Divisibilidad de Números Naturales Enteros

Divisibilidad Por: Segundo Silva Maguiña
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Divisibilidad
❖ Por:
Segundo Silva Maguiña
C.I.
Sigma

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¿Qué es un Divisor?
Divisor, de un número entero “A”, es cualquier otro entero “B” tal que la
división es exacta. Por ejemplo, 9 es divisor de 36 porque la división
36 ÷ 9 = 4 es exacta.
Entonces podemos decir que un número “B” es divisor de “A”, cuando
“B” esta, contenido en “A” en una cantidad entera y exacta de veces.
Ejemplo:
Los divisores del número 40 son: 1; 2; 4; 5; 8; 10; 20 y 40.
¿Qué es un Múltiplo?
Múltiplo, de un número entero, “B”, es otro número “A”, tal que A = B x
C, para algún entero “C”. Así, 45 es múltiplo de 15 porque 45 = 15 x 3.
En otras palabras “A” es múltiplo de “B” cuando al dividir “A” entre “B”
el cociente es un número entero y no deja residuo.
Ejemplo:
• 40 es múltiplo de 8 por que 40 lo contiene a 8, cinco veces.
• 60 es múltiplo de 10 por que 60 lo contiene a 10, seis veces.
Notación:
Sucesión de Múltiplos:
Los múltiplos de un número se obtienen multiplicándolo por los
sucesivos números naturales y por sus opuestos, ±1, ±2, ±3… Por
tanto, cualquier número tiene infinitos múltiplos.
Por ejemplo:
La relación “A es múltiplo de B” se puede expresar así:
“B es divisor de A”
“B divide a A”
“A es divisible por B”

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Observaciones:
• Todo número es múltiplo de sí mismo.
• Ningún número es múltiplo de cero.
• Cero es múltiplo de cualquier número excepto de sí mismo.
Operaciones con Múltiplos:
En las operaciones con múltiplos de un mismo módulo, se cumple:
Criterios de Divisibilidad
Los criterios de divisibilidad nos sirven para determinar si un número
es múltiplo de otro de una manera rápida y práctica, técnica por la que
se puede comprobar de forma rápida, cómoda y casi siempre
mentalmente, si un número es divisible por otro. Los más conocidos
tenemos:
1. Divisibilidad por 2 ó múltiplos de 2:
Un número es múltiplo de 2 cuando termina en cifra cero o par, como:
Ejemplo:

4
Un número es múltiplo de 3 cuando la suma de sus cifras es un
múltiplo de 3, como:
Ejemplo:
Un número es múltiplo de 4 cuando el número que forman las dos
últimas cifras del número es un múltiplo de 4. Como:
Un número es múltiplo de 5 cuando la última cifra del número es cero
o 5. Como:
Ejemplo:
Un número es múltiplo de 8 cuando el número que forman las tres
últimas cifras del número es un múltiplo de 8. Como:
Ejemplo:

5
Un número es múltiplo de 9 cuando la suma de sus cifras es múltiplo
de 9. Como:
Ejemplo:
Un número es múltiplo de 11 cuando la suma de sus cifras que están
en orden impar menos la suma de sus cifras que están en orden par
resulta cero o múltiplo de 11. Como:
Ejemplo:
Un número es múltiplo de 7 cuando al multiplicar a sus cifras por el
ciclo 1; 3; 2; –1; –2; –3; 1; 3; 2; … de derecha a izquierda resulta cero
o un múltiplo de 7. Caso contrario dicha suma determina el residuo de
dividir el número entre 7. Así:
Ejemplo:
Un número es múltiplo de 13 cuando al multiplicar a sus cifras por 1
luego por el ciclo 3; 4; 1; – 3; – 4; – 1; 3; 4; 1; – 3; … de derecha a

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izquierda resulta cero o un múltiplo de 13. Caso contrario dicha suma
determina el residuo de dividir el número entre 13. Así:
Ejemplo:
Un número es múltiplo de 25 cuando el número que forman las dos
últimas cifras del número es un múltiplo de 25. Así:
Ejemplo:
11. Divisibilidad por 33 ó 99; o múltiplos de 33 ó 99:
Un número es múltiplo de 33 ó 99 cuando al formar bloques de dos
cifras de derecha a izquierda y al efectuarse la suma de estos valores
se obtiene como resultado un múltiplo de 33 ó de 99 respectivamente.
Así:
Principio de Arquímedes
Si el producto de A; B y C es múltiplo de “n”; si A y B no tienen factores
comunes (fuera de la unidad) con “n”, entonces C es un múltiplo de
“n”, así:

7
Como A y B no tienen factores comunes con “n” entonces:
Ejemplo:
Como 5 y 7 no tienen factores comunes con “2” entonces:
Divisibilidad Aplicada al Binomio de Newton
Sirve para hallar residuos de divisiones sin necesidad de conocer el
cociente. En su mayoría se aplica cuando el dividendo es muy grande.
Existen dos casos:
a) Por defecto:
b) por exceso:
Ejemplo 01:
Ejemplo 02:
Tenemos:
Reemplazando

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El Estudio Os hará Libres

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• Hallar la suma de los valores que pueda tomar “
a ”, en: 212a 3
=
a) 12 b) 11 c) 15
d) 9 e) 6
• Hallar la suma de todos los valores que pueda
tomar “ b”, en 13b5 3
=
a) 15 b) 18 c) 21
d) 10 e) 9
• Hallar “ a 1
+ ”, si: 241a 4
=
a) 2 b) 5 c) 6
d) 7 e) 1
• Hallar “ a 2
+ ” , si: 146a 4
=
a) 1 b) 5 c) 7
d) 6 e) 4
tomar “a” ; en: 2434a 5
=
a) 10 b) 12 c) 5
d) 6 e) 7
tomar “a” ; en: 15a2b0 5
=
a) 15 b) 5 c) 25
d) 45 e) 35
• Hallar el valor de “a” en : 2410a 8
=
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 0
• Hallar el valor de “a” en : 134551a 8
=
a) 2 b) 5 c) 8
d) 10 e) 4
• Hallar el valor de “ a 1
+ ”, en: 246a25 9
=
a) 8 b) 6 c) 7
d) 5 e) 9
+ ”, en: 2a5136 11
=
a) 3 b) 5 c) 7
d) 6 e) 8
• Hallar el valor de “a”; en: 357a5 11
=
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 0
+ ”; en: 24a34 7
=
a) 5 b) 12 c) 4
d) 10 e) 7
+ ”; en: 12a57 7
=
a) 5 b) 7 c) 4
d) 11 e) 14
+ ”; en: 124a55 13
=
a) 13 b) 12 c) 5
d) no tiene valor e) 10
+ ”; en: 124a11 13
=
a) 1 b) 5 c) 3
d) 8 e) 12
• Hallar el mayor valor de “ a b
+ ” en:
24a7b 36
=
a) 5 b) 6 c) 14
d) 9 d) 23
• Hallar el valor de “ a b
+ ” en: b24a1ab 45
=
a) 7 b) 13 c) 12
d) 8 e) 9
• Los números de la forma abab es siempre
múltiplos de:
a) 10 b) 12 c) ab
d) 15 e) 2
• Los números de la forma (3a)(3b)ab es siempre
múltiplo de:
a) 10 b) 5 c) 7
d) 301 y ab e) c y d
• Cuantos números de 2 cifras son múltiplos de 8.
a) 10 b) 11 c) 12
d) 12 e) 15
• Cuantos números de 3 cifras son múltiplos de
10
a) 900 b) 10 c) 9
d) 90 e) 990
• Cuantos números múltiplos de 5 hay entre 50 y
500.
a) 91 b) 90 c) 89
d) 95 e) 65
• Cuantos números múltiplos de 6 hay desde 600
hasta 1200.
a) 100 b) 101 c) 102
d) 105 e) 99
• Cuantos números múltiplos de 2 y 3 hay entre
10 y 90.
a) 10 b) 18 c) 13
d) 15 e) 16

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