1
)n2m(
mn2
1
1
n2m
yx
yx
E

















a) x b) y c) xy
d) y
x
e)
n
y
x






6. Transformar:
122
42
8 2
16
2
2
2 2 4 2
4S



























a) 2 b) 2 c)
2
1
d) 1
2

e) 4
7. Transformar: 2a
1a 2aa a



Hallar:
2
2 a
a

a) 2 b) 4 c) 2
d) a e) a2
8. Calcular aproximadamente:
3 3 3
radicales.....42424L 
a) 1 b) 2 c) 4
d) 22 e) 2
9. Efectuar:
4
ab baba )ab(
)ab()ba(P 




  
(a - b) es impar.
a) 0 b) 1 c) a - b
d) b - a e)
ba
1

10.Simplificar:
44
4 5
44
4 3
64S











a) 22 b) 24 c) 4
2
d) 4
4 e) 8
1. Reducir:
80
81
3 3 3 3 2222
x.x.x.xS











a) x b) x2 c) xx
d) xx - 1 e) x-1
2. Simplificar:
40 30 50 300 600985838
x.x.x.x
a) x b) x2 c) xx
d) x-1 e) x20
3. Reducir:
radicales....222
radicales....666
S



a) 2 b) 3 c) 6
d) - 6 e) - 2
4. Reducir: x4x3x2x1x
x4x3x2x1x
33333
33333
K


 

a) 4 b) 27 c) 9
d) 81 e) 243
5. Reducir: 23223242
33422324
)y()x()y()x(
)y()x()y()x(
S 
a) x4 b) y3 c) x4y3
d) x3y4 e) x2y2
Autoevaluación
Claves
1. a 2. a 3. b
4. d 5. c

12. CIENCIAS - PAMER
4
AÑO
ÁLGEBRA
Bombones
En una fiesta hay 15 mujeres y algunos hombres. Primero cada mujer le regala un bombón a cada hombre conocido,
que se lo come inmediatamente. Después cada hombre le regala un bombón a cada mujer desconocida. En total se
regalan 240 bombones.
Con esta información, ¿se puede determinar el número de hombres que hay en la fiesta?
Son productos indicados que tienen una forma determinada,
de los cuales se puede recordar fácilmente su desarrollo,
sin necesidad de efectuar la operación.
1. Trinomio cuadrado perfecto
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Identidad de Legendre
I1: (a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)
I2: (a + b)2 - (a - b)2 = 4ab
2. Diferencia de cuadrados
(a + b) (a - b) = a2 - b2
3. Desarrollo de un trinomio al cuadrado
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
(ab + bc + ca)2 = a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc (a + b + c)
4. Desarrollo de un binomio al cubo
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Identidades de Cauchy
I3: (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
I4: (a - b)3 = a3 - b3 - 3ab (a - b)
Relaciones particulares:
(a + b)3 + (a - b)3 = 2a(a2 + 3b2)
(a + b)3 - (a - b)3 = 2b(3a2 + b2)
5. Suma y diferencia de cubos
(a + b) (a2 - ab + b2) = a3 + b3
(a - b) (a2 + ab + b2) = a3 - b3
6. Desarrollo de un trinomio al cubo
Según Cauchy se puede escribir así:
(a+b+c)3 = a3 + b3 + c3 + 3ab(a+b)+3bc(b+c)+3ca(c+a) + 6abc
Otras formas más usuales del desarrollo:
(a + b + c )
3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b) (b + c) (c + a)
(a+b+c)3 =a3 +b3+c3+3(a+b+c)(ab+ac+bc) -3abc
(a+b+c)3 =3(a+b+c)(a2+b2+c2) -2(a3+b3+c3) +6abc
7. Identidades de Stevin
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
(x+a)(x+b)(x+c) =x3+(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x+abc
(x-a)(x-b)(x- c) =x3 -(a+b+c)x2+(ab+bc+ ca)x-abc
8. Identidad trinómica de Argand
(x2m + xmyn + y2n) (x2m - xmyn + y2n) = x4m + x2my2n + y4n
Formas particulares más usuales:
Si: m=1 , n=1
(x2 + xy + y2)(x2 - xy + y2) = x4 + x2y2 + y4
Si: m=1, n=0
(x2 + x + 1) (x2 - x + 1) = x4 + x2 + 1
9. Identidad de Lagrange
(a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 + (ay - bx)2
(a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) =
(ax + by + cz)2 + (ay - bx)2+(bz - cy)2+(az - cx)2
10.Igualdades condicionales
Si: a + b + c = 0, se verifican las siguientes relaciones
notables:
* a2 + b2 + c2 = -2(ab + bc + ca)
* a3 + b3 + c3 = 3abc
* a4 + b4 + c4 = 2(ab + bc + ca)2 =
2
1
(a2 + b2 + c2)2
Productos notables
Capítulo III

13. Problemas resueltos
1. Reducir:
L = (x + 4) (x + 2) + (x + 3) (x + 5) - 2x (x + 7) + 7
Solución:
Aplicando: (x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab
tenemos:
L = x2 + 6x + 8 + x2 + 8x + 15 - 2x2 - 14x + 7
 L = 30
2. Si: 3
x
1
x
2






 ; hallar:
3
3
x
1
xS 
Solución:
Desarrollando: x2 + 2x 





x
1
+ 2
x
1
= 3
 1
x
1
x 2
2
 ; luego de “S” :












 2
2
3
3
x
1
1x
x
1
x
x
1
xS
Reemplazando:   0S00
x
1
xS 






3. Reducir:
S = (x + 1)(x + 2)(x + 3) + (x - 1) (x - 2) (x - 3)
- 2x(x2 + 11) - 1
Solución:
Operando :
S = x3 + 6x2 + 11x + 6 + x3 - 6x2 + 11x - 6 - 2x3 - 22x - 1
De donde :
S = - 1
4. Reducir:
abc
)ca()cb()ba(
P
333


Si : a + b + c = 0
Solución:
Tenemos que: a + b = - c
b + c = -a
a + c = -b
Luego reemplazando:
abc
abc3
abc
)cba(-
abc
)b-()a-()c-(
P
333333





P = -3
5. Reducir:
57
57
57
57
S






Solución:
Operando:
22
22
22
57
)57(2
)57)(57(
)57()57(
S






12
2
)57(2
S 


 S = 12
BloqueI
1. Multiplicar:
  212121212S
488





 




 




 
a) 1 b) 2 c) 22
d) 2 e) 84
2. Multiplicar:
154.154P 
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 16
3. Operar:





 




 
33333
4144927S
a) 9 b) 5 c) 3
d) 1 e) 16
4. Reducir:
   22
3737P 
a) 2 b) 10 c) 20
d) 40 e) 16
5. Simplificar:
0y,x;
x
y
y
x
x
y
y
x
S
22













a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
Problemas para la clase

14. 6. Si:
a + b = 4
ab = 1
Hallar:
P = (a2 + b2)2
a) 190 b) 196 c) 197
d) 198 e) 194
7. Si:
a + b = 4
ab = 1
Hallar:
S = a3 + b3
a) 52 b) 51 c) 50
d) 49 e) 60
8. Calcular el valor de:
32 643216842
)12)(12)(12)(12)(12)(12(31S 
a) 4 b) 8 c) 16
d) 160 e) 64
9. Multiplicar:
   62532532P 
a) 0 b) 1 c) 2
d) 62 e) 10
10.Multiplicar:
R = (x2 + xy + y2) (x2 - xy + y2) - (x4 + y4)
a) -x2y2 b) x2y2 c) x4y4
d) x6y6 e) x8y8
BloqueII
1. Encontrar el equivalente de:
R = 2(a2 + b2 + c2 + ab + bc + ac)
Si: x = a + b ; y = b + c ; z = c + a
a) x + y + z b) xyz c) x2y2z2
d) x2 + y2 + z2 e) xy + yz + zx
2. Hallar el valor numérico de:
E = (a2 - b2) [(a2 + b2)2 - a2b2]
Para:
12b
12a
3
3


a) 9 b) 24 c) 26
d) 6 e) 1
3. Siendo:
a = x(x2 + 3)  b = 3x2 + 1
Hallar:  3
1
22
ba 
a) x2 - 1 b) x3 + 1 c) x2 + x - 1
d) x3 - 1 e) x2 + 1
4. Si:
33
24P 
Calcular el valor de: )6P()6P(PM 
a) 6 b) 9 c) 3
d) 2 e) 0
5. El valor numérico de:
33
10361036S 
a) 1 b) 2 c) 2
d) 2 2 e) 4
6. Siendo:
A = (a + b)2 - (a - b)2
B = (a2 + b2)2 - (a2 - b2)2
C = (a3 + b3)2 - (a3 - b3)2
Obtener:
C
AB
S 
a) 1 b) 2 c) -2
d) 4 e) 4ab
7. Si:
32ab;
b2
b3a
y;
a2
ba3
x
2222





Determinar el valor de:
   3
2
3
2
yxyxw 
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 16
8. Evaluar: 3xxE 1010
 
Siendo: 3xx 1
 
a) 1 b) 2 c) 5
d) 7 e) 3
9. Si:
110ba
110100ab
322
33


Obtener: N = (a + b)4 - (a - b)4
a) 100 b) 88 c) 64
d) 168 e) 60

15. 10.Obtener el valor de:
S = (a + b) (a2 + b2) (a4 + b4) (a - b) + 2b8
Para: 12a   12b 
a) 28 b) 30 c) 34
d) 47 e) 62
BloqueIII
1. Reducir:
S = (a + 1) (a - 1) (a4 + a2 + 1)
Si: 154154a 
a) 9 b) 99 c) 999
d) 9999 e) 1
2. Si: a + b + c = 0
Calcular:
)ac()cb()ba(
)ac()cb()ba(
M
333



a) 3 b) -3 c) 4
d) -2 e) 16
3. Si: 0zyx
666

Calcular:
xzyzxy
)zyx(xyz9
L
3



a) 1 b) 2 c) -2
d) 4 e) 8
4. Si:
a3 + b3 + c3 = 4abc
a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac + 1
Calcular:
bcacab
a
cb
b
ca
c
ba






a) 0 b) 1 c) -1
d) -3 e) 3
5. Sabiendo que:
33
5
14
5
3
1
5
14
5
3
1x 
Calcular: E = 5x3 + 3x + 1
a) 1 b) 11 c) 3
d) 4 e) 8
6. Simplificar:
222222
444
)xz()zy()xz()yx()zy()yx(
)xz()zy()yx(
S



a) 5 b) 3 c) 4
d) 2 e) 1
7. Si:
x + y + z = 1
x3 + y3 + z3 = 4
Calcular:
xyz
1
zxy
1
yzx
1
P






a) -2 b) 2 c) -1
d) 1 e) 3
8. Si: a + b + c = 0 ; reducir:


















 22
22222
cbcb
baba
ab
c
ac
b
bc
a
S
a) 3abc b) 3 c) -3
d) -3abc e) 1
9. Si se cumple que:
(x + y + 2z)2 + (x + y - 2z)2 = 8(x + y)z
Hallar:
879
yz
xz
yz
zx
z2
yx
E 




















 

a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
10.Si: a2 + b2 + c2 = 12
ab + bc + ac = 12
abc = 8
Calcular:
E = a3(ab+ac) + b3(ab+bc) + c3(ac+bc)
Considerar: a + b + c > 0
a) 216 b) 192 c) -216
d) -192 e) 190
1. Reducir:
22
x3
y2
y2
x3
x3
y2
y2
x3
S 












a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
2. Simplificar:
25
25
25
25
P






Autoevaluación

16. a)
3
7
b)
2
7
c)
6
7
d)
3
14
e)
5
14
3. Si : a + b + c = 0
Calcular :
acbcab
cba
R
222



a) 1 b) 2 c) - 1
d) - 2 e) 0
4. Reducir: 22
)38()38(K 
a) 20 b) 19 c) 22
d) 23 e) 40
5. Simplificar:
R = (a + b + c + d)2 - (a + b + c) (a + b + d) -
(b + c + d) (a + c + d)
a) ab b) ac + cd c) cd + ab
d) -cd - ab e) 0
Claves
1. d 2. d 3. d
4. c 5. d

17. CIENCIAS - PAMER
4
AÑO
ÁLGEBRA
Los Obstáculos
Todos los seres humanos, cuando intentamos lograr cualquier cosa en la vida, nos encontramos obstáculos que nos
lo impiden, y entre mayor dificultad encontramos, mayor facilidad adquirimos. Los obstáculos nos significan los retos
que debemos afrontar para hacer realidad nuestros sueños. Anotaba Albert Einstein: “Qué sería del mundo sin los
soñadores”; con los que soñaron en su tiempo que el hombre podía volar, encender un foco, comunicarse a través de
un cable, crear la radio, el telégrafo, etc. No solamente eran soñadores, sino que además eran pacientes, no en el
sentido de esperar pacientemente a que las cosas sucedieran, sino que insistían incansablemente hasta lograr su
objetivo. Muchos de ellos tuvieron que luchar ante la falta de recursos o la desaprobación generalizada, que los
tachaba de locos, pues lo que intentaban en opinión de los demás resultaba imposible.
Tomás Alva Edison llegó a la bombilla incandescente después de 5 mil intentos. Imaginémoslo a la mitad de sus
experimentos; de no haber sido un optimista consumado, lo hubiera dejado a la mitad del camino.
TEORÍA DE ECUACIONES
una
igualdad
es
una relación de comparación que
se establece entre dos expresiones
el cual nos indica que tienen el
mismo valor.
A B
1 miembroer
2 miembrodo
=
CLASES DE IGUALDAD
Absolutas Incondicionales Relativas Condicionales
es es
Aquella que se verifica para todos los
valores asignados a sus incógnitas
Ejm: (x+1) = x + 2x + 1
la igualdad se verifica para cualquier
valor real de "x".
2 2
Aquella que se verifica para ciertos
valores particulares que se les atribuye a
sus incógnitas
Ejm: 2x+1 = x + 7
se verifica solo si: x = 6
2(6) + 1 = 6 + 7
Ecuaciones de primer grado
Capítulo IV

18. ECUACIÓN
es
Solución o raíz Conjunto solución Ecuaciones equivalentes
son es el es dos
Aquellos valores que asumen
las incógnitas las cuales veri-
fican o satisfacen una deter-
minada ecuación.
Conjunto formado por
todas las soluciones.
Efectuar en ellas todas las
operaciones necesarias para
obtener sus soluciones.
Ecuaciones son equivalentes
si todas las soluciones de la
primera ecuación son tam-
bién soluciones de la segun-
da ecuación e inversamente.
Así para
Dada la ecuación:
x - 5x = x - 11x + 6
Para: x = 1 -4 = -4
3 2 2
Para: x = 2 -12 = -12
Para: x = 3 -18 = -18
luego las raíces o soluciones
son:
x = 1; x = 2; x = 3
Como las soluciones de la
ecuación:
x - 5x = x - 11x + 6
Son : x = 1; x = 2; x = 3
entonces el conjunto solu-
ción (C.S.) es:
C.S. = {1; 2; 3}
3 2 2
Conseguirlo se le transforma
sucesivamente en otras
equivalentes.
hasta
Conseguir que ello sea
sencillo y permita hallar el
valor de la incógnita.
las ecuaciones:
x + 2x = 14 ; 5x - 36 = 2x
2 3
son equivalentes puesto que
ambas ecuaciones se
verifican solamente para:
x = 12
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
Una igualdad condicional que queda satisfecha solo
para algunos valores asignados a sus variables.
Así : 5x - 3 = + 25
3
x
queda satisfecha solo cuando: x = 6
Así
Así
Así:
Ej:
x(3x-1)+5=3(x-3)-10x+6
al reducir se obtiene:
5 = 6
la ecuación es absurda
irracional
si
cuando
CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES
según
Estructura
fraccionaria
Número de soluciones
será
Cuando presenta variables
en su denominador:
Ej.:
su el
x+1
x+2
x - 1
x - 3
+ = 1
Compatibles incompatibles o
absurdas
cuando
Admite por lo
menos una solución
no existe ninguna
solución
C.S. = 
y es
determinada indeterminada
si
existe un número
finito de soluciones
el número de solu-
ciones es ilimitada
Cuando la incógnita se en-
cuentra dentro de un radical.
Ej.:
x+1 + x - 4 = 7

19. si
si
ECUACIÓN DE PRIMER GRADO
forma general
Análisis de sus raíces
si
Teoremas
de
a 0 b lR x = -
solución única
(Compatible determinada)
   
b
a
Transposición
* a+b = c a = c-b
* ab = c a = c ; si: b 0
b
* a = c a = bc ;
b

 
 si: b 0
ax + b = 0
si
a = 0 b = 0 0 x = 0
"x" admite cualquier solución
(Compatible indeterminada)
 
a = 0 b 0 0x = -b
no existe ningún valor "x"
que multiplicado por cero
de como resultado "-b"
(Incompatible ó absurda)
  
Cancelación
si
* a+c = b+c a = b; si: c lR
* ac = bc a = b; si: c 0
* a = b
c c
 
 
 a = b; si: c 0
Problemas resueltos
1. Resolver: 40
15
x9
5
x3
3
x2

Solución:
Multiplicando ambos miembros por el M.C.M. de los
denominadores : 15
 4015
15
x9
15
5
x3
15
3
x2
15 

















 5(2x) + 3(3x) = 9x + 600
10x + 9x = 9x + 600
eliminando 9x: 10x = 600  x = 60
2. Resolver :
3x
1
1
3x
1



Solución:
Tener presente que el denominador es diferente de cero.
Es decir : x - 3  0  x  3 ...... (1)
Reduciendo la ecuación:
3x
1
3x
3x1




Cancelando (x - 3):
1 + x - 3 = 1
x = 3 .......... (2)
De (1) y (2) se observa una contradicción.
Concluimos: la ecuación no tiene solución o es
incompatible.
3. Resolver:
4x
x
2x
3
4x
x5
2x
3
22







Solución:
Reduciendo las fracciones a común denominador resulta:
4x
x
)2x)(2x(
)2x(3
4x
x5
)2x)(2x(
)2x(3
22









4x
x
4x
)2x(3
4x
x5
4x
)2x(3
2222










4x
x)2x(3
4x
x5)2x(3
22





Para: x = 2  x = -2, los denominadores se anulan por
tanto: x  ± 2 ........ (1)
3(x - 2) - 5x = 3 (x + 2) + x  6x = - 12

20. De donde: x = -2 ............... (2); de (1) y (2) se observa
una contradicción
Se concluye : la ecuación no tiene ninguna solución o
es incompatible.
4. Resolver : 11x4x 
Solución:
Transponiendo: 1x 
1x14x 
Elevando al cuadrado miembro a miembro:
2
2
2
1x1x214x 
 1x1x214x 
Reduciendo se tiene:
1x24   21x 
Al cuadrado : x - 1 = 4  x = 5
Llevando: x = 5 a la ecuación propuesta:
11x4x   11545 
3 - 2 = 1 (Se verifica la igualdad)
 la solución es: x = 5
5. Resolver : 75xx 
Solución:
x75x 
Elevando al cuadrado miembro a miembro:
2
2
)x7(5x   x + 5 = 49 - 14x + x2
x2 - 15x + 44 = 0
x - 11
x - 4
Verificando en la ecuación original:
75xx 
Si: x = 11  751111   11 + 4 = 7 (Falso)
Si: x = 4  7544   4 + 3 = 7 (Verdadero)o)
 la única solución es: x = 4
6. Resolver : (x - 2) (x - 4) = 5x(x - 4)
Solución:
Llevando 5x(x - 4) al primer miembro:
(x - 2) (x - 4) - 5x (x - 4) = 0
Extraemos el factor común (x - 4):
(x - 4) [(x - 2) - 5x] = 0
x - 4 = 0  (x - 2) - 5x = 0
Despejando para c/u se tiene:
x = 4 x = -
2
1
BloqueI
1. Resolver:
5 - {-x + -(4 - 2x) - 5} = x + (-5 + 2x)
a)
17
4
b)
4
17
c)
13
2
d)
2
13
e)
4
19
2. Resolver :
2
6x
5
x3
2
x 

a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
3. Resolver:
3
x4
7
x32
2
3x




a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 18
4. Resolver:
6xx
3
3x
1
2x
1
2





a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 7
5. Resolver:
1xx12x9xx4x 222

a)
3
1
b)
2
1
c)
6
1
d) -
6
1
e)
4
1
6. Resolver:
(x - 3)2 + 5x = (x + 2)2
a) 1 b) -1 c) 2
d) 3 e) 2
7. Resolver:
x37  = 3
a) 2 b) 1 c) 3
d) 4 e) 5
Problemas para la clase

21. 8. Resolver:
6
1
2
x
3
x
2
1x


a) -1 b) 1 c) 2
d) -3 e) 5
9. Resolver:
1
n
nx
m
mx




a) -
nm
mn

b) m + n c)
n-m
mn
d) m - n e) mn
10.Resolver:
2(x - 5)2 + x2 = (x - 6)2 + 2(x2 - 1)
a) 6 b) 5 c) 2
d) -2 e)
2
1
BloqueII
1. Resolver: (x + 5)3 - x3 - 15x2 = 50
a) 0 b) -1 c) -2
d) 1 e) 2
2. Resolver: 11x1x 
a)
4
5
b)
5
4
c)
4
1
d) 1 e) -1
3. Resolver: 32x13x 
Hallar la inversa de su solución
a) 3 b)
3
1
c) 2
d) 4 e)
4
1
4. Sea la ecuación de 1er grado:
(m - 7) x2 + (m2 + 2m + 6)x + 3m + 2 = 0
Hallar “x”.
a) 0 b) 7 c)
3
1
d) -
3
1
e) -7
5. Resuelva c/u de las ecuaciones, luego indique:
z
y.x
A.
4x
2x
2
2
1




B.
15
1
5
2
5
3
1
3
1
y
5
3
1





C. 2
3z
5z2
5z2
3z






a)
5
1
b) -
7
1
c)
4
1
d) 1 e) -
5
1
6. Resolver:
x
5
)3-x2(x
3
-
3-2x
1

a)
3
5
b)
3
4
c)
3
1
d) 3 e) -
3
1
7. Resolver:
ab
)b-a(ax3
a
b-x
b
ax2
2



a) 2b b) 2a c) a + b
d) a - b e) 1
8. Resolver:
3
3x
3)-2(x
-
2x
)2-x(5


a)
2
7
b)
2
11
c) -
2
9
d)
2
1
e) -
2
1
9. Resolver:
1
b-a
x
)b-a(2
1-ba
ba
x2
b-a
x
22






22. a)
2
b-a
b)
2
ba 
c) a + b
d) a - b e)
3
ba 
10.Resolver:











1-
1x
9
4
1
1x
1-x
-
2
1
3
a)  b) 5 c) 4
d) 3 e) 2
BloqueIII
1. Resolver :
)cba(xabc1
ac
x
bc
x
ab
x

a)
cba
abc

b)
abc
cba 
c) abc d) a + b + c
e) 1
2. Resolver:
2
1
1x
1x
1
1x
1x
1x
1x









a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
3. Resolver:
333
a5xaxa 
a)
4
5
a2 b)
5
4
a2 c)
4
a2
d)
5
a2
e) a2
4. Marcar V o F
I. La ecuación: x - (5 - x) = 3 - (-2x + 8)
es indeterminado.
II. La ecuación : 3x + (x-5) = 2x - (-2x+3)
es incompatible.
III. La ecuación: x19x8 
es indeterminado.
a) VFV b) FFF c) VFF
d) VVV e) VVF
5. Calcular “n”, si la ecuación:
(n + 1)2 x + 7 = (n - 3)2 x + 15
es incompatible
a) 2 b) 3 c) 1
d) 4 e) 5
6. Resolver:





 
c
1
b
1
a
1
2
ab
c-x
ac
b-x
bc
a-x
abc  0
a) 1 b) a + b + c c) a + b - c
d)
2
cba 
e) a - b - c
7. Resolver:
1
b-ax
1b-a
bax
1x






a)
b
a
b)
1b
a

c)
1-b
a
d)
b
1a 
e)
b
1-a
8. Resolver:
1
cba
x4
a
x-cb
b
x-ca
c
x-ba








a) a + b + c b) a - b - c
c) a - b d) a + b
e)
c
ba 
9. Resolver:
cba
ca
ac-x
cb
bc-x
ba
ab-x






a) a + b + c b) ab + bc + ac
c)
2
cba 
d)
c
b-a
e) abc
10.Si: a  b  -c; resolver:
ca
c
1x
a
b-c
a
1x
c
ba













 
a) a b) c c) ac
d) ac + 1 e) ac - 1

23. 1. Resolver: 8 - 3x + 25x2 = (1 - 5x)2
a) - 2 b) - 1 c) 0
d) 1 e) 2
2. Resolver:
5
4x
4
3x
3
2x
2
1x 






a)
53
67
b)
67
53
c)
53
37
d)
37
53
e) 1
3. Resolver: 42x6x  , indicar: x2 + x + 1
a) 13 b) 12 c) 11
d) 10 e) 9
Autoevaluación
4. Sea la ecuación de 1er grado:
(a + 5) x2 + (a + 3) x + 7 - 3a = 0
Hallar “x”.
a) 9 b) -5 c) -3
d) 11 e) 12
5. Hallar “x” en:
33x1234 
a) 1 b) 20 c) 30
d) 40 e) 12
Claves
1. b 2. a 3. a
4. d 5. e

24. CIENCIAS - PAMER
4
AÑO
ÁLGEBRA
Factorización I
Capítulo V
Aprendizaje y superación
Carlos A. Madrazo decía: “Conozco dos tipos de hombres: los que nunca fracasan y los que tienen éxito”. Por
supuesto, los primeros nunca fracasan porque nunca intentan nada; en cambio, los segundos acumulan tal cantidad
de fracasos que a través de ellos aseguran el éxito.
Si usted solamente intenta lo que está seguro que le va a salir bien, le puedo predecir que logrará pocas cosas en la
vida. Si intenta muchas cosas y algunas le salen bien, también le puedo predecir que usted será un triunfador.
La madurez es la gran capacidad del ser humano de cambiar para ser mejor; el ser siempre joven es aquel que no
ha detenido su crecimiento y día a día busca su superación; es el que sabe decir genuinamente cuando desconoce un
tema: “No sé”, y esto le llega una gran cantidad de información que lo enriquece y que le asegura su permanente
desarrollo.
No se detenga, siga adelante. El crecimiento es permanente y en la vida el poder destacar solamente está permitido
para aquellos que tienen la osadia de buscar su superación día a día.
CONCEPTOS PREVIOS
Factor o Divisor
es
Factor Algebraico
es
Factor Primo
si
Todo polinomio que
divide en forma exacta
a otro polinomio.
así
Todo polinomio de
grado no nulo que
divide en forma exacta
a otro polinomio.
Admite por divisores
a 1 y a si mismo.
así
así
P = xy(x;y)
P = x(y - 1)(x;y)
P = xy(x;y)
2
sus sus
sus
Divisores son:
P = 11(x;y)
P = x
P = y
P = xy
2(x;y)
3(x;y)
4(x;y)
Divisores son:
P =11(x;y)
P =x
P =y - 1
P =x(y - 1)
2(x;y)
3(x;y)
4(x;y)
 No es factor
algebraico
Divisores son:
P = 11(x;y)
P = x
P = y
P = y
P = xy
P = xy
2(x;y)
3(x;y)
4(x;y)
5(x;y)
2
2
6(x;y)
únicos
factores
primos

25. FACTORIZACIÓN
Definición
Consiste en transformar un polinomio en otra
equivalente expresada en una multiplicación de factores
primos sobre un determinado campo numérico.
P = 2x - 5x + 3
en (enteros)
(x)
2
OBSERVACIONES
Un polinomio está sobre un
determinado campo numérico
si sus coeficientes pertenecen
a dicho campo numérico.
Factor primo o polinomio irre-
ductible es todo polinomio de
grado no nulo (no constante)
que no se puede expresar co-
mo la multiplicación de dos o
más factores.
La factorización de un polino-
mio lo realizamos en el campo
de los números enteros ( ) es
decir los factores primos de-
ben presentar únicamente
coeficientes enteros.
Todo polinomio de primer
grado : = ax + b;
es irreductible en cualquier
campo numérico.
P(x)
Así
P(x) = 4x - 3
Así
Factorizar en :
9x -4y = (3x+2y)(3x-2y)
2 2
Así
P = x - 4 no es primo
pues: = (x+2)(x-2)
(x)
2
P(x)
Así
Coeficientes enteros
R = 3x + 2ix + i
en C (complejos)
(x)
2 3
Q(x) = x - 6 es primo
R(x) = x + 1 es primo
2
Factorizar en lR:
2x -3y = ( 2x + 3y)( 2x- 3y)
2 2
Coeficientes reales
Factorizar en C:
4x +1 = (2x + i) (2x - i)
2
Coeficientes complejos
Q(x;y) = x + y - 1
R(x;y;z) = 2x - 3y + 4z
ZZ
Q = 5x + 3 x -1x+1
2
en lR (reales)
(x)
3 2
ZZ
ZZ
CRITERIOS DE FACTORIZACIÓN
P = ax y +bx y
factor común : x y
(x;y)
5 5 4 6
4 5
Eligen las bases
comunes afectadas al
menor exponente.
Así
FACTOR COMÚN AGRUPACIÓN IDENTIDADES ASPA SIMPLE
se
Seleccionan conveniente-
mente los términos de
tal manera que genere
un factor común.
se
la aplicación inmediata
de algunos productos
notables.
es
Aplicable generalmente a
trinomios. El proceso consta
de 3 pasos:
* Descomponer los extremos
* Prueba de aspa
* Escritura de los factores
es
P(x;y) = x y (ax+by)
4 5
luego
Nota:
Los factores primos de
son:P(x;y)
P
P
P
1(x;y)
2(x;y)
3(x;y)
= x
= y
= ax + by
P(x;y) = x +xy+xz+y +yx+yz
agrupando de 3 en 3
2 2
Así
P
P
(x;y)
(x;y)
= x(x+y+z)+y(y+x+z)
factor común: x + y + z
= (x+y+z)(x+y)
luego
A - B = (A+B) (A-B)
2 2
Diferencia de cuadrados
A +B = (A+B) (A -AB+B )
3 3 2 2
A + )
3 3 2 2
-B = (A-B) (A AB+B
Suma y Diferencia de cubos
Trinomio cuadrado perfecto
A +A B +B = (A +AB+B )(A -AB+B )
4 2 42 2 2 2 2
Identidad de Argand
Así
P(x;y) = 2x +5xy+2y
2 2
2x y = xy
x 2y = 4xy
5xy
luego
P(x;y) = (2x+y)(x+2y)
A +2AB+B = (A+B)
2 2 2
A
2 2
-2AB+B = (A - B)
2

26. Problemas resueltos
1. Factorizar: a3b4c5 + a3b3c5y + a2b4c5x + a2b3c5xy
Dar como respuesta el número de factores primos
Solución:
Extraemos el factor común: a2b3c5
E = a2b3c5 [ab + ay + bx + xy]
Agrupando de 2 en 2:
E = a2b3c5 [(ab + ay) + (bx + xy)]
E = a2b3c5 [a(b + y) + x(b + y)]
E = a2b3c5 (b + y) (a + x)
Los factores primos son:
a; b; c; (b + y); (a + x) Total 5
2. Factorizar : P(x;y) = x2 + y2 + x(y+z) + y(x+z)
Dar como respuesta la suma de factores primos
Solución:
Efectuando: P(x;y) = x2 + y2 + xy + xz + yx + yz
Agrupando convenientemente:
P(x;y) = (x2 + y2 + xy + yx)+(xz + yz)
P(x;y) = (
  
perfecto
cuadradoTrinomio
22
xy2yx  ) + (xz + yz)
P(x;y) = (x + y)2 + z(x + y)
Factor común : (x+y)
P(x;y) = (x + y) (x + y + z)
Los factores primos son: (x + y); (x + y + z)
La suma de factores primos es:
x + y + x + y + z
2x + 2y + z
3. Factorizar: R = (x - 3)3 + 125
Indicar la suma de coeficientes del factor primo de 2do
grado.
Solución:
A potencia 3:
R = (x - 3)3 + 53 suma de cubos
R = [(x - 3) + 5] [(x - 3)2 - (x - 3)(5) + 52]
Desarrollando y reduciendo:
R = (x + 2)(x2 - 6x + 9 - 5x + 15 + 25)
R = (x + 2) (x2 - 11x + 49)
Factores primos:

gradoPrimer
2)(x  
  
gradoSegundo
2
)9411x-(x 
Finalmente la suma de coeficientes del factor primo de
2do grado es: 1 - 11 + 49 = 39
4. Hallar la suma de los factores primos de:
M = 2x5 + 5x4 - 26x3 - 65x2 + 72x + 180
Solución:
Agrupando de 2 en 2:
M = (2x5 + 5x4) - (26x3 + 65x2) + (72x + 180)
Descomponiendo cada paréntesis:
M = x4 (  5x2  ) - 13x2 (  5x2  ) + 36 (  5x2  )
Factor común : 2x + 5
M = (2x + 5) [x4 - 13x2 + 36]
x2 -4
x2 -9
-4x2
-9x2
-13x2Suman:


Luego:
M = (2x + 5) (x2 - 4) (x2 - 9)
M = (2x + 5) (x2 - 22) (x2 - 32)
Diferencia de cuadrados
M = (2x + 5) (x + 2) (x - 2) (x + 3) (x - 3)
Donde la suma de sus factores primos será:
(2x + 5) + (x + 2) + (x - 2) + (x + 3) + (x - 3) = 6x + 5
5. Factorizar: P(x) = 4x4 - 101x2 + 25
Solución:
P(x) = 4x4 - 101x2 + 25
4x2 -1
x2 -25
-x2
-100x2
-101x2Suman:


Luego: P(x) = (4x2 - 1) (x2 -25)
Transformando cada factor a una diferencia de
cuadrados:
P(x) = [(2x)2 - 12] [x2 - 52]
Finalmente:
P(x) = (2x + 1) (2x - 1) (x + 5) (x - 5)
Problemas para la clase
BloqueI
1. Factorizar:
F(x;y;z) = x2 + xy + xz + yz
indicando la suma de factores primos.
a) 2x+y+z b) 2y+x+z c) 2z+x+y
d) x - y - z e) x + y - z
2. Factorizar:
P(x) = x3 (x - 3) + 3x2(x - 3)
indicando el número de factores primos.
a) 3 b) 2 c) 4
d) 1 e) 5
3. Factorizar:
P(x) = x2(x + 7) + 4x(x + 7) + 4x + 28
Indicando un factor primo.

27. a) x + 1 b) x + 2 c) x + 3
d) x + 8 e) x + 9
4. ¿Cuántos factores primos de segundo grado tiene el
siguiente polinomio?
P(x;y) = x5y + ax4y + x3y + ax2y
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
5. Factorizar:
F(x) = 8x6 + 7x3 - 1
indicar el número de factores primos
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
6. Factorice:
P(x) = x4 - 16
indicando un factor primo.
a) x + 4 b) x2 + 4 c) x2 - 2
d) x2 + 2 e) x2 - 4
7. Factorizar:
P(x; y) = 2x2y + 3xy2 + xy
Indicar el número de factores primos.
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
8. Factorizar:
P(x; y; z) = x2 + xy + zx + zy + x + y
Indicar un factor primo.
a) x + y b) x + y + z c) x + 1
d) z + 1 e) x + z - 1
9. Factorizar:
P(x; y) = 3x2 + 20xy + 12y2
e indicar la suma de factores primos.
a) 4x - 8y b) 4x + 8y c) 2x - 4y
d) 2x + 4y e) 3x2 + 12y2
10.Factorizar:
P(x; y) = 15x2 + 11xy + 2y2 + 16x + 6y + 4
Indicar un factor primo.
a) 3x + y b) 3x + y + 2 c) 5x + 2y
d) 5x - 2y + 2 e) 5x + 2
BloqueII
1. Dar la suma de los términos independientes de los
factores primos de:
P(x,y) = x2 + 2x + xy + y + 1
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 6
2. Indicar verdadero (V) o falso (F)
I. Un factor primo del polinomio:
P(x;y) = xm+n + ym+n + (xy)m + (xy)n
luego de factorizar es: xn + ym
II. Si factorizamos el polinomio:
P(x;y;z) = (x3+y3+z3)3 - x9 - y9 - z9
se obtienen 7 factores primos
III. Factorizando:
P(x;y) = (x-y)3 - (x-y)2 - 2(x-y)
la suma de sus factores primos es:
3x - 3y - 1
a) FFF b) VFF c) FVF
d) VVV e) VFV
3. Factorizar:
P(a;b;c) = (a-b)(a3-c3) - (a-c)(a3-b3)
la suma de sus factores primos es:
a) 3a-b-c b) 3a+b+c c) 3a-b+c
d) 3a-b+1 e) 3a-3b+c
4. Factorizar:
P(x;y;z)=x3+y3+z3+x2y+x2z+y2x+y2z+z2x+z2y
a) (x2+y2+z2) (x+y+z) b) (x3+y3+z3) (x+y+z)
c) (x+y+z)3 d) (xy+xz+yz)2 (x+y+z)
e) (x+y+z)(x2+y2+z)
5. Al factorizar:
P(x) = x2 (x+2)2 + x2+2x - 12
I. Existen 2 factores primos de 2do grado.
II. Existe un factor primo de 1er grado.
III. El polinomio P(x) tiene 3 factores primos.
a) FFF b) FVV c) FFV
d) VVV e) FVF
6. Factorizar:
P(x; y) = x9y - x3y7
Indicar un factor primo.
a) x2 + xy + y2 b) x2 - xy - y2 c) x2 + y2
d) x2 + y e) x2 - y
7. Factorizar:
M(a; b) = a2 - 4 + 2ab + b2
Indicar un factor primo.
a) a - b - 2 b) a + b + 2 c) a + b
d) a - b e) ab
8. Indicar el número de factores primos de:
P(x) = (x2 + 7x + 5)2 + 3(x2 + 1) + 21x + 2
a) 3 b) 5 c) 7
d) 4 e) 2

28. 9. Factorizar:
P(x) = x2n + 1 + 3xn + 1 + xn + 3 - xn + 3x3 - 3
Indicar un factor primo.
a) xn + 3 b) xn + 1 + x3 c) xn + 1
d) xn - 1 - 2 e) xn - 1
10.Indicar el número de factores primos de:
P(x; y; z) = (x2 - y2 - z2)2 - (2yz)2
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
BloqueIII
1. Factorizar el polinomio:
P(a;b;c) = ac (a+c) + bc(a-b) - bc(b+c)
indicando un factor primo
a) 2b + c + a b) 2b + c c) 2a - b
d) a - 2b e) a + 2c
2. Factorizar:
P(x) = x7 + 2x5 + x4 + 2x3 + x2 + x + 1
indicando el número de factores primos
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
3. Factorizar:
P(x) = (x4 - x3 + x2 - x + 1)2 - x4
indicando el número de factores primos
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
4. Factorizar:
P(a;b;c) = a(b-c)2 + b(a-c)2 + c(a-b)2 + 9abc
indicando el factor de 2do grado
a) a2+b2+c2 b) ab+bc+ac c) a+b+c
d) abc e) a2+ab+b2
5. Factorizar:
F(x;y) = 4x4 - y4 + 4xy2 + 1
a) (2x2+2x+1+y2) (2x2+2x+1+y2)
b) (2x2+2x+1+y2) (2x2+2x+1-y2)
c) (2x2+2x+1-y2) (2x2-2x+1-y2)
d) (2x2+2x+1-y2) (2x2-2x+1+y2)
e) (2x2-2x-1+y2) (2x2-2x-1-y2)
6. Indicar el número de factores primos de:
M(a; b; c) = 144a11b2 - 436a9b4 + 100a7b6
a) 2 b) 4 c) 5
d) 3 e) 6
7. Indicar un factor de:
P(a) = a12 - 6a8 + 5a4 + 2a6 - 6a2 + 1
a) a6 + 1 b) a6 + 1 - 5a2 c) a6 - 1 - a2
d) a6 - a2 e) a6 + a2 + 2
8. Indicar un factor de:
M(x; y; z) = (x + y + z)(x - y + z) - (x + y)(x - y)
a) 2x - z b) z c) z + x
d) z - x e) 2z - x
9. Factorizar:
T(a; b; m) = 12abm2 - (16a2 - 9b2)m - 12ab
indicar un factor
a) 4am + 3b b) 3mb c) 3mb - 4
d) 3b - 4 e) 4am - 3b
10.Indicar el número de factores de:
P(m; n; p) = (2m + 3n - p)2 - 14m - 21n + 7p - 18
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
1. Factorizar: P(x;y) = x3y2 - y5
indicar la suma de factores primos.
a) y2 + x - y + x2 + xy b) x + x2 + xy + y2
c) y2 + x3 - y3 d) y + x3 - y3
e) xy + y + 1
2. Dar uno de los factores primos del polinomio:
P(a;b;c) = a(b2+c2) + b(c2+ba2)
a) 2a + b b) 2a - b c) a + b
d) a - 3b e) a + 3b
3. Factorizar: F(a;b;c) = (a - b) (a2 - c2) - (a - c) (a2 - b2)
indicando el número de factores primos.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
4. Factorizar :
P(a;b;m;n) = 2003am + 2003bm - 2003an - 2003bn
indicando un factor primo.
a) m - n b) m + n c) m + 2n
d) a + 2b e) a - 2b
5. Factorizar: P(x) = (x + 3)2 - 49
indicando un factor primo.
a) x + 2 b) x + 10 c) x + 20
d) x + 18 e) x + 4
Autoevaluación
Claves
1. b 2. c 3. c
4. a 5. b

29. CIENCIAS - PAMER
4
AÑO
ÁLGEBRA
Potencialidades
Todos los seres humanos poseemos potencialidades y también limitaciones; un ser humano sin cualidades sería un monstruo y
un ser sin defectos no sería humano, sería un querubín. Todos los seres humanos tenemos una vocación, un llamado a ser; el
problema es descubrir esa potencialidad y posteriormente pagar la colegiatura para realizar plenamente ese ser.
Debemos preguntarnos con toda sinceridad: “¿Quién deseo ser? ¿Qué deseo lograr en la vida? ¿Qué quiero realizar? ¿Qué me
gustaría hacer?” Estoy seguro de que hay cierto tipo de actividades que usted goza plenamente al realizarlas, y es ahí donde usted
expresa plenamente su potencialidad. ¿Cuáles son?, ¿ya las identificó? Desafortunadamente muchas de esas tareas las tenemos
relegadas como pasatiempo de fin de semana y esperamos ansiosamente un día de descanso para dedicarnos a aquello en lo que
nos sentimos plenamente realizados.
Muchas veces como padres de familia cometemos el error de forzar a nuestros hijos a ser lo que no desean ser. Imagínese: el
padre de Miguel Ángel Buonarroti quería que su hijo fuera comerciante, pero el hijo, desafiándolo, luchó por ser escultor, y qué
escultor, uno cuya obra ha trascendido a través de los siglos. Pero cuántos, tal vez miles, no han tenido el valor de Miguel Ángel y
se han muerto con todo su potencial dormido. El más usual de los epitafios reza así: “Fulano de tal nació, vivió y murió, y nunca supo
para qué existió”.
Factorización II
Capítulo VI
ASPA DOBLE
forma general
Procedimiento
P = ax + bx y + cy + dx + ey + f(x;y)
2n n m 2m n m
si le faltase un término, completar con el cero
t1 t2 t3 t4 t5 t6
paso 1
Aspa simple a los términos : t ; t y t1 2 3
Aspa simple a los términos: t ; t y t3 5 6
los factores se adoptan horizontalmente
paso 2
paso 3
Aspa simple de comprobación: t ; t y t1 4 6
paso 4
ASPA DOBLE ESPECIAL
forma general
Procedimiento
si le faltase un término, completar con el cero
P = ax + bx + cx + dx + f(x)
4n 3n 2n n
t1 t2 t3 t4 t5
paso 1
Descomponer los términos "t " y "t " de modo
que el producto en aspa determine un
término cuadrático.
1 5
los factores se adoptan horizontalmente
paso 2
paso 3
paso 4
Descomponer el término que resulta de
hacer la diferencia del término central y el
término cuadrático obtenido en el paso 1.
Si esta expresión fuese correcta, al
multiplicar en aspa debe verificar los
términos segundo (t ) y cuarto (t ).2 4

30. DIVISORES BINÓMICOS
se
Procedimiento
Utiliza para factorizar polinomios de
grado mayor o igual a tres.
paso 1
Determinar el rango de aquellos posibles
valores que anulan al polinomio.
paso 2
paso 3
En base a estos valores realize evaluaciones
hasta conseguir algún valor que logre anularlo
: Todo valor que anula al polinomio
genera un factor de 1er grado.
Nota
Para conseguir el otro factor o factores
aplicaremos Ruffini cuántas veces
sea necesario.
si

31. Problemas resueltos
1. Factorizar: P(x;y) = 5x2 + 8xy + 3y2 + 2x - 3
Solución:
Completamos con 0 y; aplicamos luego aspa doble.
P(x;y) = 5x + 8xy + 3y + 2x + 0y - 3
2 2
5x
x
3y
y
- 3
1
I IIIII
I. 5xy
3xy
8xy
+
II. 3y
-3y
0y
+
III. 5x
-3x
2x
+
Luego:
P(x;y) = (5x + 3y - 3) (x + y + 1)
2. Factorizar: Q(x;y;z) = 2(x2 + y4 + z6) - 5y2 (x + z3) + 4xz3
Solución:
Efectuando:
Q(x;y;z) = 2x2 + 2y4 + 2z6 - 5y2x - 5y2z3 + 4xz3
Ordenando convenientemente para aplicar el aspa
doble:
Q(x;y;z) = 2x - 5xy + 2y + 4xz - 5y z + 2z
2 2 4 3 2 3 6
2x
x
-y
-2y
2
2
2z
z
3
3
I III II
luego:
Q(x;y;z) = (2x - y2 + 2z3) (x - 2y2 + z3)
3. Factorizar: P(x) = x4 + 13x3 + 45x2 + 20x + 2
Solución:
* Paso 1: Descomponemos los extremos y obtenemos
el resultante de las aspas.
P = x + 13x + 45x + 20x + 2(x)
4 3 2
x
2
x
2
1
2
Aspas = 3x
2
* Paso 2: Obtenemos  :
= 45x - 3x = 42x
2 2 2
término
central
Aspas
* Paso 3: Se debe verificar 13x3 y 20x mediante la
descomposición apropiada de:
42x
2 7x
6x
P = x + 13x + 45x + 20x + 2(x)
4 3 2
x
2
x
2
1
2
7x
6x
* Paso 4:
P(x) = (x2 + 7x + 1) (x2 + 6x + 2)
4. Factorizar : P(x) = 16x4 - 8x3 - 16x2 - 22x - 15
Solución:
P = 16x - 8x - 16x - 22x - 15(x)
4 3 2
4x
2
4x
2
3
-5
Aspas = -8x
2
= -16x - (-8x ) = -8x
2 2 2
2x
-4x
P = 16x - 8x - 16x - 22x - 15(x)
4 3 2
4x
2
4x
2
3
-5
2x
-4x
Finalmente :
P(x) = (4x2 + 2x + 3) (4x2 - 4x - 5)
5. Factorizar: P(x) = x3 - x2 - 2x - 12
Solución:
* Paso 1:
Cálculo de los posibles valores que anulan al
polinomio: cómo el polinomio es mónico usaremos
los divisores de 12: ±(1; 2; 3; 6).
* Paso 2:
Evaluando:
Para: x = 1  P(1) = 13 - 12 - 2(1) - 12 = -14 (No)
Para: x = -1  P(-1) = (-1)3 - (-1)2 - 2(-1) - 12
= -12 (No)
Para: x = 2  P(2) = 23 - 22 - 2(2) - 12 = - 12 (No)
Para: x = 3  P(3) = 33 - 32 - 2(3) - 12 = 0
P(3) = 0  (x - 3)
es un factor del polinomio P(x)
* Paso 3:
Aplicando Ruffini :
3x
P )x(


32. x = 3
1 -1 -2
3 6
1 2 4
-12
12
0
q(x) = x2 + 2x + 4
Finalmente:
P(x) = (x - 3) (x2 + 2x + 4)
6. Factorizar: P(x) = 2x3 + x2 + x - 1
Solución:
* Paso 1:
El polinomio no es mónico, usaremos opcionalmente:

divisores del término independiente
divisores del coeficiente principal







2;1
1
* Paso 2:
Evaluamos:
Para: x = 1  P(1) = 2(1)3 + 12 + 1 - 1 = 3 (No)
Para: x = -1  P(-1) = 2(-1)3 + (-1)2 + (-1) - 1
= -3 (No)
Para: x =
2
1
 01
2
1
2
1
2
1
2P
23
2
1 
























entonces 






2
1
x es un factor
* Paso 3:
Utilizando Ruffini :
2
1
x
P )x(

x = 1
2
2 1 1
1 1
2 2 2
-1
1
0
Finalmente:
P(x) = 





2
1
-x (2x2+2x+2) = 





2
1-2x
(2)(x2+x+1)
P(x) = (2x - 1) (x2 + x + 1)
Problemas para la clase
a) 5x+2y+3 b) 5x+y-3 c) 5x+2y-3
d) x+y+1 e) x+2y+3
2. Factorizar:
P(x;y) = 3x2 + 4xy + y2 + 4x + 2y + 1
indicando uno de los factores primos
a) x-y-1 b) 3x-y+1 c) 3x+y-1
d) x+y-1 e) 3x+y+1
3. Factorizar:
P(x) = x4 + 5x3 + 9x2 + 11x + 6
Indique el número de factores primos
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
4. Factorizar:
P(x) = x4 - 2x3 -10x2 + 5x + 12
a) (x2 + x - 3) (x - 4) (x + 1)
b) (x2 + x - 3) (x + 4) (x - 1)
c) (x2 + x + 3) (x - 4) (x + 1)
d) (x2 + x + 3) (x - 4) (x - 1)
e) (x2 + x - 3) (x - 4) (x - 1)
5. Factorizar:
P(x) = x3 - 11x2 + 31x - 21
a) (x - 1) (x - 7) (x + 4)
b) (x + 1) (x + 7) (x + 3)
c) (x - 1)(x + 7)(x - 3)
d) (x - 1)(x - 7)(x + 3)
e) (x - 1)(x - 7)(x - 3)
6. Factorizar:
P(x; y) = 15x2 + 11xy + 2y2 + 16x + 6y + 4
Indicar un factor primo.
a) 3x + y b) 3x + y + 2 c) 5x + 2y
d) 5x - 2y + 2 e) 5x + 2
7. Factorizar:
P(x; y) = 10x2 + 11xy - 6y2 - x - 11y - 3
Indicar un factor.
a) 5x - 2y - 3 b) 5x - 2y c) 2x + 3y
d) 2x - 3y + 1 e) 2x - 3y
8. Indicar un factor de:
P(x) = x4 + 7x3 + 14x2 + 7x + 1
a) x2 + 3x - 1 b) x2 + 3x + 1
c) x2 - 4x d) x2 + 4x - 1
e) x2 + 1
9. Indicar un factor de:
C(x) = x3(x + 1) + 2x2 + 5(x - 3)
BloqueI
1. Factorizar:
P(x;y) = 6x2+7xy-3y2+11x-11y-10
indicando la suma de sus factores primos

33. a) x2 - 5 b) x2 + 5 c) x2 - x - 3
d) x2 - 3 e) x2 + 3
10.Indicar un factor de:
P(x) = x3 + 5x + 6
a) x - 1 b) x + 1 c) x + 3
d) x - 3 e) x + 2
BloqueII
1. Factorizar:
P(x;y;z) = 2x2 - 2y2 - 3z2 - 3xy + 7yz - xz
indicando la suma de sus factores primos
a) 3x-y-2z b) 3x+y+2z c) x-y-2z
d) x-y+z e) 3x-3y-2z
2. Factorizar:
P(x) = x4 + 5x3 - 7x2 - 29x + 30
indicar la suma de todos los factores primos.
a) 4x + 3 b) 4x + 4 c) 4x + 5
d) 4x + 6 e) 4x + 7
3. Factorizar:
P(x) = x3 + 2x2 - 5x - 6
indicar la suma de coeficientes de un factor primo
a) -3 b) 0 c) 2
d) -4 e) 1
4. Factorizar:
P(x) = x3 - 5x2 - 2x + 24
indicar la suma de los términos independientes de los
factores primos
a) -7 b) -5 c) -3
d) 4 e) 6
5. Factorizar:
P(x) = x4 + 2x2 + 9
indicar un término de un factor primo
a) x b) 6x c) 7x
d) x2 e) 9
6. Factorizar:
H(x) = x3 - 7x + 6
Indicar un factor.
a) x - 3 b) x + 2 c) x - 1
d) x + 1 e) x
7. Indicar un factor de:
M(x) = 2x3 - 5x2 - 23x - 10
a) x - 2 b) x + 5 c) 2x
d) x - 5 e) x + 3
8. Indicar un factor de:
B(x) = x4 + 4x2 + 16
a) x2 + 2x + 4 b) x2 + 2x c) x2 - 2x
d) x2 - 2x + 3 e) x2 + 6x - 1
9. Indicar la suma de coeficientes de los factores primos
de:
I(x) = x4 - 4x3 + 11x2 - 14x + 10
a) 4 b) 5 c) 6
d) 8 e) 10
10.Indicar un factor de:
M(x) = 6x6 - 5x5 - 6x4 - 13x2 - 6
a) 2x3 - 2 b) 2x3 - 3x2 + 2
c) 2x3 - 3x2 - 2 d) x3
e) x3 - 1
BloqueIII
1. Factorizar:
P(x) = x5 + 5x4 + 7x3 + x2 - 8x - 4
indique V o F
I. El polinomio tiene 5 factores primos.
II. El polinomio tiene 3 factores primos
III. La suma de sus factores primos es 3x + 2
IV. Uno de los factores primos es (x + 2)2
a) FVFF b) VVVV c) FVVV
d) FVVF e) VVVF
2. Factorizar:
P(x;y) = 24x3y2+60x2y2-6xy4 + 6xy3 + 36xy2
a) 6xy2 (x + y + 1)(2x - y + 3)
b) 6xy2 (x + y + 2)(2x - y + 3)
c) 6xy2 (2x + y + 2)(x - y + 3)
d) 6xy2 (2x + y - 2)(2x - y - 3)
e) 6xy2 (2x + y + 2)(2x - y + 3)
3. Factorizar:
P(x) = x5 + x + 1
a) (x2 + x + 1) (x3 - x2 + 1)
b) (x2 + x + 1) (x3 + x2 + 1)
c) (x2 - x - 1) (x3 - x2 + 1)
d) (x2 - x - 1) (x3 + x2 + 1)
e) (x2 + x + 1) (x3 + x2 - 1)
4. Factorizar:
P(x) = 12x3 + 8x2 - 3x - 2
a) (3x + 2)(2x - 1)(x - 2)
b) (3x - 2)(2x - 1)(x - 1)

34. c) (3x + 2)(2x - 1)(x - 1)
d) (3x + 2)(2x + 1)(2x - 1)
e) (3x + 2)(2x + 1)(x - 1)
5. Factorizar:
P(x) = x12 - 3x9 - 7x6 + 27x3 - 18
a) (x-1)(x2+x+1)(x3-2)(x3-5)(x3-3)
b) (x-1)(x2+x+1)(x3-2)(x3+3)(x3-3)
c) (x+1)(x2-x+1)(x3-2)(x3+3)(x3-3)
d) (x-1)(x2+x+1)(x3+2)(x3+3)(x3-3)
e) (x-1)(x2+x+1)(x3-2)(x3+4)(x3-3)
6. Indicar un factor de:
P(x; y; z) = 6x2 - 20y2 - 14z2 + 7xy + 38yz - 17xz
a) 3x - 4y + 2z b) 3x - 4y + 2
c) 3x + 2y d) 2x + 5y
e) 2x + 5y - 7
7. Indicar un factor de:
P(x; y; z) = 10x2 - yz + 3y2 - 17xy + 5xz
a) y - x b) 2x + 3y + z c) 5x - y
d) 2x - 3y - z e) 5x + y
8. Dar un factor primo de:
P(x) = x5 - x4 + 2x2 - 2x + 1
a) x2 + x + 1 b) x3 + x + 1 c) x2 + x - 1
d) x3 - x - 1 e) x2 - x + 1
9. Factorizar:
F(n) = (n + 1)2[n2 + 2n + 9] + 5(n + 1)[n2 + 2n + 2] + 1
indicar un factor primo.
a) n + 7 b) n + 8 c) n + 2
d) n + 6 e) n + 10
10.Indicar la suma de términos independientes de sus
factores primos:
P(n) = (n2 + n - 1)2 + (2n + 1)2
a) 3 b) -1 c) 4
d) 2 e) -2
1. Factorizar:
P(x;y) = 4x2 + 12xy + 5y2 + 12x + 18y + 9
indicar un factor primo
a) 2x + 5y + 3 b) 2x + 5y + 4
c) 2x + 5y + 5 d) 2x + 5y + 6
e) 2x + 5y + 7
2. Factorizar:
P(x;y) = 4x2 + 13xy + 10y2 + 18x + 27y + 18
indicar la suma de factores primos
a) 5x + 7y + 8 b) 5x + 4y + 8
c) 5x + 7y + 9 d) 4x + 7y + 6
e) 4x + 6y + 7
3. Factorizar:
P(x) = x4 + 7x3 + 19x2 + 36x + 18
a) (x2 + x + 3) (x2 - x + 6)
b) (x2 + 5x + 6) (x2 - 2x + 6)
c) (x2 - 5x + 3) (x2 - 2x + 6)
d) (x2 + 5x - 3) (x2 + 2x - 6)
e) (x2 + 5x + 3) (x2 + 2x + 6)
4. Factorizar:
P(x) = x3 - x - 6
a) (x + 2) (x2 + 2x + 3)
b) (x - 2) (x2 + 2x + 3)
c) (x + 1) (x2 + 2x + 6)
d) (x - 1) (x2 - 2x + 6)
e) (x - 2) (x2 - 2x + 3)
5. Factorizar: P(x) = x3 - 6x2 + 11x - 6
indicar un factor primo
a) x - 1 b) x + 2 c) x + 3
d) x + 4 e) x + 6
Autoevaluación
Claves
1. a 2. c 3. e
4. b 5. a

35. CIENCIAS - PAMER
4
AÑO
ÁLGEBRA
Ecuaciones de segundo grado
Capítulo VII
Fracaso y éxito
El fracaso tiene mil excusas, el éxito no requiere explicación. Cada vez que no logramos algo siempre tenemos una
magnífica disculpa; el mediocre busca instintivamente una justificación para su fracaso y, por supuesto, siempre juega el
papel de víctima.
El triunfador es siempre una parte de la respuesta; el perdedor es siempre una parte del problema.
El triunfador dice: “Podemos hacerlo”; el perdedor dice: “Ése no es mi problema”.
El triunfador siempre tiene un programa; el perdedor siempre tiene una excusa.
El triunfador ve siempre una respuesta para cualquier problema; el perdedor ve siempre un problema en toda respuesta.
El triunfador ve una oportunidad cerca de cada obstáculo; el perdedor ve de dos a tres obstáculos cerca de cada oportunidad.
El triunfador dice: “Quizá es difícil, pero es posible”; el perdedor dice: “Puede ser posible, pero es demasiado difícil”.
ECUACIÓN DE 2do GRADO
Forma Formación de la ecuación
ax + bx + c = 0 ; a 0
2

depende
suma
se resuelve por
Factorización Fórmula
AB = 0
A=0 B=0 
x =1,2
2a
-b b -4ac
2
A = b - 4ac
2
Discriminante
si
A > 0
Raíces reales
diferentes
A = 0
Raíces
iguales
A < 0
Raíces
complejas
y conjugadas
A 0
Raíces
reales
>
x x1  2 x = x1 2 x = m + ni
x = m - ni
m; n lR,
además: i = -1
1
2

producto
Diferencia
se debe tener
Suma :
S = - b
a
Producto :
P = c
a
donde
x - Sx + P = 0
2

36. OBSERVACIONES
Operaciones con raíces
Ecuaciones cuadráticas
equivalentes
suma de inversas si si si las ecuaciones
ax +bx+c = 0 ; a 0
mx +nx+p=0 ; m 0
2
2


1
x1
+
1
x2
=
x + x
x x
1 2
1 2
suma de cuadrados se cumple
se cumple
tienen
las mismas raíces
o soluciones
x + x = (x +x )-2x x1 2 1 2 1 2
2 2 2
x + x = 01 2
x x = 11 2
suma de cubos
x + x = (x +x )-3x x1 2 1 2 1 2
3 3 3
(x +x1 2)
suma, producto y diferencia
(x +x ) - (x -x )= 4x x1 2 1 2 1 2
2 2
se cumple
b
n
a
m
c
p= =
Teorema:
(Raíces irracionales conjugadas)
Sea la ecuación: ax2 + bx + c = 0; a  0 de raíces “x1” 
“x2”; donde (a; b; c)  Q (coeficientes racionales).
Si: x1 = m + n es una raíz irracional, entonces:
x2 = m - n es la otra raíz irracional conjugada.
 C.S. = {m + n ; m - n }
Teorema:
(Raíces complejas conjugadas)
Sea la ecuación : ax2 + bx + c = 0; a ¹ 0 de raíces “x1”
 “x2” ; donde (a; b; c)  lR.
Si: x1 = m + ni es una raíz compleja, entonces:
x2 = m - ni; es la otra raíz compleja conjugada.
C.S. = {m + ni ; m - ni} m; n  lR.
Problemas resueltos
1. Resolver:
2abx2 - (b2 + 6a2)x + 3ab = 0; ab  0
Solución:
Aplicando aspa simple:
2abx - (b + 6a )x + 3ab = 0
2 2 2
2ax
bx
-b
-3a
-b x
2
-6a x
2
-(b +6a )x
2 2
Luego :
(2ax - b) (bx - 3a) = 0
2ax - b = 0  bx - 3a = 0
x =
a2
b
 x =
b
a3
C.S. =






b
a3
;
a2
b
2. Calcular los valores de “m” que hacen que la ecuación:
2x2 - mx + (m + 6) = 0 ; tenga raíces iguales.
Solución:
Las raíces de la ecuación serán iguales, si el
discriminante:
 = b2 - 4ac = 0 ...... 
De la ecuación :








6mc
mb
2a

37. Reemplazando en ():
(-m)2 - 4(2)(m+6) = 0  m2 - 8m - 48 = 0
m -12
m +4
(m - 12)(m + 4) = 0
 m - 12 = 0  m + 4 = 0
Finalmente : m = 12  m = -4
3. Determinar la suma de los valores de “k” que hacen
que la suma de las raíces de la ecuación:
x2 + kx + 2x - k2 + 4 = 0
sea igual al producto de las mismas.
Solución:
Dando forma a la ecuación:
1x2 + (k+2)x + (4 - k2) = 0
Según el problema:
x1 + x2 = x1 x2
1
k4
1
)2k( 2



- k - 2 = 4 - k2
 k2 - k - 6 = 0
k - 3
k +2
(k - 3) (k + 2) = 0
De donde: k - 3 = 0  k + 2 = 0
k = 3  k = - 2
4. Determinar el valor de “p” en la ecuación:
x2 - 6x + 4 + p = 0
sabiendo que la diferencia de sus raíces es 2.
Solución:
Por propiedad:
a
xx 21


Dato del problema : x1 - x2 = 2
Reemplazando datos :
1
)p4)(1(4)6(
2
2

  2p41636 
Elevando al cuadrado : 20 - 4p = 4  4p = 16
 p = 4
5. Hallar el valor de “n” para que las raíces de la ecuación:
1n
1n
2x5
x3x2





sean simétricas.
Solución:
Multiplicando en aspa se tiene:
(n + 1) (x2 + 3x) = (n - 1) (5x + 2)
Efectuando :
(n+1)x2 + 3(n+1)x = 5(n - 1)x + 2(n - 1)
Transponiendo y agrupando:
(n + 1)x2 + [3(n + 1) - 5(n - 1)]x - 2(n - 1) = 0
(n + 1)x2 + (-2n + 8) x - 2 (n - 1) = 0
Las raíces de la ecuación serán simétricas, si:
x1 + x2 = 0
0
1n
)8n2(




-2n + 8 = 0  2n = 8
Finalmente: n = 4
6. Forma la ecuación de 2do grado de coeficientes reales, si
una de sus raíces es: x1=2 - 5i
Solución:
Por teorema de raíces complejas conjugadas, si:
x1 = 2 - 5i entonces la otra raíz esx2 = 2 + 5i
Para formar la ecuación se necesita:





)i52)(i52(xxP
4i52i52xxS
21
21
= 22 - (5i)2 = 4 - 25i2
pero: 1i1i 2

Reemplazando:
P = x1x2 = 4 - 25 (-1) = 29
Luego la ecuación es: x2 - Sx + P = 0
Es decir: x2 - 4x + 29 = 0
Problemas para la clase
BloqueI
1. Hallar las raíces de la ecuación:
3x2 - x - 10
a)






 2;
3
5
b)






 5;
2
3
c)






 2;
3
5
d)






 5;
2
3
e) {5; -2}
2. Hallar una raíz de la ecuación:
2x2 - 3x - 3 = 0
a)
3
322 
b)
4
3313 
c)
2
323 
d)
4
333 
e) 3

38. 3. Siendo: “x1”  “x2” las raíces de la ecuación:
2x2 - 5x + 1 = 0
Hallar :
21 x
1
x
1
E 
a) 2 b) 3 c) 6
d) 4 e) 5
4. Siendo “” y “” raíces de la ecuación:
2x2 - 6x + 1 = 0
Hallar :





M
a) 16 b) 15 c) 14
d) 13 e) 12
5. Calcular “m”, si una raíz de la ecuación:
x2 - mx + 8 = 0, es: x = 2
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
6. Hallar una raíz de:
6x2 + x - 12 = 0
a)
2
3
b)
3
4
c) -
3
4
d) -4 e) 3
7. Resolver:
x3x
18
4-
x
5
3x
x2
2



a)
2
1
b)
2
3
c) -
2
1
d) 2 e) 1
8. Resolver:
x2 + 4x + 2 = 0
Indicar una raíz.
a) - 2 + 2 b) 2 - 2 c) 2 + 2
d) 2 - 2 e) 2
9. Hallar una raíz de:
x2 + 6x + 7 = 0
a) -3 + 2 b) 3 + 2 c) 3 - 2
d) 3 e) 3 + 1
10.Resolver:
12x2 + 60x + 75 = 0
a)
2
5
b)
5
2
c) -
2
5
d)
2
1
e) 5
BloqueII
1. Hallar “a” (a>0), si la ecuación:
9x2 - (a + 2)x + 1 = 0
presenta raíces iguales.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 10
2. Hallar “m”, si la ecuación:
x2 - (m+7)x + 25 = 0
presenta raíz doble (m>0)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
3. Hallar “m”, si la ecuación:
3x2 - (3m - 600)x - 1 = 0
posee raíces simétricas.
a) 0 b) 50 c) 100
d) 150 e) 200
4. Hallar “k”, si la ecuación:
(2k - 1)x2 - 7x + (k+9) = 0
posee raíces recíprocas
a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 11
5. Dada las ecuaciones:
(n-1)x2 - 3(n+5)x + 10 = 0 ...... (I)
(m-2)x2 - (m+7)x + 2(9m+1) = 0 ...... (II)
La suma de raíces de la ecuación (I) es 12 y el producto
de raíces de la ecuación (II) es 20. Calcular “mn”
a) 63 b) 64 c) 65
d) 66 e) 67
6. Si x1; x2 son raíces de:
x(x - 6) = -3
obtener:
T = (1 + x1)(1 + x2)
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12
7. La suma de las inversas de las raíces de la ecuación:
(a - 2 )x
2 - 2ax - (3 - 2a) = 0
es 10/7. Calcular “a”.

39. a) 5 b) 4 c) 3
d) 2 e) 6
8. Si:
(m - 1)x2 - 2mx + m + 2 = 0
tiene raíz doble, calcular el valor de:
(m2 + m + 1)
a) 3 b) 13 c) 21
d) 7 e) 31
9. Hallar el valor de “n” si:
x2 - 2(n - 3)x + 4n = 0
tiene única solución.
a) 3 b) 7 c) 9
d) 1 e) -3
10.Hallar una raíz:
9-x
36
3x
5
3-x
x2
2



a)
2
17
b)
2
7
c) 3
d) -
2
17
e) -3
BloqueIII
1. Formar la ecuación de 2do grado de coeficientes
racionales, si una de sus raíces es: x1 = 7 - 2
a) x2 - 14x + 49 = 0 b) x2 - 14x + 45 = 0
c) x2 - 14x + 47 = 0 d) x2 + 14x - 47 = 0
e) x2 - 14x - 47 = 0
2. Para que una de las raíces de la ecuación:
ax2 + bx + c = 0
sea el triple de la otra, la relación de coeficientes debe
ser:
a) 16b2 = 4ac b) 16b2 = 3a
c) 3b2 = 16a d) 3b2 = 16ac
e) 9b2 = 16ac
3. Indique (V) o (F):
I. En: abx2 - (a2 - b2)x = ab, una raíz es -
a
b
II. Si: ...222x  entonces: x = 2 .
III. La mayor raíz de (x-4)2 + (x-5)2 = (x - 3)2 , es: x = 8
a) VFF b) VVV c) FFV
d) VFV e) VVF
4. Formar la ecuación de 2do grado cuyas raíces son:
1a
a
;
1a
a

a) (a - 1)x2 - 2ax + a = 0
b) (a - 1)x2 + 2ax + a = 0
c) (a + 1)x2 - 2ax + a = 0
d) (a - 1)x2 - ax + a = 0
e) x2 + ax + 1 = 0
5. Dada la ecuación:
2x2 - 12x + (p + 2) = 0
Calcular “p”, para que la diferencia de sus raíces sea 2.
a) -14 b) -7 c) -1
d) 1 e) 14
6. Hallar una raíz:
8xx8x164
a-1
x)-(a-)ax-1( 432
2
22

a) 5 b) -3 c) 2
d) 4 e) -
3
5
7. Para qué valor de m (m  0) las raíces de:
(m + 4)x2 - 3mx + m - 1 = 0
difieren de 1.
a) 3 b) 5 c) 7
d) 9 e) 11
8. Calcule “a”  ZZ para que:
ax2 - (a + 3)x + 5 - a = 0
tenga una sola raíz.
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
9. Si:
(b - 1)x2 + 2bx + c = 0
tiene raíces iguales, hallar el mayor valor de “c”, sabiendo
que “b” es único.
a) 0 b) 2 c) 3
d) 4 e) 1
10.En:
2x2 - (m - 1)x + (m + 1) = 0
¿qué valor positivo debe darse a “m” para que las raíces
difieran en uno?
a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 11

40. 1. Hallar “m”, si la suma de raíces de la ecuación es 10.
(m - 2)x2 - (5m + 5) x + 8 = 0
a) 0 b) 1 c) 5
d) 15 e) 25
2. Hallar “k” (k<0), si la ecuación:
9x2 - kx + 4 = 0
posee raíces iguales.
a) 12 b) 14 c) 16
d) -16 e) -12
3. Hallar “m”, si las raíces de la ecuación son recíprocas:
(m - 3)x2 - (m + 2)x + 3m - 15 = 0
a) 1 b) 2 c) 6
d) 7 e) 8
4. Hallar “n”, si una raíz de la ecuación:
x2 + (n + 6)x + 6n = 0, es: x = 3
a) -3 b) -2 c) 1
d) 2 e) 3
5. Formar la ecuación de 2do grado cuyas raíces son:
34x
34x
2
1


a) x
2 - 8x + 13 = 0 b) x2 + 8x + 13 = 0
c) x2 - 2 3 x + 16 = 0 d) x2 - 8x + 13 = 0
e) x2 - 8x + 3 = 0
Autoevaluación
Claves
1. c 2. e 3. c
4. a 5. a

41. CIENCIAS - PAMER
4
AÑO
ÁLGEBRA
Una demostración imposible
2 = 1
Paso 1:
Partimos de la igualdad : x = y
Paso 2:
Multiplicando por “x” : x2 = xy
Paso 3:
Restando y2 : x2 - y2 = xy - y2
Paso 4:
Descomponiendo en factores:
(x + y)(x - y) = y (x - y)
Paso 5:
Dividimos por “x - y” : x + y = y
Paso 6:
Como: x = y, resulta : y + y = y
2y = y
Paso 7:
Dividimos por “y” : 2 = 1
Nota:
Alguno de los pasos dados es incorrecto. La regla, que se
ha utilizado mal en la demostración esta relacionada con la
división. ¿Cuál es?.
Repaso
Capítulo VIII
Problemas para la clase
1. Hallar el número de factores primos del polinomio:
P(x;y) = 13x10y5 - 26x7y8 + 39x11y9
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
2. Dar un factor primo de:
P(x) = (x-3)(x-2)(x-1)+(x-1)(x-2)-(x-1)
a) x - 3 b) x + 3 c) x + 2
d) x - 2 e) x + 5
3. Dar la suma de factores primos de:
P(a;b;c;d) = a2 + 2ab + b2 - c2 - 2cd - d2
a) a + b b) 2a + 2b c) 2c + 2d
d) c + d e) 3a + 3b
4. Factorizar:
F(x;y) = x2(x - y)2 - 14xy2(x - y) + 24y4
dar un factor primo
a) x + 2y b) x - 3y c) x - 4y
d) x - y e) x + 8y
5. Factorizar:
F(x) = x3 - 2x2 - 5x + 6
a) (x - 1)(x + 2)(x - 3) b) (x + 1)(x - 2)(x + 3)
c) (x - 1)(x - 2)(x - 3) d) (x + 1)(x + 2)(x + 3)
e) (x + 1)(x + 2)(x + 4)
6. Resolver:
16x-[3x - (6-9x)] = 30x+[-(3x+2) - (x+3)]
a) 6 b)
4
3
c)
2
1
d)
3
1
e)
3
2
7. Resolver:
8
2x
1
x
2x
7x3





a) -3 b) 1 c) 2
d) 5 e) -4
8. Si las raíces de la ecuación:
x2 + px + q = 0
son “p” y “q”, indicar una de dichas raíces.
a) 4 b) -2 c) 3
d) -3 e) 2
9. Formar la ecuación de 2do grado, si sus raíces son:
1mmx
1mmx
2
2
2
1


a) 2x2 - mx + 2 = 0 b) 2x2 - 4mx + 2 = 0
c) 2x2 - 2mx + 1 = 0 d) 2x2 - 2mx + 2 = 0
e) 2x2 - mx + 1 = 0
10.Dada la ecuación:
(2m + 2)x2 + 4x - 4mx + m - 2 = 0
Hallar la suma de raíces, sabiendo que estas son
inversas.

42. a)
10
3
b)
3
1
c) 3
d)
3
10
e) 1
11.Calcular “m” en la ecuación:
3x2 - 7x + m = 0
Si una raíz es seis veces la otra
a) 3 b) -1 c) -2
d) 4 e) 2
12.Calcular (x1 - x2)2, si “x1”  “x2” son raíces de la
ecuación:
x2 + 7x + 5 = 0
a) 19 b) 29 c) 39
d) 18 e) 24
13.Hallar “m”, si las raíces de la ecuación son iguales.
x2 - 2 (1 + 3m)x + 7 (3 + 2m) = 0; (m>0)
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
14.Relacione correctamente, sea la ecuación:
cx2 + ax + b = 0; c  0
donde “x1” y “x2” son sus raíces.
1. Raíces reales iguales. ( )
2. x1 + x2 ( )
3. Discriminante ( )
4. x2 = 16 ( )
5. x1 - x2 ( )
6. Raíces complejas conjugadas ( )
7. x2 = 10x ( )
8. x1 x2 ( )
9. 2x2 - 5x + 2 = 0 ( )
10.Raíces reales diferentes ( )
11.El polinomio:
P(x) = x3 - x ; tiene: ( )
12.La ecuación :
5
1
1-x
4
5
1x2
1-x
4


 es: ( )
13.La ecuación: ( )
x - (2x + 1) = {8 - (3x + 3)} + 2x-6 es:
14.El polinomio:
H(x) = 2(x - 1)4 (x + 2)7 tiene: ( )
15.Unidad imaginaria. ( )
Relacionar:
a)
c
b
b)  = a2 - 4cb
c) x = 0  x = 10
d) Raíces recíprocas
e)  = 0
f) -
c
a
g)  > 0
h) x = 4  x = -4
i)  < 0
j)
|c|
cb4-a2
k) Dos factores primos
l) Compatible indeterminado
ll) incompatible
m) i = (0; 1) = 1
n) tres factores primos
15.Resolver:
)ba(
)ba(a2
x)ba(
)ba(
x)b-a(
22222






a) 22
22
ba
ba


b)
ab2
ba 22

c)
ab
ba 22

d)
ba
ba 22


e) 2
22
)ba(
ba



43. 1. Resolver:
9x - (5x + 1) - {2 + 8x - (7x - 5) + 9x} = 0
a) 3 b) -
4
1
c) -
3
4
d) -3 e)
3
2
2. Hallar “m”, si las raíces de la ecuación:
(m - 3)x2 - (m + 2)x + 3m - 15 = 0
son recíprocas.
a) 1 b) 2 c) 6
d) 7 e) 8
Autoevaluación
3. Formar la ecuación de 2do grado, sabiendo que sus
raíces son:
i
3
2
3
1
x
i
3
2
3
1
x
2
1


; donde: i2 = -1
a) 9x2 - 6x + 5 = 0 b) 9x2 + 6x - 5 = 0
c) 9x2 + 2x + 5 = 0 d) 9x2 + 6x + 5 = 0
e) 9x2 - 6x - 5 = 0
4. Encontrar el valor de “p”, si una raíz es el doble de la
otra en la ecuación:
x2 + 6x + p = 0
a) 1 b) 6 c) -6
d) -8 e) 8
5. Hallar “k”, si las raíces de la ecuación son iguales:
x2 - 6x + k = 0
a) 1 b) -9 c) 9
d) 4 e) -4
Claves
1. c 2. c 3. e
4. e 5. c