ejercicios recua

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
ESCUELA DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA
EXTENSIÓN MATURÍN
Evaluación 20% Primer Corte
Ejercicios de Transformada de Laplace
Profesor: Realizado por:
Ing. Cristóbal Espinoza Br. Alejandro A. González G.
Materia:
.
Teoría de Control Sección: Virtual - V
Lapso: 2018-II
Maturín, Marzo de 2019

2. 2
1. 𝑓( 𝑡) = 2𝑠𝑒𝑛( 𝑡) + 3cos⁡(2𝑡)
Usar la propiedad de linealidad de la transformada deLaplace
𝐿{ 𝑎 ∗ 𝑓( 𝑡) + 𝑏 ∗ 𝑔(𝑡)} = 𝑎 ∗ 𝐿{ 𝑓( 𝑡)} + 𝑏 ∗ 𝐿{ 𝑔(𝑡)}
= 2𝐿{sen( 𝑡)}+ 3𝐿{cos⁡(2𝑡)}
Usar la tabla de transformadas deLaplace:
𝐿{sen( 𝑎𝑡)} =⁡
𝑎
𝑠2 + 𝑎2
=
1
𝑠2 + 1
Usar la tabla de transformadas deLaplace:
𝐿{cos( 𝑎𝑡)} =⁡
𝑎
𝑠2 + 𝑎2
=
𝑠
𝑠2 + 4
= 2 ∗
1
𝑠2 + 1
+ 3 ∗⁡
𝑠
𝑠2 + 4
Simplificar
=
2
𝑠2 + 1
=
3𝑠
𝑠2 + 4

3. 3
2. ℎ( 𝑡) =⁡𝑒−2𝑡
⁡𝑠𝑒𝑛(5𝑡)
Aplicar la regla de la transformada:
Si 𝐿{ 𝑓( 𝑡)} = 𝐹( 𝑠) entonces 𝐿{ 𝑒 𝑎𝑡
𝑓( 𝑡)} = 𝐹(𝑠 − 𝑎)
= ⁡𝐿{sin(5𝑡)}
Usar la tabla de transformadas deLaplace:
𝐿{sen( 𝑎𝑡)} =⁡
𝑎
𝑠2 + 𝑎2
=
5
𝑠2 + 52
=
5
𝑠2 + 25
=
5
(𝑠 − (−2))2 + 25
=
5
(𝑠 + 2)2 + 25

4. 4
3. 𝑞( 𝑡) = 4𝑐𝑜𝑠2
(3𝑡)
Usar identidad:
𝑐𝑜𝑠2( 𝑥) =⁡
1
2
+
1
2
cos⁡(2𝑥)
Desarrollar:
4(
1
2
+
1
2
cos(6𝑡)) = 2 + 2cos(6𝑡)
= 𝐿{2 + 2 cos(6𝑡)}
Usar la propiedad de linealidad de la transformada deLaplace
𝐿{ 𝑎 ∗ 𝑓( 𝑡) + 𝑏 ∗ 𝑔(𝑡)} = 𝑎 ∗ 𝐿{ 𝑓( 𝑡)} + 𝑏 ∗ 𝐿{ 𝑔(𝑡)}
= 𝐿{2} + 2𝐿{cos(6𝑡)}
Usar la tabla de las transformadas deLaplace:
= 𝐿{ 𝑎} =
𝑎
𝑠
= 𝐿{2} =
2
𝑠
=⁡
2
𝑠
= 2𝐿{cos(6𝑡)}
Usar la tabla de transformadas deLaplace:
= 𝐿{cos( 𝑎𝑡)} =
𝑠
𝑠2 + 𝑎2
=
𝑠
𝑠2 + 36
=
2
𝑠
+ 2 ∗
𝑠
𝑠2 + 36

5. 5
Simplificar:
=
2
𝑠
+
2𝑠
𝑠2 + 36
4. 𝑓( 𝑡) = 𝑒−3𝑡
(𝑡 − 2)
Aplicar la regla de la transformada:
Si 𝐿{ 𝑓( 𝑡)} = 𝐹( 𝑠) entonces 𝐿{ 𝑒 𝑎𝑡
𝑓( 𝑡)} = 𝐹(𝑠 − 𝑎)
= 𝐿{( 𝑡 − 2)}
Usar la propiedad de linealidad de la transformada deLaplace:
𝐿{ 𝑎 ∗ 𝑓( 𝑡) + 𝑏 ∗ 𝑔(𝑡)} = 𝑎 ∗ 𝐿{ 𝑓( 𝑡)} + 𝑏 ∗ 𝐿{ 𝑔(𝑡)}
= 𝐿{ 𝑡} − 𝐿{2}
= 𝐿{ 𝑡}
Usar la tabla de las transformadas deLaplace:
= 𝐿{ 𝑡} =
1
𝑠2
=
1
𝑠2
= 𝐿{2}
Usar la tabla de las transformadas deLaplace:
= 𝐿{ 𝑎} =
𝑎
𝑠
=
2
𝑠
=
1
22
−
2
𝑠

6. 6
=
1
(𝑠 − (−3))
2 −
2
𝑠 − (−3)
=
1
( 𝑠 + 3)2
−
2
𝑠 + 3
5. 𝑔( 𝑡) = 𝑒4𝑡 [ 𝑡 − cos( 𝑡)]
Aplicar la regla de la transformada:
Si 𝐿{ 𝑓( 𝑡)} = 𝐹( 𝑠) entonces 𝐿{ 𝑒 𝑎𝑡
𝑓( 𝑡)} = 𝐹(𝑠 − 𝑎)
= 𝐿{[( 𝑡 − cos⁡( 𝑡)]}
Usar la propiedad de linealidad de la transformada deLaplace:
𝐿{ 𝑎 ∗ 𝑓( 𝑡) + 𝑏 ∗ 𝑔(𝑡)} = 𝑎 ∗ 𝐿{ 𝑓( 𝑡)} + 𝑏 ∗ 𝐿{ 𝑔(𝑡)}
= 𝐿{ 𝑡} − 𝐿{cos⁡( 𝑡)}
= 𝐿{ 𝑡}
Usar la tabla de las transformadas de Laplace:
= 𝐿{ 𝑡} =
1
𝑠2
=
1
𝑠2
= 𝐿{cos⁡( 𝑡)}
Usar la tabla de transformadas deLaplace:
= 𝐿{cos( 𝑎𝑡)} =
𝑠
𝑠2 + 𝑎2
=
𝑠
𝑠2 + 12

7. 7
=
𝑠
𝑠2 + 1
=
1
𝑠2
−
𝑠
𝑠2 + 1
=
1
( 𝑠 − 4)2
−
𝑠 − 4
( 𝑠 − 4)2 + 1
EJERCICIOS DE LA TRANSFORMADA INVERSADELAPLACE
1) 𝑅( 𝑠) =
3 𝑠2
( 𝑠2+1)2
No es posible resolver
2) 𝑅( 𝑠) =
2
𝑠4
(
1
𝑠
−
3
𝑠2
+
4
𝑠6
)
Desarrollar
2
𝑠4
(
1
𝑠
+
3
𝑠2
+
4
𝑠6
)
Multiplicar fracciones:
=
2(
1
2𝑠
+
3
22 +
4
𝑠6)
𝑠4
Simplificar
1
𝑠
+
3
𝑠2
+
4
𝑠6
en una fracción
𝑠5⁡+⁡3𝑠4⁡+4
𝑠6
=
2(
1
2𝑠
+
3
22 +
4
𝑠6)
𝑠4
Multiplicar
=
2𝑠5
+ 6𝑠4
+ 8
𝑠6
𝑠4

8. 8
Aplicar propiedades de las fracciones
=
2𝑠5
+ 6𝑠4
+ 8
𝑠10
=
2
𝑠5
+
6
𝑠6
+
8
𝑠10
= 𝐿−1 {
2
𝑠5
+
6
𝑠6
+
8
𝑠10
}
Usar la propiedad de linealidad de la transformada inversa deLaplace:
= 𝐿−1{ 𝑎 ∗ 𝑓( 𝑠) + 𝑏 ∗ 𝑔( 𝑠)} = 𝑎 ∗ 𝐿−1{ 𝑓( 𝑠)} + 𝑏 ∗ 𝐿−1
{𝑔( 𝑠)}
= 𝐿−1 {
2
𝑠5
}+ 𝐿−1 {
6
𝑠6
} + 𝐿−1 {
8
𝑠10
}
Para: 𝐿−1
{
2
𝑠5
}
Usar la propiedad de multiplicación constante de la transformada inversa de
Laplace:
𝐿−1{ 𝑎 ∗ 𝑓( 𝑡)} = 𝑎 ∗ 𝐿−1
{𝑓(𝑡)}
=
1
12
𝐿−1 {
24
𝑠5
}
Usar la tabla de las transformadas inversasdeLaplace:
𝐿−1
{
𝑛
𝑠 𝑛 + 1
} = 𝑡 𝑛
=
𝑡4
12
Para: 𝐿−1
{
6
𝑠6
}

9. 9
Usar la propiedad de multiplicación constante de la transformada inversa de
Laplace:
𝐿−1{ 𝑎 ∗ 𝑓( 𝑡)} = 𝑎 ∗ 𝐿−1
{𝑓(𝑡)}
=
1
20
𝐿−1 {
120
𝑠6
}
Usar la tabla de las transformadas inversasdeLaplace:
𝐿−1
{
𝑛
𝑠 𝑛 + 1
} = 𝑡 𝑛
=
𝑡5
20
Para: 𝐿−1
{
8
𝑠10
}⁡
= 𝐿−1 {
1
45360
∗
362880
𝑠10
}
Usar la propiedad de multiplicación constante de la transformada inversa de
Laplace:
𝐿−1{ 𝑎 ∗ 𝑓( 𝑡)} = 𝑎 ∗ 𝐿−1
{𝑓(𝑡)}
=
1
45360
𝐿−1 {
362880
𝑠10
}
Usar la tabla de las transformadas inversasdeLaplace:
𝐿−1
{
𝑛
𝑠 𝑛 + 1
} = 𝑡 𝑛
=
𝑡9
45360
=
𝑡4
12
+
𝑡5
20
+
𝑡9
45360

10. 10
3) 𝑃( 𝑠) =
1
𝑠2−4𝑠+5
1
𝑠2 − 4𝑠 + 5
=
1
( 𝑠 − 2)2 + 1
= 𝐿−1 {
1
( 𝑠 − 2)2 + 1
}
Aplicar la regla de la transformada inversa:
Si 𝐿−1{ 𝐹( 𝑠)} = 𝑓( 𝑡) entonces 𝐿−1{ 𝐹( 𝑠 − 𝑎)} = 𝑒 𝑎𝑡
𝑓(𝑡)
Por lo tanto 𝐿−
1 {
1
( 𝑠−2)2+1
} = 𝑒2𝑡
𝐿−1
{
1
𝑠4+1
}
Para: 𝐿−1
{
1
𝑠2+1
}
Usar la tabla de las transformadas inversasdeLaplace:
𝐿−1
{
𝑎
𝑠2 + 𝑎2
} = sen⁡( 𝑎𝑡)
= 𝑠𝑒𝑛(𝑡)
= 𝑒2𝑡
𝑠𝑒𝑛(𝑡)
4) 𝐹( 𝑠) =
𝑒−4𝑠
𝑠(𝑠2+16)
𝐿−1 {
𝑒−4𝑠
𝑠( 𝑠2 + 16)
}
Aplicar la regla de la transformada inversa:
Si 𝐿−1{ 𝐹( 𝑠)} = 𝑓( 𝑡) entonces 𝐿−1{ 𝑒−𝑎𝑠
𝐹( 𝑠)} = 𝐻( 𝑡 − 𝑎) 𝑓( 𝑡 − 𝑎)
DondeH(t) es la función escalón de Heaviside
Para
𝑒−4𝑠
𝑠(𝑠2+16)
:⁡⁡⁡⁡𝐹( 𝑠) =
1
𝑠(𝑠2+16)
, 𝑎 = 4

11. 11
𝐿−1 {
1
16𝑠
−
𝑠
16( 𝑠2 + 16)
}
Usar la propiedad de linealidad de la transformada inversa deLaplace:
𝐿−1{ 𝑎 ∗ 𝑓( 𝑠) + 𝑏 ∗ 𝑔( 𝑠)} = 𝑎 ∗ 𝐿−1{ 𝑓( 𝑠)} + 𝑏 ∗ 𝐿−1
{𝑔( 𝑠)}
= 𝐿−1 {
1
16𝑠
} − 𝐿−1 {
𝑠
16( 𝑠2 + 16)
}
Para: 𝐿−1
{
1
16𝑠
}
= 𝐿−1 {
1
16
∗
1
𝑠
}
Usar la propiedad de multiplicación constante de la transformada inversa de
Laplace:
𝐿−1{ 𝑎 ∗ 𝑓( 𝑡)} = 𝑎 ∗ 𝐿−1
{𝑓(𝑡)}
=
1
16
𝐿−1 {
1
𝑠
}
Usar la tabla de las transformadas inversasdeLaplace:
𝐿−1
{
𝑎
𝑠
} = 𝑎
=
1
16
Para: 𝐿−1
{
𝑠
16( 𝑠2+16)
}
Aplicar la regla de la transformada inversa:
Si 𝐿−1
{𝐹( 𝑠)} = 𝑓(𝑡) entonces 𝐿−1{ 𝑠𝐹( 𝑠)} = 𝑓( 𝑡) + 𝑓(0)
Por lo tanto
𝑆
16( 𝑠2+16)
Para: 𝐿−1
{
1
16( 𝑠2+16)
}

12. 12
= 𝐿−1 {
1
64
∗
4
𝑠2 + 42
}
Usar la propiedad de multiplicación constante de la transformada inversa de
Laplace:
𝐿−1{ 𝑎 ∗ 𝑓( 𝑡)} = 𝑎 ∗ 𝐿−1
{𝑓(𝑡)}
=
1
64
𝐿−1 {
4
𝑠2 + 42
}
Usar la tabla de las transformadas inversasdeLaplace:
𝐿−1
{
𝑎
𝑠2 + 𝑎2
} = 𝑠𝑒𝑛( 𝑎𝑡)
𝐿−1 {
4
𝑠2 + 42
} = 𝑠𝑒𝑛(4𝑡)
=
1
64
𝑠𝑒𝑛(4𝑡)
Para:
𝑑
𝑑𝑡
(
1
64
𝑠𝑒𝑛(4𝑡))
Sacar la constante: ( 𝑎 ∗ 𝑓)´ = 𝑎 ∗ 𝑓´
=
1
64
𝑑
𝑑𝑡
(𝑠𝑒𝑛(4𝑡)⁡
Aplicar la regla de la cadena:
𝑑𝑓( 𝑢)
𝑑𝑥
=
𝑑𝑓
𝑑𝑢
∗
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑓 = 𝑠𝑒𝑛( 𝑢), 𝑢 = 4𝑡
=
1
64
𝑑
𝑑𝑢
(𝑠𝑒𝑛( 𝑢))
𝑑
𝑑𝑡
(4𝑡)⁡
Para:
𝑑
𝑑𝑢
(sen( 𝑢))
Aplicar la regla de derivación:
𝑑
𝑑𝑢
(𝑠𝑒𝑛( 𝑢)) = cos⁡( 𝑢)
= cos⁡( 𝑢)

13. 13
Para:
𝑑
𝑑𝑡
⁡(4𝑡)
Sacar la constante: ( 𝑎 ∗ 𝑓)´ = 𝑎 ∗ 𝑓´
= 4
𝑑
𝑑𝑡
⁡( 𝑡)
Aplicar la regla de derivación:
𝑑
𝑑𝑡
⁡( 𝑡) = 1
= 4 ∗ 1 = 4
=
1
64
cos( 𝑢) ∗ 4 Substituir en la ecuación u=4t =
1
64
cos(4𝑡) ∗ 4
Simplificar:
=
1
16
cos(4𝑡)
=
1
16
−
1
16
cos(4𝑡)
= 𝐻( 𝑡 − 4)(
1
16
−
1
16
cos(4( 𝑡 − 4)))
5) 𝐻( 𝑠) =
𝑠2−2𝑠+3
𝑠( 𝑠2−3𝑠+2)
Factorizar
=
𝑠2
− 2𝑠 + 3
𝑠( 𝑠 − 1)(𝑠 − 2)
Crear un modelo para la fracción parcialusando el denominador 𝑠( 𝑠 −
1)( 𝑠 − 2)
Para s sumar las fracciones parciales:
𝑎0
𝑠
Para s-1 sumar las fracciones parciales:
𝑎1
𝑠−1
Para s-2 sumar las fracciones parciales:
𝑎2
𝑠−2

14. 14
𝑠2
− 2𝑠 + 3
𝑠(𝑠 − 1)(𝑠 − 2)
=
𝑎0
𝑠
+
𝑎1
𝑠 − 1
+
𝑎2
𝑠 − 2
Multiplicar la ecuación por el denominador:
𝑠(𝑠2
− 2𝑠 + 3)(𝑠 − 1)(𝑠 − 2)
𝑠(𝑠 − 1)(𝑠 − 2)
=
𝑎0 𝑠(𝑠 − 1)(𝑠 − 2)
𝑠
+
𝑎1 𝑠(𝑠 − 1)(𝑠 − 2)
𝑠 − 1
+
𝑎2 𝑠(𝑠 − 1)(𝑠 − 2)
𝑠 − 2
Simplificar:
𝑠2
− 2𝑠 + 3 = 𝑎0( 𝑠 − 1)( 𝑠 − 2) + 𝑎1 𝑠( 𝑠 − 2) + 𝑎2 𝑠(𝑠 − 1)
Resolver parámetros desconocidos sustituyendo las raíces reales del
denominador 0, 1, 2:
𝑎0 =
3
2
, 𝑎1= − 2, 𝑎2 =
3
2
Sustituir las soluciones a los parámetros de la fracción parcial para obtener el
resultado final:
3
2
𝑠
+
−2
𝑠 − 1
+
3
2
𝑠 − 2
Simplificar:
−
2
𝑠 − 1
+
3
2𝑠
+
3
2( 𝑠 − 2)
= 𝐿−1 {−
2
𝑠 − 1
+
3
2𝑠
+
3
2( 𝑠 − 2)
}
Usar la propiedad de linealidad de la transformada inversa deLaplace:
𝐿−1{ 𝑎 ∗ 𝑓( 𝑠) + 𝑏 ∗ 𝑔( 𝑠)} = 𝑎 ∗ 𝐿−1{ 𝑓( 𝑠)} + 𝑏 ∗ 𝐿−1
{𝑔( 𝑠)}
= −𝐿−1 {
2
𝑠 − 1
}+ 𝐿−1 {
3
2𝑠
} + 𝐿−1 {
3
2( 𝑠 − 2)
}

15. 15
Para: 𝐿−1
{
2
𝑠−1
}
Usar la propiedad de multiplicación constante de la transformada inversa de
Laplace:
𝐿−1{ 𝑎 ∗ 𝑓( 𝑡)} = 𝑎 ∗ 𝐿−1
{𝑓(𝑡)}
= 2𝐿−1 {
1
𝑠 − 1
}
Usar la tabla de las transformadas inversasdeLaplace:
𝐿−1 {
1
𝑠 − 𝑎
} = 𝑒 𝑎𝑡
= 2𝑒 𝑡
Para: 𝐿−1
{
1
2
∗
3
𝑠
}
Usar la propiedad de multiplicación constante de la transformada inversa de
Laplace:
𝐿−1{ 𝑎 ∗ 𝑓( 𝑡)} = 𝑎 ∗ 𝐿−1
{𝑓(𝑡)}
=
1
2
𝐿−1 {
3
𝑠
}
Usar la tabla de las transformadas inversasdeLaplace:
𝐿−1
{
𝑎
𝑠
} = 𝑎
=
3
2
Para: 𝐿−1
{
3
2( 𝑠−2)
}
= 𝐿−1 {
3
2
∗
1
𝑠 − 2
}

16. 16
Usar la propiedad de multiplicación constante de la transformada inversa de
Laplace:
𝐿−1{ 𝑎 ∗ 𝑓( 𝑡)} = 𝑎 ∗ 𝐿−1
{𝑓(𝑡)}
=
3
2
𝐿−1 {
1
𝑠 − 2
}
Usar la tabla de las transformadas inversasdeLaplace:
𝐿−1 {
1
𝑠 − 𝑎
} = 𝑒 𝑎𝑡
=
3
2
𝑒2𝑡
= −2𝑒 𝑡
+
3
2
+
3
2
𝑒2𝑡
6) 𝑃( 𝑠) =
4𝑠−5
𝑠3−𝑠2−5𝑠−3
Tomar facción parcial de:
4𝑠 − 5
𝑠3 − 𝑠2 − 5𝑠 − 3
Factorizar 𝑠3
− 𝑠2
− 5𝑠 − 3
=
4𝑠 − 5
( 𝑠 + 1)2(𝑠 − 3)
Crear un modelo para la fracción parcialusando el denominador ( 𝑠 +
1)2( 𝑠 − 3)
Para ( 𝑠 + 1)2
sumar las fracciones parciales:
𝑎0
𝑠+1
+
𝑎1
( 𝑠+1)2
Para 𝑠 − 3 sumar las fracciones parciales:
𝑎2
𝑠−3
4𝑠 − 5
( 𝑠 + 1)2(𝑠 − 3)
=⁡
𝑎0
𝑠 + 1
+
𝑎1
( 𝑠 + 1)2
+
𝑎2
𝑠 − 3
⁡

17. 17
Multiplicar la ecuación por el denominador:
(4𝑠 − 5)( 𝑠 + 1)2⁡
(𝑠 − 3)
( 𝑠 + 1)2(𝑠 − 3)
=⁡
𝑎0( 𝑠 + 1)2
(𝑠 − 3)
𝑠 + 1
+
𝑎1( 𝑠 + 1)2
(𝑠 − 3)
( 𝑠 + 1)2
+
𝑎2( 𝑠 + 1)2
(𝑠 − 3)
𝑠 − 3
Simplificar:
4𝑠 − 5 = 𝑎0( 𝑠 + 1)( 𝑠 − 3) + 𝑎1( 𝑠 − 3) + 𝑎2( 𝑠 + 1)2
Resolver parámetros desconocidos sustituyendo las raíces reales del
denominador -1, 3:
𝑎1 =
9
4
, 𝑎2 =
7
16
Sustituir las soluciones a los parámetros conocidos
4𝑠 − 5 = 𝑎0( 𝑠 + 1)( 𝑠 − 3) +
9
4
⁡( 𝑠 − 3) +
7
16
( 𝑠 + 1)2
Desarrollar
4𝑠 − 5 = −3𝑎0 + 𝑎0 𝑠2
+
7𝑠2
16
+
25𝑠
8
− 2𝑎0 𝑠 −
101
16
Extraer variables de las fracciones
4𝑠 − 5 =⁡−3𝑎0 + 𝑎0 𝑠2
+
7
16
𝑠2
+
25
8
𝑠 − 2𝑎0 𝑠 −
101
16
Agrupar:
4𝑠 − 5 = 𝑠2
(𝑎0 +
7
16
) + 𝑠 (
25
8
− 2𝑎0) + (−3𝑎0 −
101
16
)

18. 18
Resolver −3𝑎0 −
101
16
=⁡−5 para 𝑎0
𝑎0 =⁡−
7
16
Sustituir:
−
7
16
𝑠 + 1
+
9
4
( 𝑠 + 1)2
+
7
16
𝑠 − 3
Simplificar:
−
7
16( 𝑠 + 1)
+
9
4( 𝑠 + 1)2
+
7
16(𝑠 − 3)
⁡
= 𝐿−1 {−
7
16( 𝑠 + 1)
+
9
4( 𝑠 + 1)2
+
7
16( 𝑠 − 3)
}
Usar la propiedad de multiplicación constante de la transformada inversa de
Laplace:
𝐿−1{ 𝑎 ∗ 𝑓( 𝑡)} = 𝑎 ∗ 𝐿−1
{𝑓(𝑡)}
= −𝐿−1 {
7
16( 𝑠 + 1)
}+⁡𝐿−1 {
9
4( 𝑠 + 1)2
}+⁡𝐿−1 {
7
16( 𝑠 − 3)
}
Para: 𝐿−1
{
7
16( 𝑠+1)
}
Usar la propiedad de multiplicación constante de la transformada inversa de
Laplace:
𝐿−1{ 𝑎 ∗ 𝑓( 𝑡)} = 𝑎 ∗ 𝐿−1
{𝑓(𝑡)}
=
7
16
𝐿−1 {
1
𝑠 + 1
}
Usar la tabla de las transformadas inversasdeLaplace:
𝐿−1 {
1
𝑠 − 𝑎
} = 𝑒 𝑎𝑡

19. 19
=
7
16
𝑒−𝑡
Para: 𝐿−1
{
9
4( 𝑠+1)2
}
Aplicar la regla de la transformada inversa:
Si 𝐿−1{ 𝐹( 𝑠)} = 𝑓( 𝑡) entonces 𝐿−1{ 𝐹( 𝑠 − 𝑎)} = 𝑒 𝑎𝑡
𝑓(𝑡)
Por lo tanto 𝐿−1
{
9
4( 𝑠+1)2
} = 𝑒−𝑡
𝐿−1
{
9
4( 𝑠)2
}
𝐿−1 {
9
4( 𝑠)2
}
=
9
4
𝐿−1 {
1
𝑠2
}
Usar la tabla de las transformadas inversasdeLaplace:
𝐿−1
{
𝑛
𝑠 𝑛 + 1
} = 𝑡 𝑛
𝐿−1 {
1
𝑠2
} = 𝑡
=
9𝑡
4
=
9𝑒 𝑡
𝑡
4
Para: = 𝐿−1
{
7
16( 𝑠−3)
}
= 𝐿^ − 1{
7
16
∗
1
𝑠 − 3
}
Usar la propiedad de multiplicación constante de la transformada inversa de
Laplace:
𝐿−1{ 𝑎 ∗ 𝑓( 𝑡)} = 𝑎 ∗ 𝐿−1
{𝑓(𝑡)}

20. 20
=
7
16
𝐿−1 {
1
𝑠 − 3
}
Usar la tabla de las transformadas inversasdeLaplace:
𝐿−1 {
1
𝑠 − 𝑎
} = 𝑒 𝑎𝑡
𝐿−1 {
1
𝑠 − 3
} = 𝑒3𝑡
=
7
16
𝑒3𝑡
= −
7
16
𝑒−𝑡
+
9𝑒−𝑡
4
+
7
16
𝑒3𝑡
7) 𝑄( 𝑠) =
−𝑠
( 𝑠−4)2( 𝑠−5)
⁡
Tomar la fracción parcial de:
−𝑠
( 𝑠 − 4)2(𝑠 − 5)
Crear un modelo para la fracción parcialusando el denominador: ( 𝑠 −
4)2
(𝑠 − 5)
Para ( 𝑠 − 4)2
sumar las fracciones parciales:
𝑎0
𝑠−4
+
𝑎1
( 𝑠−4)2
Para 𝑠 − 5 sumar las fracciones parciales:
𝑎0
𝑠−5
−𝑠
( 𝑠 − 4)2(𝑠 − 5)
=
𝑎0
𝑠 − 4
+
𝑎1
( 𝑠 − 4)2
+
𝑎2
𝑠 − 5
Multiplicar la ecuación por el denominador
(−𝑠)( 𝑠 − 4)2( 𝑠 − 5)
(𝑠 − 4)^2(𝑠 − 5)
=
𝑎0( 𝑠 − 4)2( 𝑠 − 5)
𝑠 − 4
+
𝑎1( 𝑠 − 4)2( 𝑠 − 5)
( 𝑠 − 4)2
+
𝑎2( 𝑠 − 4)2( 𝑠 − 5)
𝑠 − 5

21. 21
Simplificar
−𝑠 = 𝑎0( 𝑠 − 4)( 𝑠 − 5) + 𝑎1( 𝑠 − 5) + 𝑎2( 𝑠 − 4)2
Resolver los parámetros desconocidos sustituyendo las raíces reales del
denominador: 4, 5
𝑎1 = 4⁡, 𝑎2 = −5
Sustituir las soluciones a los parámetros conocidos
−𝑠 = 𝑎0( 𝑠 − 4)( 𝑠 − 5) + 4( 𝑠 − 5) + (−5)( 𝑠 − 4)2
Desarrollar
−𝑠 = 𝑎0 𝑠2
− 5𝑠2
+ 44𝑠 − 9𝑎0 𝑠 + 20𝑎0 − 100
Agrupar elementos de acuerdo a las potencias de s
−1 ∗ 𝑠 = 𝑠2( 𝑎0 − 5) + 𝑠(−9𝑎0 + 44) + (20𝑎0 − 100)
Resolver 20𝑎0 − 100 = 0⁡𝑝𝑎𝑟𝑎⁡𝑎0
𝑎0 = 5
Sustituir las soluciones a los parámetros de la fracción parcial para obtener el
resultado final
5
𝑠 − 4
+
4
( 𝑠 − 4)2
+
−5
𝑠 − 5
Simplificar
5
𝑠 − 4
+
4
( 𝑠 − 4)2
−
5
𝑠 − 5
= 𝐿−1 {
5
𝑠 − 4
+
4
( 𝑠 − 4)2
−
5
𝑠 − 5
}
Usar la propiedad de multiplicación constante de la transformada inversa de
Laplace:

22. 22
𝐿−1{ 𝑎 ∗ 𝑓( 𝑡)} = 𝑎 ∗ 𝐿−1
{𝑓(𝑡)}
= 𝐿−1 {
5
𝑠 − 4
}+ 𝐿−1 {
4
( 𝑠 − 4)2
}− 𝐿−1 {
5
𝑠 − 5
}
Para: 𝐿−1
{
5
𝑠−4
}
= 𝐿−1 {5 ∗
1
𝑠 − 4
}
Usar la propiedad de multiplicación constante de la transformada inversa de
Laplace:
𝐿−1{ 𝑎 ∗ 𝑓( 𝑡)} = 𝑎 ∗ 𝐿−1
{𝑓(𝑡)}
= 5𝐿−1 {
1
𝑠 − 4
}
Usar la tabla de las transformadas inversasdeLaplace:
𝐿−1 {
1
𝑠 − 𝑎
} = 𝑒 𝑎𝑡
𝐿−1 {
1
𝑠 − 4
} = 𝑒4𝑡
= 5𝑒4𝑡
Para: 𝐿−1
{
4
( 𝑠−4)2
}
Aplicar la regla de la transformada inversa:
Si 𝐿−1{ 𝐹( 𝑠)} = 𝑓( 𝑡) entonces 𝐿−1{ 𝐹( 𝑠 − 𝑎)} = 𝑒 𝑎𝑡
𝑓(𝑡)
Por lo tanto 𝐿−1
{
4
( 𝑠−4)2
} = 𝑒4𝑡
𝐿−1
{
4
( 𝑠)2
}
Para:𝐿−1
{
4
( 𝑠)2
}
= 𝐿−1 {4 ∗
1
𝑠2
}

23. 23
Usar la propiedad de multiplicación constante de la transformada inversa de
Laplace:
𝐿−1{ 𝑎 ∗ 𝑓( 𝑡)} = 𝑎 ∗ 𝐿−1
{𝑓(𝑡)}
= 4𝐿−1 {
1
𝑠2
}
Usar la tabla de las transformadas inversasdeLaplace:
𝐿−1
{
𝑛
𝑠 𝑛 + 1
} = 𝑡 𝑛
𝐿−1 {
1
𝑠2
} = 𝑡
= 4𝑡
= 4𝑒4𝑡
𝑡
Para:𝐿−1
{
5
𝑠−5
}
= 5𝐿−1 {5 ∗
1
𝑠 − 5
}
Usar la propiedad de multiplicación constante de la transformada inversa de
Laplace:
𝐿−1{ 𝑎 ∗ 𝑓( 𝑡)} = 𝑎 ∗ 𝐿−1
{𝑓(𝑡)}
= 5𝐿−1 {
1
𝑠 − 5
}
Usar la tabla de las transformadas inversasdeLaplace:
𝐿−1 {
1
𝑠 − 𝑎
} = 𝑒 𝑎𝑡
, 𝐿−1 {
1
𝑠 − 5
} = 𝑒5𝑡
= 5𝑒5𝑡
= 5𝑒4𝑡
+ 𝑒4𝑡
∗ 4𝑡 − 5𝑒5𝑡