El documento describe tres tipos de figuras geométricas: 1) Figuras congruentes que tienen la misma forma y tamaño, 2) Figuras equivalentes que tienen la misma área pero no necesariamente la misma forma, y 3) Figuras semejantes que tienen la misma forma pero pueden tener diferentes tamaños, siempre y cuando sus ángulos y lados correspondientes sean proporcionales.

2. 1. Figuras congruentes ( )
Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma,
el mismo tamaño y la misma área, es decir, si al colocarlas
una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión.
Ejemplos:

3. A
C
B D
F
E
Para determinar si dos triángulos son congruentes,
existen algunos criterios. Los más utilizados son:
1° Postulado N° 1 (L.L.L.)
Dos triángulos son congruentes si sus lados
correspondientes son congruentes.
Ejemplo:
88
1010
66
Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota:
Δ ABC Δ DEF

4. 2° Postulado N° 2 (L.A.L.)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados
respectivamente congruentes y el ángulo comprendido
entre ellos congruente.
A B
C
E
F
D
αα
5
3
5
3
Ejemplo:
Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota:
Δ ABC Δ DEF

5. 3° Postulado N° 3 (A.L.A)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos
respectivamente congruentes y el lado comprendido entre
ellos congruente.
A B
C
E
F
D
αα
1212
Ejemplo:
β β
Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota:
Δ ABC Δ DEF

6. 2. Figuras Equivalentes
Son aquellas que tienen la misma área.
Ejemplo:
El cuadrado de lado 2√π , es “equivalente” al círculo de radio
2 de la figura:
Área = 4π Área = 4π

7. 3. Figuras semejantes (~)
Para que dos polígonos sean semejantes es necesario que se
cumplan dos condiciones:
Se llaman “lados homólogos” a los lados que unen dos vértices
con ángulos congruentes.
G
F
J
I
H
α
β
γ
δ
ε
A
E
D
C
B
α
β
γ
δ
ε
1° que tengan sus ángulos respectivamente congruentes, y
2° que sus lados homólogos sean proporcionales.
Tienen igual forma, pero no necesariamente igual tamaño y área.

8. A
E
D
C
B
α
β
γ
δ
ε
G
F
J
I
H
α
β
γ
δ
ε
6
5
4
3
12
10
8
6
42
Además, están en razón 1:2.
Por ejemplo, los lados AB y GH son homólogos, como
también lo son, BC y HI, CD y IJ, DE y JF, EA y FG.

9. Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes
son congruentes, y sus lados homólogos proporcionales.
Ejemplo:
A B
C
α
β
γ
E
F
D
α
β
γ
Los Lados homólogos están en
razón: 1:3 = k
5
3
15
9
4
12
Recuerda que al establecer una
semejanza, el orden no se debe alterar.
AB es homólogo a DE
BC es homólogo a EF
AC es homólogo a DF AB
DE
BC
EF
AC
DF
1
3
= = = = k

10. P
Q
R
A B
C
Los lados homólogos en los triángulos semejantes, corresponden
a aquellos lados que son respectivamente proporcionales.
Ejemplo:
34
5
6
8
10
AB
PQ
= BC
QR
= CA
RP
= k 5
10
= 3
6
= 4
8
= 1
2
⇒
Además, también los elementos que cumplen la misma función
en cada uno de los triángulos como: alturas, transversales,
bisectrices y simetrales, (son homólogos y proporcionales).
= k

11. PR
6
8
10
Q
A B
C
34
5
hC
hR
Además, =
hC
hR
2,4
4,8
=
1
2
= k
Recuerda: Teorema de Euclides
hC =
a · b
c

12. 3.5 Postulados de semejanza
1° Postulado AA.
• Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos
respectivamente congruentes.
Ejemplo:
A B
C
34ο
55ο
E
F
D
34ο
55ο
AB
DF
BC
FE
AC
DE
= = = kAdemás
Δ ABC ~ Δ DFE por AA

13. 2° Postulado LLL.
• Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados
respectivamente proporcionales.
Ejemplo:
Δ ABC ~ Δ FDE por LLL
A B
C
4
E
F
D
5
6
12 8
10
AB
FD
BC
DE
AC
FE
1
2
= = = = k
Además ∠BAC=∠DFE, ∠CBA=∠EDF y ∠ACB=∠FED

14. 3° Postulado LAL.
• Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados
respectivamente proporcionales y el ángulo comprendido
entre ellos congruente.
Ejemplo:
A B
C
4
E
F
D
5 12
15
57°
57°
Δ ABC ~ Δ FED por LAL
Además ∠BAC=∠DFE y ∠CBA=∠FED
BC
ED
4
12
5
15
1
3
= = = kAC
FD
= ⇒

15. Ejemplo:
Determinar la medida del segmento QR de la figura:
A B
C
α
β
γ
4 10
Q
R
P
α
γ
β
6
Solución:
10
QR
4
6
= 60 = 4∙QR 15 = QR
Es decir:
AB
PR
10
QR
4
6
= = ⇒ ⇒ ⇒
Los triángulos de la figura son semejantes por AA y se tiene
que Δ ABC ~ Δ PRQ , entonces:
AB
PR
CB
QR
AC
PQ
= = = k Con k razón de semejanza

16. 4º POSTULADO: LLA>
DOS TRIÁNGULOS SON SEMEJANTES SI TIENEN DOS LADOS
RESPECTIVAMENTE PROPORCIONALES, Y EL ÁNGULO OPUESTO
AL MAYOR DE ESOS LADOS, CONGRUENTE.
16
8 14
28
Δ ABC ~ Δ DEF por LLA>
B
C
D E
FEjemplo:
A
Razón de semejanza: 1 : 2