Números irracionales y reales: Conjuntos numéricos

Esc N.º:4-103`Cesar H. Casiva` Matemática Curso : 3º
Nombre: _______________________ Fecha:
EL MUNDO DE LOS NÚMEROS
NÚMEROS IRRACIONALES Y REALES
Objetivo:
 Caracterizar el conjunto de los números irracionales.
 Reconocer números irracionales notables como e
,
,
 .
 Comparar números irracionales.
 Definir el conjunto de los números reales.
 Estimar operaciones con números irracionales.
UN POCO DE HISTORIA…..
En el siglo V a.c., los griegos pitagóricos descubrieron con gran sorpresa que, además de los Números
Naturales y de los Números Fraccionarios, existía otro tipo de número: el Número
Irracional.
Hasta entonces pensaban que todo el universo se regía por los Números Naturales y
las Fracciones, pero se dieron cuenta que hay pares de segmentos, como la diagonal y
el lado de un pentágono regular o como la diagonal y el lado de un cuadrado, cuyo
cociente de longitudes no es una fracción.
Les pareció que el caos asomaba a su mundo y llamaron a tal relación ahogos o
irracional.
ACTIVIDAD DE EXPLORACIÓN:
Usando calculadora, completa la siguiente tabla. Analiza los resultados y clasifícalos según su
desarrollo decimal (finitos, infinito periódico PURO O MIXTO )
1.- 1 21
, = 1,1 decimal finito 2.- 7
3.- 1 4.- 99
5.- 100 6.- 11
7.- 4 8.- 13
9.- 4 9
, 10.- 0 64
,
11.- 1 44
, 12.- 6 4
,
Responde:
1) ¿Cuáles representan desarrollos decimales finitos?
____________________________________________________________________
2) ¿Cuáles representan desarrollos decimales infinitos periódicos puro o mixto ?
____________________________________________________________________
3) ¿Cuáles no pertenecen a ninguna de las clasificaciones anteriores?
____________________________________________________________________
4) ¿Qué características tienen los números que no son racionales?
PROFESORA: FABIANA NIEVA 1
1

____________________________________________________________________
Observando los desarrollos decimales anteriores podemos darnos cuenta que existen números
que no pertenecen a ninguna de las clasificaciones anteriores, es decir, su desarrollo decimal es
infinito sin período, por tanto no son números racionales, como los números decimales infinitos
no periódicos no se pueden escribir de la forma
a
b
surgió la necesidad de crear los Números
Irracionales.
EJEMPLOS DE NÚMEROS IRRACIONALES:
1) Calcula la medida de la diagonal en los siguientes cuadrados: (Teorema de Pitágora
CONCLUSIÓN:
Con esto, ¿podemos decir que toda raíz cuadrada de un número que no es cuadrado perfecto es
un número irracional? ¿Por qué? _________________________________
_____________________________________________________________________
2) 
897
1415926535
,
3

 : Número que representa la longitud de una circunferencia de
diámetro 1, y el área de una circunferencia de radio 1.
2
1cm
1cm
2 m
2 m 3 dm
Los números irracionales son aquellos números que no se pueden escribir
como fracción y que tienen infinitas cifras decimales que no presentan
período. El conjunto de los números irracionales se representa por I.

3)
3
√17=2,5712815906… : Representa la longitud de la arista de un cubo de volumen 17.
4) 
498
6180339887
,
1
2
1
5



 : Número que según los griegos era la proporción perfecta
desde un punto de vista estético; por ejemplo, el rectángulo más hermoso para ellos era aquel cuyos
lados estaban en dicha proporción. Por tal motivo, a este número se le conoce
como la razón áurea o número de oro.
5) 
7182818284
,
2

e : Cuyo nombre se debe a su descubridor
Leonhard Euler (matemático suizo del siglo XVIII) que aparece en diversas aplicaciones como
economía, crecimiento de poblaciones, etc.
SEGÚN ESTO, RESPONDE Y JUSTIFICA:
¿Un número irracional puede ser un número racional? _________________________
CRITERIOS PARA IDENTIFICAR Y CONSTRUIR NÚMEROS IRRACIONALES
Son números irracionales:
EJERCICIOS:
1) Determina si los siguientes números pertenecen a Q ( racionales) o a I ( irracionales).
Marca con una cruz donde según la clasificación que corresponda.
Número Racional Irracional
3,14
3,14444 …
3,14141414 …
0,25
– 5
4
3
Cualquier raíz
de un número
primo
La raíz de cualquier número
natural, que no es la enésima
potencia de otro natural
Algunos números especiales Todo
número
cuya parte
decimal sea
infinita y no
periódica.
8
6
19
,
7
,
5 3
10
6
5
,
2
,
11
,
18 ...
71828
,
2
...
141592
,
3 
 e



2
0,11121314…
2,01020304..
0,11121313…….
3,010010001……
25
3

2) ¿Cuál de los siguientes números irracionales esta entre 0 y 1? Justifica.
a ) √2 − √3 b )
√10
2
c )
√2
2
d ) π
¿Qué procedimiento utilizaste? _________________________________________
3) ¿Cuál o cuáles de los siguientes números irracionales está comprendido entre 3 y 4?
a) 2 3 b)
3

c) 1
5  d) 3 2
e) 10 f) 3,5 g) 3,9999……
4) ¿Cuál(es) de los siguientes números es o son números irracionales? Justifica.
I) 36 __________________________________________
II) 3
5
3
2  __________________________________________
III) 1 + 2 __________________________________________
5) Utiliza una estrategia para ordenar en forma creciente los siguientes números irracionales:
2
,
3
2
,
2
2
,
3
2
,
6
;
2
3



________________________________________
6) a) Clasifica los siguientes números como racionales o irracionales:
b) ¿Alguno de ellos es entero?
c) Ordénalos de menor a mayor
7) cuáles de los siguientes números son irracionales:
–
8) Indica cuáles de los siguientes números pueden expresarse como fracción y cuáles no:
4

9) Clasifica estos números como naturales, enteros, racionales y/o irracionales :
LOS NÚMEROS REALES:
Se llaman números reales todos aquellos números que pueden expresarse en forma decimal
finito o infinito, es decir, el conjunto de los números reales  , está formado por la unión del
conjunto de los números racionales e irracionales.
Simbólicamente,
I
Q 


Cada número real corresponde exactamente a un punto sobre la recta numérica, llamada recta
real, los números reales que se representan a la derecha del origen se llaman números reales
positivos y los números reales que se representan a la izquierda del origen se llaman números
reales negativos. El cero es el origen de la recta real.

 

A continuación te presentamos en forma esquemática, una síntesis de la estructura de los
números estudiados hasta el momento:
5

Construye otra forma de esquematizar la estructura de los conjuntos numéricos:
TRABAJO PRÁCTICO AÚLICO
1) Determina a cuál o cuales de los conjuntos numéricos pertenecen los siguientes números:
Número IN Z Q II IR
-5
2
2
1
25
2
3
0
2,2323232..
3
1
12
4

2) Completa con el símbolo 
o , según corresponda:
a) I ____  d) N ____  g) Z ____ 
b) N ____ I e) Q ____ I h) Q ____ Z
c) N ____ Q f) Z ____ I
6

3) Responde:
a. ¿Qué es un número irracional?
b. ¿Cuál es la diferencia entre número
racional y número irracional?
c. ¿Por qué afirmamos que el número  es
irracional?
4) Indica cuáles de las expresiones que
siguen representan números racionales y
cuáles números irracionales.
a. 0,37 f. 2,2360679...
b. 0,13666... g. 
c. 5/13 h. 2 /3
d. 22/7 i. 2 + 3
e. 2 j. 9
5) . Escribe en tu cuaderno falso (F) o
verdadero (V) según corresponda. Justifica
tu respuesta.
a. 5 es un número racional.
b. 2,5 es un número irracional.
c. 2 es un número racional
d. 10 es un número irracional
e. Los números irracionales son racionales.
f. Ningún número entero es racional
h. Ningún número irracional es entero
6. Indica cuáles de las siguientes cantidades son
una representación de número irracional y cuáles
no.
a. 5 e. 3
9
b. 4 f.
4
1
c. 9 g. 04
,
0
d. 3
4 h. 3
8

Extracción de factores fuera del signo radical
Se descompone el radicando en factores:
1) Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el
radicando .
2) Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del
radicando.
3) Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice.
El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto
es el exponente del factor dentro del radicando.
7

Ejercicios de aplicación
Suma de radicales: Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales
cuando son radicales semejantes, es decir, si son radicales iguales
TRABAJO PRÁCTICO
1. Halla las sumas
8

PRODUCTO Y COCIENTE DE RADICALES:
 Del mismo índice: se realiza el procedimiento inverso a la propiedad
distributiva:
Ej: x
2 xy = xy
x.
2
= y
x2
2
= x. y
2
 De índices distintos: debemos amplificar las raíces a un mismo índice:
Ej: 3 . 5 2
2a . 4 3
3a = (buscamos el m.c.m entre 2, 4 y 5)
= 20 10
3 . 20 8
4
2 a . 20 15
5
3 a = 20 15
5
8
4
10
.
3
.
.
2
.
3 a
a
= 20 23
4
15
.
2
.
3 a
= a 20 3
4
15
.
2
.
3 a
 Cociente de radicales: Radicales del mismo índice
Radicales de distinto índice. Primero se reducen a índice común y luego se dividen.
Ejercicio 1) Realicen las siguientes multiplicaciones y divisiones:
a) 
x
x 3
.
3
5 3
b) 
5
3
³
²
.
² b
a
ab c) 
4
3
³
.
²
. m
m
m
d) 
3
4
2
e) 
4
3
²
27
9
x
x
g)
√4 x .
3
√4 x ².
¿
2) Realizar los productos:
RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES
La racionalización de radicales consiste en quitar los radicales del denominador, es decir,
reescribir una expresión conservando su valor, pero sin radicales en el denominador.
Podemos distinguir tres casos:
1er caso: La raíz del denominador es cuadrada: Se multiplica el numerador y el
denominador por .
2do caso: La raíz del denominador es de índice
mayor a 2: Se multiplica
numerador y denominador por
9

3er caso: En el denominador hay un binomio con, al menos, un radical: . Se multiplica
el numerador y denominador por el conjugado del denominador (es decir el mismo
binomio pero con el signo del segundo término cambiado), de manera de poder aplicar
diferencia de cuadrados.
Ejercicio 12: Racionalicen las siguientes expresiones:
a)
10
√2
=
b)
1
3
√3
=
c)



2
3
2
3
d)
5
3
√7
=
e)

 3
5
15
f)
6
3
√5
=
g)
2
3.√2
=
h)
3
2.
4
√5
=
i) 
 2
1
1
10

TRABAJO PRÁCTICO AÚLICO Lee atentamente y aplica lo aprendido: Tamara
quiere destinar una región de su campo cuadrado cuya diagonal mide 4 km para el pastoreo del
ganado. Necesita pasto para sembrarlo y alambre para cercarlo ¿Qué superficie de pasto debe
sembrar Tamara?¿Cuántos kilómetros de alambre utilizará para dar una vuelta de cerco?
1) Juana quiere determinar una región de su campo, como la que
muestra la figura, para el pastoreo del ganado. El terreno puede
dividirse en un sector rectangular, en el cual el largo se el doble del
ancho y que tenga una diagonal de 8 Km., y un sector cuadrado, cuya
diagonal sea de 4 km.
Necesita pasto para sembrarlo y alambre para cercarlo. ¿Qué
superficie de pasto debe sembrar Juana? ¿Cuántos kilómetros de
alambre utilizará en una vuelta de cerco?
2) La base del rectángulo mide 3
2 cm y la altura 6 cm. a) Calcule el área del rectángulo.
3) La base del rectángulo mide 3
2 cm y la altura
6 cm. a) Calcule el área del rectángulo. b)
calcule el área del romboide.
4) Halla el perímetro de cada figura:
a)
b)
 d)
5) Hallar el área de las siguientes figuras:
a) b)
7) Racionalizar

6
2


2
1
2
1
3
√8
=
2
2.
4
√3
= 
 3
5
2

 3
3
3
11
5
2
AC = 2
BD = 6
A
B
C
D
7
3 7
2
3
175
2
2
2
2
18
3
27
1
2
3
3
2

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