Tema de polinomios, con ejemplos y repaso

1. UD 3. POLINOMIOS - MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS: 4º B ESO.
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CONTENIDO
EXPRESIÓN ALGEBRÁICA: MONOMIOS Y POLINOMIOS................................................... 2
Operaciones con monomios .................................................................................... 4
POLINOMIOS ............................................................................................................ 5
Operaciones con polinomios .................................................................................... 6
SUMA de polinomios........................................................................................... 6
RESTA de polinomios.......................................................................................... 7
MULTIPLICACIÓN de un número por un polinomio ................................................. 7
MULTIPLICACIÓN de un monomio por un polinomio ............................................... 7
MULTIPLICACIÓN de polinomios .......................................................................... 7
DIVISIÓN de polinomios ..................................................................................... 8
IDENTIDADES NOTABLES ......................................................................................... 11
RAÍCES Y FACTORIZACIÓN ....................................................................................... 12
Regla de RUFFINI ................................................................................................ 12
Teorema del RESTO ............................................................................................. 13
RAIZ de un polinomio........................................................................................... 14
Teorema del FACTOR. DIVISIBILIDAD de polinomios................................................ 14
FACTORIZACIÓN ................................................................................................. 16
FRACCIONES ALGEBRAICAS ..................................................................................... 20
Definición ........................................................................................................... 20
Equivalencia y simplificación ................................................................................. 20
Operaciones........................................................................................................ 21
PROBLEMAS............................................................................................................ 22

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EXPRESIÓN ALGEBRÁICA: MONOMIOS Y POLINOMIOS
Una EXPRESIÓN ALGEBRAICA es una combinación de letras y números ligada por los
signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.
ELEMENTOS:
 El COEFICIENTE es el número que aparece multiplicando a las variables o letras.
 La PARTE LITERAL está constituida por las letras y sus exponentes; representan
variables o incógnitas.
 El EXPONENTE de la parte literal que define el GRADO
Ejemplos de expresiones algebraicas:

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TIPOS:
 MONOMIO: expresión algebraica formada por un solo TÉRMINO (letras y números
ligados por la multiplicación, división y potenciación).
 POLINOMIO: expresión algebraica formada por más de un término.
 Binomio: expresión algebraica formada por dos términos.
 Trinomio: expresión algebraica formada por tres términos.
 El VALOR NUMÉRICO de una expresión algebraica es el número que se obtiene al
sustituir las letras de la misma por números determinados y efectuar las
operaciones indicadas en la expresión.
 El GRADO de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o
variables.
 Dos monomios son SEMEJANTES cuando tienen la misma parte literal.

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OPERACIONES CON MONOMIOS
 Producto de un número por un monomio es otro monomio semejante cuyo
coeficiente es el producto del coeficiente de monomio por el número.
 La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo
coeficiente es la suma de los coeficientes. Sólo podemos sumar monomios
semejantes.
 El producto de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el producto
de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando las potencias que
tenga la misma base.
 El cociente de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de
los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la
misma base.
 Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de éste, al
exponente de la potencia.
ATENCIÓN: REPASEN POTENCIAS pues en las operaciones con polinomios se trata de
multiplicar y dividir potencias con igual base constantemente.

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POLINOMIOS
Un POLINOMIO es una SUMA o RESTA de MONOMIOS.
Así, ya sabemos que cada uno de los MONOMIOS que forman un polinomio se llama
TÉRMINO.
El TÉRMINO INDEPENDIENTE es aquel número que no "lleva letra" o el "término de
grado cero".
El GRADO de un polinomio P(x) es el grado mayor de los monomios o términos que lo
componen.
Polinomio COMPLETO es aquel que tiene todos los términos desde el término
independiente hasta el término de mayor grado.
Polinomio ORDENADO es aquel cuyos monomios están escritos de mayor a menor grado.
Es un polinomio completo y ordenado
Dos polinomios son IGUALES si verifican:
 Los dos polinomios tienen el mismo grado.
 Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.

6. UD 3. POLINOMIOS - MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS: 4º B ESO.
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VALOR NUMÉRICO de un polinomio es el resultado que obtenemos al sustituir la variable
x por un número cualquiera.
OPERACIONES CON POLINOMIOS
SUMA de polinomios

7. UD 3. POLINOMIOS - MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS: 4º B ESO.
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RESTA de polinomios
MULTIPLICACIÓN de un número por un polinomio
MULTIPLICACIÓN de un monomio por un polinomio
MULTIPLICACIÓN de polinomios

8. UD 3. POLINOMIOS - MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS: 4º B ESO.
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DIVISIÓN de polinomios
La división de polinomios es similar a la división entera de números naturales. Para dividir
dos polinomios es necesario que el grado del polinomio dividendo sea mayor o igual
que el grado del divisor.
Al dividir un polinomio P(x) entre otro Q(x), obtenemos otros dos polinomios C(x) y R(x)
que cumplen:
P(x) = Q(x)·C(x) + R(x)
grado de R(x) < grado de C (x)
El grado del polinomio cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor.
grado de C(x) = grado de P(x) - grado de Q(x)
Ejemplo:

9. UD 3. POLINOMIOS - MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS: 4º B ESO.
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Ejemplo paso a paso:

10. UD 3. POLINOMIOS - MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS: 4º B ESO.
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11. UD 3. POLINOMIOS - MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS: 4º B ESO.
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IDENTIDADES NOTABLES
Ejemplos:

12. UD 3. POLINOMIOS - MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS: 4º B ESO.
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RAÍCES Y FACTORIZACIÓN
Ahora se trata de DIVIDIR los polinomios entre un BINOMIO del tipo x - a
De tal forma que se expresa: P (x) = C (X)  (x - a) + R
Para realizar este tipo de divisiones se utiliza la regla de RUFFINI que es más rápida que la
división de polinomios anteriormente vista.
REGLA DE RUFFINI
(x4
− 3x2
+ 2 ) : (x − 3 )
1º. Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con
ceros.
2º. Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.
3º. Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independiente del divisor.
4º. Trazamos una raya y bajamos el
primer coeficiente.
5º. Multiplicamos ese coeficiente por el
divisor y lo colocamos debajo del
siguiente término.
6º. Sumamos los dos coeficientes.
7º. Repetimos los pasos 5 y 6 las veces que fuera necesarias.
8º. El último número obtenido es el resto.
9º. El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos
coeficientes son los que hemos obtenido.
ATENCIÓN
+
=

13. UD 3. POLINOMIOS - MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS: 4º B ESO.
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TEOREMA DEL RESTO
P (x) = C (X)  (x - a) + P (a)

14. UD 3. POLINOMIOS - MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS: 4º B ESO.
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RAIZ DE UN POLINOMIO
Si el resto es cero, la división es exacta y el valor de a es RAIZ del polinomio
P (a) = 0 y se escribe P (x) = C (X)  (x - a)
TEOREMA DEL FACTOR. DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS

15. UD 3. POLINOMIOS - MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS: 4º B ESO.
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16. UD 3. POLINOMIOS - MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS: 4º B ESO.
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FACTORIZACIÓN
PROCESO para EXPRESAR el polinomio como una MULTIPLICACIÓN (de polinomios
de menor grado)
PASO 1º. Extraigo FACTOR COMÚN o aplico INDENTIDADES NOTABLES:
PASO 2º. Busco las RAÍCES del polinomio:
a. Hallo los DIVISORES del TÉRMINO INDEPENDIENTE.
b. Compruebo si estos DIVISORES son RAÍCES del polinomio.
c. Aplico RUFFINI con aquellos valores que sean RAÍCES (a). Divido el polinomio entre el
binomio (x - a).
Obtengo C1 (x) y expreso P (x) = (x - a)  C1 (x)
PASO 3º. Continuo factorizando a C1 (x)
Aplico el PASO 2º a C1 (x)
Obtengo C2 (x) y expreso C1 (x) = (x - b)  C2 (x)
Luego: P (x) = (x - a)  (x - b)  C2 (x)


17. UD 3. POLINOMIOS - MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS: 4º B ESO.
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PASO 1º. Extraigo FACTOR COMÚN o aplico INDENTIDADES NOTABLES:
Ejemplos:
Si no puedo hacer esto más voy al siguiente paso.
PASO 2º. Busco las RAÍCES del polinomio:
a. Hallo los DIVISORES del TÉRMINO INDEPENDIENTE
b. Compruebo si estos DIVISORES son RAÍCES del polinomio (si sustituyendo x por el
divisor da cero -Teorema del Factor-). Comienzo con los valores más bajos, que serán
siempre +1

18. UD 3. POLINOMIOS - MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS: 4º B ESO.
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c. Aplico RUFFINI: Con aquellos valores que sean RAÍCES (a) divido el polinomio entre
(x - a).
ATENCIÓN: si aquí el resto no sale cero es que HALGO SE HA HECHO MAL, porque al ser
una raíz del polinomio el resto es cero
Se obtienen los coeficientes del polinomio cociente:
El resultado es P (x) = (x - a)  C1 (x)
PASO 3º. Continuo factorizando a C1 (x)
Y expreso C1 (x) = (x - b)  C2 (x)
Luego: P (x) = (x - a)  (x - b)  C2 (x)

19. UD 3. POLINOMIOS - MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS: 4º B ESO.
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20. UD 3. POLINOMIOS - MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS: 4º B ESO.
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FRACCIONES ALGEBRAICAS
DEFINICIÓN
EQUIVALENCIA Y SIMPLIFICACIÓN

21. UD 3. POLINOMIOS - MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS: 4º B ESO.
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OPERACIONES

22. UD 3. POLINOMIOS - MATEMÁTICAS ORIENTADAS A LAS ENSEÑANZAS ACADÉMICAS: 4º B ESO.
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PROBLEMAS