EJERCICIOS POTENCIAS

1. A1 Dibujar las circunferencias que pasan por los puntos P y Q y son tangentes a otra circunferencia d. Justificación razonada.
d
P
Q
A1 Inscribir en la circunferencia dada tres circunferencias de igual radio tangentesw a ella y tangentes entre sí dos a dos, determinando con precisión
los puntos de tangencia. Justificar razonadamente la respuesta.
O1
C
A1 Determinar la circunferencia de menor tamaño tangente a la circunferencia c y a la recta r en el punto P.
P
c
r

2. A1 Determinar las circunferencias tangentes a las rectas r y s y que pasen por el punto P
B1 Determinar la circunferencia de radio más pequeño posible que es tangente a las circunferencias de centros O1 y O2 y es tangente a la primera en
el punto P.
O2
O1
P
A P B
A1 Dados los puntos A,B y P, trazar los arcos de circunferencia que pasando por A y B disten 20mm de P. Exponer razonadamente el fundamento de la
construcción empleada.
P
r
s

3. r
s
P
r
s
P
p
p
Tangentes a r, s y circunferencia p (por contracción).
Tangentes a r, s y circunferencia p (por dilatación)
A1 Dibujar las circunferencias tangentes a la circunferencia c y la recta r dadas, siendo T, el punto de tangencia con la recta.
O
C
P
r

4. Tangentes a r y circunferencia en su punto p.
Dibuja una circunferencia tangente a la recta r que comparta eje radical con O1 y O2
O1 O2
O
C
P
r
O
A
Circunferencias Tangentes a la circunferencia dada, pasando por A y con centro en la recta r
r

5. A1 Dibujar las circunferencias que pasan por los puntos P y Q y son tangentes a otra circunferencia d. Justificación razonada.
d
P
Q
Cr
√k
√k
T2
T1
A1 Inscribir en la circunferencia dada tres circunferencias de igual radio tangentesw a ella y tangentes entre sí dos a dos, determinando con precisión
los puntos de tangencia. Justificar razonadamente la respuesta.
O1
C
1 ¿Conocemos la recta que contiene al centro de la
circunferencia buscada? 4casos. en este caso la
bisectriz del ángulo de 120º
2 ¿tenemos tres elementos? Sí, dos rectas y una
circunferencia con un punto de tangencia donde la
bisectriz corta a la circunferencia
3 Dibujar ejes radicales para obtener un CR. Tangente
a la circunferencia por P es un eje.
El otro eje es la recta, circunferencia de radio infinito.
4 Donde se junten los ejes tenemos el centro radical.
Con él podemos averiguar los puntos de tangencia de
la circunferencia solución. Trazamos la tangente a c y
donde interseque a la recta inicial trazamos una
perpendicular
5 Tenemos ya un punto de tangencia pt1 y un centro
de la circunferencia solución C1, podemos trazar
ahora pt2 y pt3 así como C2 y C3
Podemos resolver este problema por potencia
considerando una circunferencia tangente a la
circunferencia enunciado, y dos rectas que forman
120° (un tercio de la circunferencia)
eje
P
eje
Cr
pt1
C1
pt2
pt3
C2
C3
A1 Determinar la circunferencia de menor tamaño tangente a la circunferencia c y a la recta r en el punto P.
P
c
r
Cr
1 ¿Conocemos la recta que contiene al centro de la
circunferencia buscada? 4casos. en este caso la
perpendicular a r por P
2 ¿tenemos tres elementos? Sí, recta r circunferencia
c y punto de tangencia P.
3 Dibujar ejes radicales para obtener un CR. La recta r
es un eje. El otro eje lo obtenemos dibujando una
circunferencia auxiliar con centro en la recta de
puntos solución y que pase por P y corte a la
circunferencia c
eje
eje
Caux
C1
√k
T1
T2
√k
4 Desde Cr averiguamos las tangentes a c T1 y T2 y
uninedo éstas con el centro de la circunferencia c
(O1) obtenemos los centros de las circunferencias
solución donde la recta O1T1 y O1T2 (queda fuera del
papel) cortan a la recta de puntos solución
Recta que contiene los
centros solución
la otra solución queda
fuera de la lámina
eje radical
Caux
eje radical
R
a
u
x
C1
C2
R1
R
2
Recta que contiene los
centros solución
1 ¿Conocemos la recta que contiene al centro de la
circunferencia buscada? 4casos. en este caso la
mediatrices PQ
2 ¿tenemos tres elementos? Sí, dos puntos y una
circunferencia.
3 Dibujar ejes radicales para obtener un CR. La recta
que une P y Q es un eje.
El otro eje se halla dibujando una circunferencia que
con centro en la recta de puntos solución sea
secante a d y pase por P y por tanto también por Q.
4 Donde se junten los ejes tenemos el centro radical.
Con él podemos averiguar los puntos de tangencia de
las circunferencias solución. Trazamos las tangentes
a d obteniendo T1 y T2.
5 Uniendo T1 y T2 con el centro de la circunferencia
enunciado obtenemos los centros de las soluciones,
situados en la recta de puntos solución.

6. B1 Determinar la circunferencia de radio más pequeño posible que es tangente a las circunferencias de centros O1 y O2 y es tangente a la priera en
el punto P.
O2
O1
P
1 ¿Conocemos la recta que contiene al centro de la
circunferencia buscada? 4casos. en este caso
circunferencia tangente y punto de tangencia en ella
2 Unimos el centro de la circunferencia con el punto
de tangencia
3 Dibujar ejes radicales para obtener un CR. Tangente
a la circunferencia por P es un eje.
Teniendo dos circunferencias podemos hallar el eje
radical por métodos normales.
4 Donde se junten los ejes tenemos el centro radical.
Con él podemos averiguar los puntos de tangencia de
la circunferencia solución
CR
sol
eje
eje
5 Unimos los puntos de tangencia en la
circunferencia 1 con el centro y donde se cruce la
recta con la recta que contiene los centros solución
tendremos el centro de la circunferencia que
buscamos
Pt2
Pt1
Recta que contiene los
centros solución
A P B
A1 Dados los puntos A,B y P, trazar los arcos de
circunferencia que pasando por A y B disten 20mm de P.
Exponer razonadamente el fundamento de la construcción
empleada.
Caux
Cr
Csol1
√k
√k
Csol2
Tangentes a r y s pasando por P
P
r
s
Recta que contiene los
centros solución
P´
eje
eje
CR
Caux
√k
la otra solución queda
fuera de la lámina
1 ¿Conocemos la recta que contiene al centro de la
circunferencia buscada? 4casos. en este caso
bisectriz
2 No nos basta con las rectas y un punto, por lo que
hayamos el simétrico de P respecto la bisectriz
3 Dibujar ejes radicales para obtener un CR. la recta r
(o la s) es un eje. El otro eje es la recta que une P y P´.
4 Donde se junten los ejes tenemos el centro radical.
Desde el centro radical buscamos una tangente, en
este caso tangente a una circunferencia auxiliar que
con centro en la recta de puntos pase por P y P´.
5 La distancia desde el Cr a los puntos de tangencia con
la circunferencia auxiliar es √k. Haciendo centro en Cr
averiguamos los puntos donde la circunferencia de
radio √k y centro Cr toca a la recta r.
Desde ellos trazamos la perpendicular y donde cortan a
la bisectriz tendremos los centros solución.
Csol1
Csol2
R20
Recta que contiene los
centros solución
eje
eje
T1
T2
1 ¿Conocemos la recta que contiene al centro de la circunferencia
buscada? 4casos. en este caso mediatriz del segmento AB
2 Tres elementos, puntos A y B y una circunferencia de radio 20mm
3 Dibujar ejes radicales para obtener un CR. la recta AB es un eje.
El otro eje lo averiguamos trazando una circunferencia auxiliar
que con centro en la recta de puntos solución y pasando por A (y
por tanto B) interseque con la circunferencia enunciado.
4 Donde se junten los ejes tenemos el centro radical. Desde el centro
radical buscamos una tangente, en este caso tangente a la
circunferencia enunciado, obteniendo los puntos de tangencia T1 y T2.
5 Uniendo T1 y T2 con P, centro de la circunferencia enunciado,
obtenemos los centros de las soluciones, situados en la recta de
puntos solución.
Caux

7. Tangentes a r, s y circunferencia p.
r
c
s
P
P´
Caux
r
s
P
P´
Caux
CR
Recta que contiene los
centros solución
Recta que contiene los centros solución
1 El ejercicio tiene 4 soluciones. Se dibujan las dos
primeras realizando una dilatación, hacemos
paralelas a las rectas por su exterior a una distancia
igual al radio de la circunferencia y reducimos la
circunferencia a un punto.
2 Actuamos como en el caso conocido tangente a dos
rectas pasando por un punto, teniendo en cuenta
que las soluciones han de ser tangentes a las rectas
iniciales
p
p
R
p
Rp
R
p
√k
eje
eje
Csol1
Csol2
T1
T2
1 El ejercicio tiene 4 soluciones. Se dibujan las dos
últimas realizando una contracción, hacemos
paralelas a las rectas por su interior a una distancia
igual al radio de la circunferencia y reducimos la
circunferencia a un punto P.
2 Actuamos como en el caso conocido tangente a dos
rectas pasando por un punto, teniendo en cuenta
que las soluciones han de ser tangentes a las rectas
iniciales
eje
eje
Rp
Rp
CR
√k
Csol1
Csol2
T1
T2
A1 Dibujar las circunferencias tangentes a la circunferencia c y la recta r dadas, siendo T, el punto de tangencia con la recta.
O
C
P
1 ¿Conocemos la recta que contiene al centro de la circunferencia
buscada? 4casos. en este caso la perpendicular a r por P
2 ¿tenemos tres elementos? Sí, punto, recta y una circunferencia
3 Dibujar ejes radicales para obtener un CR. r es un eje. Cundo tenemos
una circunferencia y un punto trazamos una circunferencia auxiliar con
centro en la recta de centros solución y radio hasta elpunto que
interseque con la circunferencia del enunciado. Obtenemos el eje
radical uniendo los puntos intersección.
4 Donde se junten los ejes tenemos el centro radical. Con él podemos
averiguar los puntos de tangencia de la circunferencia solución.
Trazamos la tangente a c
5 Tenemos ya los puntos de tangencia pt1 y pt2, uniéndolos con O
obtendremos los centros de las circunferencias solución donde
intersequen a la recta de centros.
r
eje
C aux
CR
C1
C2
pt2
pt1
√k
c aux

8. Dibuja una circunferencia tangente a la recta r que comparta eje radical con O1 y O2
Circunferencias Tangentes a la circunferencia dada, pasando por A y con centro en la recta r
O
A
O1 O2
Oaux
Cr
√k
√k
√k
√k
Os1 Os2
Tangentes a r y circunferencia en su punto p.
O
C
P
r
er
cr
√
k
T1
T2
P´
er C aux
cr
er
√k
T1
T2
C1
C2
r