Indeterminaciones

1. OPERACIONES CON INFINITOS E INFINITÉSIMOS.
En el cálculo directo de límites aparecen expresiones que tienden a infinito y otras que
tienden a cero (infinitésimos).
Al operar con ellas es posible que pueda obtenerse el resultado o que no pueda saberse de
forma inmediata y haya que realizar cierto número de operaciones para ello
(INDETERMINACIÓN). Podemos resumirlo en el siguiente cuadro:
OPERACIÓN RESULTADO OBSERVACIONES
 +  
 + k 
k -  -
 -  Indeterminada
Tener en cuenta los grados.
Si es preciso “Conjugado”
𝒌
∞

0
∞
𝒌
 ∓∞ Depende del signo de k
∞
∞
 Indeterminada
Tener en cuenta los grados
   
  (- ) -
k   (con k0)   Depende del signo de k
0  
Indeterminada
Operamos hasta convertirla en una del tipo
∞
∞
ó
0
0
k
0
(con k ≠ 0)
 
Habrá que hacer límites laterales para saber
si es + ó - 
0
k
(con k ≠ 0) 0
0
0
Indeterminada
a (con a > 0)
si a > 1 = 
a
Si a = 1 ⟹ 1∞
→ Indeterminada Del tipo del número “e” 2,718.
Se pueden hacer con la fórmula o tomando
logaritmos
si 0 < a < 1 = 0 
a
00
Indeterminada Se pueden hacer tomando logaritmos
∞0
Indeterminada Se pueden hacer tomando logaritmos

2. GRADOS DE INFINITOS.
Resulta muy útil para comparar unos infinitos con otros y despreciar los que son de menor grado
Si suponemos que ( x   ; a>1 , n>0 ) y ordenados de mayor a menor:
INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES.
Expresiones que tienden a cero “infinitésimos” se pueden sustituir por otras más sencillas
que permitan simplificar el cálculo y resolución de indeterminaciones.
Para 𝐮 → 𝟎 Para 𝐮 → 𝟏
𝑠𝑒𝑛 𝑢 ≈ 𝑢 ≈ u −
u3
6
+ ⋯
tan 𝑢 ≈ 𝑢 ≈ u +
u3
3
+ ⋯
𝐴𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑢 ≈ 𝑢 ≈ 𝑢 +
𝑢3
6
+
3𝑢5
40
+ ⋯
𝐴𝑟𝑐𝑢
𝑐𝑜𝑠 𝑢 ≈ 1 −
𝑢2
2
≈ 1 −
𝑢2
2
+
𝑢4
24
− ⋯
𝑒 𝑢
≈ 1 + 𝑢 ≈ 1 + 𝑢 +
𝑢2
2
+ ⋯
ln 𝑢 ≈ 𝑢 − 1
𝑎 𝑢
≈ 1 + 𝑢 ln 𝑎
Como curiosidad estas equivalencias se obtienen mediante del Desarrollo en Serie de Taylor que
verás en cursos universitarios y que sirve para aproximar una función continua y derivable en un en
un entorno del punto x=a por un polinomio. La aproximación será tanto mejor cuanto más cerca
estemos del punto x=a.
𝑓 𝑥 ≈ 𝑓 𝑎 +
1
1!
𝑓′
𝑎 𝑥 − 𝑎 +
1
2!
𝑓´´ 𝑎 (𝑥 − 𝑎)2
+
1
3!
𝑓´´´ 𝑎 (𝑥 − 𝑎)3
+ ⋯ . . … …
Si te apetece puedes comprobarlo desarrollando: y= sen x ó y=ex
, por ejemplo, en el punto a=0.
REGLA DE L’HÔPITAL.
Es una regla que permite utilizar las derivadas para calcular algunos límites que estén expresados en
forma de cociente y bajo determinadas condiciones.
Si
lim
x → a
f x = 0 y
lim
x → a
g x = 0 o también
Si
lim
x → a
f x = ∞ y
lim
x → a
g x = ∞
Se tiene que:
𝐥𝐢𝐦
𝐱 → 𝐚
𝐟 𝐱
𝐠 𝐱
=
𝐥𝐢𝐦
𝐱 → 𝐚
𝐟´(𝐱)
𝐠´(𝐱)
Es decir, se puede utilizar en indeterminaciones de los tipos:
𝟎
𝟎
ó
∞
∞
Ésta regla es válida cuando “a” es un número real, pero también cuando es +∞ ó − ∞
xx
>> x ! >> a >> x > ln xx n
