Ecuaciones diferenciales

1. 4.2 Solución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales por medio de la trasformada de Laplace 340
4.2 Solución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones
iniciales por medio de la trasformada de Laplace
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Si se especifican los valores iniciales en sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con
coeficientes constantes estos se convierten en un sistema que también puede resolverse ,
El procedimiento es similar al que ya que se ha empleado. De esta manera se utiliza la
transformada de Laplace para convertir un sistema de ecuaciones con valor inicial en un
sistema de ecuaciones algebraicas.
Una vez resuelto el sistema de ecuaciones algebraicas para la transformada de Laplace de
las variables dependientes, se utilizan las tablas de transformadas inversas de Laplace para
obtener una solución explícita.
Las ventajas de la transformada de Laplace incluyen tener automáticamente satisfechas las
condiciones iniciales y evitar la necesidad de hallar soluciones particulares. El
procedimiento se ilustra con los siguientes ejemplos.
En los siguientes problemas aplique la transformada de Laplace para resolver el sistema
respectivo de ecuaciones diferenciales lineales.
Ejemplo 4.2.1 Resolver el sistema de ecuaciones formado por
´( ) 2 ( ) 4x t y t− = t (1)
4 ( ) 2 ( ) ´( ) 4 2x t y t y t t− + + = − − (2)
Bajo condiciones iniciales (0) 4, (0) -5x y= = . [11]
Calculando la transformada de ambos lados de (1) y (2)
2
4
( ) (0) 2 ( ) =sX s x Y s
s
− −
2
4 2
4 ( ) 2 ( ) ( ) (0)X s Y s sY s y
s s
− + + − = − −
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2. 4.2 Solución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales por medio de la trasformada de Laplace 341
Sustituyendo las condiciones iniciales y dejando las incógnitas del lado izquierdo
2
4
( ) 2 ( ) 4sX s Y s
s
− = + (3)
( ) 2
4 2
4 ( ) 2 ( ) 5X s s Y s
s s
− + + = − − − (4)
Factorizando y reacomodando (3) y (4) tenemos
2
2
4
( ) 2 ( )
s
sX s Y s
s
+
− =
4
(5)
( )
2
2
5 2 4
4 ( ) 2 ( )
s s
X s s Y s
s
⎛ ⎞+ +
− + + = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
(6)
Multiplicando (5) por ( y multiplicando)2s + (6) por ( )2 obtenemos
( ) ( ) (
2
2
4 4
2 ( ) 2 2 ( ) 2
s
s s X s s Y s s
s
⎛ ⎞+
+ − + = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
) (7)
( ) ( )( )
2
2
5 2 4
4 2 ( ) 2 2 ( ) 2
s s
X s s Y s
s
⎛ ⎞+ +
− + + = − ⎜
⎝ ⎠
⎟ (8)
Sumando (7) y (8) nos queda
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
3 2
2
2
2
3 2
2
2
4 8 4 8
2 ( ) 2 2 ( )
10 4 8
4 2 ( ) 2 2 ( )
4 2
2 8 ( )
s s s
s s X s s Y s
s
s s
X s s Y s
s
s s
s s X s
s
⎛ ⎞+ + +
+ − + = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞− − −
− + + = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
−
+ − =
Simplificando y despejando
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3. 4.2 Solución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales por medio de la trasformada de Laplace 342
( )
( )( )
4 2
( )
4 2
s
X s
s s
⎛ ⎞−
= ⎜⎜ + −⎝ ⎠
⎟⎟ (9)
Descomponiendo en fracciones parciales
( )
( )( )
4 2
4 2 4
s A B
s s s s
−
= +
+ − + − 2
B, o bien 4 2 2 4s As A Bs− = − + + , agrupando
( ) (4 2 2 4s A B s A− = + + − + )B por lo que 4A B+ = y 2 4A B 2− + = − ,
Resolviendo
2 2 8
2 4
6 6
A B
A B
B
+ =
− + = −
=
2 , de tal manera que 1B = y 3A =
Separando los términos de (9),
( ) ( )
3 1
( )
4 2
X s
s s
= +
+ −
, antitransformando
4
( ) 3 t 2t
x t e e−
= + (10)
De la ecuación (1), podemos despejar ( )y t , obteniendo
1
( ) ´( ) 2
2
y t x t t= − (11)
Derivando (10), nos queda
4
´( ) 12 2t 2t
x t e−
= − + e (12)
Por lo que sustituyendo (12) en (11), obtenemos
( 4 21
( ) 12 2 2
2
t t
)y t e e−
= − + − t , finalmente 4 2
( ) 6 2t t
y t e e−
t= − + −
Ejemplo 4.2.2 Determinar la solución del siguiente sistema de ecuaciones iniciales
formado por (13) y (14)
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4. 4.2 Solución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales por medio de la trasformada de Laplace 343
'
2x x y= − (13)
'
2y x= − + y (14)
Bajo condiciones iniciales y(0) 2x = ( )0 0y =
Transformamos cada término de la ecuación diferencial
{ } { } { }´ 2x x= −L L L y
{ } { } { }´ 2y x= − +L L L y
Obteniendo
( ) ( ) ( ) ( )0 2sX s x X s Y s− = − (15)
( ) ( ) ( ) ( )0 2sY s y X s Y s− = − + (16)
Sustituyendo las condiciones iniciales en (15) y (16) obtenemos
( ) ( ) ( )2 2sX s X s Y s− = − (17)
( ) ( ) ( )2sY s X s Y s= − + (18)
Factorizamos los valores que contienen ( )X s y de( )Y s (17) y (18), reacomodamos las
ecuaciones.
( ) ( )2 (s X s Y s− + ) 2=
=
(19)
( )2 ( ) ( ) 0s Y s X s− + (20)
Resolvemos (19) y (20), multiplicando por ( )1− la ecuación (19) y por la ecuación( 2s − )
(20) y posteriormente sumamos ambas ecuaciones.
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5. 4.2 Solución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales por medio de la trasformada de Laplace 344
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2
2 ( ) 2
2 ( ) 2 ( ) 0
2 1 ( ) 2
s X s Y s
s X s s Y s
s Y s
− − − = −
− + − =
⎡ ⎤− − = −
⎣ ⎦
, despejamos el resultado
( )
2
2
( )
2 1
Y s
s
= −
⎡ ⎤− −
⎣ ⎦
, o bien
( )2
2
( )
4 3
Y s
s s
= −
− +
, por lo que factorizando
( )( )
2
( )
3 1
Y s
s s
= −
− −
(21)
Descomponiendo en fracciones parciales
( )( )
2
3 1 3
A B
s s s s
− =
− − − −1
+ (22)
Quedaría ( )
3
A B
Y s
s s
= +
− −1
)3
(23)
Multiplicando a (22) por el denominador de lado izquierdo del igual, obtenemos
( ) (2 1A s B s− = − + − (24)
Haciendo , y sustituyendo en3s = (24), obtenemos ( ) ( )2 3 1 3A B 3− = − + − , resulta
1A = − (25)
Haciendo , y sustituyendo en1s = (24), obtenemos ( ) ( )2 1 1 1A B 3− = − + − , resulta
1B = (26)
Sustituyendo (25) y (26) en (23) y aplicando la antitransformada
{ }1 1 11 1
( )
3
Y s
s s
− − −⎧ ⎫ ⎧
= − +⎨ ⎬ ⎨
−⎩ ⎭ ⎩
L L L
1
⎫
⎬
− ⎭
, por lo que
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6. 4.2 Solución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales por medio de la trasformada de Laplace 345
3
( ) t t
y t e= − + e
t
(27)
Si derivamos (27), obtenemos
3
´( ) 3 t
y t e= − + e
)3
t
(28)
Entonces sustituyendo (27) y (28) en (14), obtenemos
(3
3 2t t t t
e e x e e− + = − + − + , por lo tanto
( ) ( )3 3
2 3t t t
x t e e e−
= − + + −e , o bien ( ) 3t t
x t e e= +
Ejemplo 4.2.3 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales lineales
´ 3 2x x y= − (29)
(30)´ 2 2y x= − y
2
2=
0=
Para y( )0x = ( )0 0y =
Transformamos cada término del sistema
( ) ( ) ( ) ( )0 3 2sX s x X s Y s− = − (31)
( ) ( ) ( ) ( )0 2 2sY s y X s Y s− = − (32)
Sustituyendo condiciones iniciales en (31) y (32), y reacomodando
( (33)) ( ) ( )3 2s X s Y s− +
( ) ( ) ( )2 2X s s Y s− + + (34)
Multiplicamos por 2 la ecuación (33) y por ( )3s − la ecuación (34), y posteriormente las
sumamos
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7. 4.2 Solución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales por medio de la trasformada de Laplace 346
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )
2 3 4 4
2 3 3 2
3 2 4 4
s X s Y s
s X s s s Y s
s s Y s
− +
− − + − + =
− + + =⎡ ⎤⎣ ⎦
0
=
, por lo que
( ) 2
4
2
Y s
s s
=
− −
(35)
( )
( )( )
4
1 2
Y s
s s
=
+ −
(36)
Donde
( )( )
4
1 2 1
A B
s s s s
= +
+ − + − 2
, por lo que ( ) ( )4 2A B s A B= + + − +
Haciendo y , por lo tanto0A B+ = 2 4A B− + =
2 2 0
2 4
3 4
A B
A B
B
+ =
− + =
=
, así
4
3
A = − y
4
3
B = (37)
Sustituyendo la fracción parcial en (36), y los valores de (37),
( )
4 4
3 3
1 2
Y s
s s
−
= +
+ −
(38)
Por lo tanto antitransformando (38)
24 4
( )
3 3
t t
y t e−
= − + e (39)
Sustituimos (36) en la ecuación (31), resulta ( ) ( ) 2
4
3 2
2
s X s
s s
⎡ ⎤
2− + =⎢ ⎥− −⎣ ⎦
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8. 4.2 Solución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales por medio de la trasformada de Laplace 347
( ) 2
8 1
2
2 3
X s
s s s
⎛ ⎞⎛
= −⎜ ⎟⎜
− − −⎝ ⎠⎝
⎞
⎟
⎠
, o bien ( )
( )( )
( )( )( )
2 2 3
1 2 3
s s
X s
s s s
⎛ ⎞+ −
= ⎜ ⎟⎜ ⎟+ − −⎝ ⎠
Simplificando ( )
( )( )
2 4
1 2
s
X s
s s
+
=
+ −
( )( )
2 4
1 2 1
s A
s s s s
+
= +
+ − + − 2
B
Donde
( )( )
2 4
1 2 1
s A
s s s s
+
= +
+ − + − 2
B
, por lo que ( ) ( )2 4 2s A B s A B+ = + + − +
De tal manera que 2A B+ = y 2 4A B− + = , resolviéndolas
2
2
3 2
A B
A B
A
− − = −
− + =
− =
4 , por lo que
2
3
A = − , entonces
8
3
B = , por lo tanto
( )
( ) ( )
2 8
3 3
1 2
X s
s s
= − +
+ −
, antitransformando ( ) 22 8
3 3
t t
x t e−
= − + e
Manejando otro método quizá más sencillo para encontrar el valor de ( )x t .
Derivando 24 4
( )
3 3
t t
y t e−
= − + e , 24 8
´( )
3 3
t t
y t e e−
= + , sustituyendo esos valores en la
ecuación (30)
Obtenemos 2 24 8 4 4
2 2
3 3 3 3
t t t
e e x e e− − t⎡ ⎤
+ = − − +⎢ ⎥⎣ ⎦
24 4 2 4
3 3 3 3
t t t 2t
x e e e e− −⎡ ⎤ ⎡
= − + + +⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣
⎤
⎥⎦
, simplificando ( ) 22 8
3 3
t t
x t e−
= − + e
Ejemplo 4.2.4 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales
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9. 4.2 Solución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales por medio de la trasformada de Laplace 348
´ ´ t
x y e−
− = (40)
2 ´ 2 ´ 8x y y− − = (41)
Para y( )0 1x = − ( )0 1y = − 0
Transformando las ecuaciones (40) y (41)
( ) ( ) ( ) ( )
1
0 0
1
sX s x sY s y
s
− − + =
+
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
8
2 2 0 2 2 0sX s x sY s y Y s
s
− − + − =
Sustituyendo condiciones iniciales en las ecuaciones anteriores
( ) ( )
1
1 10
1
sX s sY s
s
+ − + =
+
(42)
( ) ( ) ( )
8
2 2 2 20sX s sY s Y s
s
+ − + − = (43)
Resolviendo
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2 22
1
8
2 2 1
8 2
1
sX s sY s
s
sX s s Y s
s
Y s
s s
−
− + = +
+
− + = −
− = −
+
22
Por lo que ( )
2
1
Y s
s s
= −
+
8
(44)
Transformando inversamente ( ) 2 8t
y t e−
= − (45)
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10. 4.2 Solución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales por medio de la trasformada de Laplace 349
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Sustituimos (44) en la ecuación (42), ( )
2 8 1
1 10
1 1
sX s s
s s s
⎡ ⎤
+ − − − =⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
, despejando
( )
1 2 8
9
1 1
X s s
s s s
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛
= + + −⎜ ⎟ ⎜⎢ ⎥+ +⎝ ⎠ ⎝⎣ ⎦
1
s
⎞
⎟
⎠
O bien ( )
( )
1 1 2
1 1
X s
s s s s
⎡ ⎤
= + +⎢ ⎥
+ +⎣ ⎦
, simplificando
( )
( )
3 2
1
s
X s
s s
+
=
+
(46)
( )
3 2
1 1
s A B
s As A+ = + +
s s s s
+
= +
+ +
Bs
A
, 3 2
Por lo que , de lo que( )3 2s A B s+ = + + 3A B+ =
Así 2A = , y 1B = , por lo que ( )
2 1
1
X s
s s
= +
+
, antitransformando
( ) 2 t
x t −
= + e (47)