Matemática ciencia Base de las demás ciencias.

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Desigualdades
Inecuaciones Intervalos
Por: Segundo Silva Maguiña
C.I.
Sigma

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Desigualdades e Inecuaciones
1. Concepto:
Es una relación que nos indica que la cantidad o expresión es mayor o
menor que otra. Estas se establecen sólo en el campo de los números
reales.
2. Signos de la Relación:
Los signos que se utilizan para representar una desigualdad, son:
3. Axiomas de Desigualdad:
Si: a, b y c son tres números reales, tendremos.
a) Ley de tricotomía:
Dados a ∧ b, sólo se podrá establecer entre una de las siguientes
relaciones:
b) Ley aditiva:
Dados a, b ∧ c se tiene que:
c) Ley transitiva:
Dados a, b ∧ c tal que:
d) Ley multiplicativa:
Aquí se pueden distinguir dos cosas:

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Recta Numérica
Propiedades de las Desigualdades
1) Si a los dos miembros de una desigualdad se suma o resta una misma
cantidad, el sentido de la desigualdad no varía.
2) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por
una misma cantidad positiva, el sentido de la desigualdad no varía.
3) Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por
una misma cantidad negativa, el sentido de la desigualdad se invierte.
4) Si de tres cantidades, la primera es mayor que la segunda y la segunda
mayor que la tercera, entonces la primera es mayor que la tercera.
5) Si se suman miembro a miembro dos o varias desigualdades del mismo
sentido, como resultado se obtiene una desigualdad del mismo sentido.
6) Si se restan miembro a miembro dos desigualdades de sentido
contrario, como resultado se obtiene una desigualdad del mismo
sentido que la desigualdad minuendo.
7) Si se multiplican miembro a miembro dos o varias desigualdades del
mismo sentido cuyos miembros son positivos, como resultado se
obtiene una desigualdad del mismo sentido.
8) Si tenemos la expresión.
9) Si se dividen miembro a miembro dos desigualdades de sentido
contrario, cuyos miembros son positivos como resultado se obtiene una
desigualdad del mismo sentido que la desigualdad dividendo.

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10) Si los dos miembros de una desigualdad se elevan a una misma
potencia de grado impar, el sentido de la desigualdad no varía.
11) Si se eleva a una misma potencia par, los miembros de una
desigualdad en la cual sus dos miembros son negativos, se obtiene una
desigualdad de sentido contrario.
12) Si a los dos miembros de una desigualdad se extrae una misma raíz de
grado impar, el sentido de la desigualdad no varía.
13) Si se eleva a una misma potencia par a los miembros de una
desigualdad en la cual uno de sus miembros es positivo y el otro
negativo, no se puede predecir el sentido que tiene el resultado.
Intervalos
1. Concepto:
Es aquel subconjunto de los números reales definiéndoseles como aquel
conjunto de valores comprendido entre dos límites, llamado límite superior
o supremo y límite inferior o ínfimo.
2. Clases de Intervalos:
a) Intervalo abierto:
Se caracteriza porque es un intervalo en el cual no se considera a los
extremos, se denota así: 〈 〉 ó] [

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b) Intervalo cerrado:
Es aquel intervalo en el cual se considera a los extremos, se denota
así: []
Ejemplo:
Resolver la inecuación:
Solución
C.D. = 30 cantidad (+)
Multiplicando ambos miembros por 30, el sentido de la desigualdad no se altera.
Dividiendo entre (–3), el sentido de la desigualdad se invierte:
Graficando:
Conjunto Solución:
3. Inecuaciones de Segundo Grado:
La Forma general de las inecuaciones de segundo grado es:

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4. Criterios a Seguir para Resolver este Tipo de Inecuaciones:
a) El coeficiente principal debe ser positivo y la inecuación debe estar reducida
de modo que en el segundo miembro figure el cero.
b) El primer miembro debe estar factorizado, luego se iguala cada factor a cero,
para de esta manera encontrar los puntos críticos.
c) Se ubican dichos puntos encontrados sobre la recta numérica (puntos
críticos).
d) Se asigna el signo (+) al último intervalo y después en los demás intervalos de
variación se alternan los signos (–), (+), (–), (+), …. de derecha a izquierda.
e) La solución de la inecuación estará dada por las zonas positivas si el sentido
de la desigualdad es (>) o por las zonas negativas si el sentido de la
desigualdad es (<).
Ejemplo:
Resolver la inecuación:

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Trabajo Domiciliario

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Resolver las siguientes desigualdades
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El esfuerzo con el estudio de hoy, se colmará con éxito en el mañana