EMR

1. TALLER DE SOCIALIZACIÓN
Sesión 22.
Educación Matemática Realista (EMR)
Luis Miguel MARAVÍ ZAVALETA
I. E. Nº 80915 “Miguel Grau Seminario”
Línea de razonamiento y justificación
Fundamentos teóricos del CNEB

2. El enfoque teórico actual

3. Educación Matemática Realista
(EMR)

4. ¿Qué es la EMR? (Bressan, Zolkower, & Gallego,
2004)
“La EMR no pretende ser una teoría general del aprendizaje
(..), sino que es más bien una teoría global (una “filosofía”
según Freudenthal) que se concretiza en un conjunto de
teorías locales de enseñanza de tópicos de la matemática y
que se basa en las siguientes ideas centrales” (p. 3):
• “Pensar la matemática como una actividad humana (a la que
Freudenthal denomina matematización)”.1
• “Aceptar que el desarrollo de la comprensión matemática
pasa por distintos niveles donde los contextos y los modelos
poseen un papel relevante”.
2
• Investigar lo anterior mediante fenomenología didáctica, con
la historia de la matemática y las producciones de los
estudiantes como fuentes principales.
3

5. ¿Quién fue el fundador de la EMR? (Bressan,
Zolkower, & Gallego, 2004, p. 1)
La EMR fue fundada por el Dr. Hans Freudenthal (1905-1990). El fue
un “matemático y educador de origen alemán doctorado en la
Universidad de Berlín, desarrolló su carrera académica y sus teorías
pedagógicas en Holanda, por haber tenido que emigrar por su origen
judío a causa de la llegada de los nazis al poder en 1933.
Posteriormente, este hecho lo afectó también en este país, en el cual
debió permanecer oculto durante los años de la II Guerra Mundial.”
“Fue un incansable propulsor de un cambio en la enseñanza
tradicional de la matemática, (… él) manifestaba su oposición a las
corrientes pedagógico-didácticas y a las "innovaciones" en la
enseñanza vinculadas a la matemática, que se propiciaban a
mediados del siglo pasado (teoría de los objetivos operacionales, test
estructurados de evaluación, investigación educativa estandarizada,
la aplicación directa del estructuralismo y el constructivismo de Piaget
en el aula, la separación entre investigación educativa, desarrollo
curricular y práctica docente y la matemática "moderna" en la
escuela).”

6. ¿Cuál es la característica fundamental de la
EMR?
• Van den Heuvel-Panhuizen & Drijvers (2014):
“(…) es un campo específico de la teoría de
enseñanza de las matemáticas, la cual ha sido
desarrollada en Países Bajos. Una característica
de dicha teoría es el lugar principal que se brinda
a las situaciones “realistas” en el proceso de
aprendizaje. Estas situaciones sirven como
fuente inicial para el desarrollo de conceptos
matemáticos, herramientas y procedimientos, así
como un contexto en el que los estudiantes
pueden, más tarde, emplear su conocimiento
matemático, el mismo que, gradualmente, se
vuelve más formal y general, menos
contextualizado” (p. 521).

7. ¿Pero… a qué se denomina “realista”?
“Aunque las situaciones “realistas” – en el sentido de
situaciones tomadas del “mundo real” - son importantes
para la EMR, “realista” tiene una connotación más
amplia aquí. Significa que a los estudiantes les son
ofrecidas situaciones problemáticas que ellos pueden
imaginar. Esta interpretación de “realista” tiene sus
orígenes en la expresión holandesa “zich REALISEren”,
que significa “imaginar”. Es este énfasis en hacer algo
real en la mente lo que dio a la EMR su nombre.
Además, en EMR, los problemas presentados a los
estudiantes pueden venir del mundo real pero también
del mundo de la fantasía, de cuentos de hadas, o del
mundo de las matemáticas, tanto como los problemas
sean experimentalmente reales en la mente de los
estudiantes” (Van den Heuvel-Panhuizen & Drijvers,
2014, p. 521)

8. ¿Qué es la matemática en la EMR? (Nguyen,
2005, p. 25)
“La matemática como actividad humana
Freudenthal (1971) presentó una nueva epistemología de las
matemáticas que desafió el punto de vista de las matemáticas
como sistema cerrado, el cual había sido aprobado por años. De
acuerdo con Freudenthal (…) :
“Es una actividad de solución de problemas, de búsqueda de
problemas, pero también es un actividad de organización de
contenidos. Esto puede ser una cuestión a realizarse desde la
realidad, la cual ha de ser organizada de acuerdo con patrones
matemáticos, si los problemas de la realidad han de ser resueltos.
Puede ser, también, una cuestión matemática, de nuevos o
antiguos resultados, de su propiedad o de otros, los cuales han de
ser organizados de acuerdo con las nuevas ideas, para ser mejor
comprendidos, en un contexto más amplio, o por medio de un
enfoque axiomático (Freudenthal, 1971, p. 413-414).”

9. Principios de la EMR
1. Principio de realidad (Van den Heuvel-Panhuizen
& Drijvers, 2014, p. 523)
Este principio, “primero, expresa la importancia que es agregada al
objetivo de la educación matemática, de incluir la habilidad de los
estudiantes para aplicar matemáticas en la solución de problemas de
la “vida real”.
• Segundo, significa que la educación matemática debería iniciar a
partir de situaciones problema que sean significativas a los
estudiantes, las cuales les ofrezcan oportunidades para agregar
significado a los constructos matemáticos que ellos desarrollan
mientras resuelven problemas.
• Mejor que iniciar con abstracciones durante la enseñanza o
definiciones que serán empleadas después, en EMR la enseñanza
comienza con problemas en contextos ricos que requieren
organización matemática o, en otras palabras, que pueda ser
matematizada y ponga a los estudiantes en la ruta de la
estrategias informales de solución ligadas al contexto, como un
primer paso en el proceso de aprendizaje”.

10. 2. Principio de guía - reinvención guiada
(Nguyen, 2005)
Este principio “(…) enfatiza la interacción entre
maestros y estudiantes durante el proceso de
aprendizaje de los últimos. (…) A los estudiantes
deberían proporcionárseles oportunidades de
reinventar el conocimiento matemático bajo la
supervisión de una persona reconocida, en lugar
de realizarlo independientemente. Los maestros
necesitan mapear la trayectoria de aprendizaje de
los estudiantes para ayudarles a encontrar las
matemáticas, planificadas intencionadamente, por
ellos mismos (…) Los estudiantes deberían ser
guiados a emplear sus propios procedimientos
informales de solución y, luego, cambiar a
procedimientos formales (p. 26)”.

11. 3. Principio de niveles (Nguyen, 2005, p. 26)
“La enseñanza de las matemáticas debería ser considerada
como enseñanza de una actividad, denominada por
Freudenthal (1991) matematización. Esta actividad es
descompuesta por Treffers (1991) en sus componentes
horizontal y vertical.
• La matematización horizontal se dirige a la transferencia
de problemas contextuales hacia, más o menos,
problemas matemáticos. La matematización vertical se
refiere a la reorganización y operación en el sistema
matemático mismo.
• En resumen, “la matematización horizontal lleva del mundo
de la vida hacia el mundo de los símbolos ” mientras “la
matematización vertical” signfica moverse dentro del
mundo de los símbolos (Freudenthal, 1991, p. 41-42).
• Sin embargo, Freudenthal enfatizaba que la distinción
entre matematización horizontal and matematización
vertical no es tajante. Ambas formas poseen igual valor”.

12. Actividades vinculadas a los niveles de
matematización (De Lange, 1996, citado en Nguyen,
2005, pp. 27 – 28)
“Actividades que contienen un fuerte componente horizontal son:
• Identificar las matemáticas específicas en un contexto general
• Esquematizar
• Formular y visualizar un problema en formas diferentes
• Descubrir relaciones
• Descubrir regularidades
• Reconocer aspectos isomórficos en distintos problemas
• Transferir un problema del mundo real hacia un problema matemático
• Transferir un problema del mundo real hacia un modelo matemático conocido
Algunas actividades de matematización vertical son:
• Representar una relación mediante una fórmula.
• Proveer regularidades
• Refinar y ajustar modelos
• Usar diferentes modelos
• Combinar e integrar modelos
• Formular un nuevo concepto matemático
• Generalizar”

13. 4. Principio de actividad (Bressan, Zolkower, & Gallego, 2004,
p. 3)
• “La matemática es pensada como una actividad humana a la que
todas las personas pueden acceder y puede ser mejor aprendida
haciéndola.
• Dice Freudenthal : Las cosas están al revés si se parte de enseñar el
resultado de una actividad más que de enseñar la actividad misma
(hecho que caracteriza de inversión antididáctica) (1983: IX).
• Para Freudenthal, como matemático-investigador, hacer matemática
(matematizar) es más importante que aprenderla como producto
terminado. Para él, el énfasis no está en aprender algoritmos, sino en
el proceso de algoritmización, no en el álgebra sino en la actividad de
algebrizar, no en las abstracciones sino en la acción de abstraer, no en
la forma y la estructura sino en formalizar y estructurar…
• Coherente con esto propicia una matemática para todos, reconociendo
que no todos los estudiantes han de llegar a ser matemáticos, luego,
lo importante es que aprendan a abordar matemática y críticamente
los problemas que se presentan en situaciones cotidianas
(Freudenthal, 1968;5; 1982 : 8). Se trata de posibilitar el acceso a
estos conocimientos, destrezas y disposiciones mediante situaciones”.

14. 5. Principio de entrelazamiento (Van den
Heuvel-Panhuizen & Drijvers, 2014, p. 523)
Este principio indica que “dominios del
contenido matemático, tales como números,
geometría, medida y manejo de datos no son
considerados como partes aisladas de un
curriculum, sino como sectores fuertemente
integrados. A los estudiantes se les ofrecen
problemas ricos en los que ellos pueden
emplear variadas herramientas y
conocimientos matemáticos.”

15. 6. Principio de interactividad (Van den Heuvel-
Panhuizen & Drijvers, 2014, p. 523)
Este principio indica que “el aprendizaje de las
matemáticas no es solo una actividad individual
sino también una actividad social. Luego, EMR
favorece discusiones de clase entera, así como
trabajo grupal que ofrece a los estudiantes
oportunidades para compartir sus estrategias y
creaciones con los demás. De esta forma, ellos
obtienen ideas para desarrollar sus estrategias.
Además, interacción ocasiona reflexión, la cual
habilita a los estudiantes para alcanzar un alto
nivel de comprensión.”

16. Esquema relacionado con la EMR (Bressan
& Zolkower, s. f.)

17. La actividad de los alumnos es matematizar.
Entonces, ¿cuál es la actividad principal de los
maestros? (Bressan & Zolkower, s. f.)
• “Según Freudenthal (1991) es la de didactizar,
entendida ésta también como una actividad
organizadora que se da tanto a nivel horizontal
como a nivel vertical.
• Horizontalmente, los docentes trabajan en torno
a fenómenos de enseñanza-aprendizaje que
emergen en sus aulas y en las de otros;
verticalmente, reflexionan y generalizan a partir
de estas situaciones con el apoyo de las teorías
hasta reinventar su propia caja de herramientas
didácticas para facilitar la matematización.”

18. Currículo, investigación y desarrollo
(Bressan & Zolkower, s. f.)
• “La EMR concibe al currículo como un proceso que
requiere del diseño de secuencias didácticas que,
lejos de ser elaboraciones académicas restringidas a
objetivos instruccionales, se enmarquen dentro de
una filosofía educativa que busca explícitamente
promover cambios en la enseñanza formalista y
algorítmica (…) de la matemática en las aulas.
• El motor de este proceso es la investigación para el
desarrollo (educativo), una metodología cualitativa/
interpretativa basada en experiencias de aulas donde
se implementan secuencias didácticas y se observan,
registran y analizan hitos, saltos y discontinuidades
en el aprendizaje de los alumnos. Su objetivo es
llevar a la conciencia el proceso de desarrollo y
explicarlo.”

19. Algunas experiencias desde la
Educación Matemática Realista

20. 1. Características de la bisectriz de un ángulo
(Tuan, 2006, p. 244) (1)
“Situación 1
Suponga que hay un agricultor que trabaja en el punto A. El desea ir al río a
juntar agua para su chacra (…)
a) ¿Qué dirección sugieres al granjero que escoja para ir al río?
b) Señala alguna posiciones desde las cuales el granjero puede ir al brazo
1 del río.
c) Señala algunas posiciones desde las cuales el granjero puede ir al
brazo 2 del río.”

21. 1. Características de la bisectriz de un ángulo
(Tuan, 2006, p. 244) (2)
“Situación 2
Suponga que un granjero está trabajando en algún punto al interior del
∠xOy”

22. 1. Características de la bisectriz de un ángulo
(Tuan, 2006, p. 245) (3)
“a) Encuentre todas las posiciones desde las
cuales él puede ir al brazo 1 del río y encuentra
todas las posiciones desde las cuales él puede
ir al brazo 2 del río.
b) Identifica algunas posiciones en el interior
del ángulo ∠xOy tales que las distancias desde
cada posición a los dos lados del ángulo sean
las mismas. ¿Qué es lo que has descubierto
acerca de dichas posiciones?”

23. 1. Características de la bisectriz de un ángulo
(Tuan, 2006, p. 246) (4)
“Situación 3
a) Demuestra que si el punto M se encuentra
en la bisectriz Oz de ∠xOy, entonces la
distancia M a Ox es igual a la distancia desde
M a Oy .
b) Encuentra un conjunto de puntos al interior
de ∠xOy, tales que la distancia de cada uno de
los puntos del conjunto a Ox es igual a la
distancia desde él hasta Oy.”

24. 2. Desigualdad triangular (Tuan, 2006, p. 241)
(1)
“Situación 1
La distancia desde la casa de Hoa a su escuela es de 3 Km.
Suponga que la casa de Hoa está en la posición S.
a) Señale algunas posibles posiciones de la casa de Hoa.
b) ¿Tienes alguna idea acerca de las posibles posiciones que
podría tener la casa de Hoa?”

25. 2. Desigualdad triangular (Tuan, 2006, p. 241)
(2)
“Situación 2
Las distancias desde la casa de An y la
casa de Hoa a la escuela son de 8 Km. y de
3 Km., respectivamente.
a) An supone: “mi casa está a 2 Km. de la
casa de Hoa”. ¿Es verdadera o falsa su
estimación?
b) ¿Cuál es la distancia más corta entre la
casa de An y la casa de Hoa?”

26. 2. Desigualdad triangular (Tuan, 2006, p. 242)
(3)
“Situación 3
Demuestre que en todo triángulo, la longitud de un lado
es mayor que que la diferencia de las longitudes de los
otros dos lados (…)”
Situation 4
La distancia desde la casa de Hoa (H) hacia la estación
central (C) es de 8 Km y a su escuela (S) es 3 km.
a) Ella estima: “Mi escuela está a algo de 12 Km. de la
estación central”. ¿Esta estimación es verdadera o
falsa y por qué?
b) ¿Cuál es la mayor distancia posible entre la estación
central y la escuela? ¿Puedes demostrarlo?”.

27. 2. Desigualdad triangular (Tuan, 2006,
p. 243) (4)
“Situación 5
Suponga que ABC es un triángulo. ¿Cuál es
la relación entre las tres longitudes de los
tres lados AB, AC y BC del triángulo?
Pruebe su afirmación.”

28. “La imagen de la matemática se enmarca
dentro de la imagen del mundo, la imagen
del matemático dentro de la del hombre y
la imagen de la enseñanza de la
matemática dentro de la de la sociedad.”
(Freudenthal 1991, p.132, citado en Bressan
& Zolkower, s. f.)

29. Referencias bibliográficas
• Bressan, A., Zolkower, A., & Gallego, M. (2004). La educación
matemática realista, principios en que se sustenta. S. c.: Autoras.
• Bressan, A. & Zolkower, B. (s. f.) Educación Matemática Realista,
ideas y experiencias en torno a la capacitación de docentes. S. c.:
Autoras.
• Nguyen Thanh Thuy (2005). Learning to teach realistic
mathematics in Vietnam (Doctoral dissertation). Amsterdam:
PrintPartner Ipskamp B.V.
• Perú, Ministerio de Educación (2016). Programa curricular de
Educación Primaria. Lima: Autor.
• Tuan Anh Le (2006). Applying Realistic Mathematics Education in
Vietnam: Teaching middle school geometry (Doctoral dissertation).
Potsdam: Universitat Potsdam.
• Van den Heuvel-Panhuizen, M. (2009). Realistic Mathematics
Education as work in progress. Utrecht: Freudenthal Institut.
• Van den Heuvel-Panhuizen, M. & Drijvers, P. (2014). Realistic
Mathematics Education. En Lerman S. (Ed.). Encyclopedia of
Mathematics Education, pp. 521 – 525. Dordrecht: Springer
Science+Business Media.