Solución de problemas

DGDDGSDGSEGDSFJSAJFASWSF
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Programa de capacitación de matemática para la mejora en la resolución de problemas
Dominio disciplinar – didáctico y de evaluación de aprendizajes del área de matemática - Unidad 1
MÓDULO 1:
Dominio disciplinar - didáctico y de evaluación de
aprendizajes del área de matemática
UNIDAD 1
EL ENFOQUE CENTRADO EN LA RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS
Setiembre de 2016

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RUTA METODOLÓGICA
El desarrollo de la presente unidad contiene la siguiente ruta metodológica, que se sugiere
tener en cuenta en la revisión de la misma.
Reflexión desde la Práctica
Recoge los conocimientos previos para
construir los aprendizajes mediante la
problematización y cuestionamientos.
Reflexión Teórica
Presentan los fundamentos teóricos para
ser confrontados con los saberes previos y
reconstruir nuestro conocimiento.
Retornando a mi práctica
Prentende generar reflexiones críticas y
aplicación de lo aprendido a la práctica docente
para mejorarla.
Actividades de proceso
Presenta ejercicios de autoreflexión sobre
los contenidos en contraste con la práctica.
Estos ejercicios se desarrollan, pero no se
entregan ni forman parte de la evaluación.

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REFLEXIÓN DESDE LA PRÁCTICA
Vamos a empezar la presente unidad, reflexionando desde tu práctica docente. Para ello, se te
pide leer con atención el texto:
Lee atentamente el siguiente texto:
Extraído de: goo.gl/DCJa1f
“Aprender matemáticas requiere problematizar o cuestionar las tareas o
situaciones, pensar distintas maneras de comprender o resolver un
problema, utilizar diversas representaciones, encontrar el significado e
interpretar la solución y comunicar los resultados (Santos-Trigo, 2014a).
Implica que el estudiante desarrolle una disposición favorable hacia el
estudio de la disciplina que le permita cuestionarse sobre las tareas
propuestas, dar sentido a sus respuestas, explorar preguntas y desarrollar
una comprensión matemática como parte de una comunidad de
aprendizaje que valore y aprecie el trabajo individual y de colaboración. Es
decir, aprender matemáticas requiere crear la necesidad de reflexionar
constantemente sobre el mismo proceso de construcción del
conocimiento. Además, el proceso de resolver problemas o comprender un
concepto matemático involucra ciclos iterativos de discusión y
colaboración en los que los estudiantes deben tener la oportunidad de
expresar, revisar, contrastar, interpretar y refinar sus ideas y métodos de
solución”.

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1. ¿Qué opinas del contenido del texto?
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
2. ¿Qué implica trabajar con problemas?
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
3. ¿Cuál es la idea fundamental en el texto?
……………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………..

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REFLEXIÓN TEÓRICA
1. ¿Qué es el enfoque centrado en la resolución de problemas?
Actividad previa: Leer el texto del currículo respecto de matemática, VI ciclo, siguiendo el
enlace:
https://goo.gl/0usTkS (páginas 12 – 15)
Veamos ahora algunas ideas fundamentales que propone Santos Trigo, Matemático
mexicano de gran renombre. Pero antes mostramos una breve biografía:
Luz Manuel Santos Trigo
Luz Manuel Santos Trigo es Físico y Matemático, originario de
San Luis Acatlán, Guerrero, México. Es maestro de
Matemática Educativa en el Centro de Investigación y de
Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional
(Cinvestav). Egresó de la Lic. en Física y Matemáticas en 1980,
del Instituto Politécnico Nacional (IPN). Obtuvo el grado de
Maestro en Enseñanza Superior por la Universidad Autónoma
de México en 1984, el grado de Maestro en Ciencias por el Instituto Politécnico Nacional en
1985, y el grado de Doctor en Educación Matemática en la Universidad de British Columbia,
Canadá en 1990; realizando el postdoctorado en la Universidad de California y Berkeley,
E.U.A., de 1994 a 1995. El tema de investigación al que dedica su trabajo es la Resolución de
Problemas Matemáticos, considerando como “un principio fundamental la concepción de las
matemáticas como un conjunto de dilemas, preguntas o problemas que se abordan y
Disponible en la
carpeta de Lecturas
complementarias
del aula virtual.
Actividad de proceso:
Elabora un esquema de la lectura anterior

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resuelven a partir de una forma de pensar que involucra recursos, estrategias y hábitos
consistentes con la práctica o desarrollo del conocimiento matemático” (Santos Trigo).
1.1 Algunas ideas fundamentales sobre los problemas en el Enfoque Centrado en la
Resolución de Problemas
Al abordar un problema no sólo se pretende encontrar su solución, sino buscar entre nuestros
conocimientos conceptos y habilidades matemáticas adecuadas, así como emplear alguna
estrategia de resolución de problemas; todo lo cual esperamos que nos conduzca a establecer
e idear relaciones o resultados matemáticos, y por consecuencia a obtener nuevos
conocimientos, lo cual constituye un aprendizaje matemático.
Cada individuo tiene características específicas que lo hacen enfrentar de manera diferente el
proceso de resolución de problemas; la experiencia nos indica que existen personas que
parecieran tener habilidades
naturales que los hacen ser
exitosos en este tipo de
actividad. Sin embargo, también
existen personas que, después
de un periodo de entrenamiento,
abordan de manera exitosa casi
cualquier tipo de problema.
Lee con atención lo siguiente:

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Para lograr que los estudiantes desarrollen dichas habilidades, es necesario plantear
situaciones problemáticas acordes a la definición de problema, para no caer en una situación
rutinaria, la cual no representa un problema para los estudiantes, así como tomar en cuenta
cómo llevan a cabo los estudiantes la resolución de problemas, como sugiere Santos Trigo,
para elaborar actividades que promuevan un aprendizaje matemático de los estudiantes, que
esté de acuerdo al quehacer de los expertos.
Lo anterior podría dar respuesta a la cuestión, que seguramente muchos nos hemos planteado
alguna vez, “¿qué significa que un estudiante aprenda matemáticas?”. No podemos estar
seguros de qué tan cierta es nuestra respuesta a esta pregunta, pero estando conscientes del
verdadero significado de las matemáticas; cuando pensamos en matemáticas pensamos en
resolver problemas matemáticos, aprendemos matemáticas resolviendo problemas, por lo que
la resolución de problemas es la esencia de las matemáticas.
“Hacer o desarrollar matemáticas incluye resolver problemas, abstraer, inventar, probar y
encontrar el sentido de las ideas matemáticas. . . Aprender matemáticas es un proceso que
incluye encontrar sentido a las relaciones, separarlas y analizarlas para distinguir y discutir sus
conexiones con otras ideas.” (Santos Trigo, 2007, p.17)
“que, en el estudio de las matemáticas, la actividad de resolver y formular problemas
desempeña un papel muy importante cuando se discuten las estrategias y el significado de las
soluciones”. Santos Trigo (2007, p.19)
Las estrategias, discusiones, pensamientos y
razonamientos que un estudiante lleva a cabo para
resolver problemas dependen mucho de lo que ha
aprendido a lo largo de su vida escolar, de la manera
en que sus maestros de matemáticas promovían la
resolución de problemas. Entre la comunidad
matemática existen diversas ideas sobre lo que son
realmente las matemáticas, destacando dos puntos
de vista; el empirista y el constructivista. En el
primero, se tiene la idea de que hay cosas que
existen desde hace determinado tiempo, “lo que hay
es lo que hay”, están para ser descubiertas y utilizadas, no para ser inventadas. Por otro lado,
en el constructivista, que como su nombre lo dice, se piensa que se aprende matemáticas
construyéndolas.

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Santos Trigo (2007) considera que un factor esencial que permite el aprendizaje de las
estrategias de resolución de problemas matemáticos es la transferencia: ¿Hasta qué punto se
puede transferir la experiencia de resolver problemas en ciertos contextos a otros problemas
establecidos en contextos diferentes?
Esto se debe, a que se tiene la idea de que un problema matemático es diferente de un
problema biológico, económico, social, etc., aunque estemos hablando de lo mismo, de un
problema, pero en un contexto distinto, y aunque seamos muy buenos en una determinada
´área no somos capaces de transferir lo que hacemos en una a otra; por ejemplo, en
problemas de tipo geométrico podemos realizar un dibujo, pero es probable que en otro
contexto no sea posible.
Un ejemplo de estrategia transferible, y utilizada comúnmente entre los solucionadores de
problemas en general, es la de dar contraejemplos, quizá por ser más accesible y no necesitar
hacerse de manera reflexiva, aunque no es considerada importante en la resolución de
problemas como lo son otros métodos, suele dar resultados exitosos.
Uno de los métodos generales importantes en la resolución de problemas son los
problemas no rutinarios o no familiares. Siempre que tenemos un problema desconocido
accedemos a nuestros recursos, conocimientos previos que tenemos bien definidos y con
los que estamos familiarizados, o utilizamos estrategias que nos resultan naturales para
resolverlo, en lugar de buscar nuevas formas para hacerlo; pero, por otro lado, un experto
utiliza heurísticas generales en las actividades para resolver ese tipo de problemas, como
las siguientes (Santos Trigo, 2007, p.35):
1. Búsqueda de analogías con sistemas que entiende mejor.
2. Exploración de la existencia de analogías falsas dentro de la analogía.
3. Hacer referencia a los modelos intuitivos mentales para tratar de entender cómo
se comportaría el sistema.
4. Investigación de los sistemas que se quiere alcanzar con casos extremos (tender a
cero o a infinito).
5. Construcción de problemas más simples con la misma estructura, con la idea de
importar la solución al problema original.

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Un experto en la resolución de problemas matemáticos generalmente tiene pocas
complicaciones en acceder y utilizar las heurísticas, pero para un estudiante esto puede
representar otro problema. Los estudiantes pueden entender lo que son las estrategias de
resolución de problemas, pero no por eso estarán conscientes de cómo y cuándo emplearlas, a
pesar de que el problema planteado cuente con determinadas características que permitan
emplear ´estas, por lo que en lugar de qué el estudiante aprenda a utilizarlas en la resolución
de problemas, solamente aprenderá la mecanización.
Es decir, para motivar el aprendizaje de los estudiantes es necesario que se les planteen
problemas o actividades que les resulten interesantes, que los conquisten; que se presten a
que los estudiantes se cuestionen sobre ellos, a realizar e identificar las características de
diagramas, etc.; tomando en cuenta las siguientes preguntas: ¿qué es relevante observar en
una situación para que la descripción o el análisis incluya un razonamiento matemático por
parte del alumno?, ¿cuál es el papel del lenguaje y las diferentes representaciones en el
establecimiento de relaciones matemáticas?, ¿qué tipos de tareas o actividades de instrucción
ayudan a los estudiantes a desarrollar estrategias que les permitan observar relaciones
matemáticas?
Por ejemplo, en la Figura, pudiera de primera intención pensarse que no aparecen elementos
destacados que puedan ser utilizados para permitir reflexiones matemáticas inmediatas. Sin
embargo, cuando las personas tienen algún tipo de entrenamiento o formación para
establecer relaciones entre sus recursos matemáticos con la información proporcionada, los
resultados son diferentes. Esto lo verificamos cuando el dibujo anterior fue mostrado a cuatro
estudiantes avanzados de la licenciatura en matemáticas, solicitándoles que respondieran a las
siguientes dos preguntas.
Usa tu razonamiento matemático para analizar y proponer tus
procedimientos

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1. Analiza cuidadosamente el dibujo. A partir de dicho análisis, escriba las preguntas que desde
su punto de vista puedan formularse matemáticamente a partir de la figura.
2. ¿Cuántas bolitas tiene el collar?
En la Tabla mostramos las respuestas que cada uno de los estudiantes dieron a los dos
cuestionamientos anteriores. Se han identificado las correspondientes respuestas con E1, E2,
E3 y E4.
ESTUDIANTE PREGUNTAS ¿CUÁNTAS BOLITAS TIENE EL COLLAR?
1
1. ¿Qué figura observas?
2. ¿Qué secuencia tienen las
bolitas blancas
3. ¿Qué cantidad de bolitas están
adentro del jarrón?
4. ¿Cuántas bolitas blancas hay?
5. ¿Hay rectas paralelas?
6. ¿Hay ángulos iguales?
7. ¿Cuántos triángulos hay?
66
Blancas:
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55
Negras:
1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1= 11
2
1. ¿Existe un patrón entre las
bolitas blancas y las negras?
2. ¿Cuál es la forma del jarrón?
3. ¿Cuál es la capacidad
(volumen) del jarrón?
4. ¿Tienen las bolitas blancas el
mismo tamaño?
5. ¿Cuál es el tamaño del orificio
por donde entran las bolitas?
66
1 bolita negra – 1 bolita blanca
1 bolita negra – 2 bolitas blancas

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1 bolita negra
3
1. ¿Qué sucesión siguen las
bolitas blancas?
2. ¿Cuántas bolitas blancas
tiene el collar?
3. ¿Cuántas bolitas negras
tiene el collar?
4. ¿Cuál es la forma que se
muestra en la parte más
ancha del jarrón?
66
Bolitas blancas:
1+2+3+…+9+10 =
Bolitas negras:
11
55 + 11 = 66
4
1. ¿Cuántas bolitas blancas hay
dentro del jarrón?
2. ¿Cuántas bolitas negras hay dentro
del jarrón?
3. ¿Cuál es el perímetro de una cara
del jarrón?
4. ¿Cuál es el área de una cara del
jarrón?
5. ¿Cuál es el área superficial del
jarrón?
6. ¿Cuál es el volumen del jarrón?
7. ¿Cuántos radios distintos se ven en
las bolitas?
8. ¿Cuál es el perímetro del arco
izquierdo y del arco derecho? ¿son
iguales? ¿cuál es el mayor?
9. ¿Cuál es la recta que pasa por A y
por B?
10. ¿Cuál es la distancia AB?
11. ¿Cuál es la recta que pasa por A y
O?
12. ¿Cuál es la distancia AO?
13. ¿Cuál es la recta que pasa por B y
O?
14. ¿Cuál es la distancia BO?
15. ¿Es la misma la recta AB y AO?
16. ¿Es la misma la recta AB y BO?
17. ¿Cuántos ángulos hay en la cara
del jarrón?
18. ¿Cuántos ángulos obtusos hay?
19. ¿Cuántos ángulos obtusos hay?
20. Sin salirte del perímetro, ¿cuál es
la distancia más corta del punto A
al punto B?
21. ¿Cuál es la distancia por arriba?
22. ¿Cuál es la distancia por abajo?
Negras: Blancas:
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5
. .
. .
. .
1 10
1
11 + 55 = 66

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23. Tomando el radio mayor para
todas las bolitas, ¿cuál es el
volumen total?
24. ¿Todas las bolas caen dentro del
jarrón?
25. Si sobre el espacio, ¿cuántas bolas
más cabrían?
26. ¿Cuál es el volumen total que
sobra por el espacio entre bola y
bola?
La actividad duró aproximadamente una hora para E1, E2 y E3; y 40 minutos para E4. E2 y E3
tuvieron dificultad para entender lo que debían hacer en la primera cuestión, repetidamente
presentaban dudas sobre si podían utilizar datos o no, y de que no podían realizar preguntas
relacionadas con las matemáticas sobre la figura. Con E1 sucedió todo lo contrario, desde que
se le entregaron las hojas no mostró dificultad en entender, las cuestiones que realizaba eran
sobre si la manera en que expresaba sus preguntas eran correctas, si se entendía lo que estaba
queriendo decir.
Las mismas dudas tenía E4, quien fue el que más preguntas planteó; desde que comenzó a
realizar el primer cuestionamiento de la actividad se mostraba su interés y encontraba
demasiadas relaciones en la figura, y así terminó diciendo: —veo muchas cosas, se me ocurren
muchas preguntas, pero creo que no terminaría de escribirlas.
Como se puede observar en la Tabla, se confirma lo que se mencionó anteriormente sobre las
dificultades que tuvieron los estudiantes; en la columna Preguntas, se pueden observar las
diferentes preguntas que expresaron matemáticamente los estudiantes. De acuerdo a la Tabla
de resultados, E3 no logró establecer una relación de la figura con las matemáticas, más allá de
lo que se podía percibir a primera vista; las preguntas de E2 expresaban las matemáticas, pero
no fueron suficientes como sucedió con E3, que sus preguntas son superficiales.
Por otro lado, E1 mostró un pensamiento matemático de buen nivel, todas las preguntas que
planteaba iban más allá de lo elemental en la figura, se adentró en ésta, y aunque al final ya no
se le ocurría que preguntar, logró completar 9 preguntas.
El estudiante E4, logró hacer 26 preguntas, y aunque aquí no es importante la cantidad,
expresa sus cuestionamientos matemáticamente, lo que nos dice que E4 tiene un pensamiento
matemático muy desarrollado, y que cualquier situación en contexto no matemático puede
relacionarla con diferentes conceptos matemáticos.

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En la segunda cuestión, los cuatro estudiantes lograron encontrar el patrón que seguían las
bolitas, y usándolo para dar una respuesta a la cuestión, sin dificultad. En la columna ¿Cuantas
bolitas tiene el collar?, de la Tabla, se presentan las operaciones y resultados dados por los
estudiante; E1 sumó todas las bolitas blancas y todas las bolitas negras; E2 estableció una
relación entre las bolitas blancas y las bolitas negras, por cada bolita blanca había tantas
bolitas negras dependientes del patrón que seguían las bolitas blancas, y proceder a sumarlas;
E3 fue más allá de una suma aritmética, recurrió a la suma de los números naturales sin
especificar un n en particular, pero al analizar su resultado se puede ver que si estaba
consciente de lo que estaba haciendo; E4 inmediatamente consideró, para las bolitas blancas,
la suma de números naturales con una determinada n, utilizo la fórmula de forma cerrada y al
resultado le sumó las bolitas negras.
Podemos concluir que los estudiantes están en un nivel de desarrollo del pensamiento
matemático muy distinto, algunos pueden establecer conexiones de una figura con las
matemáticas, pero no acceden a sus recursos para aligerar el proceso, cómo fue el caso de E1 y
E2 que sumaron una por una las bolitas; y, por el contrario, como E3 que no tuvo una amplia
visión sobre la figura, pero si utilizo sus recursos. Por último, E1 muestra un mayor
pensamiento matemático sobre los demás, ya que fue el único que percibió demasiado de la
figura y a su vez emplea sus recursos.
Después de lo anteriormente presentado, santos Trigo plantea la siguiente tabla informativa y
concluyente:
PERSPECTIVA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
VISÓN MATEMÁTICA
Las matemáticas como una ciencia de los patrones. Una
relación directa entre la práctica de desarrollar la disciplina y el
aprendizaje de los estudiantes. Pensar matemáticamente
incluye la formulación de preguntas, conjeturas y el empleo de
distintos argumentos.
TIPO DE PROBLEMA
Problemas no rutinarios con diferentes tipos de dificultad:
desde aquellos que se resuelven en un tiempo límite hasta
aquellos que se trabajan durante largos periodos.
Transformación de un problema de rutina en un problema no
rutinario a través de un proceso que involucra el planteamiento
de preguntas.
PROCESOS DE
Dimensiones relacionadas con competencias de resolución de
problemas: recursos básicos, estrategias cognitivas

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APRENDIZAJE (heurísticas), estrategias metacognitivas (monitoreo y
autocontrol) y sistemas de creencias y afectivos.
AMBIENTES DE
INSTRUCCIÓN
El salón de clase visto como un microcosmo matemático.
Construcción de comunidades matemáticas de aprendizaje.
Los estudiantes participan en pequeños grupos de discusión y
discusiones plenarias, y el profesor actúa como monitor y guía.
FORMAS DE EVALUAR
Procesos de solución de problemas no rutinarios. Las
competencias matemáticas incluyen procesos relacionados con
el uso de representaciones, la formulación de preguntas y
conjeturas, el uso de distintos argumentos, procesos de
monitoreo y la comunicación de resultados.
PERSPECTIVA PROCESOS DE MODELACIÓN
VISÓN MATEMÁTICA
Los objetos matemáticos son distintos de sus representaciones.
El pensamiento matemático se expresa a través de sistemas
semióticos de representación.
TIPO DE PROBLEMA
Problemas que involucran el empleo de distintas
representaciones.
PROCESOS DE
APRENDIZAJE
Coordinación de distintas representaciones. Tránsito desde una
representación a otras. Operaciones dentro de un mismo
sistema de representación: conversión de registros.
AMBIENTES DE
INSTRUCCIÓN
Ambientes de resolución de problemas que promuevan la
construcción de distintas representaciones del problema por
parte de los estudiantes.
FORMAS DE EVALUAR
Evidencia de que los estudiantes muestran distintas conexiones
entre varios registros de representación. Reconocimiento del
mismo objeto matemático a través de distintas
representaciones.
PERSPECTIVA PROCESOS DE MODELACIÓN
VISÓN MATEMÁTICA
Las matemáticas son sistemas de relaciones útiles para
entender y encontrar sentido a distintos tipos de fenómenos.
Resolver un problema lleva a la construcción de herramientas
para pensar.
Las matemáticas son vistas como un sistema con elementos,
operaciones, reglas y relaciones.
TIPO DE PROBLEMA
Problemas que involucren diferentes contextos y cuyas
soluciones muestren explicaciones, descripciones,
interpretaciones, representaciones, operaciones, algoritmos,
argumentos, extensiones, revisiones, ajustes etc.

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PROCESOS DE
APRENDIZAJE
El aprendizaje se desarrolla a partir de la construcción de
modelos o sistemas conceptuales.
El aprendizaje se manifiesta a través de ciclos que van desde
modelos incompletos o inestables hasta modelos robustos y
estables.
AMBIENTES DE
INSTRUCCIÓN
Los ambientes de aprendizaje se desarrollan alrededor de la
discusión y solución de problemas o actividades reveladoras del
pensamiento de los estudiantes. Los estudiantes trabajan en
parejas o grupos de tres, y el profesor funciona como monitor
durante el desarrollo de las sesiones.
FORMAS DE EVALUAR
Desarrollo de herramientas conceptuales para resolver familia
de problemas.
Autoevaluación, el alumno representa un cliente, quien revisa y
evalúa sus propios resultados y el de los demás.
https://goo.gl/Cpwqsg
¿Qué conclusión extraes de la lectura anterior (pg.8 – pg. 14)?
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
1.2 Estrategias para solucionar problemas:
a) Método de Polya
Tiene cuatro fases:
Fase 1:
Comprender el problema: ¿cuál es la incógnita?, ¿cuáles son los
datos?
Fase 2:
Concebir un plan: ¿se ha encontrado con un problema semejante?,

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Fase 3:
Ejecutar el plan: ¿son correctos los pasos dados?
Fase 4:
Examinar la solución obtenida: ¿puede verificar el resultado?, ¿puede verificar el
razonamiento?
b) Método de Shoenfeld:
Tiene cuatro aspectos:
Aspecto 1:
Recursos cognitivos: entendidos como conocimientos previos, o bien, el dominio del
conocimiento.
Aspecto 2:
Heurísticas: estrategias o reglas para progresar en situaciones dificultosas.
Aspecto 3:
Control: estrategias metacognitivas, es decir, aquello que permite un uso eficiente de los
recursos disponibles.
Aspecto 4:
Sistema de creencias: conjunto de ideas o percepciones que los estudiantes poseen a
cerca de la matemática y su enseñanza.

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c) Método de Miguel de Guzmán
Tiene cuatro fases:
Fase 1:
Familiarizarse con el problema: tratar de entender a fondo la situación, jugar con la
situación, tratar de determinar el aire del problema, perderle el miedo.
Fase 2:
Búsqueda de estrategias: Empezar por lo fácil, hacerse un esquema, figura o diagrama,
escoger un lenguaje adecuado y una notación apropiada, buscar un problema semejante,
suponer el problema resuelto, suponer lo contrario.
Fase 3:
Llevar adelante la estrategia: seleccionar y llevar adelante las mejores ideas de la fase
anterior, actuar con flexibilidad, no emperrarse con una idea, cambiar de vía si las cosas se
complican demasiado.
Fase 4:
Revisar el proceso y sacar consecuencias de él: examinar a fondo el camino seguido,
preguntarse cómo se ha llegado a la solución o por qué no se ha llegado, tratar de
entender por qué la cosa funciona, mirar si se puede encontrar un camino más simple,
mirar hasta donde llega el método, reflexionar sobre el proceso de pensamiento seguido y
sacar conclusiones para el futuro.
Finalmente queremos vincular estas fases y aspectos de la resolución de problemas con los
procesos considerados en el modelo de la prueba PISA: Formular-Emplear-Interpretar.
Eso lo presentaremos en el siguiente diagrama. Observa:

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El juego y la belleza están en el origen de una gran parte de las matemáticas. Si los
matemáticos de todos los tiempos se lo han pasado tan bien jugando y
contemplando su juego y su ciencia, ¿por qué no tratar de aprenderla y
comunicarla a través del juego y de la belleza?
Relación entre los procesos del modelo PISA y las fases de resolución de problemas
Elaboración propia
Puedes profundizar algunos aspectos sobre la fase de resolución de problemas en:
https://goo.gl/FWtyDR Copy short URL
MUNDO REAL MUNDO MATEMÁTICO
PROBLEMA
DEL MUNDO REAL
SOLUCIÓN
REAL
SOLUCIÓN
MATEMÁTICA
PROBLEMA
DEL MUNDO
MATEMÁTICO
FORMULAR
EMPLEAR
INTERPRETAR
FORMULAR
Fases 1 y 2
Fase 3
Fase 4
Disponible en la
carpeta de
Lecturas
complementarias
del aula virtual.

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1.3 Las situaciones significativas y la demanda cognitiva:
https://goo.gl/ddpN6q
Como se mencionó en la sección anterior, la misión de una situación significativa, es activar el
interés por aprender de parte del estudiante, por ello debe tener ciertas consideraciones en lo
referente a la demanda cognitiva.
En este punto es necesario destacar dos conceptos que se suelen confundir y utilizar como
sinónimos: la dificultad y la complejidad de los problemas.
¿Situación
significativa……?
“La creación de situaciones potencialmente significativas desde la
enseñanza y aprendizaje de la matemática, es decir, la creación de
contextos en los que aparecen o se crean interrogantes que la clase desea
resolver… En estas situaciones, los alumnos, gracias a la ayuda de su
maestro y a través de la confrontación de ideas entre iguales, pueden
progresar añadiendo datos, habilidades y estrategias en el conjunto de
conocimientos consensuados por el grupo clase. Este proceso gradual se
caracteriza por hacer emerger y utilizar los conocimientos previos de los
alumnos, por mediar en la confrontación de criterios, opiniones e
hipótesis, y por ayudar a buscar respuestas más allá del maestro como
«autoridad cognitiva». Este proceso, dirigido a resolver situaciones e
interrogantes que el grupo clase ha escogido como relevantes es, hoy por
hoy, la mejor forma de ayudar a los alumnos a avanzar matemáticamente
hacia niveles cada vez más elevados de complejidad y abstracción”.

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La dificultad de una situación significativa está presente en el resolutor y sus características.
Un problema se cataloga como difícil cuando la mayoría de resolutores no logran resolverlo o
yerran al hacerlo (al respecto veremos en los siguientes módulos algunos aspectos sobre los
errores y su uso pedagógico), por eso vemos que un mismo problema se cataloga como fácil
para un grupo de estudiantes y difícil para otro grupo. Los docentes seleccionan un grupo de
problemas a presentar a sus estudiantes basados en su experiencia y adelantan su dificultad,
es este caso el docente utiliza una dificultad estimada o a priori.
En cambio, la complejidad de una situación significativa es intrínseca al problema, es decir,
depende de los procesos que involucra su resolución. Por eso podemos afirmar que una
situación significativa compleja no necesariamente es el más difícil; tampoco que un problema
simple es el más fácil.
Por otro lado, es un error pensar que el tiempo que un estudiante demore en resolver una
situación significativa es una evidencia de la complejidad de la misma y también de su
dificultad. También lo es pensar que el enfoque de resolución de problemas solo permite
trabajar con procesos de baja demanda cognitiva en desmedro de los procedimientos
complejos de la matemática.
La resolución de un problema involucra el despliegue y ejecución de un conjunto de procesos
cognitivos, estos procesos cognitivos son los que le dan una mayor o menor complejidad.
Smith y Stein examinan las tareas matemáticas desde el punto de vista de su demanda
cognitiva, que entienden como la clase o nivel de pensamiento que la tarea exige a los
estudiantes para implicarse y resolverla con éxito. Los autores establecen cuatro categorías de
demanda cognitiva, de menor a mayor demanda (M. Carmen Penalva, José Adolfo Posadas y
Ana Isabel Roig, 2010):

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Nivel de demanda
(de menor a mayor)
Características
Tareas de memorización
• Implican reproducir fórmulas, reglas, definiciones.
• No pueden resolverse usando procedimientos porque éstos no
existen por la naturaleza de la tarea.
• Hay poca ambigüedad sobre lo que debe ser hecho y cómo hay
que hacerlo.
• No hay conexión con los conceptos.
Tareas de procedimiento sin
conexión
• Son algorítmicas. El uso de un procedimiento es evidente.
• Existe poca ambigüedad sobre qué se necesita hacer y cómo
hacerlo.
• Pretenden producir respuestas correctas más que desarrollar
comprensión.
• Tampoco conectan con los conceptos o significados implicados.
Tareas de procedimiento con
conexión
• Se utilizan procedimientos para aumentar la comprensión de los
conceptos.
• Es necesario relacionar distintas representaciones de los
conceptos.
• Requieren algún grado de esfuerzo cognitivo. Los estudiantes
necesitan involucrarse con las ideas conceptuales implícitas en los
procedimientos para resolver las tareas con éxito.
Producir matemática
• Requiere implícita o explícitamente un pensamiento no
algorítmico y complejo.
• Exige comprender los conceptos, los procedimientos y las
relaciones matemáticas.
• Requiere que los estudiantes tengan acceso a conocimiento
relevante y hagan un uso apropiado de éste en la resolución de la
tarea.
• Ha de ser analizada atentamente.
• Requiere un considerable esfuerzo cognitivo.
Para mayor información puede consultar la siguiente dirección:
https://goo.gl/HcOix4

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Observa el siguiente problema:
¿Por qué el área de los dos cuadriláteros es diferente si la conforman las mismas
piezas?
1. ¿Por qué el área de los dos cuadriláteros es diferente si la conforman las mismas
piezas?
……………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………….
2. Responde: ¿cuál es el tipo de demanda cognitiva de este problema?
……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………
……..……
…………….--------
8 x 8 = 64 u
2
5 u
2

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1.4 Capacidades desarrolladas por el Enfoque Centrado en la Resolución de Problemas
La resolución de problemas sirve de escenario para desarrollar competencias y capacidades
matemáticas. Estas capacidades matemáticas son:
 Matematiza situaciones
 Comunica y representa ideas matemáticas
 Elabora y usa estrategias
 Razona y argumenta generando ideas matemáticas
El detalle de lo que comprende cada una de estas capacidades lo veremos más adelante en
este módulo (1.2. organización del área de matemática).
La relación entre las capacidades y los procesos de resolución de problemas lo veremos en el
siguiente esquema. Observa:
Visión gráfica de las capacidades desarrolladas en el enfoque centrado en la resolución de
problemas
Elaboración propia
El proceso de resolución de problemas tiene su anclaje en la realidad a través de la capacidad
de matematiza, se entiende acá el matematizar en su doble sentido, del mundo real hacia las
MUNDO REAL MUNDO MATEMÁTICO
PROBLEMA
DEL MUNDO REAL
SOLUCIÓN
REAL
SOLUCIÓN
MATEMÁTICA
PROBLEMA
DEL MUNDO
MATEMÁTICO
FORMULAR
EMPLEAR
INTERPRETAR
FORMULAR
Matematiza
 Comunica y representa
 Elabora y usa estrategias
 Razona y argumenta

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ideas matemáticas y de las ideas matemáticas hacia el mundo real. Un problema debe abarcar
el despliegue de la mayoría de todas estas capacidades, de no hacerlo estaríamos hablando de
un problema cuya solución está incompleta.
Cuando nosotros mantenemos a nuestros estudiantes ejercitándose en la aplicación de
algoritmos propios o aprendidos, en el traslado de múltiples representaciones de los objetos
matemáticos, desde el lenguaje coloquial hasta el simbólico, y realizando deducciones para
demostrar propiedades o establecer generalizaciones, nos estamos moviendo únicamente en
el mundo matemático.
1.5 Tratamiento didáctico de los errores
En el texto Aprender los errores de Saturnino de la Torre (1991), se afirma que:
“El error como estrategia de cambio tiene su razón de ser en el marco
de un proyecto más amplio, orientado a la formación del profesorado
en el medio escolar. Error, estrategia y cambio son términos cargados
de significado y de connotaciones educativas. El error es un concepto
que se inscribe en la perspectiva cognitiva de la educación, legitimada
por la Reforma y avalada por destacados psicólogos y pedagogos desde
Dewey y Piaget hasta "Handbooks" como los editados por Estes (1975),
o el más reciente de Entwistle (1990), en los que predomina un
enfoque de orientación cognitiva o sociocognitiva. Es un enfoque
humanista, integrador, comprensivo, que atrae cada vez más
adhesiones e inmigraciones de otros paradigmas”.
El error del que Torres (1991) forma parte del currículo oculto, nutriendo buena parte de las
acciones, decisiones y evaluaciones que tienen lugar en la educación. Es la realidad más
contundente y menos estudiada de cuantas ocurren en la enseñanza. Es un mecanismo del
pensamiento que escapa a nuestro control porque forma parte de los valores culturales. El
peligro de esta forma de ver el error está en la distorsión "positivizadora" del error, sin advertir
el riesgo que ello entraña. Pero el error no es un fin, no puede serlo, sino una estrategia. En
este sentido, el error debería formar parte de la misma visión estratégica de los proyectos de
capacitación docente. La utilización del error debe ser instrumental; pero no como técnica
precisa ni como pauta normativizada, sino como procedimiento o conjunto de procedimientos

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que nos ayudan a organizar secuencialmente las acciones en orden a alcanzar determinados
fines educativos. En tal sentido se destaca la vertiente cualitativa vs la cuantitativa. La
utilización del error ha de entenderse como una herramienta conceptual que se precisa ante
los conceptos concretos, como un vehículo que acorta las distancias entre intenciones y
realizaciones. El error puede ser utilizado como una estrategia innovadora para aproximar la
teoría y la práctica, para pasar de un enfoque de resultados a uno de procesos, de una
pedagogía del éxito a una didáctica del error, de enseñanza de contenidos a aprendizaje de
procesos. En suma, que una adecuada conceptualización y utilización del error en la enseñanza
puede convertirse en una estrategia al servicio de la innovación educativa.
El error puede asimismo ser considerado como procedimiento constructivo,
como método de descubrimiento científico y transmisión didáctica. Ejemplos de
esta aplicación los tenemos en la negación cartesiana, como métodos de
descubrimiento a partir de la negación de cuanto nos precede. Es un "error" estratégico,
calculado, una "trampa al pensamiento" para que, dando por supuesto que nada se conoce,
iniciar la búsqueda racional del conocimiento. En nuestro siglo cabe referirse a la "falsación”
del epistemólogo alemán Karl Popper o a la “heurística negativa” de Imre Lakatos. Una y otra
recurren al error como instrumento de verificación del conocimiento. “El programa (de
investigación científica), escribe (Benedicto, 1987), consiste en reglas metodológicas, algunas
de las cuáles nos indican las rutas de investigación que deben ser evitadas (heurística
negativa), y otras, los caminos que deben seguirse (heurística positiva)”... “El auténtico centro
firme del programa se desarrolla lentamente mediante un proceso largo, preliminar, de ensayo
y error".
El enfoque didáctico del error consiste en su consideración constructiva e incluso creativa
dentro de los procesos de enseñanza-aprendizaje. Al igual que el descubrimiento científico, el
aprendizaje puede llevarse a cabo mediante metodologías heurísticas y por descubrimiento.
Estos procedimientos didácticos inciden en la actividad del sujeto para, siguiendo procesos
semejantes a la ciencia, llegar a redescubrir aquellos contenidos culturales que están a su
nivel. Pero, además de esta vía metodológica, el profesor puede valerse del error en otros
sentidos tales como: analizando las causas del error, adoptando una actitud comprensiva,
proponiendo situaciones o procesos para que el alumno descubra los fallos, utilizándolo como
criterio de diferenciación de procesos de aprendizaje, etc. La metodología de trabajo para el
desarrollo de los contenidos de los módulos 2 y 3 se basa en este concepto, el uso didáctico
del error. Mayores detalles sobre este tema lo encontramos en el libro de Saturnino De La

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Torre “Aprender de los errores. El tratamiento didáctico de los errores como estrategia de
innovación”. A través de esta propuesta buscamos aprovechar al máximo las evaluaciones y la
información que se desprende de ellas.
RETORNANDO A MI PRÁCTICA

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Luego de este breve recorrido teórico sobre el tema del Enfoque Centrado En La Resolución De
Problemas en el área de matemática, te proponemos realizar la siguiente actividad.
Actividad
Busca o diseña un caso que represente un problema matemático que puedas
aplicar a tus alumnos de segundo de secundaria. Recuerda que el problema debe
cumplir algunas características específicas para que sea un buen problema para la
clase.
1. Plantea o describe el caso
2. Te ayudará graficarlo (de ser el caso)
3. Formula las preguntas a resolver, indicando las consignas pertinentes.
4. Analiza: ¿por qué consideras que el caso propuesto representa un buen
problema para la clase?
LECTURAS COMPLEMENTARIAS:
- Hernández – Socas. Modelos de competencia para la resolución de problemas basados en
los sistemas de representación en Matemática. Recuperado el 15 de octubre de 2016 de:
https://goo.gl/eNOi0n.
- Benedicto, C., Jaime, A. y Gutiérrez, Á. (2015) Análisis De La Demanda Cognitiva De
Problemas De Patrones Geométricos. Universidad de Alicante. Recuperado el 15 de
octubre de 2016 de:
https://goo.gl/Mc1Gdm

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