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Sesión 01: Congruencia y Semejanza
1. Figuras congruentes ( )
Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma,
el mismo tamaño y la misma área, es decir, si al colocarlas
una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión.
Ejemplos:
A
C
B D
F
E
Para determinar si dos triángulos son congruentes,
existen algunos criterios. Los más utilizados son:
1° Postulado N° 1 (L.L.L.)
Dos triángulos son congruentes si sus lados
correspondientes son congruentes.
Ejemplo:
88
1010
66
Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota:
Δ ABC Δ DEF
2° Postulado N° 2 (L.A.L.)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados
respectivamente congruentes y el ángulo comprendido
entre ellos congruente.
A B
C
E
F
D
αα
5
3
5
3
Ejemplo:
Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota:
Δ ABC Δ DEF
3° Postulado N° 3 (A.L.A)
Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos
respectivamente congruentes y el lado comprendido entre
ellos congruente.
A B
C
E
F
D
αα
1212
Ejemplo:
β β
Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota:
Δ ABC Δ DEF
2. Figuras Equivalentes
Son aquellas que tienen la misma área.
Ejemplo:
El cuadrado de lado 2√π , es “equivalente” al círculo de radio
2 de la figura:
Área = 4π Área = 4π
3. Figuras semejantes (~)
Para que dos polígonos sean semejantes es necesario que se
cumplan dos condiciones:
Se llaman “lados homólogos” a los lados que unen dos vértices
con ángulos congruentes.
G
F
J
I
H
α
β
γ
δ
ε
A
E
D
C
B
α
β
γ
δ
ε
1° que tengan sus ángulos respectivamente congruentes, y
2° que sus lados homólogos sean proporcionales.
Tienen igual forma, pero no necesariamente igual tamaño y área.
A
E
D
C
B
α
β
γ
δ
ε
G
F
J
I
H
α
β
γ
δ
ε
6
5
4
3
12
10
8
6
42
Además, están en razón 1:2.
Por ejemplo, los lados AB y GH son homólogos, como
también lo son, BC y HI, CD y IJ, DE y JF, EA y FG.
Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes
son congruentes, y sus lados homólogos proporcionales.
Ejemplo:
A B
C
α
β
γ
E
F
D
α
β
γ
Los Lados homólogos están en
razón: 1:3 = k
5
3
15
9
4
12
Recuerda que al establecer una
semejanza, el orden no se debe alterar.
AB es homólogo a DE
BC es homólogo a EF
AC es homólogo a DF AB
DE
BC
EF
AC
DF
1
3
= = = = k
P
Q
R
A B
C
Los lados homólogos en los triángulos semejantes, corresponden
a aquellos lados que son respectivamente proporcionales.
Ejemplo:
34
5
6
8
10
AB
PQ
= BC
QR
= CA
RP
= k 5
10
= 3
6
= 4
8
= 1
2
⇒
Además, también los elementos que cumplen la misma función
en cada uno de los triángulos como: alturas, transversales,
bisectrices y simetrales, (son homólogos y proporcionales).
= k
PR
6
8
10
Q
A B
C
34
5
hC
hR
Además, =
hC
hR
2,4
4,8
=
1
2
= k
Recuerda: Teorema de Euclides
hC =
a · b
c
3.5 Postulados de semejanza
1° Postulado AA.
• Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos
respectivamente congruentes.
Ejemplo:
A B
C
34ο
55ο
E
F
D
34ο
55ο
AB
DF
BC
FE
AC
DE
= = = kAdemás
Δ ABC ~ Δ DFE por AA
2° Postulado LLL.
• Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados
respectivamente proporcionales.
Ejemplo:
Δ ABC ~ Δ FDE por LLL
A B
C
4
E
F
D
5
6
12 8
10
AB
FD
BC
DE
AC
FE
1
2
= = = = k
Además ∠BAC=∠DFE, ∠CBA=∠EDF y ∠ACB=∠FED
3° Postulado LAL.
• Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados
respectivamente proporcionales y el ángulo comprendido
entre ellos congruente.
Ejemplo:
A B
C
4
E
F
D
5 12
15
57°
57°
Δ ABC ~ Δ FED por LAL
Además ∠BAC=∠DFE y ∠CBA=∠FED
BC
ED
4
12
5
15
1
3
= = = kAC
FD
= ⇒
Ejemplo:
Determinar la medida del segmento QR de la figura:
A B
C
α
β
γ
4 10
Q
R
P
α
γ
β
6
Solución:
10
QR
4
6
= 60 = 4∙QR 15 = QR
Es decir:
AB
PR
10
QR
4
6
= = ⇒ ⇒ ⇒
Los triángulos de la figura son semejantes por AA y se tiene
que Δ ABC ~ Δ PRQ , entonces:
AB
PR
CB
QR
AC
PQ
= = = k Con k razón de semejanza
4º POSTULADO: LLA>
DOS TRIÁNGULOS SON SEMEJANTES SI TIENEN DOS LADOS
RESPECTIVAMENTE PROPORCIONALES, Y EL ÁNGULO OPUESTO
AL MAYOR DE ESOS LADOS, CONGRUENTE.
16
8 14
28
Δ ABC ~ Δ DEF por LLA>
B
C
D E
FEjemplo:
A
Razón de semejanza: 1 : 2

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Sesión 01: Congruencia y Semejanza

  • 2. 1. Figuras congruentes ( ) Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma, el mismo tamaño y la misma área, es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión. Ejemplos:
  • 3. A C B D F E Para determinar si dos triángulos son congruentes, existen algunos criterios. Los más utilizados son: 1° Postulado N° 1 (L.L.L.) Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes. Ejemplo: 88 1010 66 Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF
  • 4. 2° Postulado N° 2 (L.A.L.) Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo comprendido entre ellos congruente. A B C E F D αα 5 3 5 3 Ejemplo: Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF
  • 5. 3° Postulado N° 3 (A.L.A) Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado comprendido entre ellos congruente. A B C E F D αα 1212 Ejemplo: β β Los triángulos ABC y DEF son congruentes y se denota: Δ ABC Δ DEF
  • 6. 2. Figuras Equivalentes Son aquellas que tienen la misma área. Ejemplo: El cuadrado de lado 2√π , es “equivalente” al círculo de radio 2 de la figura: Área = 4π Área = 4π
  • 7. 3. Figuras semejantes (~) Para que dos polígonos sean semejantes es necesario que se cumplan dos condiciones: Se llaman “lados homólogos” a los lados que unen dos vértices con ángulos congruentes. G F J I H α β γ δ ε A E D C B α β γ δ ε 1° que tengan sus ángulos respectivamente congruentes, y 2° que sus lados homólogos sean proporcionales. Tienen igual forma, pero no necesariamente igual tamaño y área.
  • 8. A E D C B α β γ δ ε G F J I H α β γ δ ε 6 5 4 3 12 10 8 6 42 Además, están en razón 1:2. Por ejemplo, los lados AB y GH son homólogos, como también lo son, BC y HI, CD y IJ, DE y JF, EA y FG.
  • 9. Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes, y sus lados homólogos proporcionales. Ejemplo: A B C α β γ E F D α β γ Los Lados homólogos están en razón: 1:3 = k 5 3 15 9 4 12 Recuerda que al establecer una semejanza, el orden no se debe alterar. AB es homólogo a DE BC es homólogo a EF AC es homólogo a DF AB DE BC EF AC DF 1 3 = = = = k
  • 10. P Q R A B C Los lados homólogos en los triángulos semejantes, corresponden a aquellos lados que son respectivamente proporcionales. Ejemplo: 34 5 6 8 10 AB PQ = BC QR = CA RP = k 5 10 = 3 6 = 4 8 = 1 2 ⇒ Además, también los elementos que cumplen la misma función en cada uno de los triángulos como: alturas, transversales, bisectrices y simetrales, (son homólogos y proporcionales). = k
  • 11. PR 6 8 10 Q A B C 34 5 hC hR Además, = hC hR 2,4 4,8 = 1 2 = k Recuerda: Teorema de Euclides hC = a · b c
  • 12. 3.5 Postulados de semejanza 1° Postulado AA. • Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes. Ejemplo: A B C 34ο 55ο E F D 34ο 55ο AB DF BC FE AC DE = = = kAdemás Δ ABC ~ Δ DFE por AA
  • 13. 2° Postulado LLL. • Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales. Ejemplo: Δ ABC ~ Δ FDE por LLL A B C 4 E F D 5 6 12 8 10 AB FD BC DE AC FE 1 2 = = = = k Además ∠BAC=∠DFE, ∠CBA=∠EDF y ∠ACB=∠FED
  • 14. 3° Postulado LAL. • Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos congruente. Ejemplo: A B C 4 E F D 5 12 15 57° 57° Δ ABC ~ Δ FED por LAL Además ∠BAC=∠DFE y ∠CBA=∠FED BC ED 4 12 5 15 1 3 = = = kAC FD = ⇒
  • 15. Ejemplo: Determinar la medida del segmento QR de la figura: A B C α β γ 4 10 Q R P α γ β 6 Solución: 10 QR 4 6 = 60 = 4∙QR 15 = QR Es decir: AB PR 10 QR 4 6 = = ⇒ ⇒ ⇒ Los triángulos de la figura son semejantes por AA y se tiene que Δ ABC ~ Δ PRQ , entonces: AB PR CB QR AC PQ = = = k Con k razón de semejanza
  • 16. 4º POSTULADO: LLA> DOS TRIÁNGULOS SON SEMEJANTES SI TIENEN DOS LADOS RESPECTIVAMENTE PROPORCIONALES, Y EL ÁNGULO OPUESTO AL MAYOR DE ESOS LADOS, CONGRUENTE. 16 8 14 28 Δ ABC ~ Δ DEF por LLA> B C D E FEjemplo: A Razón de semejanza: 1 : 2