Guia-resuelta-matematicas-unan-managua

1 Aritmética
1. La expresión 311
+ 311
+ 311
equivale a:
Solution 1 311
+ 311
+ 311
= 3 311
= 31
311
= 31+11
= 312
2. Al número de tres dígitos 2a3 se le suma el número 326 y da el número de tres
dígitos 5b9: Si sabemos que el número 5b9 es divisible entre 9, entonces
a + b es:
Solution 2 2a3 +326 = 5b9 apartir de aquí podemos podemos deducir que
a + 2 = b ( )
Si el número 5b9 es divisible por nueve, signi…ca que la suma de sus dígitos
es un múltiplo de nueve, i.e 9 j 5 + b + 9; (b solo puede ser un número entre 0 y
9)
5 + 0 + 9 = 14
5 + 1 + 9 = 15
5 + 2 + 9 = 16
5 + 3 + 9 = 17
5 + 4 + 9 = 18
5 + 5 + 9 = 19
De los cálculos anteriores resulta claro que b = 4; sustituyendo este valor en
( ) y despejando a resulta:
a + 2 = 4
a = 4 2
a = 2
Luego la suma es
a + b = 2 + 4 = 6
3. A una determinada cantidad le sumo el 10% de sí misma y a la cantidad
así obtenida le resto su 10%: ¿Qué porcentaje de la cantidad original me
queda?
1
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Elaborado por José A. Siles R.

Solution 3
x cantidad original
(10%) (x) = 0:1x su diez porciento
Luego la suma es
x + 0:1x = 1: 1x
1: 1x nueva cantidad obtenida
(10%) (1: 1x) = 0:1 (1: 1x) su diez porciento
Luego la resta es
1: 1x 0:1 (1: 1x) = 1:1x 0:11x
= 0:99x
Multiplicando por 100
x para dejarlo en porcentaje
(0:99x)
100
x
= 99:0%
4. Al simpli…car [(9 4) + ( 10 + 3)] ((6) ( 5)) [( 12 + 8) (6 9) (95 90)]
el resultado es:
Solution 4
[(9 4) + ( 10 + 3)] ((6) ( 5)) [( 12 + 8) (6 9) (95 90)]
[(5) + ( 7)] ( 30) [( 4) ( 3) (5)]
(5 7) ( 30) (60)
( 2) ( 30) (60)
(60) (60)
1
5. ¿Cuántos divisores diferentes tiene el número 2000?
2
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Solution 5
La descomposición en factores primos de 2000 resulta en
2000 = 24
53
así 24
posee 5 divisores positivos: 1; 21
; 22
; 23
; 24
y 53
cuatro divisores:
1; 51
; 52
; 53
; luego los divisores 24
53
son:
1; 2; 22
; 23
; 24
; 51
; 52
; 53
;
2 5; 2 52
; 2 53
;
22
5; 22
52
; 22
53
;
23
5; 23
52
; 23
53
;
24
5; 24
52
; 24
53
;
Para un total de 20 divisores positivos distintos.
6. Al simpli…car 4 (3)
2
6 3
p
4 + 2 [5 (7) 15 3] 4 12 9: El resultado
es:
Solution 6
4 (3)
2
6 3
p
4 + 2 [5 (7) 15 3] 4 12 9 = 4 (9) 6 3 (2) + 2 [(35) 5] 4 12 9
= 36 6 6 + 2 (30) 4 12 9
= 6 6 + 60 4 12 9
= 60 4 12 9
= 240 12 9
= 20 9
= 11
7. Simpli…que
1
2
5
3
3
4
3 4
3
5
6
17 1
Solution 7
Resolviendo el numerador
1
2
5
3
3
4
=
1
2
5
4
=
2 5
4
=
3
4
3
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Resolviendo el denominador
3
4
3
5
6
= 3
10
9
=
27 10
9
=
17
9
Resolviendo toda la fracción compleja
1
2
5
3
3
4
3 4
3
5
6
=
3
4
17
9
=
3
4
9
17
=
27
68
y …nalmente
1
2
5
3
3
4
3 4
3
5
6
17 1 =
27
68
17 1
=
459
68
1
=
27
4
1
=
31
4
= 7
3
4
8. ¿Cuántos números válidos de cinco cifras se pueden escribir usando solo los
dígitos 0; 1; 2; 3 y 4?
Solution 8
Para escribir un número válido de cinco cifras el cero no puede ocupar la
primera posición, contando de izquierda a derecha, luego el cero tiene 4 posi-
ciones posibles y los restantes números cinco posiciones posibles, así el número
total de combinaciones sería
4 5 5 5 5
4 54
4
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9. Pedro tiene 69 años y su edad excede a la de Juan en un 15%: ¿Qué edad
tiene Juan?
Solution 9
Sea x la edad de Juan y 0:15x su 15%; luego
69 = x + 0:15x
69 = 1:15x
x =
69
1:15
x = 60 años
10. En una ciudad, 2
3 de los hombres están casados con los 3
5 de las mujeres. Si
nunca se casan con forateros , ¿Cuál es la proporción de solteros en dicha
ciudad?
Solution 10
x proporción de hombres 2
3 x : hombres casados
y proporción de mujeres 3
5 y : mujeres casadas
A partir de la inforación anterior y teniendo presente que son proporciones
de un total, podemos plantear el siguiente sistema, recordemos además que un
hombre se casa con una única mujer (idealmente)
(
x + y = 1
2
3 x 3
5 y = 0
Reescribiendo la segunda ecuación a una más cómoda
2
3
x
3
5
y = 0 (15)
10x 9y = 0
y ampli…cando la primera al mutiplicar por 9
x + y = 1
9x + 9y = 9
5
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El nuevo sistema será
(
9x + 9y = 9 ( )
10x 9y = 0 ( )
Sumando ambas ecuaciones y resolviendo para x
19x = 9
x =
9
19
Sustituyendo x en ( )
10x = 9y
10
9
19
= 9y
9y = 10
9
19
9y =
90
19
y =
90
19 9
y =
10
19
Luego la propoeción de hombres y mujeres casados será
2
3 x : 2
3
9
19 = 18
57 = 6
19
3
5 y : 3
5
10
19 = 30
95 = 6
19
6
19
+
6
19
=
12
19
12
19 representa la proporción de casados, debe entenderse como: por cada 19
habitantes (hombres y mujeres) 12 están casados. Para determinar los solteros
sólo debemos restar la totalidad (1 porque hablamos de proporciones) de la
proporción de casados.
1
12
19
=
7
19
6
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11. El resultado de h
125
2
3 + 16
1
2 + 343
1
3
i1
2
Solution 11
Recordando la de…nición para exponentes racionales
a
x
y = y
p
ax
tenemos
125
2
3 =
3
q
(125)
2
=
3
q
(53)
2
=
3
p
56 = 52
= 25
16
1
2 =
2
p
16 =
2
p
42 = 4
343
1
3 =
3
p
343 =
3
p
73 = 7
Luego,
h
125
2
3 + 16
1
2 + 343
1
3
i1
2
= [25 + 4 + 7]
1
2
= 36
1
2
=
p
36
= 6
12. Obtenga el resultado de
(0:027)
1
3
+ 2560:75
3 1
+ (4:5)
0
Solution 12
(0:027)
1
3
=
27
1000
1
3
=
(27)
1
3
(1000)
1
3
= (27)
1
3
(1000)
1
3
=
1
(27)
1
3
1
(1000)
1
3
=
1
(27)
1
3
!
(1000)
1
3
1
!
7
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(27)
1
3
=
3
p
27 =
3
p
33 = 3
(1000)
1
3
=
3
p
1000 =
3
p
103 = 10
luego
1
(27)
1
3
!
(1000)
1
3
1
!
=
1
3
10
1
=
10
3
Rescribiendo el exponente de 2560:75
0:75 =
75
100
=
3
4
calculando 2560:75
resulta en
2560:75
= 256
3
4 =
4
q
(256)
3
=
4
q
(28)
3
= 224
= 64
Por las leyes de los exponentes enteros nos resulta que
3 1
=
1
3
(4:5)
0
= 1
Finalmente
(0:027)
1
3
+ 2560:75
3 1
+ (4:5)
0
=
10
3
+ 64
1
3
+ 1
=
10 + 192 1 + 3
3
=
204
3
= 68
8
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13. ¿Cuál es el valor de a en (3a)
5
= 248832 ?
Solution 13
(3a)
5
= 248832
5
q
(3a)
5
=
5
p
248832
3a = 12
a =
12
3
a = 4
14. Un equipo de jugadores ganó 15 juegos y perdió 5. ¿cuál es la razón ge-
ométrica de los juego ganados a los jugados?
Solution 14
15 ganados
5 perdidos
20 total jugados
15
20
=
3
4
15. Si x es un número par y y un número impar. ¿Cuál de la siguientes a
…rmaciones siempre es falsa?
Solution 15
x = 2n
y = 2n + 1
x + y = (2n) + (2n + 1) = 4n + 1 = 2 (2n) + 1 = 2k + 1 siempre impar
x + x = 2n + 2n = 4n = 2 (2n) = 2k siempre par
9
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xy
2
=
(2n) (2n + 1)
2
= n (2n + 1) la paridad está en dependencia de n
y + y
2
=
2y
2
= y = 2n + 1 siempre impar
16. El mínimo común múltiplo de dos números es 105 y su máximo común
divisor es 5. ¿Cuál de los siguientes números puede representar la suma
de estos dos números?
Solution 16
(a; b) = 5
[a; b] = 105
de la aritmética sabemos que
ja bj = (a; b) [a; b]
Es decir, el producto de el máximo común divisor y el mínimo común múlti-
plo de dos números es igual al valor absoluto de dichos números. Replantendo
el problema será
a b = 5 105
a b = 525
esto es, dos números que multiplicados den 525 y además cumplan las condi-
ciones pedidas
525 5
105 5
21 3
7 7
1
A partir de esta descomposición, determinamos todos los pares de números
cuyo producto es 525, obtrnemos su suma y veri…camos que cumpla las condi-
ciones pedidas.
10
Page 10 of 27

5 + 105 = 110
25 + 21 = 46
15 + 35 = 50
7 + 75 = 82
3 + 175 = 178
es claro que los únicos números que cumplen los requerimientos pedidos son
15 y 35 luego la suma es 50.
17. La maestra distribuyó la misma cantidad de dulces entre cada uno de 5
niños y se quedó 3 para ella misma. No se acuerda cuántos dulces tenía,
pero se acuerda que era un múltiplo de 6 entre 65 y 100. ¿cuántos dulces
tenía?
Solution 17
Sea x el número total de caramelos, al repartirlos entre 5 niños sobran tres,
para la maestra, esto se traduce en
x = 5k + 3
es claro que el número de caramelos repartidos entre los niños debe ser un
múltiplo de 5; luego los múltiplos de 5 entre 65 y 100 son
70; 75; 80; 85; 90; 95
ahora, agregamos los tres de la maestra y veri…camos cuál de ellos es múltiplo
de 6, cómo asegura la maestra
70 + 3 = 73 ! 6 - 73
75 + 3 = 78 ! 6 j 78 ! 78 = 5 (15) + 3
80 + 3 = 83 ! 6 - 83
85 + 3 = 88 ! 6 - 88
90 + 3 = 93 ! 6 - 93
95 + 3 = 98 ! 6 - 98
de ésta discriminación resulta que: la cantidad de caramelos era 78, repartieron
75 y 3 le quedaron a la maestra.
(El símbolo j se lee divide y - no divide )
11
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18. ¿Cuál de las siguientes expresiones es impar para cualquier entero?
Solution 18
2003n : la paridad está en dependencia de n
n2
+ 2003 : la paridad está en dependencia de n
n3
: impar sólo si n es impar
2n2
+ 2003 : impar siempre
La suma de un número par 2n2
con un número impar (2003) siempre es
un número impar.
19. La solución de "
5 4
1
2
2
1
1
2 1
!#4
Solution 19
"
5 4
1
2
2
1
1
2 1
!#4
= 5 4
1
4 1
1
2 1
4
= 5 4
3
4
1
2
4
= 5 4
3
4
2
1
4
= 5 4
6
4
4
= [5 6]
4
= [ 1]
4
= 1
20. Supongamos que 2001 = (n 2)
n
(n + 1)
n 1
+1 ¿Cuánto vale n, si n es un
número entero?
12
Page 12 of 27

Solution 20
2001 = (n 2)
n
(n + 1)
n 1
+ 1
2000 = (n 2)
n
(n + 1)
n 1
2000 2
1000 2
500 2
250 2
125 5
25 5
5 5
1
2000 = 24
53
Como la descomposición en factores primos es única entonces podemos es-
cribir
(n 2)
n
(n + 1)
n 1
= 24
53
luego
(n 2)
n
= 24
de donde
n = 4
también podemos escribir
(n + 1)
n 1
= 53
de donde resulta
n 1 = 3
n = 4
21. El resultado de la operación
2 2
5
4
5
+
3 1
3
4
3
4 1
4
1
2
+
5 1
5
24
7
20
11
2
13
Page 13 of 27

Solution 21
Resolviendo para el numerador
2 2
5
4
5
=
8
5
4
5
=
8
5
5
4
= 2
3 1
3
4
3
=
8
3
4
3
=
8
3
3
4
= 2
luego
2 2
5
4
5
+
3 1
3
4
3
= 2 + 2 = 4
Resolviendo para el denominaor
4 1
4
1
2
=
15
4
1
2
=
15
4
2
1
=
15
2
5 1
5
24
=
24
5
24
=
24
5
1
24
=
1
5
luego
4 1
4
1
2
+
5 1
5
24
=
15
2
+
1
5
=
77
10
Resolviendo toda la fracción compleja resulta en
4
77
10
7
20
11
2
= (4)
10
77
77
40
=
40
40
= 1
22. Calcular el producto L H sabiendo que L = a + b + c; H = d + c = f + g;
siendo a; b; c; d; f; g números naturales y que b f = 91; a d = 18;
c d = 16; b g = 39:
14
Page 14 of 27

Solution 22
b f = 91 = 13 7
b g = 39 = 13 3
de aquí resulta evidente que
b = 13; f = 7; g = 3
por otra parte
a d = 18 = 32
2
c d = 16 = 23
2
de donde podemos concluir que
a = 32
= 9; d = 2; c = 23
= 8
Finalmente
L H = (a + b + c) (f + g)
= (9 + 13 + 8) (7 + 3)
= (30) (10)
= 300
23. Al desarrollar la expresión
qpp
625a8
2
el resultado es
Solution 23
2
4
rq
p
625a8
3
5
2
=
h
8
p
625a8
i2
=
h
8
p
54a8
i2
=
h
5
1
2 a
i2
= 5a2
15
Page 15 of 27

24. El resultado de
q
a 3
p
a
p
a es
Solution 24
r
a
3
q
a
p
a =
r
3
q
a3 a
p
a
=
r
3
q
p
a6 a2 a
=
12
p
a9
= a
9
12
= a
3
4
=
4
p
a3
25. Al desarrollar el binomio
q
A+
p
A2 B
2 +
q
A
p
A2 B
2
2
el resultado es
Solution 25
Recordemos que (a + b)
2
= a2
+ 2ab + b2
y que (a + b) (a b) = a2
b2
2
4
s
A +
p
A2 B
2
+
s
A
p
A2 B
2
3
5
2
0
@
s
A +
p
A2 B
2
1
A
2
+2
0
@
s
A +
p
A2 B
2
1
A
0
@
s
A
p
A2 B
2
1
A+
0
@
s
A
p
A2 B
2
1
A
2
A +
p
A2 B
2
+ 2
0
@
s
A +
p
A2 B A
p
A2 B
4
1
A +
A
p
A2 B
2
A +
p
A2 B + A
p
A2 B
2
+ 2
1
2
p
A2 (A2 B)
2A
2
+
p
B
A +
p
B
16
Page 16 of 27

26. Una epidemia mató los 5
8 de las reses de un ganadero y luego él vendió los 2
3
de las que le quedaban. Si aún tiene 216 reses, ¿cuántas tenía al principio,
cuántas murieron y cuántas vendió?
Solution 26
Sea x el número de reses que tenía
Una epidemia mató 5
8 x; luego le quedaron 3
8 x
Vendió 2
3
3
8 x = 1
4 x
Luego, el total de reses es: las que murieron más las que vendió más las que
aún tiene, es decir
x =
5
8
x +
1
4
x + 216
x
5
8
x
1
4
x = 216
8x 5x 2x
8
= 216
x
8
= 216
x = (8) (216)
x = 1728
Tenía 1728 reses, murieron 5
8 x = 5
8 (1728) = 1080 y vendió 1
4 x = 1
4 (1728) =
432:
27. Una galina pone 2 huevos en tres días. ¿cuántos días se necesitan para que
cuatro gallinas pongan dos docenas de huevos?
Solution 27
Vamos a usar la regla de tres compuesta
+ +
1 gallina 2 huevos 3 días
4 gallina 24 huevos x días
+
Luego encontramos x
x =
(1) (24) (3)
(4) (2)
=
72
8
= 9
17
Page 17 of 27

28. El 412
3 % es equivalente a
Solution 28
Aplicando una regla de tres simple tenemos que
1 100%
x 412
3 %
el número mixto 412
3 puede escribirse como 125
3 ; luego resolviendo para x
tenemos
x =
125
3 %
100%
=
125
3
1
100
=
125
300
=
5
12
29. Hallar el número cuyo 3.6% vale
3 + 4:2 0:1
1 0:3 21
3 0:3125
Solution 29
3 + 4:2 0:1
1 0:3 21
3 0:3125
=
3 + 4 2
10
1
10
1 3
10
7
3
3125
10000
=
3 + 42
10
10
1
1 10
3
7
3
3125
10000
=
3 + 42
10
3
7
3
3125
10000
=
45
3125
10000
= 144
18
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luego por regla de tres tenemos
x 100%
45 3:6%
Resolviendo para x
x =
144 100%
3:6%
=
14400
3:6
= 4000
19
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30. Resuelva la suma
s
p
a +
r
a2 4
a
+
s
p
a
r
a2 4
a
Solution 30
Podemos reescribir la expresión de modo siguiente
v
u
u
u
t
0
@
s
p
a +
r
a2 4
a
+
s
p
a
r
a2 4
a
1
A
2
Resolviendo el cuadrado del binomio en la forma (a + b)
2
= a2
+ 2ab + b2
v
u
u
u
t
0
@
s
p
a +
r
a2 4
a
1
A
2
+ 2
0
@
s
p
a +
r
a2 4
a
1
A
0
@
s
p
a
r
a2 4
a
1
A +
0
@
s
p
a
r
a2 4
a
1
A
2
v
u
u
u
u
t
p
a +
r
a2 4
a
+ 2
0
B
@
v
u
u
t p
a
2
r
a2 4
a
!2
1
C
A +
p
a
r
a2 4
a
s
p
a +
r
a2 4
a
p
a
r
a2 4
a
+ 2
r
a
a2 4
a
s
2
p
a + 2
r
a2 a2 + 4
a
s
2
p
a + 2
r
4
a
s
2
p
a +
4
p
a
s
2 (
p
a)
2
+ 4
p
a
s
2a + 4
p
a
1
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31. La operación está de…nida por a b = 2ab 3b en la que a y b son números
enteros. ¿cuál es el resultado de [4 ( 1)] ( 3) ?
Solution 31
Aplicando la de…nición de primeramente al corchete de la izquierda
[4 ( 1)] ( 3) = [2 (4) ( 1) 3 ( 1)] ( 3)
= [ 8 + 3] ( 3)
= ( 5) ( 3)
Aplicando la de…nición de a la última expresión obtenida
[4 ( 1)] ( 3) = ( 5) ( 3)
= 2 ( 5) ( 3) 3 ( 3)
= 30 + 9
= 39
32. El conjunto solución de la desigualdad 4 j1 xj 1 es:
Solution 32
Como es una desigualdad de valor absoluto, podemos escribir lo siguiente
4 [ (1 x)] 1
4 + 1 x 1
5 x 1
x 1 5
x 4
x 4
Ahora cuando el valor positivo
4 (1 x) 1
4 1 + x 1
3 + x 1
x 2
2
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luego la solución es
( 1; 2] [ [4; 1)
Podemos ver este resultado grá…camente
4 j1 xj 1
33. El valor de x2
+ y2
es igual a:
Solution 33
Recordemos la de…nición de valor absoluto
jaj =
8
<
:
a si a > 0
a si a < 0
0 si a = 0
Aplicando dicha de…nición entonces
x2
+ y2
= x2
+ y2
= x2
+ y2
3
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34. El conjunto solución de j2x 3j= jx + 5j es:
Solution 34
Recordemos que si
jxj = jyj ! x = y ó x = y
Teniendo esto presente podemos escribir
j2x 3j = jx + 5j
! 2x 3 = x + 5
! 2x x = 5 + 3
! x = 8
ó
j2x 3j = jx + 5j
! 2x 3 = (x + 5)
! 2x 3 = x 5
! 2x + x = 5 + 3
! 3x = 2
! x =
2
3
luego tenemos que la solución es 2
3 ; 8 .
35. El valor necesario de n para obtener el quinto número primo en 1+2+22
+
23
+ + 2n
es igual a:
Solution 35
Recordemos que los primeros número primos son
2 3 5 7 11 13 17 19
# # # # # # # #
1ro
2do
3ro
4to
5to
6to
7mo
8vo
luego el quinto número primo es 11: Por otro lado evaluemos la suma
1 + 2 + 22
= 7
4
Page 23 of 27

además
11 = 7 + 4 = 7 + 22
= 1 + 2 + 22
+ 22
De estos resultados podemos concluir que no existe un entero n en 1 + 2 +
22
+23
+ +2n
de manera tal que el resultado sea 11:(no existe n 6= 2; obsérvese
que n es creciente en la sucesión 0; 1; 2; 3; 4; 5; : : :)
36. En el año 1982 la edad de la tierra era de 1:3 1017
segundos y la de la
pirámide de Keops, 1:5 1011
segundos. La diferencia de edad entre la
tierra y la pirámide en notación cientí…ca es:
Solution 36.
Teniendo presente la de…nición de notación cientí…ca
a = c 10n
; donde 1 c < 10; y n entero
y las propiedades de los exponentes podemos escribir
1:3 1017
= 1:3 1011+6
= 1:3 106
1011
= (1300 000) 1011
Calculando la diferencia tendríamos
1:3 1017
1:5 1011
= (1300 000) 1011
1:5 1011
= (1300 000 1:5) 1011
= (1299998:5) 1011
= 1:2999985 106
1011
= 1:2999985 1017
37. La luz recorre aproximadamente 3 105
km por segundo. ¿Cuántos metros
recorrerá en 365 días? El resultado en notación cientí…ca es:
5
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Solution 37
De la física sabemos que
!v =
d
t
d = !v t ( )
Primero reescribimos la velocidad 3 105
km=s a metros por segundos
3 105 km
s
= 3 105 1000m
1s
= 3 105 103
m
1s
3 108
m=s
luego el tiempo 365 días a segundos
1 día 86400 segundos
365 días d
d =
(365) (86400 seg)
1
d = 31536000seg
d = 3:1536000 107
seg
Aplicando la ecuación ( )
d = 3 108
m=s 3:1536000 107
s
= (3 3:1536000) 108
m=s 107
s
= 9:4608 1015
m
38. La velocidad de la luz es aproximadamente de 3 105
km=s: La estrella más
cercana a la tierra está a 4300 años luz de distacia. La distacia en km y
escrita en notación cientí…ca es:
6
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Solution 38
Por el ejercicio anterior sabemos que un año tiene 3:1536000 107
seg, luego
un año luz es la distancia que recorre la luz durante todo un año, esto es
1 año luz = 3 105
km=s 3:1536000 107
s
= (3 3:1536000) 105
km=s 107
s
= 9:4608 1012
km
Luego como se trata de 4300 años tenemos que
(4300) 9:4608 1012
km = 4:300 103
9:4608 1012
km
= (4:300 9:4608) 103
1012
km
= 40:68144 1015
km
= 4:068144 1015
km
Nota: la estrella más cercana a la tierra es el sol a 0:0000158125 años luz de
distancia, seguida por Próxima Centauri (V645 Centauri) a 4:2420(16) años luz
de distancia.
39. Según la constante de Avogadro, 22:4 litros de cualquier gas, en condiciones
normales equivale a 6:02 1023
moléculas de ese gas. Una persona inspira
3:36 litros de aire y tarda, en la inspiración, 2 segundos. ¿Cuántas molécu-
las de aire ha inspirado por cada segundo? Dé la respuesta en notación
cientí…ca.
Solution 39
Podemos plantear una regla de tres para resolver el problema, como sigue
22:4 litros 6:02 1023
moléculas
3:36 litros x
resolviendo para x tenemos
x =
(3:36 litros) 6:02 1023
moléculas
22:4 litros
x =
20:2272 1023
moléculas
22:4
x = 0:903 1023
moléculas
7
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en notación cientí…ca
x = 9:03 1022
moléculas
en un segundo tendríamos
9:03 1022
2
= 4:515 1022
moléculas
40. El número de átomos de hidrogéno en un mol es la constante de Avogadro,
6:02 1023
. Si un mol del elemento tiene 1:01 gramos de masa, la masa
de un átomo de hidrogénos es:
Solution 40
Del enunciado del problema podemos establecer las siguientes relaciones
1 mol 6:02 1023
número de átomos de hidrogéno
1 mol 1:01 gramos de masa
luego podemos deducir que la masa de un átomo de hidrogéno es
1:01
6:02 1023
=
1:01
6:02
1
1023
= 0:16777 10 23
= 1: 677 7 10 24
esto es, el total de la masa entre el número de átomos.
8
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Teoría de Conjuntos
1. Dadas las expresiones:
I. 3 =2 f1; 2; 3g
II. 1
4 2 1; 1
2 ; 1
3 ; 1
4
III. 0 2
IV. El conjunto fx 2 R : 2 x < 5g está escrito por comprensión y es im-
posible describirlo por extensión.
V. ffgg = fg
Podemos a…rmar que:
a) Todas son falsas b) Solamente II y IV son verdaderas
c) Todas son verdaderas d) Solamente la II es verdadera
Solución
La relación de pertenencia 2; se establece de un elemento a un conjunto. Así
2 se lee: pertenece a y =2 se lee no pertenece a:
I. Por lo anterior esta proposición es falsa, ya que 3 está en el conjunto f1; 2; 3g :
II. Esta proposición es verdadera, ya que se puede ver que 1
4 está en el conjunto
1; 1
2 ; 1
3 ; 1
4
III. Esta proposición es falsa ya que representa el conjunto vacío (que es el
que no tiene elementos).
IV. Esta proposición es verdadera, ya que el conjunto fx 2 R : 2 x < 5g
tiene in…nitos elementos.
V. Esta proposición es falsa, ya que el conjunto ffgg posee el elemento fg ; y
el conjunto fg representa el conjunto vacío.
R. b)
2. Si F = f0; f1; 2gg ; entonces el número de subconjuntos de F es:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 8
El número de subconjuntos de F = f0; f1; 2gg son:
; f0g ; ffa; bgg ; f0; f1; 2gg
R. c)
1
Grupo Matagalpino de Matemàticas "Los Karamazov"
jelopezmoreno@yahoo.es
karamazov1729@gmail.com
gerardgemagar@ymail.com

3. Sean A = fa; b; cg y B = fa; b; c; dg y las proposiciones:
I. A 2 B
II. d 2 B
III. b A
IV. 2 A
V. fag 2 A
De éstas, las formuladas incorrectamente son:
a) Todas b) I, III, IV y V c) II d) Ninguna
La operación de inclusión ( ; ) se establece sólo entre conjuntos.
I. Esta proposición es falsa ya que la relación que se establece es de pertenencia
y A y B representan conjuntos.
II. Esta proposición es verdadera ya que se puede ver que d está en el conjunto
B y la relación que se establece es de pertenencia (2):
III. Esta proposición es falsa ya que b es un elemento y la operación que se
establece es de inclusión ( ; ).
IV. Esta proposición es falsa ya que representa el conjunto vacío, y la relación
que se establece es de pertenencia (2).
V. Esta proposición es falsa ya que fag es un conjunto y la relación que se
establece es de pertenencia (2):
R. b)
4. El conjunto A = fx 2 Nj0 x < 5g escrito por extensión es:
a) f0; 1; 2; 3; 4; 5g b) f1; 2; 3; 4g c) f0; 1; 2; 3; 4g d) f1; 2; 3; 4; 5g
Contando los números que cumplen con la condición de ser naturales y 0
x < 5; se tienen: 0; 1; 2; 3; 4: Así A = f0; 1; 2; 3; 4g :
R. c)
5. Sean A = f ; ; ; g y B = f ; ; "; ; g : Entonces es cierto que:
2

a) A B b) A 2 B c) 2 A B d) 2 A [ B
Puede verse que A [ B = f ; ; ; ; ; "; ; g, entonces es cierto que 2
A [ B: Como A B = f g ; es cierto que 2 A B:
6. Dados los conjuntos M = fxjx es una vocalg ; N = fxjx es una letra del alfabetog
y P = fxjx es una letra de la palabra "oscuridad"g : Entonces (M N) [
P es igual a:
a) fa; i; o; ug b) fs; c; r; dg c) fa; i; o; u; s; c; r; dg d) fa; i; o; s; c; r; e; d; ug
M N = fa; e; i; o; ug ; P = fo; s; c; u; r; i; d; ag : Entonces (M N) [ P =
fa; e; i; o; u; c; d; s; rg
R. d)
7. Dados los conjuntos A = f1; 3; 5g ; B = f5; 4; 3; 2; 1g y C = f3; 6; 2g : Expre-
samos:
I. B
II. A B = f3g
III. A [ C = B
IV. A B C = f3g
De estas a…rmaciones, son ciertas:
a) Todas b) Solo II c) Solo I y IV d) Solo I, III y IV
I. Esta proposición es verdadera ya que es subconjunto de cualquier conjunto.
II. Esta proposción es falsa ya que A B = f1; 3; 5g :
III. Esta proposición es falsa ya que A [ C = f1; 2; 3; 5; 6g
IV. Esta proposición es verdadera porque efectivamente A B C = f3g
R. c)
8. Si A = fa; b; c; d; ig ; B = fc; d; e; f; jg y C = fd; h; g; i; jg ; entonces el dia-
grama de Venn que ilustra a estos conjuntos es:
3

En el diagrama (a) e; f están en el conjunto C, por lo cual este diagrama no
cumple la condición que se pide.
En el diagrama (c) los elementos c; d; e; f; j son del conjunto B, y no del
conjunto C; por lo cual este diagrama no representa la situación.
En el diagrama (d) los elementos a; b; c; d; i son del conjunto A y no del
conjunto B; por lo cual este diagrama no representa la situación.
Nos queda entonces el diagrma (b), que como se ilustra es el satisface las
condiciones dadas.
R. b)
9. Si A = f1; 0; f1; 2gg ; entonces se a…rma:
I. 2 A
II. f0g 2 A
III. ff1; 2gg A
IV. 2 2 A
De tales a…rmaciones las falsas son:
a) Solo la I b) Solo la I y II c) Solo la III d) Solo la I, II y IV
4

I. Esta proposición es falsa ya que representa el conjunto vacío y la relación
que establecen es la de pertenencia (2):
II. Esta proposición es falsa ya que f0g representa un conjunto y la relación
que establecen es la de pertenencia (2):
III. Esta proposición es verdadera ya que la inclusión ( ) establecida es entre
los conjuntos: ff1; 2gg y A:
IV. Esta proposición es falsa porque f1; 2g es un elemento de A y sólo el 2 no
es elemento de A:
R. d)
10. En el lanzamiento de dos dados, se forma el conjunto A, de…nido por:
A = f(a; b) : a 2 N; b 2 N; a + b = 6g
¿Cuál es la cardinalidad del conjunto A?
a) 25
b) 10
2 c) 5 d) 52
Observemos los pares ordenados (a; b) que se forman con el lanzamiento de
los dos dados:
1 2 3 4 5 6
1 (1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6)
2 (2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6)
3 (3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6)
4 (4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6)
5 (5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) (5; 5) (5; 6)
6 (6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5) (6; 6)
De estos, los pares que suman 6 son:
(1; 5) ; (2; 4) ; (3; 3) ; (4; 2) ; (5; 1)
Por lo cual el conjunto A está formado por los elementos: A = f(1; 5) ; (2; 4) ; (3; 3) ; (4; 2) ; (5; 1)g :
La cardinalidad de un conjunto es el número total de elementos que tiene el
conjunto. Así, el conjunto A posee 5 elementos (que son los que cumplen con la
condición a + b = 6:
R. c)
5

11. Sea el conjunto A = fx 2 Z : jxj 3g escrito por comprensión, entonces su
descripción por extensión es:
a) A = f1; 2; 3g b) A = f0; 1; 2; 3g
c) A = f 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3g d) A = f 2; 1; 0; 1; 2g
Probando cada elemento que cumple con la condición x 2 Z : jxj 3; se
tiene:
3 2 Z : j 3j = 3 3
2 2 Z : j 2j = 2 3
1 2 Z : j 1j = 1 3
0 2 Z : j0j = 0 3
1 2 Z : j1j = 1 3
2 2 Z : j2j = 2 3
3 2 Z : j3j = 3 3
Así, el conjunto A estaría formado por los elementos: 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3;
por lo cual A = f 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3g :
R. c)
12. Dados los conjuntos ; f0g ; f g ; entonces la a…rmación verdadera es:
a) El primero y el tercero son iguales b) Cada uno es diferente de los otros
c) El primero y el segundo son iguales d) Todos son iguales
Aclaramos lo que representa cada conjunto dado: : representa el conjunto
vacío. f0g : es un conjunto que tiene 1 elemento el 0: f g : es un conjunto que
tiene un elemento el : Así, analizamos cada proposición dada:
a) Es falsa, ya que el conjunto f g tiene un elemento.
b) Es verdadera, ya que el conjunto f0g tiene como elemento al 0 y el conjunto
f g tiene como elemento a :
c) Es falsa, ya que el conjunto f0g tiene un elemento.
d) Es falsa, ya que los conjuntos f0g y f g son diferentes.
R. b)
6

13. Sean M = f1; 2; 3; 4g ; N = f1; 2; 3; 4; 5g y L = f1; 2g : Entonces N (ML)
es igual a:
a) f1; 2g b) f3; 4; 5g c) f1; 2; 3; 4; 5g d)
De los conjuntos dados y de la de…nición de intersección y diferencia de
conjuntos se tiene:
M L = f1; 2g
N (M L) = f3; 4; 5g
R. b)
14. Dados los conjuntos A = fxjx es una letra anterior a a en el alfabetog ; B =
fxjx 6= xg ; C = xjx2
= 9 ^ 2x = 4 ; D = fxjx + 8 = 8g donde x es un
número real, entonces podemos a…rmar que:
a) Todos los conjuntos son iguales al vacío b) A = B = C = y D es unitario
c) Solamente A y B son conjuntos vacíos d) Ninguno de los conjuntos es vacío
Escribimos por extensión cada uno de los conjuntos dados anteriormente:
A = fxjx es una letra anterior a a en el alfabetog = : Ya que en el alfabeto
no hay una letra anterior a a:
B = fxjx 6= xg = : Ya que no hay número diferente a sí mismo.
C = xjx2
= 9 ^ 2x = 4 = : Aqui x = 3 y x = 2; esto muestra que x no
puede ser a la vez estos tres números.
D = fxjx + 8 = 8g : Entonces D = f0g
Por lo escrito anteriormente se puede a…rmar que: A = B = C = y D es
unitario.
R. b)
15. Sean los conjuntos numéricos N; Z; Q y R: Entonces es cierto que
a) Q Z b) R Q c) Z R d) Z R
Solución.
REcordemos la de…nición de subconjunto
7

De…nition 1 Sean A y B dos conjuntos. Si ocurre que todo elemento de A
pertenece a B, diremos que A está incluido en B, o que A es parte de B, o que
A es un subconjunto de B, y escribimos A B:
A B () 8x : x 2 A =) x 2 B
En virtud de ésta de…nición podemos plantear.
a) no es correcta puesto que existen números que están en Q pero no en Z;
por ejemplo 1
2 2 Q; pero 1
2 =2 Z: b) no es correcta por un argumento análogo
p
2 2 R; pero
p
2 =2 Q; c) no es correcta porque 2 R; pero =2 Z; d) si es
correcto puesto que todos los números enteros están incluidos en los números
reales.
16. Sean las a…rmaciones:
I. f1; 4; 3g = f3; 4; 1g
II. f1; 3; 1; 2; 3; 2g f1; 2; 3g
III. f4g 2 ff4gg
IV. f4g ff4gg
V. ff4gg
Entonces las correctas son:
a) Todas son correctas excepto la IV b) Solo I y IV son correctas
c) Solamente I, II y III d) Solo la IV es correcta
Solución.
I. Es correcto puesto que dos conjuntos son iguales si ambos se contienen
mutuamente, es decir todos los elementos de uno están en el otro, II. es correcta
porque en un conjunto no importan las repeticiones esto es f1; 3; 1; 2; 3; 2g =
f1; 2; 3g f1; 2; 3g ; III. es correcta puesto que la notación en llaves indica que
es un conjunto, f4g es un elemento del conjunto ff4gg y IV es incorrecta porque
para ser subconjunto la notación es el elemento entre llaves, así ff4gg, V. es
correcta puesto que el conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto.
17. Sean los conjuntos
I. El conjunto de rectas paralelas al eje x:
II. El conjunto de letras del alfabeto.
8

III. El conjunto de números que son múltiplos de 5.
IV. El conjunto de animales que viven en la tierra.
V. El conjunto de números que son raíces de la ecuación.
x35
+ 42x23
17x18
2x5
+ 19 = 0
VI. El conjunto de círculos que pasan por el origen.
De ellos podemos a…rmar que:
a) Todos son …nitos b) Todos son in…nitos
c) Solo I, II y III son in…nitos d) Solo II, IV y V son …nitos
Solución.
La respuesta correcta es d) puesto que el alfabeto es …nito (27 caracteres),
las especies animales están registradas por en grupos, familias y especies, y las
soluciones de la ecuación x35
+42x23
17x18
2x5
+19 = 0; están determinadas
por el teorema fundamental del algebra, es decir que tiene exactamente 35 raíces.
18. Sean los conjuntos A = fa; b; c; dg ; B = ff; b; d; gg y las siguientes opera-
ciones entre conjuntos.
I. A [ B = ff; gg
II. A B = fa; b; c; d; f; gg
III. A B = fa; b; cg
IV. B A = ff; b; gg
Entonces se a…rma que:
a) Todas son incorrectas b) Todas son correctas
c) Solo III es correcta d) Solo IV es incorrecta
Solución.
9

Recordemos las de…niciones de algunas operaciones entre conjuntos
A [ B = fxjx 2 A _ x 2 Bg
A B = fxjx 2 A ^ x 2 Bg
A B = fxjx 2 A ^ x =2 Bg
En virtud de éstas de…niciones podemos escribir
A [ B = fa; b; c; d; f; gg
A B = fb; dg
A B = fa; cg
B A = ff; gg
Luego resulta que todas son incorrectas.
19. El conjunto A es subconjunto del conjunto B si:
a) Al menos un elemento de A es elemento de B.
b) Todo elemento de A es elemento de B.
c) Ningún elemento de B está en A.
d) Algún elemento de B estáen A.
Solución.
De la de…nición de subconjunto podemos establecer que b) es la correcta.
20. En el diagrama de Venn está sombreado una parte. La operación sombreada
es:
a) B (A C) b) (A [ B) (A [ C) c) (B C) A d) (A B) [ (A C)
10

Solución.
21. Si U = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10g ; A = f1; 2; 3; 4; 5; 6g y B = f2; 4; 6; 8; 10g ;
entonces A B es el conjunto:
a) f7; 8; 9; 10g b) f1; 3; 5g c) f8; 10g d) f7; 9g
Solución.
Recordemos la de…nicón de complemento
A = fxjx 2 U ^ x =2 Ag
luego
A = f7; 8; 9; 10g
B = f1; 3; 5; 7; 9g
A B = f8; 10g
22. Sea N = fxjx es un número naturalg ; Z = fxjx es un número enterog ; Q =
fxjx es un número racionalg ; Q = fxjx no es racionalg y R = fxjx es un número realg :Sean
las siguientes proposiciones al respecto.
11

I. Los números
p
3; ;
p
7; e 2:7182 y
p
2 son ejemplos de números racionales.
II. Los números 3.75, 2.131311313. . . , 25 y
p
144 son números que se pueden
expresar como fracciones.
III. Q Q
IV. N Z Q R
De ellas las falsas son:
a) I y II b) II y III c) II y IV d) I y III
Solución.
I. Es incorrecta puesto que todos esos números son irraciones no perteneccen
a Q:
II. Es correcta puesto que
3:75 = 3 + 0:75 = 3 +
75
100
= 3 +
3
4
=
15
4
2:131313 : : : = 2 + 0:131313 : : : = 2 +
13
99
=
211
99
25 =
25
1
p
144 = 12 =
12
1
III. Es falso puesto que 1
2 2 Q ^ 1
2 =2 Q
IV. Es correcta los números naturales, enteros y racionales están incluidos
en los números reales, los naturales en los enteros, los enteros en los racionales.
23. Dados los intervalos de números reales M = [ 3; 5) ; S = (3; 8) ; T = [0; 4]
y W = ( 7; 8] ; y las a…rmaciones:
I. M S
II. S W
III. M [ S = S
IV. 7 2 W
V. T W
VI. M T = T
12

Podemos concluir que:
a) Todas son falsas b) Las verdaderas son la II, V y VI
c) Todas son verdaderas d) Solo la IV es verdadera
Solución.
M S es falsa porque 3 2 M ^ 3 =2 S: S W es verdadero, nótese que
todo elemento de S está incluido en W: M [ S = S es falso porque 3 2 M [ S
pero 3 =2 S: 7 2 W falso porque W es abierto por la izquierda luego no
contiene a ese extremo, es decir a 7: T W es verdadera todos los elementos
de T están en W: M T = T verdadero, nótese que todo T está contenido en
M:
24. Sea U = fn 2 N : n 10g ; A = fx 2 U : x 5g ; B = f1; 4; 7; 10g y C =
fx 2 U : x es par y menor que 8g : Entonces (A C) (C B) es:
a) f2; 6g b) f1; 3; 7g c) f1; 3; 5g d)
Solución.
(A C) = f1; 3; 5g
(C B) = f2; 6g
(C B) = f1; 3; 4; 5; 7; 8; 9; 10g
(A C) (C B) = f1; 3; 5g
25. Dados los conjuntos A = fx : x 2 R; (x 1) (x 2) (x 3 = 0)g ; B = x : x 2 R; x2
1 = 0 :
La diferencia simétrica de A y C es:}
Solución.
Recordemos la de…nición de diferencia simétrica
A4B = (A B) [ (B A)
= (A [ B) (A B)
13

Escribiendo los conjuntos A y B por extensión tenemos
A = f1; 2; 3g
B = f 1; 1g
luego tenemos que
(A [ B) = f 1; 1; 2; 3g
(A B) = f1g
A4B = (A [ B) (A B) = f 1; 2; 3g
26. Dado un conjunto cualquiera A, no es cierto que:
a) A =
b) A [ =
c) A [ A = A
d) A A = A
Solución.
A [ = es falsa porque la unión exige que estén todos los elementos de
ambos conjuntos, por tanto A [ no puede ser vacío.
27. Sean los conjuntos arbitrarios A, B, C. Las siguientes leyes de conjuntos
tienen su nombre apropiado.
I. A [ A Idempotencia
II. A [ (B C) = (A [ B) (A [ C) Asociatividad
III. (A) = A Ley de involución
IV. (A [ B) = A B Ley de D´ Morgan.
De ellas:
a) Todas tienen su nombre correcto b) Solo la segunda es correcta
c) Solamente la II es incorrecta d) Todas son incorrectas
Solución.
14

La única incorrecta es la II, puesto que
A [ (B C) = (A [ B) (A [ C) es la ley distributiva.
28. A = fx 2 Z : jx + 3j 2g ; B = x 2 R : x es solución de la ecuación x2
7x 8 = 0
y C = x 2 N : x2
x 56 = 0 : Entonces (B [ C) (A B) = C
a) Eso es totalmente cierto b) Eso es totalmente falso
c) (B [ C) (A B) = A d) (B [ C) (A B) = B
Solución.
En principio debemos escribir cada conjunto por extensión, así
A = fx 2 Z : jx + 3j 2g
Debemos entonces resolver la desigualdad jx + 3j 2; aquí tenemos dos
casos:
x + 3 2 _ (x + 3) 2
resolviendo la primera desigualdad tenemos
x + 3 2
x+ 2 3
x 1
Para la segunda desigualdad
(x + 3) 2
x 3 2
x 2 + 3
x 5
x 5
así la solución está en el intervalo
5 x 1
Así,
A = f 5; 4; 3; 2; 1g
15

Al escribir B por extensión resulta
B = x 2 R : x es solución de la ecuación x2
7x 8 = 0
x2
7x 8 = 0
(x 8) (x + 1) = 0
(x 8) = 0 _ (x + 1) = 0
x = 8 _ x = 1
B = f 1; 8g
C por extensión,
C = x 2 N : x2
x 56 :
x2
x 56 = 0
(x 8) (x + 7) = 0
(x 8) = 0 ^ (x + 7) = 0
x = 8 ^ x = 7
C = f8g
Realizando las operaciones (B [ C) (A B) = C
A = f 5; 4; 3; 2; 1g
B = f 1; 8g
C = f8g
B [ C = f 1; 8g
A B = f 1g
(B [ C) (A B) = f8g = C
29. Dados A y B conjuntos cualesquiera, el resultado de (A B) B es:
Solución.
16

Obsérvese la parte sombreada que representa la diferencia y al conjunto B,
es claro que no comparten elementos, luego su intersección es vacia.
30. En un aula de 35 alumnos, 7 hombres aprobaron aritmética, 6 hombre
aprobaron literatura, 5 hombres y 8 mujeres no aprobaron ningún curso,
hay 16 hombres en total, 5 aprobaron los 2 cursos, 11 aprobaron sólo
aritmética, ¿cuántas mujeres aprobaron solo literatura?
Solución.
Organicemos los datos en un tabla de doble entrada
aritmética literatura ambos reprobados total
hombres 2 4 5 5 16
mujeres 9 2 0 8 19
total 11 6 5 13 35
Obsérvese que para completar la tabla, si 7 hombres aprueban literatura
y 5 hombres aprueban ambos cursos, entonces sólo 2 hombres deben aprobar
únicamente el curso de aritmética. De aquí resulta claro que únicamente dos
mujeres aprueban literatura.
17

Álgebra
1. Si los coe…cientes del polinomio a5x5
+ a4x4
+ a3x3
+ a2x2
+ a1 cumplen la
relación de recurrencia a1 = 1; ak+1 = 3ak + 1; para k 1 entonces a5 es
igual a:
Solución
Usando el algorítmo ak+1 = 3ak + 1 tenemos que el número siguiente se
obtiene multiplicando el anterior por tres y agregándole uno, así los coe…cientes
serían:
a1 = 1
a2 = 3 (1) + 1 = 4
a3 = 3 (4) + 1 = 13
a4 = 3 (13) + 1 = 40
a5 = 3 (40) + 1 = 121
2. La expresión algebraica (x + y)
3
3x2
y 3xy2
es igual a:
Solución
Recordemos de los productos notables que
(x + y)
3
= x3
+ 3x2
y + 3xy2
+ y3
entonces podemos escribir
(x + y)
3
3x2
y 3xy2
= x3
+ 3x2
y + 3xy2
+ y3
3x2
y 3xy2
= x3
+ y3
+ 3x2
y 3x2
y + 3xy2
3xy2
= x3
+ y3
+ 0 + 0
= x3
+ y3
1
Grupo matagalpino de matemáticas "Los Karamazov"
Gerardo Manuel García.
Jolman E. López M.
José Augusto Siles R.

3. Si x4
y4
= z3
y x2
+ y2
= 8; entonces z3
8 es igual a:
Solución
Recordemos la diferencia de cuadrados
x2
y2
= (x + y) (x y)
aplicando esto a la primera igualda tenemos
x4
y4
= x2
+ y2
x2
y2
= z3
sustituyendo en esta última igualdad x2
+ y2
= 8
x2
+ y2
x2
y2
= z3
(8) x2
y2
= z3
aplicando nuevamente diferencia de cuadrados
(8) x2
y2
= z3
(8) (x + y) (x y) = z3
(x + y) (x y) =
z3
8
despejando y reordenando nos resulta que
z3
8
= (x + y) (x y)
4. Si x < 2; entonces jx 2j + jx 3j es igua a:
Solución
Si x < 2 entonces x puede tomar cualquier valor del siguiente conjunto de
número reales
f1; 0; 1; 2; 3; :::g
2
Jolman E. López M.

en todo caso ocurre que (x 2) < 0; es decir el resultado es un número
negativo, luego su valor absoluto será
jx 2j = (x 2) = 2 x
Analogamente ocurre para x 3; si se resta cualquier número de los que
puede tomar x con tres, entonces (x 3) < 0 luego su valor absoluto
jx 3j = (x 3) = 3 x
Y …nalmente la suma será
jx 2j + jx 3j = (2 x) + (3 x)
= 5 2x
= 2x + 5
5. Para que la suma de dos polinomios de grado 2 sea un polinomio de grado 1
se debe cumplir:
Solución
Sean los polinomio de grado 2
a1x2
+ a2x + c
b1x2
+ b2x + c0
Consideremos que su suma es igual a un polinomio de grado 1, esto es
a1x2
+ a2x + c1 + b1x2
+ b2x + c2 = kx + c3
entonces debe ocurrir que
a1x2
+ b1x2
= 0
(a2x + b2x) = kx
(c1 + c2) = c3
Es decir, que los terminos de x2
deben eliminarce
a1x2
+ b1x2
= 0
a1x2
= b1x2
a1 = b1
luego, los coe…cientes principales (los de x2
) deben ser opuesto.
3
Jolman E. López M.

6. Dado el polinomio lineal f (x) = x 1
2 ; la suma f (x) + f x + 1
4 + f x + 2
4 +
f x + 3
4 es igual a:
Solución
f (x) = x
1
2
f x +
1
4
= x +
1
4
1
2
= x
1
4
f x +
2
4
= x +
2
4
1
2
= x + 0
f x +
3
4
= x +
3
4
1
2
= x +
1
4
Luego la suma buscada es
x
1
2
+ x
1
4
+ x + 0 + x +
1
4
= 4x
1
2
7. Si multiplicamos n2
+ 1 veces el número real a, el reultado …nal es:
Solución
La de…nición de potencia nos dice que
n veces
z }| {
a a a a a a = an
Si aplicamos esto a nuestro caso tenemos
n2
+1 veces
z }| {
a a a a a a = an2
+1
8. El polinomio p (x) = x3
x2
+ x 1 se anula en 1, luego p (x) es divisible
por.
Solución
4
Jolman E. López M.

Teorema del factor: Un polinomio f(x) tiene un factor x c si y sólo si
f(c) = 0
Aplicando el teorema del factor al caso que nos ocupa tenemos que
p (1) = 13
12
+ 1 1
= 1 1 + 1 1
= 0
entonces p (1) = 0; según el teorema el polinomio tiene un factor (es divisible
por) x 1: (sug. haga la división)
9. Las primeras 17 letras en la alineación del genoma humano son
A C A A T G T C A T T A G C G A T
donde A = Adenina, C = Citosina, G = Guanina, T = Timina. Si consider-
amos a estas letras como variables y admitimos la conmutatividad del producto
"yuxtaposición", estas 17 letras pueden reducirse al monomio:
Solución
Recordemos que
n veces
z }| {
a a a a a a = an
Secuencia original
A C A A T G T C A T T A G C G A T
A C A2
T G T C A T2
A G C G A T
Aplicando la propiedad conmutativa
C A A2
T T G C A A T2
C G G A T
aplicando potenciación
C A3
T2
G C A2
T2
C G2
A T
Aplicando repetidamente estos pasos llegaremos a obtener la ordenación
A A3
A2
C C C G G2
T2
T2
T
Finalmente
A6
C3
G3
T5
5
Jolman E. López M.

10. Si x + y = 1 y xy = 1, ¿Cuál será el valor de x3
+ y3
?
Solución
El cubo de un binomio es
(x + y)
3
= x3
+ 3x2
y + 3xy2
+ y3
A partir de esto podemos escribir
(1)
3
= x3
+ y3
+ 3x2
y + 3xy2
( )
Por otro lado podemos calcular cada variable
xy = 1 ! x =
1
y
xy = 1 ! y =
1
x
Sustituyendo estas dos últimas igualdades en ( ) y reduciendo, tenemos
1 = x3
+ y3
+ 3x2
y + 3xy2
1 = x3
+ y3
+ 3x2 1
x
+ 3
1
y
y2
1 = x3
+ y3
+ 3x + 3y
1 = x3
+ y3
+ 3 (x + y)
1 = x3
+ y3
+ 3 (1)
1 = x3
+ y3
+ 3
1 3 = x3
+ y3
x3
+ y3
= 2
11. Dos enteros a > 1 y b > 1 satisfacen ab
+ ba
= 57: Determinar la suma
a + b:
Solución
6
Jolman E. López M.

Por simple inspección es facil notar que
25
= 32
52
= 25
25
+ 52
= 32 + 25
25
+ 52
= 57
a partir de este cálculo podemos escribir que
a ! 2 y b ! 5
a + b = 2 + 5
a + b = 7
12. Dada la expresión algebraica x3
y2
+ x2
y2
; los valores de x e y para obtener
64 son:
Solución
x3
y2
+ x2
y2
= x2
y2
(x + 1) = 64
y2
=
64
x2 (x + 1)
Como 64 es un número par, entonces los número x y y deben ser números
pares. Fijemos x = 2 (nótese que lo elegimos negativos, puesto que 64 también
lo es )
y2
=
64
x2 (x + 1)
y2
=
64
( 2)
2
( 2 + 1)
y2
=
64
(4) ( 1)
y2
=
64
4
y2
= 16
p
y2 =
p
16
y = 4
7
Jolman E. López M.

Como tenemos dos raices evaluamos para elegir la adecuada
x3
y2
+ x2
y2
= ( 2)
3
( 4)
2
+ ( 2)
2
( 4)
2
= 64
luego los número buscados son x = 2 y y = 4:
13. Los valores naturales de x e y para la expresión 1 + x + xy + x2
y2
dé el
menor número par positivo son:
Solución
El menor número par positivo es 2
1 + x + xy + x2
y2
= 2
x + xy + x2
y2
= 2 1
x 1 + y + xy2
= 1
1 + y + xy2
=
1
x
y + xy2
=
1
x
1
y + xy2
=
1 x
x
Ahora, observamos algunas cosas, x no puede ser cero, tampoco puede ser neg-
ativo, discriminando el numerador es fácil ver que x debe ser 1; así
y + xy2
=
1 x
x
y + y2
= 0
y (1 + y) = 0
y = 0 ó y = 1
Evaluando los números x = 1 y y = 0 para comprobar
1 + x + xy + x2
y2
= 2
1 + 1 + (1) (0) + (1)
2
(0)
2
= 2
1 + 1 = 2
2 = 2
8
Jolman E. López M.

14. Si a = 1; b = 3; c = 5; entonces
a + b ja bj
jaj + jbj + jcj
es igual a:
Solución
De…nition 1 El valor absoluto de un número real, a; representado por jaj ; se
de…ne como sigue.
1) si a 0; entonces jaj = a:
2) si a < 0, entonces jaj = a:
a + b ja bj
jaj + jbj + jcj
=
( 1) + 3 j( 1) 3j
j 1j + j3j + j5j
=
( 1) + 3 j 4j
j 1j + j3j + j5j
=
2 4
1 + 3 + 5
=
2
9
15. La expresión
3
p
an3+3n2+5n+3; a 2 R y n 2 N; es:
Solución
Por la propiedad de la potencia ax+y
= ax
ay
, podemos escribir
3
p
an3+3n2+5n+3 =
3
p
an3+5n+3n2+3
=
3
p
an3+5n 3
p
a3n2 3
p
a3
=
3
p
an3+5n an2
a ( )
la anterior simpli…cación nos acaba de arrojar luz sobre los dos últimos radi-
cales, los cuales tiene raiz cúbica exacta, ahora veremos que ocurre con el radica
3
p
an3+5n
Tomemos el exponente n3
+5n; si evaluamos n para algunos casos obtenemos:
9
Jolman E. López M.

n n3
+ 5n
1 ! 13
+ 5 (1) = 1 + 5 = 6
2 ! 23
+ 5 (2) = 8 + 10 = 18
3 ! 33
+ 5 (3) = 27 + 15 = 42
4 ! 43
+ 5 (4) = 64 + 20 = 84
Si observamos la tabla anterior, podemos ver que la expresión n3
+5n siempre
da un número múltiplo de 3, esto es
3jn3
+ 5n ! n3
+ 5n = 3k ( )
luego en el radical
3
p
an3+5n =
3
p
a3k = ak
Esto signi…ca que la expresión
3
p
an3+3n2+5n+3 es raíz cúbica exacta.
Nota: Demostración de 3jn3
+ 5n 8n 2 N
Aplicaremos el principio de inducción matemática sobre n:
3jn3
+ 5n es equivalente a n3
+ 5n = 3k
Para n = 1; tenemos 13
+ 5(1) = 6 = 3 2, de donde 3jn3
+ 5n es verdadero
para n = 1:
Hipótesis inducctiva 3jn3
+ 5n 8n 2 N es verdadero.
Tesis de inducción 3j (n + 1)
3
+ 5 (n + 1) 8n 2 N
(n + 1)
3
+ 5 (n + 1) = n3
+ 3n2
+ 3n + 1 + 5n + 5
= n3
+ 5n + 3n2
+ 3n + 6
n3
+ 5n es múltiplo de 3 por hipótesis de inducción, 3n2
+ 3n = 3 n2
+ n
es evidente que es múltiplo de 3 y claramente 3 divide a 6; luego la suma de
tres múltiplos de 3 es un múltiplo de 3; esto es 3j (n + 1)
3
+ 5 (n + 1) 8n 2 N es
verdadero.
16. Las raíces de la ecuación ax2
+ bx + c = 0 serán recíprocas si:
Solución
10
Jolman E. López M.

Supongamos las raíces x1 y x2; ambas raíces de la ecuación dada, ahora
vamos a reducir la ecuación dada, así
ax2
+ bx + c = 0
a
a
x2
+
b
a
x +
c
a
= 0
x2
+
b
a
x +
c
a
= 0 ( )
la ecuación ( ) es la ecuación reducida de la ecuación ax2
+ bx + c = 0;
obsérvese que la ecuación ( ) es de la forma
x2
+ px + q = 0
y sabemos que para estas ecuaciones debemos encontrar dos números que
multiplicados nos den q y sumados p; es decir que si existen sus raíces, digamos
x1 y x2; entonces
x1 x2 = q
x1 + x2 = p
Aquí podemos tomar
b
a
= p
c
a
= q
Si la condición es que x1 = 1
x2
, es decir que sean recíprocas las raíces,
entonces
x1 =
1
x2
! x1 x2 = 1
x1 x2 = q = 1
c
a
= 1
c = a
17. Si n es un entero positivo, la igualdad m4
km2
n + n2 n
= m2
n
2n
se cumple si k toma el valor:
Solución
Apliquemos el cuadrado del binomio a la parte derecha, así
h
m2
n
2
in
= m4
2m2
n + n2 n
11
Jolman E. López M.

ahora igualemos este resultado a lo que inicialmente teníamos
m4
km2
n + n2 n
= m4
2m2
n + n2 n
raíz n-ésima a ambos lados y listo
n
q
(m4 km2n + n2)
n
= n
q
(m4 2m2n + n2)
n
m4
km2
n + n2
= m4
2m2
n + n2
k = 2
18. El producto (
p
x + y +
p
x + y z) (
p
x + y
p
x + y z) es igual a:
Solución
Obsérvese con atención que lo que tenemos es una diferencia de cuadrados
de la forma (a + b) (a b) = a2
b2
; luego al hacer el producto resulta
p
x + y +
p
x + y z
p
x + y
p
x + y z =
p
x + y
2 p
x + y z
2
= x + y (x + y z)
= x + y x y + z
= z
19. El coe…ciente del término lineal del producto (ax b) (cx + d) x es:
Solución
Si hacemos el producto de forma directa obtenemos la expresión
(ax b) (cx + d) x = acx3
+ adx2
bcx2
bdx
= acx3
+ (ad bc) x2
bdx
aquí el término lineal es bdx; luego su coe…ciente es bd:
Observación:
12
Jolman E. López M.

Si el producto es simplemente (ax b) (cx + d) ; omitiendo la x que aparece
al …nal tendriamos
(ax b) (cx + d) = acx2
bd + adx bcx
= acx2
+ (ad bc) x bd
en este caso el término lineal es (ad bc) x; luego su coe…ciente es ad bc:
(esta es la respuesta de la guía, tenga en cuenta la aclaración)
20. Si 2 es raíz del polinomio x3
x2
14x + 24, entonces la factorización
completa de éste es:
Solución
Theorem 2 Un polinomio f (x) tiene un factor x c si y sólo si f (c) = 0
Si 2 es raíz de x3
x2
14x+24; entonces anula al polinomio cuando x = 2:
Así podemos aplicar el teorema anterior con c = 2 y como factor x 2:
Hacemos ahora la división
x3
x2
14x + 24 x 2
resulta como cociente el polinomio x2
+ x 12; luego podemos escribir
x3
x2
14x + 24 = (x 2) x2
+ x 12
= (x 2) (x + 4) (x 3)
lo cual es su factorización completa.
21. El polinomio x4
1 se descompone completamente en el producto de:
Solución
Note que podemos expresar el polinomio como una diferencia de cuadrados
x4
1 = x2
1 x2
+ 1
luego un factor de estos engendra otra diferencia de cuadrados
x4
1 = x2
1 x2
+ 1
= (x 1) (x + 1) x2
+ 1
así la descomposición completa de x4
1 es el producto de 3 binomios.
13
Jolman E. López M.

22. La factorización de (x + 1)
3
+ (y + 6)
3
es:
Solución
Apliquemos la factorización para la suma de cubos
a3
+ b3
= (a + b) a2
ab + b2
(x + 1)
3
+ (y + 6)
3
= (x + 1 + y + 6)
h
(x + 1)
2
(x + 1) (y + 6) + (y + 6)
2
i
= (x + y + 7)
h
(x + 1)
2
(x + 1) (y + 6) + (y + 6)
2
i
luego observemos que quedan unos binomios al cuadrado
(x + 1)
2
= x2
+ 2x + 1
(x + 1) (y + 6) = 6x y xy 6
(y + 6)
2
= y2
+ 12y + 36
sumando y reduciendo términos semejantes nos queda
(x + 1)
3
+ (y + 6)
3
= (x + y + 7)
h
(x + 1)
2
(x + 1) (y + 6) + (y + 6)
2
i
= (x + y + 7) x2
+ 2x + 1 6x y xy 6 + y2
+ 12y + 36
= (x + y + 7) x2
xy 4x + y2
+ 11y + 31
23. Un factor de 5t 12 + 2t2
es t + 4 y el otro es
Solución
Es su…ciente con hacer la división para encontrar el otro factor
2t2
+ 5t 12 t + 4
2t2
8t 2t 3
3t 12
3t + 12
0
luego el cociente de esta diviión, 2t 3; es el factor buscado.
14
Jolman E. López M.

24. Si el producto de los monomios x2n
yn
y xm
y es igual a x 2
y3
; entonces los
valores de m y n son respectivamente:
Solución
Haciendo el producto y aplicando la inyectividad de la función exponencial,
tenemos
x2n
yn
(xm
y) = x 2
y3
x2n+m
yn+1
= x 2
y3
como las bases son invariantes, resulta
2n + m = 2
n + 1 = 3
resolviendo este sistema resulta,
n + 1 = 3 ! n = 3 1
n = 2
2n + m = 2
2 (2) + m = 2
4 + m = 2
m = 2 4
m = 6
Así, los números buscados son, m = 6 y n = 2:
25. Para que la factorización de 2y2
+ 9y s sea (2y + k) (y 2k) ; s y k deben
valer respetivamente:
Solución
Hagamos el producto directo de (2y + k) (y 2k) ; esto es
(2y + k) (y 2k) = 2y2
3ky 2k2
Ahora igualando término a término los dos polinomios, resulta
15
Jolman E. López M.

2y2
+ 9y s
# # #
2y2
3ky 2k2
como la factorización es única resulta claro pensar que
3ky = 9y
k =
9
3
k = 3
s = 2k2
s = 2k2
s = 2 ( 3)
2
s = 2 (9)
s = 18
luego s = 18 y k = 3:
26. El resultado de (am+n
+ bm n
) (bm n
am+n
) es:
Solución
Apliquemos la diferencia de cuadrados
bm n
+ am+n
bm n
am+n
= bm n 2
am+n 2
= b(2)(m n)
a(2)(m+n)
27. El producto de a
p
2
b
1
3
3
con a
p
2
+ b
1
3
3
es igual a:
Solución
Haciendo el producto y aplicando regla de los exponentes resulta
a
p
2
b
1
3
3
a
p
2
+ b
1
3
3
=
h
a
p
2
b
1
3 a
p
2
+ b
1
3
i3
16
Jolman E. López M.

luego lo que está dentreo del corchete es una diferencia de cuadrados
h
a
p
2
b
1
3 a
p
2
+ b
1
3
i3
= a
p
2
2
b
1
3
2 3
a esta última expresión aplicamos el cubo del binomio
a
p
2
2
b
1
3
2 3
= a
p
2
2 3
3 a
p
2
2 2
b
1
3
2
+ 3 a
p
2
2
b
1
3
2 2
b
1
3
2 3
= a6
p
2
3a4
p
2
b
2
3 + 3a2
p
2
b
4
3 b2
28. Al simpli…car la expresión
1
2 1
x2
2
x
1 + 1
x
obtenemos:
Solución
Resolvamos el denominador de la primera fracción compleja
2
1
x2
=
2x2
1
x2
luego
1
2 1
x2
=
1
2x2 1
x2
=
x2
2x2 1
Ahora resolvemos el denominador de la segunda fracción compleja
1 +
1
x
=
x + 1
x
luego
2
x
1 + 1
x
=
2
x
x+1
x
=
2
x + 1
17
Jolman E. López M.

…nalmente
1
2 1
x2
2
x
1 + 1
x
=
x2
2x2 1
2
x + 1
=
x2
(x + 1) 2 2x2
1
(2x2 1) (x + 1)
=
x3
+ x2
4x2
+ 2
(2x2 1) (x + 1)
=
x3
3x2
+ 2
(2x2 1) (x + 1)
29. El inverso multiplicativo de la fracción algebraica
x2
+ 1
2
(x + y)
(x4 1)
2
(x2 y2)
en su forma más simpli…cada es:
Solución
El invero multiplicativo de esta fracción es sencillamente el recíproco, es
decir
x4
1
2
x2
y2
(x2 + 1)
2
(x + y)
=
x4
1 x4
1 (x + y) (x y)
(x2 + 1) (x2 + 1) (x + y)
=
x4
1 x4
1 (x y)
(x2 + 1) (x2 + 1)
=
x2
+ 1 x2
1 x2
+ 1 x2
1 (x y)
(x2 + 1) (x2 + 1)
= x2
1 x2
1 (x y)
= x2
1
2
(x y)
30. La expresión
2x 1
+ 3y 1
5x 1 7y 1
1
en su forma simpli…cada es:
Solución
18
Jolman E. López M.

2x 1
+ 3y 1
5x 1 7y 1
1
=
5x 1
7y 1
2x 1 + 3y 1
=
5
x
7
y
2
x + 3
y
=
5y 7x
xy
2y+3x
xy
=
5y 7x
2y + 3x
31. Si f (x) = 10
x 1 ; x1 = 1 + 1
k ; x2 = 1 + 1
k2 ; donde k 6= 1; k 2 Z+
; entonces
Solución
f (x) =
10
x 1
! f (x1) =
10
1 + 1
k 1
=
10
1
k
= 10k
f (x) =
10
x 1
! f (x2) =
10
1 + 1
k2 1
=
10
1
k2
= 10k2
luego
f (x1) < f (x2)
32. Supongamos que x1 y x2 son las raíces de la ecuaciòn
ax2
+ bx + c; (a 6= 0)
la expresiòn
1
x2
1
+
1
x2
2
expresada en funciòn de las raíces, es igual a:
Solución
Note antes que todo que la expresiòn puede reescribirse como
1
x2
1
+
1
x2
2
=
x2
2 + x2
1
x2
1 x2
2
( )
19
Jolman E. López M.

La idea fundamental aquì serà calcular tanto numerador como denomiador
por separado y luego realizar la divisiòn.
Toda raíz de una ecuacón cuadrática puede escribirse en la forma
x =
b
p
b2 4ac
2a
Luego para cada raíz dada tenemos
x1 =
b
p
b2 4ac
2a
(2ax1)
2
= b
p
b2 4ac
2
4a2
x2
1 = 2b2
4ac 2b
p
b2 4ac (1)
si consideramos la raíz x1 eventualmente encontraremos al análogo a lo an-
terior, esto es
4a2
x2
2 = 2b2
4ac 2b
p
b2 4ac (2)
Ahora vamos a sumar las expresiones (1) y (2)
4a2
x2
1 = 2b2
4ac 2b
p
b2 4ac
4a2
x2
2 = 2b2
4ac 2b
p
b2 4ac
4a2
x2
1 + x2
2 = 4b2
8ac ( 4)
a2
x2
1 + x2
2 = b2
2ac
Después de todas esas simpli…caciones encontramos que
x2
1 + x2
2 =
b2
2ac
a2
que es precisamente el numerador de ( ) :
Ahora volvamos a considerar nuestra ecuación original ax2
+ bx + c; y en-
contremos su ecuación reducidad dividiéndola toda por a:
ax2
+ bx + c !
a
a
x2
+
b
a
x +
c
a
! x2
+ px + q
20
Jolman E. López M.

con p = b
a y q = c
a ; si x1 y x2 son raíces de la ecuación original, también lo
son de su ecuación reducida. Recordemos que al resolver la ecuación reducida
por factorización encontramos que
x1 x2 = q
x1 + x2 = p
la primera de estas condiciones es lo que necesitamos
x1 x2 = q ! (x1 x2)
2
= q2
(x1 x2)
2
=
c
a
2
! x2
1 x2
2 =
c2
a2
y asì tenemos el denominador de nuestra esxpresión ( ) ; …nalmente
1
x2
1
+
1
x2
2
=
x2
2 + x2
1
x2
1 x2
2
=
b2
2ac
a2
c2
a2
=
b2
2ac
c2
21
Jolman E. López M.

33. Si r + 1
r
2
= 3 entonces r3
+ 1
r3 es igual
Solución. Consideremos el desarrollo de r + 1
r
3
esto es
r +
1
r
3
= 3r +
3
r
+
1
r3
+ r3
= r3
+
1
r3
+ 3 r +
1
r
( )
Ahora consideremos la expresión r + 1
r
3
como sigue
r +
1
r
3
= r +
1
r
2
r +
1
r
la expresión al cuadrado es 3; así, podemos escribir
r +
1
r
3
= 3 r +
1
r
Igualando esta última expresión con ( ) ; resulta
r3
+
1
r3
+ 3 r +
1
r
= 3 r +
1
r
r3
+
1
r3
= 3 r +
1
r
3 r +
1
r
r3
+
1
r3
= 0
34. El valor de la expresión
q
24
p
x4 + y4 es:
Solución. Recordemos que en radicales anidados podemos multiplicar los índices
de los radicales, es decir, n
p
m
p
x = n m
p
x; luego
q
24
p
x4 + y4 = 22
qp
x4 + y4
= 4 4
p
x4 + y4
22
Jolman E. López M.

35. La racionalización del denominador de la expresión
1
x
2
3 y
2
3
da como resultado:
En principio reescribiremos los exponentes racionales como radicales
1
x
2
3 y
2
3
=
1
3
p
x2 3
p
y2
como la expresión a racionalizar es un radical de índice 3, multiplicaremos
numerador y denominador por la expresión
3
p
x4 + 3
p
x2y2 + 3
p
y4; esto es
1
3
p
x2 3
p
y2
=
1
3
p
x2 3
p
y2
3
p
x4 + 3
p
x2y2 + 3
p
y4
3
p
x4 + 3
p
x2y2 + 3
p
y4
=
3
p
x4 + 3
p
x2y2 + 3
p
y4
3
p
x2 3
p
y2 3
p
x4 + 3
p
x2y2 + 3
p
y4
=
3
p
x4 + 3
p
x2y2 + 3
p
y4
x2 y2
=
x
4
3 + x
2
3 y
2
3 + y
4
3
x2 y2
36. La simpli…cación de la expresión
6
q
(x y + z)
2 6
r
1
x y + z
1
4
6
p
x y + z +
p
x y + z 3
p
x y + z
da como resultado:
Solución. Como la expresión no tiene paréntesis, entonces tomamos en cuenta
los ordenes de prioridad, primero división y multiplicación luego suma y
resta.
6
q
(x y + z)
2 6
r
1
x y + z
1
4
6
p
x y + z +
p
x y + z 3
p
x y + z
6
r
1
x y + z
(x y + z)
2 1
4
6
p
x y + z +
6
q
(x y + z)
3 6
q
(x y + z)
2
6
p
x y + z
1
4
6
p
x y + z + 6
p
x y + z
2 6
p
x y + z
1
4
6
p
x y + z
7
4
6
p
x y + z
23
Jolman E. López M.

37. La expresión
n2p
a a33
a53
a(2n 1)3
es igual a:
sugerencia: 13
+ 33
+ + (2n 1)
3
= n2
2n2
1
Solución. La cantidad subradical es un producto de potencias de la misma
base, así que podemos escribir
n2p
a a33
a53
a(2n 1)3
=
n2p
a13+33+ +(2n 1)3
=
n2p
an2(2n2 1)
=
n2
q
a(2n2 1) n2
= a(2n2
1)
38. La raíz quinta de la raíz cuarta de la raíz cuadrada de la raíz cuadrada de
a2
+ b2
es igual a:
Solución. Traducimos del lenguaje ordinario al lenguaje común, y procedemos
anidando las raices hacia atras.
5
s
4
rqp
(a2 + b2) = 80
p
(a2 + b2)
= a2
+ b2
1
80
39. Dadas las ecuaciones 2x + 3y = 4 y 2kx + 3ky = 4k; k 6= 0; el conjunto de
todas las soluciones es:
Solución. La segunda ecuación es múltiplo de la primera en un factor k; así
estas serán rectas paralelas. Luego
2x + 3y = 4
3y = 4 2x
y =
4 2x
3
x; puede tomar valores arbitrarios y los de y están determinados por y =
4 2x
3 : Así, el conjunto solución será x; 4 2x
3 : x 2 R
y = 4 2x
3
24
Jolman E. López M.

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-2
-1
1
2
3
4
x
y
40. El conjunto solución del sistema de ecuaciones es:
jx 1j + jy 5j = 1
y jx 1j = 5
Solución. Recordemos la de…nición de valor absoluto
jaj =
a; si a = 0
a; si a < 0
Debemos considerar entonces los casos positivos y los negativos.
Primero que los valores absolutos sean positivos
(x 1) + (y 5) = 1
y (x 1) = 5
Reduciendo
x + y = 7
y x = 4
resolviendo este sistema por eliminación
2y = 11
y =
11
2
si y = 11
2 ; entonces
x + y = 7
x = 7 y
x = 7
11
2
x =
3
2
25
Jolman E. López M.

sol. 3
2 ; 11
2
La segunda combinación es
jx 1j + jy 5j = 1
(x 1) + (y 5) = 1
x + 1 + y 5 = 1
x + y = 5
Para la segunda ecuación
y jx 1j = 5
y [ (x 1)] = 5
y + x 1 = 5
x + y = 6
Así formamos el sistema de ecuaciones
x + y = 5
x + y = 6
eliminando x; resulta
2y = 11
y =
11
2
si y = 11
2 ; entonces
x + y = 6
x = 6 y
x = 6
11
2
x =
1
2
luego, sol. 1
2 ; 11
2
La solución al sistema original es 3
2 ; 11
2 ; 1
2 ; 11
2 :
41. Hallar tres números, sabiendo que el segundo es mayor que el primero en la
misma cantidad que el tercero es mayor que el segundo, que el producto
de los dos menores es 85 y que el producto de los dos mayores es 115.
Solución. En principio traducimos del lenguaje ordinario al lenjuaje algebraico
26
Jolman E. López M.

x1 : primer número
x2 : segundo número
x3 : tercer número
x2 > x1 y x3 > x2
x2
x1
=
x3
x2
x1 x2 = 85 (1)
x2 x3 = 115 (2)
Teniendo en cuenta todas estas relaciones, resolvemos las ecuaciones. Primero
dividamos las dos ecuaciones
x2 x3
x1 x2
=
115
85
x3
x1
=
23
17
x3 = x1
23
17
( )
Por otro lado consideremos la proporción
x2
x1
=
x3
x2
x2
2 = x1 x3 ( )
Sustituyendo ( ) en ( ) resulta
x2
2 = x1 x1
23
17
x2
2 = x2
1
23
17
x2 = x1
r
23
17
( )
27
Jolman E. López M.

Sustituyendo ( ) en (1)
x1 x2 = 85
x1 x1
r
23
17
!
= 85
x2
1
r
23
17
= 85
x2
1 =
85
q
23
17
x1 =
v
u
u
t
85
q
23
17
x1 = 8:5
Sustituyendo este valor en las ecuaciones (1) y (2) resulta
x1 x2 = 85
(8:5) x2 = 85
x2 =
85
8:5
x2 = 10
x2 x3 = 115
(10) x3 = 115
x3 =
115
10
x3 = 11:5
Sol. (8:5; 10; 11:5)
42. El sistema
kx + y = 1
x + ky = 5
tiene solución única si:
Solución. Recordemos que según la regla de Cramer, un sistema de dos vari-
ables tiene solución única si el determinante de la matriz de coe…cientes
no es cero, esto es
28
Jolman E. López M.

k 1
1 k
6= 0
k 1
1 k
= k2
1 6= 0
k2
1 6= 0, esto obliga a k a tomar valores distintos de 1 y 1:k 6= 1; 1
43. La suma de dos números es 666 y si se divide el mayor entre el menor el
cociente es 5 y el residuo 78. Dichos números son:
x1 : primer número (mayor)
x2 : segundo número (menor)
x1 + x2 = 666 (1)
x1 = 5x2 + 78 (2)
x1 + x2 = 666
x1 5x2 = 78
Resolvemos el sistema por eliminación, multilplicando por ( 1) la ecuación
(2) para eliminar x
x1 + x2 = 666
x1 + 5x2 = 78
6x2 = 588
x2 =
588
6
x2 = 98
Sustituyendo en (2)
x1 5x2 = 78
x1 = 78 + 5x2
x1 = 78 + 5 (98)
x1 = 568
Sol.(568; 98)
29
Jolman E. López M.

44. Si suponemos que el cociente intelectual de Einstein era 170 y si éste se
calcula al dividir la edad mental por la edad cronológica multiplicado por
100, la edad mental de Einstein cuando publicó en 1905 su teoría sobre el
efecto fotoeléctrico era:
Solución. El coe…ciente intelectual (IQ), edad mental (EM) y la edad cronológ-
ica (EC)
IQ =
EM
EC
100
Si publicó su teroría del efecto fotoeléctrico en 1905 y según su biografía
nació en 1879; entonces su edad cronológica era
1905 1879 = 26
Luego,
IQ =
EM
EC
100
EM =
IQ
100
EC
EM =
170
100
26
EM = 44:2
45. Mi hijo es ahora tres veces más joven que yo, pero hace cinco años era
cuatro veces más joven. ¿cuántos años tiene?
x : edad actual del padre
y : edad actual del hijo
Planteamos el sistema
x = 3y
x 5 = 4 (y 5)
Simpli…cando
x 3y = 0 (1)
x 4y = 15 (2)
Resolvemos por eliminación, multiplicando por ( 1) la ecuación (1) para
eliminar x:
30
Jolman E. López M.

x + 3y = 0
x 4y = 15 (2)
y = 15
y = 15
luego, el hijo tiene 15 años.
46. Un grupo de amigos fue a tomar unos refrescos y unas empanadas, y lo
pusieron todo en una cuenta que ascendió a 36 córdobas. Todos iban a
pagar por igual, pero tres de ellos se habían ido, por lo que a cada uno
le tocó pagar 1 córdoba más. ¿cuántas personas conformaban el grupo
original?
Solución. Digamos que x representa el número de personas en el grupo
nx = 36 (n lo consumido por cada uno)
(x 3) (n + 1) = 36 (se van 3 y agregan un córdoba)
Despejemos n de la primera ecuación y sustituimos en la segunda, así
nx = 36 ! n =
36
x
(x 3) (n + 1) = 36 ! (x 3)
36
x
+ 1 = 36
! (x 3)
36
x
+ 1 = 36
! (x 3)
36 + x
x
= 36
! (x 3) (36 + x) = 36x
! 36x + x2
108 3x = 36x
! x2
3x 108 = 0
Llegamos a una ecuación cuadrática, factorizando resulta en
x2
3x 108 = 0
(x 12) (x + 9) = 0
x = 12 _ x = 9
tomamos la solución positiva, así habían 12 personas.
31
Jolman E. López M.

47. Un hombre entró en la cárcel para cumplir una condena. Para que su
castigo fuera más duro no le dijeron cuanto tiempo tendría que estar allí
dentro. Pero el carcelero era un tipo muy decente y el preso le había caído
bien.
Preso:¡vamos! ¿puedes darme una pequeña pista sobre el tiempo que tendré
que estar en este lugar?
Carcelero:¿cuántos años tienes?
Preso: veinticinco
Carcelero: yo tengo cincuenta y cuatro. Dime, ¿qué día naciste?
Preso: Hoy es mi cumpleaños
Carcelero: Increíble. ¡también es el mío!. Bueno, por si te sirve de ayuda te
diré (no es que deba, pero lo haré) que el día que yo sea exactamente el
doble de viejo que tú, ese día saldrás. ¿cuánto tiempo dura la condena del
preso?
Solución.
Digamos que x es la edad del carcelero y y la edad del preso, esto sería
x = 54
y = 25
Luego podemos establecer una relación entre las edades
x y = 54 25
x = 29 + y
recordemos, que el preso saldrá cuando la edad del carcelero sea el doble que
la del preso, es decir
2y = 29 + y
2y y = 29
y = 29
lo que signi…ca que saldrá cuando tenga 29 años, así la condena dura 4 años.
32
Jolman E. López M.

48. La suma de las cuatro raíces de la ecuación ax2
+bx+c = 0 y ax2
bx+c = 0;
con a 6= 0 y b2
4ac > 0 es igual a:
Solución. Las raíces de toda ecuación cuadrática están dadas por
x =
b
p
b2 4ac
2a
Para la primera ecuación las raíces serán
x1 =
b
p
b2 4ac
2a
Para la segunda ecuación, tenemos
x2 =
( b)
p
b2 4ac
2a
Luego la direncia será
x1 + x2 =
b
p
b2 4ac
2a
!
+
b
p
b2 4ac
2a
!
x1 + x2 = 0
49. El número de soluciones de la ecuación x2
5 jxj + 2 = 0; si x 6= 0 es:
solución. Recordando la de…ción de valor absoluto podemos plantear lo sigu-
iente
x2
5x + 2 = 0
x2
+ 5x + 2 = 0
hemos obtenido dos ecuaciones cuadráticas distintas, como cada una tiene 2
soluciones, la ecuación original poseerá 4 soluciones.
50. Si x es un número real distinto de cero, la solución de la proporción jxj
18 =
x 7
12 es:
33
Jolman E. López M.

Solución.
jxj
18
=
x 7
12
12 jxj = 18 (x 7)
12 jxj = 18x 126
12 jxj 18x + 126 = 0
Por la de…nición de valor absoluto, podemos plantear
12x 18x + 126 = 0
12x 18x + 126 = 0
Resolviendo la primera ecuación
12x 18x + 126 = 0
6x + 126 = 0
6x = 126
x =
126
6
x = 21
Para el segundo caso
12x 18x + 126 = 0
30x + 126 = 0
30x = 126
x =
126
30
x =
21
5
Evaluando la primera solución en la proporción resulta
jxj
18
=
x 7
12
j21j
18
=
21 7
12
21
18
=
14
12
21 12 = 18 14
252 = 252
34
Jolman E. López M.

Para la segunda solución se obtiene
21
5
18
=
21
5 7
12
21
40
=
7
30
Lo cuál es falso, así la solución que veri…ca la proporción es x = 21.
51. Daniel y Arturo, dos viejos amigos, vuelve a encontrarse en la calle al cabo
de algunos años. Después de saludarse,
Daniel: ¿cuántos hijos tienes?
Arturo: Tres hijos
Daniel: ¿Qué edades tienen?
Arturo: Tú mismo lo vas a averiguar. El producto de sus edades es 36:
Daniel, después de pensar durante algún tiempo, le dice a Arturo que necesita
más datos.
Arturo: En efecto, la suma de sus edades es igual al número de la casa
que tenemos enfrente, Daniel mira el número de la casa que le indica Arturo
y quedándose pensativo durante un par de minutos. ¡No es posible!- responde,
con lo que me has dicho no puedo conocer las edades de tus hijos. Me falta una
dato más.
Arturo: Perdona Daniel, olvidé decirte que mi hija la mayor toca el piano.
Daniel: En ese caso, ya sé sus edades. ¿Qué edades tienen los hijos de
arturo?
Solución. Primero encontramos todas las triadas que multipliquen 36
1 9 4 = 36
3 3 4 = 36
2 2 9 = 36
2 6 3 = 36
6 6 1 = 36
18 2 1 = 36
12 3 1 = 36
36 1 1 = 36
35
Jolman E. López M.

Ahora sumamos estos números
1 + 9 + 4 = 14
3 + 3 + 4 = 10
2 + 2 + 9 = 13
18 + 2 + 1 = 21
12 + 3 + 1 = 16
36 + 1 + 1 = 38
2 + 6 + 3 = 11
6 + 6 + 1 = 13
¡No es posible!- responde, con lo que me has dicho no puedo conocer las
edades de tus hijos. Está exclamación resulta porque él conoce el número de
la casa, la decisión no se puede tomar porque el número debe ser el número
repetido 2 + 2 + 9 = 13 y 6 + 6 + 1 = 13; luego la mayor toca el piano, esto nos
obliga a elegir (2; 2; 9) :
52. El producto de tres enteros positivos consecutivos es 3360 y su suma es 45.
¿cuál es el mayor de esos tres números?
Solución. Si tenemos tres números consecutivos entonces
x1 : 1er
número
x1 + 1 : 2do
número
(x1 + 1) + 1 : 3er
número
Si su producto es 3360 entonces
(x1) (x1 + 1) (x1 + 2) = 3360
Su suma es 45; es decir
x1 + x1 + 1 + x1 + 2 = 45
3x1 + 3 = 45
3x1 = 45 3
x1 =
42
3
x1 = 14
36
Jolman E. López M.

Luego los número buscados son
x1 = 14
x1 + 1 = 15
x1 + 2 = 16
El mayor desde luego es 16:
53. Un autobús comienza su trayecto con cierto número de pasajeros. En la
primera parada descienden 1
3 de los pasajeros y suben 8: En la segunda
parada descienden 1
2 de los pasajeros que quedan y suben 2 nuevos. En
este momento, el autobús lleva la mitad del número de pasajeros de los que
llevaba al principio del trayecto. ¿cuántos pasajeros habia al principio?
Solución.
Llamemos x al número de pasajeros que había al inicio:
1ra
parada quedan en el bus x 1
3 x + 8 = 2
3 x + 8
2da
parada quedan en el bus
2
3 x+8
2 + 2 = 1
3 x + 6 = x
2
Luego resulta que;
1
3
x + 6 =
x
2
x
2
1
3
x = 6
3x 2x
6
= 6
x = 36
54. En navidad, en cierta empresa todos los empleados se ofrecen regalos. En
esta ocasión las mujeres se han dado mutuamente un regalo, pero los
hombres lo han repartido: La mitad han dado un regalo a sus compañeros
y la otra mitad lo han ofrecido a cada una de sus compañeras. Sabemos
que el doble del número de mujeres excede en 6 al número de hombres. Si
en total se han dado 38 regalos, ¿cuántos empleados tiene la empresa?
37
Jolman E. López M.

Solución.
Llamemos x al número de hombres de la empresa y y al número de mujeres,
luego
Sabemos que el doble del número de mujeres excede en 6 al número de
hombres
2y = x + 6
Si las mujeres se dan un regalo mutuamente signi…ca que una da un regalo a
las demás, excepto a ella misma, así como hay y entonces el número de regalos
que dan las mujeres serán.
y (y 1)
En el caso de los hombres, la mitad han dado un regalo a sus compañeros y
la otra mitad lo han ofrecido a cada una de sus compañeras. La mitad de los
hombres dan un regalo asu compeñero, excepto a si mismo, luego
x
2
(x 1)
La otra mitad da un regalo a las mujeres, cada hombre da un regalo a cada
mujer esto es,
x
2
(y)
La ecuación …nal para los regalos es
y (y 1) +
x
2
(x 1) +
x
2
(y) = 318
resolviendo esta ecuación resulta
y2
y +
x2
2
x
2
+
xy
2
= 318
2y2
2y + x2
x + xy
2
= 318
2y2
2y + x2
x + xy = 636
despejamos x de la primera ecuación
2y = x + 6
x = 2y 6
y sustituimos
2y2
2y + x2
x + xy = 636
2y2
2y + (2y 6)
2
(2y 6) + (2y 6) y = 636
2y2
2y + 4y2
24y + 36 2y + 6 + 2y2
6y = 636
8y2
34y + 42 636 = 0
8y2
34y 594 = 0
4y2
17y 297 =
38
Jolman E. López M.

Aplicando la fórmula general, tenemos
y =
( 17)
q
( 17)
2
4 (4) ( 297)
2 (4)
y =
17
p
289 + 4752
8
y =
17
p
5041
8
y =
17 71
8
y1 =
17 + 71
8
=
88
8
= 11
y2 =
17 71
8
=
54
8
tomamos solución y = 11; para el caso la que tiene sentido, sustituimos esta
en la primera ecuación para encontar x:
x = 2y 6
x = 2 (11) 6
x = 22 6
x = 16
luego la solución es 11 mujeres y 16 varones para un total de 27 personas.
55. Al resolver el sistema de ecuaciones respecto a x e y si (a b) 6= 0; a 6= 0
^ b 6= 0; a 6= b
(a b) x + (a + b) y = 1 (1)
x
a b + y
a+b = 1
a2 b2 (2)
la solución que se obtiene es:
Solución.
Recordemos que a2
b2
= (a + b) (a b) ; luego multiplicamos la ecuación
número (2) por a2
b2
39
Jolman E. López M.

(
(a b) x + (a + b) y = 1
(a2
b2
)x
a b +
(a2
b2
)y
a+b =
1(a2
b2
)
a2 b2
(a b) x + (a + b) y = 1 (1)
(a + b) x + (a b) y = 1 (2)
Ahora multiplicamos la ecuación (1) por [ (a + b)] y la ecuación (2) por
(a b) ; así
[ (a + b)] (a b) x + [ (a + b)] (a + b) y = [ (a + b)]
(a b) (a + b) x + (a b) (a b) y = (a b)
Eliminando resulta
[ (a + b)] (a + b) y = [ (a + b)]
(a b) (a b) y = (a b)
ya2
2yab yb2
= a b
ya2
2yab + yb2
= a b
4yab = 2b
y = 2b
4ab
y = 1
2a
Sustituyendo para encontrar x
(a + b) x + (a b) y = 1
(a + b) x + (a b)
1
2a
= 1
(a + b) x = 1
(a b)
2a
(a + b) x =
2a a + b
2a
(a + b) x =
a + b
2a
x =
1
2a
Así, la solució al sistema es 1
2a ; 1
2a
56. Determinar un entero positivo con los datos siguientes: si se añade un 5 a
la derecha el número resultante es divisible exactamente por un número
que sobrepasa en 3 al buscado, siendo el cociente igual al divisor menos
16.
40
Jolman E. López M.

Solución.
Llamemos x al número buscado, luego añadimos 5 a su derecha y resulta
x5: Ahora vamos a escribir estos número en su representación decimal (con dos
dígitos, de no resultar debe de seguirse con tres dígitos y así).
x = a1 10 + a0
x5 = a1 102
+ a0 10 + 5
Usando el algoritmo de la división (p = q k + r) resulta que:
a1 102
+ a0 10 + 5 = (a1 10 + a0 + 3) (a1 10 + a0 13)
= a2
0 + 20a0a1 10a0 + 102
a2
1 102
a1 39
= 102
a1 (a1 1) + 10a0 (2a1 1) + a2
0 39
a1 102
+ a0 10 + 5 = 102
a1 (a1 1) + 10a0 (2a1 1) + a2
0 39
Segúnn este desarrollo decimal podemos igualar los sumandos, así
a1 102
= 102
a1 (a1 1)
1 = a1 1
a1 = 2
a0 10 + 5 = 10a0 (2a1 1) + a2
0 39
a0 10 + 5 = 10a0 (2 (2) 1) + a2
0 39
a0 10 + 5 = 40a0 10a0 + a2
0 39
a0 10 + 5 = 30a0 + a2
0 39
a2
0 + 20a0 44 = 0
(a0 + 22) (a0 2) = 0
a0 = 22 _ a0 = 2
Para a0 tomamos el valor positivo así el número buscado es
x = a1 10 + a0
x = (2) 10 + 2
x = 20 + 2
x = 22
41
Jolman E. López M.

La solución de mayor valor numérico de la ecuación jxj + x3
= 0 es:
Aplicando las propiedades del valor absoluto, podemos escribir para esta
ecuación los casos que siguen:
jxj + x3
= 0
x3
= jxj
x3
= x ó x3
= ( x)
Resolviendo la primera ecuación
x3
= x
x3
+ x = 0
x x2
+ 1 = 0
x = 0 _ x2
+ 1 = 0
nótese que la ecuación x2
+ 1 = 0 no tiene solución en los números reales.
Para el segundo casos tenemos
x3
= ( x) = x
x3
x = 0
x(x2
1) = 0
x = 0 _ x2
1 = 0
Resolviendo la ecuación x2
1 = 0;
x2
= 1
x = 1 _ x = 1
Luego las soluciones de la ecuación original son: 1 y 0; luego la solución
de mayor valor numérico es 0:
42
Jolman E. López M.

58. Para que la ecuación x2
2x + k = 0 ( ) no tenga solución en R debe
cumplirse que:
Aplicando la fórmula general para esta ecuación tenemos
x =
( 2)
q
( 2)
2
4 (1) (k)
2
x =
2
p
4 4k
2
x =
2
p
4(1 k)
2
x =
2 2
p
(1 k)
2
x = 1
p
(1 k)
Luego analizando el discriminante
p
(1 k); resulta que para que la ecuación
( ) no tenga solución debe ser k > 1; así
p
(1 k) =2 R:
59. Si los valores de R1; R2 y R3 representan resistencias en ohmios, al calcular
el recíproco de R2 utilizando la ecuación 1
R = 1
R1
+ 1
R2
+ 1
R3
se obtiene:
Se trata de despejar 1
R2
de la expresión para la resistencia, así
1
R
=
1
R1
+
1
R2
+
1
R3
1
R2
=
1
R
1
R1
1
R3
60. Una solución irracional de la ecuación
x2
+ 1 2x2
8 x2
(x 2:5) = 0
es:
Recordemos que un número irracional es aquel que no puede expresarse
como un cociente indicado de dos números enteros, luego las soluciones de esta
ecuación serán:
x2
+ 1 = 0
x2
= 1
x =
p
1
43
Jolman E. López M.

las cuales son soluciones imaginarias en los números complejos.
2x2
8 = 0
2x2
= 8
x2
=
8
2
x2
= 4
x =
p
4
x = 2
las cuales son soluciones reales.
x2
= 0
x2
=
x2
=
x =
p
las cuales son raices irracionales, puesto que es irracional.
x 2:5 = 0
x = 2:5
la cual es una solución racional.
Por lo tanto una solución irracional es
p
:
61. Calcular los valores de x en la siguiente ecuación de segundo grado.
1
2b
x a
=
a2
b2
a2 + x2 2ax
Primero simpli…camos la expresión
a2
b2
x2 2ax + a2
+
2b
x a
= 1
a2
b2
(x a)
2 +
2b
x a
= 1
a2
b2
+ 2b (x a)
(x a)
2 = 1
a2
b2
+ 2b (x a) = (x a)
2
a2
b2
+ 2bx 2ba = x2
2ax + a2
x2
2ax 2bx + b2
+ 2ab = 0
x2
(2a + 2b) x + b2
+ 2ab = 0
44
Jolman E. López M.

En este punto aplicamos la fórmula general para ecuaciones cuadráticas
x =
(2a + 2b)
q
[ (2a + 2b)]
2
4 (1) (b2 + 2ab)
2
x =
(2a + 2b)
p
4a2 + 8ab + 4b2 4b2 8ab
2
x =
(2a + 2b)
p
4a2
2
x =
(2a + 2b) 2a
2
x = a + b a
separando las raices resulta que
x1 = 2a + b ^ x2 = b
62. Determinar la ecuación de segundo grado cuyas raíces sean los cubos de las
de x2
+ 2x 8:
Resolviendo esta ecuación por factorización tenemos.
x2
+ 2x 8 = (x + 4) (x 2)
(x + 4) (x 2) = 0
(x + 4) = 0 _ (x 2) = 0
x1 = 4 _ x2 = 2
x3
1 = 64 _ x3
2 = 8
Luego la ecuación buscada debe tener por raíces a 64 y 8:
Consideremos la forma de una ecuación cuadrática factorizable
x2
+ bx + c = 0
sabemos que puede escribirse en la forma de dos productos lineales
(x + m) (x + n) = 0
45
Jolman E. López M.

donde n y m tienen las propiedades siguientes
m n = c
m + n = b
si 64 y 8 son soluciones de una ecuación cuadrática, entonces podemos escribir
( 64) (8) = 512
[( 64) + (8)] = 56
así, la ecuación buscada es
x2
+ 56x 512:
63. El número -1 es solución de la ecuación de segundo grado 3x2
+ bx + c = 0:
Si los coe…cientes b y c son números primos, el valor de 3c b es:
Si 1 es solución de la ecuación 3x2
+ bx + c = 0; entonces
3 ( 1)
2
+ b ( 1) + c = 0
3 b + c = 0
c b = 3
b c = 3
entonces se trata de encontrar dos números primos cuya diferencia sea 3; por
inspección podemos elegir b = 5 y c = 2; ambos primos y además 5 3 = 2;
luego
3c b = 3 (2) 5
= 6 5
= 1
46
Jolman E. López M.

64. Cada letra representa un número en el siguiente arreglo. La suma de cua-
lesquiera tres números consecutivos es 18. ¿cuánto vale H?
3 B C D E 8 G H I
Podemos plantear las siguientes relaciones
3 + B + C = 18
de donde
B + C = 15
Luego
B + C + D = 18
15 + D = 18
D = 18 15
D = 3
siguiendo el mismo argumento
D + E + 8 = 18
3 + E = 18 8
E = 10 3
E = 7
para las siguientes tres letras
E + 8 + G = 18
7 + 8 + G = 18
G = 18 15
G = 3
y …nalmente
8 + G + H = 18
8 + 3 + H = 18
H = 18 11
H = 7
47
Jolman E. López M.

65. El conjunto de las soluciones positivas de la inecuación jx + 5j < 4 es:
Recordemos la siguiente propiedad del valor absoluto
jaj < b () b < a < b
aplicando esta propiedad tenemos
jx + 5j < 4 () ( 4) < x + 5 < 4
4 < x + 5 < 4
4 5 < x + 5 5 < 4 5
1 < x < 9
sol: ( 1; 9)
nótese que este conjunto solución no satisface a la inecuación original, basta
con tomar un valor de prueba, digamos k = 3; al evaluar resulta
jx + 5j < 4
j 3 + 5j < 4
j2j < 4
2 < 4
lo que es absurdo, luego el conjunto solución de la inecuación es el conjunto
vacío, :
66. Hallar un número de dos cifras sabiendo que el número de unidades excede
en dos el número de decenas y que el producto del número deseado por la
suma de sus dígitos es 144.
Sabemos que es un número de dos cifras, escibamos su desarrollo decimal
10x + y
donde x es el número de las decenas y y el de las unidades. Como el número de
las unidades excede en dos al de las decenas, entonces
y x = 2 (1)
por otro lado, si el producto del número deseado por la suma de sus dígitos es
144, entonces
(10x + y) (x + y) = 144 (2)
podemos emplear la ecuación (1) y reducir términos
y x = 2
y = 2 + x
48
Jolman E. López M.

sustituimos en la ecuación (2)
(10x + y) (x + y) = 144
(10x + (2 + x)) (x + (2 + x)) = 144
(11x + 2) (2x + 2) = 144
22x2
+ 26x + 4 = 144
22x2
+ 26x 140 = 0 (3)
Resolvemos la ecuación (3) usando la fórmula general para ecuaciones cuadráti-
cas
x =
26
q
(26)
2
4 (22) ( 140)
2 (22)
x =
26
p
676 + 12320
44
x =
26
p
12996
44
x =
26 114
44
x1 =
26 + 114
44
= 2
x1 =
26 114
44
=
35
11
tomamos para x el valor entero y positivo, 2; y lo sustituimos en la ecuación (1)
y x = 2 (1)
y 2 = 2
y = 2 + 2
y = 4
Así el número buscado es
10x + y = 10 (2) + 4 = 20 + 4 = 24
49
Jolman E. López M.

67. Si x < y y z es un número real diferente de cero, entonces la proposiciòn
falsa es:
a) ( z)
2
x < ( z)
2
y b) 1 + z2
x < 1 + z2
y c) z2
x > z2
y d) 1
z2 x < 1
z2 y
Nótese que en el inciso c) z está al cuadrado, así que este valor (z2
) siempre
será positivo, luego
x < y; z2
> 0
entonces por propiedades de las desigualdades se cumple que
z2
x < z2
y
de donde c) resulta der falsa.
68. Si x > 1; entonces se cumple que:
a)
p
x2 + x + 4 > x + 2 b)
p
x2 + x + 4 = x + 2 c)
p
x2 + x + 4 < x + 2 d) x = 0
Tomando a) y eliminando el radical obtenemos
p
x2 + x + 4
2
> (x + 2)
2
x2
+ x + 4 > x2
+ 4x + 4
x > 4x
como x > 1 esto no puede ser.
Tomando b) y eliminando el radical obtenemos
p
x2 + x + 4
2
= (x + 2)
2
x2
+ x + 4 = x2
+ 4x + 4
x = 4x
por el mismo razonamiento b) tampoco es posible.
Del mismo modo para c)
p
x2 + x + 4
2
< (x + 2)
2
x2
+ x + 4 < x2
+ 4x + 4
x < 4x
Gracias a la condición x > 1; c) si es posibles. Evidentemente d) es absurdo.
50
Jolman E. López M.

69. Si 0 < x < 1, entonces se cumple la relación
a) 1
x < 1 b) 1
x > 1
x2 c) 1
1+x+x2 < 1
1+x d) 1
x = 1
x2
Partiendo de la desigualdad dada como hipótesis tenemos
0 < x < 1
x2
< x
1 + x2
< 1 + x
al agregar x sólo al lado izquierdo de la desigualdad, entonces el signo se invierte
1 + x + x2
> 1 + x
luego tenemos que
1 + x + x2
1 + x + x2
>
1 + x
1 + x + x2
1 >
1 + x
1 + x + x2
1
1 + x
>
1 + x
1 + x + x2
1
1 + x
1
1 + x
>
1
1 + x + x2
o
1
1 + x + x2
<
1
1 + x
51
Jolman E. López M.

70. Al resolver la ecuación
p
2
p
2 + x = x; se obtiene que el valor de x es:
Primero eliminamos los radicales de la ecuación
q
2
p
2 + x
2
= x2
2
p
2 + x = x2
p
2 + x
2
= x2
2
2
x + 2 = x4
4x2
+ 4
x4
4x2
x + 2 = 0
De lo que resulta una ecuación de cuarto grado.
Tengamos presente el siguiente teorema
Theorem 3 Si el polinomio
f(x) = anxn
+ an 1xn 1
+ an 2xn 2
+ + a0
tiene coe…cientes enteros y c=d es un cero racional de f(x) tal que c y d no
posean un factor primo común, etonces i) el denominador c del cero es un
factor común del término constante a0, ii) el denominador d del cero es un
factor del coe…ciente inicial an:
Para la ecuación que nos ocupa tenemos
opciones para el denominador c 1; 2
opciones para el numerador d 1
opcines para c=d 1; 2
Al efectual la división por el factor x + 1; resulta la descomposición
x4
4x2
x + 2 = x3
x2
3x + 2 (x + 1) = 0
x3
x2
3x + 2 (x + 1) = 0
de donde una raiz de la ecuación es
x + 1 = 0
x = 1
de forma análoga resolvemos la ecuación cúbica
x3
x2
3x + 2 = 0
52
Jolman E. López M.

al dividir por el factor x 2; resulta la descomposición
x2
+ x 1 (x 2) = 0
de donde otra raiz es
x 2 = 0
x = 2
…nalmente resolvemos la ecuación cuadrática
x2
+ x 1 = 0
x =
1
p
12 4 (1) ( 1)
2 (1)
x =
1
p
5
2
x1 =
1 +
p
5
2
=
1
2
+
p
5
2
x2 =
1
p
5
2
=
1
2
p
5
2
53
Jolman E. López M.

1 Funciones Reales
1. Al evaluar la función lineal f(x) = 2
3 x + 1
2 en x = 3
4 se obtiene que
f(x) es.
a) 1
2 b) 1 c) 7
6 d) 0
Solution 1
Sustituimos el valor de x en la función dada:
f(
3
4
) =
2
3
(
3
4
) +
1
2
=
1
2
+
1
2
= 1
R. b)
2. Los interceptos de la función lineal f(x) = 2x 6 con el eje x y con el eje y;
1. respectivamente, son los puntos:
a) (0; 6) y (3; 0) b) (0; 6) y ( 3; 0) c) (0; 0) y (3; 6) d) (3; 0) y (0; 6)
Solution 2
Para los interceptos con el eje x, hacemos y = 0; en la función dada:
0 = 2x 6
2x = 6
x =
6
2
x = 3
Así el punto es (3; 0)
Para los interceptos con el eje y; hacemos x = 0; en la función dada:
y = 2(0) 6
y = 0 6
y = 6
El punto es (0; 6)
Los puntos de intercepción son: (3; 0) y (0; 6)
R. a)
1
Jolman Enrique López
José A. Siles R.
José A. Siles R.
Gerardo Manuel García
Grupo Matagalpino e Matemáticas "Los Karamazov"Grupo Matagalpino de Matemáticas "Los Karamazov"

3. La preimagen de y = 3, bajo la función f(x) = 7 3x es:
a) x = 10
3 b) x = 3
10 c) x = 10
3 d) x = 0
Solution 3
Sustituimos el valor de y en la ecuación dada:
3 = 7 3x
3x = 7 + 3
3x = 10
x =
10
3
R. a)
4. La regla de asignación de la función que pasa por los puntos ( 1; 3) y (2; 8)
es:
a) f(x) = 2
3 x 11
3 b) f(x) = 11
3 x + 2
3 c) f(x) = 2x 11 d) f(x) = 11
3 x + 2
3
Solution 4
La regla de asignación es dada por: f(x) = mx+b; donde m es la pendiente,
así:
m =
y2 y1
x2 x1
m =
8 ( 3)
2 ( 1)
m =
8 + 3
2 + 1
m =
11
3
Ahora hallamos el valor de b, utilizando el punto (2; 8), así:
f(x) = mx + b
8 =
11
3
(2) + b
b = 8
22
3
b =
24 22
3
b =
2
3
2
Grupo Matagalpino De Matemáticas "Los Karamazov"
José A. Siles R.
Grupo Matagalpino de Matemáticas "Los Karamazov"
José A. Siles R.

La regla de asignación es: f(x) = 11
3 x + 2
3
R. d)
5. En cálculo de interés simple, la cantidad devengada S es una función lineal
de tiempo medido en años S = P(1+rt): Si el capital es P = C$1000 y la
tasa anual de interés es r = 4%; entonces la cantidad devengada S pasado
15 años es:
a) $61000 b) $1600 c) $7000 d) $16000
Solution 5
Sustituimos los valores dados en la función: S = P(1 + rt)
S = 1000 [1 + (0:04)(15)]
S = 1000(1 + 0:6)
S = (1000)(1:6)
S = 1600
R. b)
6. Sea h una función lineal tal que h( 2) = 5 y h(6) = 3; la función h(x); donde
x es cualquier número real está de…nida por:
a) h(x) = 5x + 3 b) h(x) = 9
2 x + 1
4 c) h(x) = 2x + 6 d) h(x) = 1
4 x + 9
2
Solution 6
Según los datos, tenemos dos puntos: A( 2; 5) y B(6; 3);la función buscada
es del tipo f(x) = mx + b: Hallamos el valor de m :
m =
3 5
6 ( 2)
m =
2
6 + 2
m =
2
8
m =
1
4
3
José A. Siles R.
José A. Siles R.

Ahora hallamos el valor de b, usando el punto: B(6; 3) :
b = f(x) mx
b = 3 (
1
4
)(6)
b = 3 +
3
2
b =
6 + 3
2
b =
9
2
La función es de…nida por: f(x) = 1
4 x + 9
2
R. d)
7. Se f una función de números tal que f(2) = 3; y f(a + b) = f(a) + f(b) + ab;
8a; b:Entonces, f(11) es igual a:
a) 22 b) 33 c) 44 d) 66
Solution 7
Utilizando los datos dados, hallamos el valor de f(4):
f(4) = f(2 + 2)
f(4) = f(2) + f(2) + (2)(2)
f(4) = 3 + 3 + 4
f(4) = 10
Ahora hallamos el valor de f(6) :
f(6) = f(4 + 2)
f(6) = f(4) + f(2) + (4)(2)
f(6) = 10 + 3 + 8
f(6) = 21
Ahora hallamos el valor de f(10) :
f(10) = f(6 + 4)
f(10) = f(6) + f(4) + (6)(4)
f(10) = 21 + 10 + 24
f(10) = 55
Para hallar f(11); debemos encontrar el valor de f(1);así:
4
José A. Siles R.
José A. Siles R.

f(2) = f(1) + f(1) + (1)(1)
3 = 2f(1) + 1
3 1 = 2f(1)
2 = 2f(1)
f(1) =
2
2
f(1) = 1
Así:
f(11) = f(10) + f(1) + (10)(1)
f(11) = 55 + 1 + 10
f(11) = 66
R. d)
8. Para niños entre 6 y 10 años de edad, la estatura y (en pulgadas) es fre-
cuentemente una función lineal de la edad t (en años). Si la estatura de
cierto infante es de 48 pulgadas a los 6 años de edad y 50:5 pulgadas a los
7; entonces al expresar y como función de t; se obtiene:
a) y(t) = 33 2:5t b) y(t) = 2:5t + 33 c) y(t) = 33t 2:5 d) y(t) = 2:5t 33
Solution 8
Por los datos dados, la función buscada es del tipo: y(t) = mx+b; y además
nos dan dos puntos: A(6; 48) y B(7; 50:5): Hallamos el valor de m :
m =
50:5 48
7 6
m = 2:5
Usamos el punto A(6; 48), para hallar el valor de b :
y(t) = mx + b
48 = (2:5)(6) + b
48 = 15 + b
b = 48 15
b = 33
La función buscada es y(t) = 2:5t + 33
R. b)
5
José A. Siles R.
José A. Siles R.

9. Sabiendo que f(0) = 1 y f(1) = 0; determine la función lineal f(x) y el área
acotada por dicha función y los ejes X; Y:
a) f(x) = x 1; 2u2
b) f(x) = x 1; 0:25u2
c) f(x) = x + 1; 0:5u2
d) f(x) = x + 1; 2u2
Solution 9
La función buscada es del tipo: f(x) = mx + b; según los datos tenemos los
puntos: A(0; 1) y B(1; 0); hallando m :
m =
0 1
1 0
m =
1
1
m = 1
Hallando el valor de b usando el punto: A(0; 1) :
y = mx + b
1 = ( 1)(0) + b
1 = b
La función buscada es: f(x) = x + 1
Los puntos de intersección de la recta con los ejes son: A(0; 1) y B(1; 0);
formando un triángulo de base 1u:
Así:
A =
1
2
bxh
A =
1
2
(1)(1)
A =
1
2
u2
R. c)
6
José A. Siles R.
José A. Siles R.

10. Al evaluar la función cuadrática f(x) = 2
3 x2
+ 1
2 en x = 3
4 se obtiene
que su imagen vale:
a) 1
2 b) 1 c) 1
8 d) 1
4
Solution 10
Sustituimos el valor de x en la función dada:
f(
3
4
) =
2
3
3
4
2
+
1
2
f(
3
4
) =
2
3
9
16
+
1
2
f(
3
4
) =
3
8
+
1
2
f(
3
4
) =
3 + 4
8
f(
3
4
) =
1
8
R. c)
11. Los interceptos de la función cuadrática g(x) = x2
6x 5 con el eje x
y con el eje y; respectivamente, son los puntos:
a) ( 1; 0) y ( 5; 0) b) (1; 0) y (5; 0) c) (0; 0) y ( 1; 5) d) (3; 0) y (1; 5)
Solution 11
Interceptos con el eje x, hacemos y = 0
0 = x2
6x 5
x2
+ 6x + 5 = 0
(x + 5)(x + 1) = 0
x + 5 = 0 ! x = 5
x + 1 = 0 ! x = 1
Los interceptos en el eje x son: ( 1; 0) y ( 5; 0)
Interceptos con el eje y, hacemos x = 0:
y = (0)2
6(0) 5
y = 0 0 5
y = 5
El intercepto con el eje y es en (0; 5)
7
José A. Siles R.
José A. Siles R.

12. El dominio y el rango de la función cuadrática f(x) = 2x2
+6 son respec-
tivamente:
a) R y ( 2; 6) b) R y ( 1; 6] c) ( 2; 0) y ( 1; +1) d) [ 6 ; +1) y [ 2 + 1)
Solution 12
La grá…ca de la función f(x) = 2x2
+ 6; es como se muestra:
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-10
-5
5
10
x
y
Vemos que su dominio es todo R.
Para el rango debemos hallar el valor de k = f(x); el cual tiene como abscisa
x = 0; por lo cual:
y = 2(0)2
+ 6
y = 0 + 6
y = 6
Así, el rango es: ( 1; 6]
R. b)
8
José A. Siles R.
José A. Siles R.

13. Dada la función f(x) = ax2
+ bx + c; el valor de f( b
2a ) es:
a) c b2
4a b) c2 b2
4a c) c b2
4a d) c + b2
4a
Solution 13
Evaluamos b
2a en la función dada:
f(x) = ax2
+ bx + c
f
b
2a
= a
b
2a
2
+ b
b
2a
+ c
f
b
2a
= a
b2
4a2
b2
2a
+ c
f
b
2a
=
b2
4a
b2
2a
+ c
f
b
2a
=
b2
2b2
+ 4ac
4a
f
b
2a
=
b2
+ 4ac
4a
f
b
2a
=
b2
4a
+
4ac
4a
f
b
2a
= c
b2
4a
R. c)
14. Dada las parábolas x2
3x + 1 y x2
+ 2x + 7; la distancia entre el punto
mínimo y máximo de dichas curvas es:
a) 8:2345 b) 9:2635 c) 7:2635 d) 8:2635
Solution 14
Los puntos pedidos en las curvas son los vértices. Las coordenadas de éstos
están dadas por h = b
2a y k = f(h):
Así para x2
3x + 1; h1 y k1 valen:
h1 =
( 3)
2(1)
=
3
2
k1 =
3
2
2
3
3
2
+ 1
k1 =
9
4
9
2
+ 1
k1 =
9 18 + 4
4
k1 =
5
4
9
José A. Siles R.
José A. Siles R.

El vértice de esta función es: V1(3
2 ; 5
4 )
Ahora hallamos h2 y k2 para x2
+ 2x + 7 :
h2 =
2
2( 1)
= 1
k2 = (1)2
+ 2(1) + 7
k2 = 1 + 2 + 7
k2 = 8
El vértice de esta función es: V2(1; 8)
Hallamos la distancia entre éstos dos puntos:
d(V1; V2) =
p
(x2 x1)2 + (y2 y1)2
d(V1; V2) =
s
(1
3
2
)2 + 8 (
5
4
)
2
d(V1; V2) =
s
2 3
2
2
+
32 + 5
4
2
d(V1; V2) =
s
1
2
2
+
37
4
2
d(V1; V2) =
r
1
4
+
1369
16
d(V1; V2) =
r
4 + 1369
16
d(V1; V2) =
r
1373
16
d(V1; V2) 9:2635
R. b)
15. Las funciones lineales de…nidas por f1(1) = 0; f1(0) = 1 y f2( 1) = 0;
f2(0) = 1; forman un triángulo isósceles con el eje X: El área de dicho
triángulo es:
a) 1:25u2
b) 0:75u2
c) 1u2
d) 1:5u2
Solution 15
Las coordenadas según f1(1) = 0; f1(0) = 1 y f2( 1) = 0; f2(0) = 1: Son
los puntos: A(1; 0); B(0; 1) y C( 1; 0); (0; 1)
El triángulo que forman los puntos obtenidos con el eje X, tiene como base
2u y altura 1u:
10
José A. Siles R.
José A. Siles R.

Entonces:
A =
b h
2
A =
(2u)(1u)
2
A = 1u2
R. c)
16. Las preimágenes de y = 5 bajo la función f(x) = x2
4x 1 son:
a) x = 8
p
10 b) x = 4
p
10 c) x = 2
p
10 d) x = 1
p
10
Solution 16
Evaluamos y = 5 en la función: y = x2
4x 1
5 = x2
4x 1
x2
4x 6 = 0
x1;2 =
( 4)
p
( 4)2 4(1)( 6)
2(1)
x1;2 =
4
p
16 + 24
2
x1;2 =
4
p
40
2
x1;2 =
4 2
p
10
2
x1;2 = 2
p
10
R. c)
17. La expresión funcional de la parábola que pasa por los puntos ( 3; 20); ( 1; 4)
y (2; 5) es:
a) f(x) = 3x2
x + 5 b) f(x) = 3x2
+ 5x 1
c) f(x) = x2
4x 1 d) f(x) = 4x2
+ 2
3
11
José A. Siles R.
José A. Siles R.

Solution 17
La expresión funcional de una parábola es de la forma: y = ax2
+ bx + c
Con base en los puntos dados obtenemos el sistema de tres ecuaciones con
tres incógnitas. Resolvemos:
8
<
:
9a 3b + c = 20 (1)
a b + c = 4 (2)
4a + 2b + c = 5 (3)
8
<
:
9a 3b + c = 20
a b + c = 4
6b 3c = 21
Eliminando a
8
<
:
a b + c = 4
9a 3b + c = 20
6b 3c = 21
Ordenando
8
<
:
a b + c = 4
6b 8c = 16
6b 3c = 21
Eliminando a
8
<
:
a b + c = 4
6b 8c = 16
5c = 5
Eliminando b
De lo anterior se puede ver que c = 5
5 = 1, y
6b 8c = 16
6b 8( 1) = 16
6b + 8 = 16
6b = 16 8
6b = 24
b =
24
6
= 4
a b + c = 4
a ( 4) + ( 1) = 4
a + 4 1 = 4
a + 3 = 4
a = 4 3
a = 1
La expresión buscada es:
y = (1)x2
+ ( 4)x + ( 1)
y = x2
4x 1
R. c)
12
José A. Siles R.
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