Presentación del tema Inecuaciones, en Power Point

1. Inecuaciones
Valor Absoluto
Silvestre García O.

2. APRENDIZAJES ESPERADOS
• Aplicar las propiedades de las desigualdades en la
resolución de ejercicios de inecuaciones.
• Representar soluciones de una inecuación a través
de intervalos, conjuntos y representación gráfica.
• Resolver inecuaciones con valor absoluto con una
incógnita.

3. Contenidos
1. Desigualdades
1.1 Definición
1.2 Propiedades
2. Intervalos
2.1 Intervalo abierto
2.2 Intervalo cerrado
2.3 Intervalo semi-abierto o semi-cerrado
2.4 Intervalos indeterminados
3. Inecuaciones lineales y cuadráticas
4. Inecuaciones con valor absoluto
1.3 Operaciones

4. 1. Desigualdades
Una desigualdad es una comparación entre "a" y "b" tal que:
1.1. Definición:
a > b Se lee "a" mayor que "b", cuando la diferencia
a - b es positiva
a < b Se lee "a" menor que "b", cuando la diferencia
a - b es negativa.
La simbología utilizada es: < Menor que
> Mayor que
≤ Menor o igual que
≥ Mayor o igual que

5. 1.2. Propiedades (1)
• Una desigualdad mantiene su sentido cuando se suma o se
resta un mismo número a cada miembro de la desigualdad.
Ejemplos:
Si a ≤ b
entonces:
a + c ≤ b + c
(Sumando 2 a cada lado de la
desigualdad)
5 < 8
5 + 2 < 8 + 2
a)
7 < 10
(Restando 3 a cada lado de la
desigualdad)
12 > 8b)
12 - 3 > 8 - 3
9 > 5
Es decir:

6. • Una desigualdad mantiene su sentido cuando se multiplican
sus dos miembros por un mismo factor positivo, o se dividen
por un mismo divisor, también positivo. Es decir:
Ejemplos:
a)
< (Multiplicando por 2 cada lado de la
desigualdad)
<∙ 2 ∙ 2
3
7
6
5
6
5
3
7
6
7
12
5
<
b) 160 > 24
(Dividiendo por 8 cada lado de la
desigualdad)
24
8
160
8
>
20 > 3
1.2. Propiedades (2)
a ≤ b
entonces:
a . c ≤ b . c
Si: c > 0y

7. • Una desigualdad cambia de sentido cuando se multiplican
sus dos miembros por un mismo factor negativo, o se
dividen por un mismo divisor, también negativo.
Ejemplos:
a) <
(Multiplicando por -2 cada lado de la
desigualdad)>∙ -2 ∙ -2
6
5
6
5
3
7
-6
7
-12
5
>
3
7
b) 160 > 24 (Dividiendo por -8 cada lado de la
desigualdad)24
-8
160
-8
<
-20 < -3
1.2. Propiedades (3)
a ≤ b
entonces:
a . c ≥ b . c
Si: c < 0y

8. 2. Intervalos
Los intervalos son subconjuntos de los números reales que se
pueden representar gráficamente en la recta numérica.
2.1. Intervalo abierto
Incluye a todos los reales comprendidos entre a y b,
sin incluir a “a”, ni “b”.
] a,b [ = { x Є IR / a < x < b }
a b
-∞ +∞
Gráficamente:
Observación: ] a,b [ = (a,b)

9. 2.2. Intervalo cerrado
Incluye a todos los reales comprendidos entre a y b,
incluyendo a “a” y “b”.
[ a,b ] = { x Є IR / a ≤ x ≤ b }
a b
-∞ +∞
Gráficamente:

10. 2.3. Intervalo semi-abierto o semi-cerrado
Incluye a todos los reales comprendidos entre a y b,
incluyendo a “a” pero no a “b”.
Gráficamente:
I. [ a,b [ = { x Є IR / a ≤ x < b }
Incluye a todos los reales comprendidos entre a y b,
no incluyendo a “a”, pero sí a “b”.
Gráficamente:
II. ] a,b ] = { x Є IR / a < x ≤ b }
a b
-∞ +∞
a b
-∞ +∞

11. 2.4. Intervalos indeterminados
Incluye a todos los reales mayores o iguales que “a”
I. [ a,+∞ [ = { x Є IR / x ≥ a }
a
-∞ +∞
Incluye a todos los reales mayores que “a”
II. ] a,+∞ [ = { x Є IR / x > a }
a
-∞ +∞

12. Incluye a todos los reales menores o iguales que “b”
III. ]-∞, b ] = { x Є IR / x ≤ b }
b
-∞ +∞
IV. ]-∞, b [ = { x Є IR / x < b }
Incluye a todos los reales menores que “b”
b
-∞ +∞

13. V. ]-∞, +∞ [ = IR
+∞-∞
IR
El infinito nunca se incluye dentro de
un intervalo y además nunca se
escribe en la desigualdad.

14. 3. Inecuación lineal
Corresponde a una desigualdad condicionada, es decir, se
busca el conjunto de valores que al reemplazarlos en la
variable, cumpla con la desigualdad.
Ejemplos:
a) 7
√5-x
La expresión representa un número real si:
5 - x > 0
5 > x
El conjunto solución será:
5
-∞ +∞
C.S.= ] -∞, 5 [
Gráficamente:

15. x
2
6x -2
5
≥ 1- (Multiplicando por 10)b)
6x -2
5
≥ x
2
-10 ∙ 1010 ∙
2(6x – 2) ≥ 5x - 10
12x – 4 ≥ 5x - 10
(Simplificando)
(Desarrollando)
12x – 5x ≥ 4 - 10
7
x ≥ -6
7x ≥ -6
,+∞C.S.=
7
-6
-∞ +∞
7
-6
Gráficamente:

16. c) 7x – 8 ≥ 4x – 16 + 3x + 4
7x – 8 ≥ 7x - 12
– 8 ≥ - 12
En este caso, la incógnita se ha eliminado. Sin embargo,
la desigualdad resultante es verdadera. Esto significa
que la inecuación se cumple para cualquier x en los
reales.
+∞-∞
IR
Gráficamente:

17. d) 6x + 11
2
< 3x / ∙ 2
6x + 11 < 6x
11 < 0
En este caso, la incógnita también se ha eliminado; pero
la desigualdad resultante es FALSA.
Esto significa que la desigualdad no se cumple, ya que NO
existe un x real que satisfaga la inecuación.
El conjunto solución de la inecuación es el conjunto vacío:

18. En algunos casos, puede interesar conocer la diferencia
entre los datos recogidos y un número en particular, sin
importar que esta diferencia sea positiva o negativa.
Por ejemplo, se puede obtener la distancia de los siguientes
puntos al valor de 2:
4. Inecuaciones con valor
absoluto
0 4
-∞ +∞
x=2
La distancia se expresa de la
forma: |x – 2|

19. Definición de Valor Absoluto






0si,
0si,
xx
xx
x
Utilizando definición, es posible resolver ecuaciones con valor
absoluto. No obstante, es necesario comprobar si el conjunto
solución satisface la ecuación resuelta.
Ejemplos:
xx
xx
x
x




243.4
331.3
1
4
2.2
3
1
2.1

20. 1.
0
a b
b b a b

    
Propiedades del Valor Absoluto
a b
a b a b

   
2.
22
22
baba
baba


3.
Si
Entonces:
Si
Entonces:
Si
Entonces:

21. Ejemplo 1
• Resuelve: | x + 5 | ≤ 10
-10 ≤ x + 5 ≤ 10
-10 + - 5 ≤ x ≤ 10 + – 5
- 15 ≤ x ≤ 5
• La solución gráfica será:
-15 -10 -5 0 5 10 15

22. Ejemplo 2
• Resuelve: | -3x + 6 | > 18
-3x + 6 < -18 ó -3x + 6 > 18
-3x < -24 -3x > 12
x > 8 x < -4
• La solución gráfica será:
-4 -2 0 2 4 6 8