Resolución de problemas

1. TALLER DE SOCIALIZACIÓN
Sesión 23.
Enfoque de resolución de problemas
Luis Miguel MARAVÍ ZAVALETA
I. E. Nº 80915 “Miguel Grau Seminario”
Línea de razonamiento y justificación
Fundamentos teóricos del CNEB

2. El enfoque teórico actual

3. Enfoque de resolución de
problemas

4. ¿En qué consiste el mencionado
enfoque?
“La resolución de problemas matemáticos es un campo
de investigación y de práctica en Educación
Matemática(…) Como campo de investigación, la
agenda en la resolución de problemas incluye analizar
los componentes cognitivos, sociales y afectivos que
influencian y dan forma al desarrollo en la competencia
de solución de problemas por parte de los estudiantes.
Como enfoque instruccional, la agenda incluye el diseño
y la implementación de propuestas curriculares y los
correspondientes materiales que implementen las
actividades de resolución de problemas” (Santos-Trigo,
2014, p. 496)

5. Antecedentes históricos (Cruz, 2006)
• Resolución de problemas por los pueblos
antiguos (egipcios, babilonios, etc.)
• Sócrates y la mayéutica.
• Arquímedes y la heurística. Pappus.
• René Descartes. “Reglas para la dirección
del espíritu”.
• Poincaré (Saturación, incubación, inspiración
y verificación)
• G. Polya (1887 – 1985).

6. G. Polya: “¿Cómo resolver problemas?” (Liljedahl,
Malaspina, Santos-Trigo, & Bruder, 2016, pp. 13 – 14)
4 pasos
heurísticos
1.
Comprender
el problema
2. Idear
un plan
3. Llevar
adelante
el plan
4. Mirar
hacia
atrás

7. G. Polya: “¿Cómo resolver problemas?” (Liljedahl,
Malaspina, Santos-Trigo, & Bruder, 2016, pp. 13 –
14)
1. Comprender el problema
• “¿Qué se desconoce? ¿Cuáles son los datos?
¿Cuál es la condición?
• ¿Es posible satisfacer la condición? ¿Es la
condición suficiente para determinar lo
desconocido? ¿O es insuficiente? ¿O
redundante? ¿O contradictorio?
• Traza una figura. Introduce notación adecuada
• Separa las partes de la condición. ¿Puedes
listarlas?”

8. G. Polya: “¿Cómo resolver problemas?” (Liljedahl,
Malaspina, Santos-Trigo, & Bruder, 2016, pp. 13 – 14)
2. Idear un plan
• “Encuentra la conexión entre los datos y lo desconocido. Debes estar
obligado a considerar problemas auxiliares si una conexión inmediata
no puede ser encontrada. Deberías obtener, eventualmente, un plan de
la solución.
• ¿Lo has visto antes? ¿O has visto el problema en una forma
ligeramente diferente?
• ¿Conoces un problema relacionado? ¿Sabes de un teorema que
podría ser útil?
• ¡Mira lo desconocido! Prueba a pensar en un problema familiar que
tenga el mismo o similar (…)
• ¿Puedes reescribir el problema? ¿Puedes reescribirlo en forma
diferente? Regresa a las definiciones (…)
• ¿Has empleado todos los datos? ¿Empleaste la condición completa?
¿Has tomado en cuenta todas las nociones esenciales envueltas en el
problema?”

9. G. Polya: “¿Cómo plantear y resolver problemas?” (Liljedahl,
Malaspina, Santos-Trigo, & Bruder, 2016, pp. 13 – 14)
3. Llevar adelante el plan
“Lleva adelante el plan de la solución,
comprueba cada paso. ¿Puedes ver con claridad
que el paso es correcto?¿Puedes probar que es
correcto?
4. Mira hacia atrás
• ¿Puedes comprobar el resultado? ¿Puedes
comprobar el argumento?
• ¿Puedes arribar a la solución en forma
diferente? ¿Puedes verlo a golpe de vista?
• ¿Puedes usar el resultado, o el método, para
algún otro problema?”

10. A. Schoenfeld y la resolución de problemas
matemáticos (Liljedahl, Malaspina, Santos-Trigo, &
Bruder, 2016, p. 14)
• “Para Schoenfeld, el proceso de solución de problemas es,
finalmente, un diálogo entre el conocimiento previo de quien
resuelve, sus intentos y pensamientos a lo largo de dicho
proceso (…)
• Como tal, la solución de un problema es un proceso
emergente y dependiente del contexto”, lo que difiere de la
heurística de Polya.
• “(…) Schoenfeld propusó un marco teórico para explicar y
documentar la resolución de problemas en términos de cuatro
dimensiones: el empleo de recursos matemáticos básicos, el
uso de estrategias cognitivas o heurísticas, el empleo de
estrategias de automonitoreo o metacognición y las creencias
de los estudiantes acerca de las matemáticas y la resolución
de problemas” (Santos-Trigo, 2014, p. 498).

11. A. Schoenfeld y la resolución de problemas matemáticos
(Schoenfeld, 1980, p. 800)

12. Resolución de problemas “para”, “sobre” y “a través”
(Cruz, 2006)
Schroeder y Lester (1989, citados en Cruz, 2006) relacionan la enseñanza y
la resolución de problemas mediante las preposiciones inglesas for, about y
through. De esta manera, se distinguen tres formas de plantear el enfoque
centrado en resolución de problemas:
Enseñanza para resolver
problemas
• “(…) se asocia al modelo
estímulo –respuesta,
donde las habilidades se
“adquieren” a través de la
reiterada resolución de
una serie de ejercicios
interconectados” (p. 109)
Enseñanza sobre
resolución de problemas
• “Particularmente, la
resolución de problemas
se interpreta como un
proceso racional y
significativo, que se apoya
en una entrenada
memoria de trabajo y
esta, a su vez, en la
memoria a largo plazo” (p.
110)
Enseñanza a través de la
resolución de problemas
• “(…) el propósito no
reside en formar un
imitador (enfoque “para”)
ni un procesador (enfoque
“sobre”), sino un pensador
activo” (p. 110)

13. Una propuesta latinoamericana
LA ENSEÑANZA PROBLÉMICA

14. ¿Qué es la Enseñanza Problémica?

15. Categorías y métodos de la Enseñanza
Problémica

16. Criterios de selección de métodos
problémicos (Torres, 1999)

17. Criterios de aplicación de los métodos
problémicos al Area de Matemática
(Torres, 1999)
• 1. “Partir de elaborar una situación problémica mediante la
revelación de contradicciones resultantes de la ampliación del
contenido de la asignatura o de su aplicación a otras ciencias o a
la vida práctica (…)
• 2. Contribuir a la transformación de la situación problémica en
problema docente a través de una adecuada orientación hacia el
objetivo (…)
• 3. Conducir el proceso de resolución del problema docente a
través de tareas y preguntas, sobre la base del empleo de los
procedimientos heurísticos que permiten concretar los medios y
las vías de solución (…)
• 4. Formular tareas cuyo proceso de solución se dirija hacia la
zona de desarrollo próximo. Las dificultades que esa exigencia le
plantea a los alumnos deben ser superadas, en la medida en que
sea necesario, con la ayuda del profesor, mediante el empleo de
impulsos cada vez menos exigentes (…)” (p. 6)

18. Instrucción Heurística General (Torres, 2013)
“La Instrucción Heurística (de la Matemática) es la
enseñanza consciente y planificada de reglas
generales y especiales de la heurística para la
solución de problemas, para lo cual es necesario
que, cuando se declaren por primera vez las
mismas explícitamente, se destaquen de un modo
claro y firme, y se recalque su importancia en
clases posteriores hasta que los alumnos las
aprendan y utilicen independientemente de
manera generalizada, por lo que debe ejercitarse
su uso en numerosas y variadas tareas” (Ballester
et al., 1992, citado en Torres, 2013, p. 204).

19. Elementos de la Instrucción Heurística de la
Matemática (Torres, 2013)
Medios heurísticos
auxiliares
Recursos
materializados de
búsqueda
Esbozos, tablas y
resúmenes
Procedimientos
heurísticos
Recursos mentales
de búsqueda
(Jungk, 1981;
Zillmer, 1981)
Principios
heurísticos
Reglas heurísticas
Estrategias
heurísticas
Segunda
clasificación
(Müller, 1997)
Principios, reglas y
estrategias
generales
Principios, reglas y
estrategias
especiales
Programa
Heurístico General

20. Principios, reglas y estrategias heurísticas
(Torres, 2013, p. 204)
Principios
heurísticos
• “Sugerencias para encontrar (…) la idea de
solución principal de resolución”
Reglas
heurísticas
• “Impulsos generales dentro del proceso de
búsqueda y ayudan a encontrar (…) los
medios para resolver el problema”
Estrategias
heurísticas
• “Recursos organizativos del proceso de
resolución (…) contribuyen (…) a determinar
la vía de solución del problema (…)”

21. Principios, reglas y estrategias heurísticas
generales y especiales (Torres, 2013, p. 205)
Principios
Generales: analogía,
reducción e
inducción
Especiales:
generalización,
movilidad, búsqueda
de relaciones, casos
especiales y límite
Reglas
Generales: separar
lo dado de lo
buscado, buscar
relaciones y recordar
conocimientos
Especiales:
vinculadas al
contenido
matemático
Estrategias
Generales: trabajo
hacia adelante y
trabajo hacia atrás
Especiales:
vinculadas al
contenido
matemático

22. Programa Heurístico General (Torres, 2013, p.
207)
Fases fundamentales Tareas principales
1. Orientación hacia el problema Comprensión del problema
2. Trabajo en el problema Búsqueda de la idea de la solución
(reflexión sobre los medios y reflexión
sobre la vía)
3. Solución del problema Ejecución del plan de solución
4. Evaluación de la solución y de la
vía
Comprobación de la solución y
reflexión sobre los métodos
empleados
“Secuencia de acciones delimitada por las etapas
principales del proceso general de resolución de
un problema (matemático), que reproduce la lógica
misma de ese proceso.”

23. ¡Cuidado!
Es necesario dominar la técnica de preguntar y formular impulsos didácticos, de acuerdo con
las siguientes recomendaciones (Torres, 2013, pp. 209 - 211):
• “Lingüística:
Colocar el pronombre interrogativo al principio.
• Lógica:
Formular la pregunta con claridad y precisión, de manera que se sepa con
exactitud de qué se trata (es decir, con sencillez, sin ambigüedad)
• Psicológica:
Estimular al estudiante a pensar, y no sólo a reproducir conocimientos ya
adquiridos (que son las preguntas que interesan en este curso, las de carácter heurístico)
No abusar de las preguntas alternativas (de si o no), dado su limitado valor
didáctico.
• Didácticas:
Evitar las preguntas en cadena (como resultado, generalmente, de una mala
formulación).
Asignar tiempo suficiente a las respuestas de los estudiantes.
Establecer pausas después de las preguntas.
Prestar atención cuando el alumno está respondiendo.
Distribuir adecuadamente la participación de los alumnos del grupo.
Mantener respeto hacia los estudiantes que se equivocan en sus respuestas.
Emplear nuevas preguntas para aprovechar los errores de los estudiantes,
haciendo visible la contradicción que genera.”

24. ¡Cuidado! (Torres, 2013)
• “En cuanto a los impulsos didácticos, es importante resaltar la
conveniencia de combinar los de carácter lingüístico (como:
fundamenta tu respuesta, continúa por ese camino, recuerda el
ejemplo anterior, etc.) con los impulsos concretos (cuerpos
geométricos, pancartas, cuadros de pizarra, etc.) y con los
impulsos mímico-gesticulares (gestos como: el movimiento de las
manos, la cabeza, los ojos, etc.) (…)
• El reconocimiento de los impulsos y las preguntas como medios
fundamentales para conducir eficazmente la conversación de
clase presupone, además, referirse a una regla didáctica básica:
el llamado principio de las exigencias decrecientes. Este consiste
en: plantear inicialmente las preguntas e impulsos de la forma
más general y exigentes posibles, y sólo en la medida en que los
estudiantes no puedan responder a ese nivel de exigencia se
decrecen los niveles de exigencia en sus formulaciones, se
incrementa la ayuda del profesor.”

25. Rizo & Campistrous (s.f.)
• “Los procedimientos de solución no
rutinarios son entonces aquellos en los que
se exige un proceso de búsqueda
propiamente heurístico”
• “Un cierto tipo de arroz crece al cocinarse
un 30%. El cocinero decide entonces
reducir al 70% la cantidad de arroz que va
a cocinar. ¿Alcanza la comida?”

26. Simplificación escandalosa

27. Experiencia de Guanche (2016) – 1
“En un área determinada de un bosque de Cuba, se hizo el estudio
de la cantidad de plantas y animales que existían, con el fin de
conocer si había o no un equilibrio. Pues bien, ¿saben cuántos
organismos había, aproximadamente? (se van escribiendo los datos
en la pizarra, o en una presentación de diapositivas, según los
medios de enseñanza disponibles, pero haciendo que queden
plasmados para poderlos consultar cada vez que sea necesario).
Había 403200 plantas (organismos autótrofos); 25200 insectos
comedores de plantas, (consumidores primarios); 1800 lagartijas
comedoras de insectos, (consumidores secundarios); 12 jubos
comedores de lagartijas, (consumidores terciarios). Estos datos son
colocados en una pirámide trófica, la cual puede dibujarse o
presentarse en un cartel. Este paso es necesario para la
comprensión de las relaciones de alimentación. De modo que en la
base aparecen las 403200 plantas, más arriba los 25200 insectos
comedores de plantas, encima de ellos las 1800 lagartijas
comedoras de insectos y en la cima, los 12 jubos comedores de
lagartijas.”

28. Experiencia de Guanche (2016) – 2
“Ustedes seguramente han pensado que esa área de
bosque no estaba en equilibrio…pero, ¿saben lo que
dijeron los científicos? Que sí había equilibrio, a pesar
de que existía una enorme diferencia entre el número
de productores y el de consumidores. (Desde el punto
de vista didáctico, aquí se crea una situación
problémica, pues no se entiende cómo puede haber un
equilibrio, si los números dicen que no lo hay, por la
gran diferencia entre miles de organismos productores
que podrían ofrecer mayor cantidad de alimentos
disponibles para todos los consumidores, entre ellos los
escasos 12 jubos).
De ahí que surja como problema docente: ¿Cómo se
explica que en el bosque existiera un equilibrio, si había
muchos menos consumidores que productores?”

29. Experiencia de Guanche (2016) – 3
• “En el desarrollo de la clase se les propone comenzar por un análisis matemático, lo cual no
debe perturbar a los escolares, pues están ávidos de llegar a una explicación lógica del por qué
este bosque tenía un equilibrio entre productores y consumidores.
• Se solicita sumen el número de consumidores primarios, (25200 insectos); más el de
consumidores secundarios (1800 lagartijas); más el de consumidores terciarios (12 jubos). Una
vez efectuado este cálculo, los mismos escolares deben reafirmar que entre todos los
consumidores llegaban a 27012 animales, para la cantidad de 403200 plantas. Se agudiza más
la situación problémica pues podría pensarse que había oportunidad para que se
alimentaran muchos más animales.
• Continúan entonces las operaciones matemáticas, pues se trata de pedirles a los escolares que
establezcan una relación entre los productores y los consumidores primarios; al comparar la
cantidad de plantas con la cantidad de insectos (403200 : 25200 = 16) nos damos cuenta que
había 16 veces más plantas que insectos. Si seguimos comparando, vemos que la cantidad de
insectos era 14 veces más que las lagartijas (25200 : 1800 = 14). Los escolares se dan cuenta
de que se está hallando las veces que una cantidad está contenida en la otra. Si seguimos
dividiendo el número de lagartijas entre el número de jubos, veremos que había 150 veces más
lagartijas que jubos: (1800 : 12 = 150).
• En una primera conclusión resulta que, desde el punto de vista matemático, había una
tremenda desproporción en esta pirámide de alimentación. Sin embargo, reafirma el maestro o
maestra, los científicos seguían insistiendo que en este bosque había un equilibrio. Veamos por
qué afirmaban esto, porque al parecer, la matemática ha dicho lo contrario.”

30. Experiencia de Guanche (2016) – 4
• “El docente entonces invita a hacer un análisis desde el punto de vista de las ciencias de la naturaleza, por
ejemplo, la Ecología, que estudia estas y otras relaciones: Si analizamos los componentes vivos y no vivos
en este bosque, veremos que todos están relacionados. Se les pregunta de qué forma están relacionados.
Luego de las variadas respuestas que pueden dar los escolares, se reafirma el carácter de productores de
las plantas. Si producen alimentos, entonces, toman la energía del Sol, fabrican alimentos y en ellos
almacenan la energía. Entonces, se les pregunta cómo utilizan esa energía todos estos seres vivos.
• Se analizan las funciones vitales de los organismos del bosque, para apreciar en qué invierten la energía. La
planta crece a medida en que elabora los nutrientes que luego consume, pues produce flores, luego frutos,
que maduran. Por tanto, la planta invierte una parte de esa energía en procesos tales como el crecimiento, la
formación de flores y la maduración de los frutos, y la fabricación de nuevas sustancias alimenticias.
• ¿Y los insectos consumen energía? Los insectos comedores de plantas no tienen a su disposición toda la
energía que estas almacenan. Estos insectos tampoco guardan toda la energía de los alimentos que
ingirieron, pues una parte de ella, la consumen en sus movimientos, en la realización del vuelo, y en otras
actividades vitales. Estas conclusiones se van produciendo en la medida en que el docente, con sus
preguntas, provoque las respuestas esperadas por parte de los escolares.
• El siguiente eslabón de la cadena trófica es el de las lagartijas, que también obtienen la energía de los
alimentos que ingieren, que son los insectos. Una parte de esa energía es consumida porque respiran, se
mueven, saltan, cambian de color, mueven los ojos, se reproducen y caminan. Gastan energía, es decir, la
consumen, y por tanto, de este eslabón de la cadena también pasa al otro eslabón solamente una parte de la
energía.
• ¿Y los jubos? Al comerse las lagartijas, los jubos reciben la energía que ha venido transitando de uno a otro
eslabón, a partir de los productores, que son las plantas. Con esa energía, realizan todas sus funciones
vitales, es decir, consumen la energía que ha pasado de un eslabón al otro de la cadena trófica.”

31. Experiencia de Guanche (2016) – 5
• “Todas estas respuestas solicitadas por el docente y ofrecidas
por los escolares, pueden irse reforzando mediante cuadros, o
mapas conceptuales que se vayan trazando en el pizarrón u otro
medio que fortalezca e ilustre las ideas.”
• Entonces piensen ustedes: ¿Por qué no podría haber más
jubos? Se provoca de nuevo un proceso de pensamiento
productivo. La energía va pasando desde los productores, a los
consumidores primarios, luego a los secundarios y a los
consumidores terciarios. Pero en cada eslabón la energía que
pasa es menor cada vez.
• Si aumentara el número de jubos de pronto, ¿qué sucedería?
Pues que se acabarían en pocas horas todas las lagartijas.
Claro, porque los jubos se las comerían a todas. Pero, ¿cuáles
serían las consecuencias de la desaparición de las lagartijas?
Que los insectos se reproducirían rápidamente y, al no haber
lagartijas que se los comieran, existirían muy pronto en una
cantidad enorme.”

32. Experiencia de Guanche (2016) – 6
• “¿Cuáles serían entonces las consecuencias en este bosque? El razonamiento debe llevar a
los escolares a responder: “Se acabaría todo el bosque, porque, no podría resistir el ataque de
toda una plaga de insectos”.
• Ahora que conocen cómo se produce este tránsito de la energía ¿a qué conclusión pueden
llegar? Una conclusión muy importante es que los organismos vivos se relacionan entre sí y
todos ellos, a su vez, con los elementos del medio ambiente. Otra conclusión es que realmente
en este bosque no habría posibilidad de que creciera así la cantidad de insectos, porque con
ese número de lagartijas bastaba para que se pudieran alimentar de las plantas y estas
siguieran existiendo para brindar su energía al bosque.
• Pero… no se ha dicho a qué se denomina “ecosistema” y ese es precisamente el tema que da
título a la clase, aunque ustedes se habrán dado cuenta, acota el maestro; luego que han visto
todo este equilibrio y estas relaciones, pueden tener una idea para dar una definición.
• Después que los escolares dicen sus ideas de lo que ellos consideran que es el ecosistema,
se procede a “redondear” esa definición: “Todo ese conjunto de organismos que pueblan el
bosque, todos estos eslabones de la cadena trófica, más el Sol, el agua, la tierra, los
organismos descomponedores y el aire, en su conjunto, los denominamos con el nombre de
ecosistema”.
• Por lo tanto, reafirma el docente, el ecosistema es el conjunto de todos los organismos vivos
relacionados entre sí y con los elementos no vivos del medio ambiente. Se propicia que los
escolares anoten sus conclusiones.”

33. Experiencia de Guanche (2016) – 7
• “Esa hectárea de bosque cubano es un ejemplo de un ecosistema en equilibrio,
¿no lo creen así? Por tanto, aunque los cálculos matemáticos que se hicieron al
principio, apuntaban que había una desproporción, al estudiar el ecosistema y
sus relaciones, llegamos a la misma conclusión que los especialistas, porque
“en cada ecosistema existe un flujo de energía desde un eslabón al otro, en
todas las cadenas tróficas, desde los organismos productores, hasta los
consumidores de todos los niveles y los descomponedores”.
• Para trabajar solos o en equipos pequeños se invita a que busquen otros
ejemplos de cadenas tróficas dentro de un ecosistema e identifiquen entre qué
poblaciones se produce el flujo de energía. Al mismo tiempo se requiere que
observen la cantidad de organismos que tiene cada población, para determinar
si el ecosistema está en equilibrio o no, mediante el mismo análisis que se
acaba de efectuar en la clase.
• La clase que se ha ejemplificado fue grabada, para tener una constancia de la
forma en que puede desarrollarse la enseñanza problémica en una asignatura
como la de Ciencias Naturales en la escuela primaria y además, se destacó la
utilización de cálculos matemáticos dentro de la misma, lo cual influyó en la
agudización de la situación problémica y en su devenir como problema docente,
y este se solucionó a través del método de la conversación heurística con
procedimientos como la observación, la representación gráfica de los eslabones
de la cadena trófica y los razonamientos de los escolares, bajo la conducción de
la profesora, en este caso, la autora de este trabajo.”

34. Referencias
• Cruz, M. (2006). La enseñanza de la matemática a través de la
resolución de problemas. La Habana: Educación Cubana.
• Guanche, A. (2011). Enseñanza por problemas en Ciencias
Naturales. Lima: Universidad de Ciencias y Humanidades.
• Guanche, A. (2016). La importancia de la formación del
pensamiento matemático desde la asignatura de Ciencias
Naturales. Disponible en
http://www.oei.es/historico/divulgacioncientifica/?La-importancia-de-
la-formacion-del-pensamiento-matematico-desde-la-asignatura
• Liljedahl, P., Santos-Trigo, M., Malaspina, U., & Bruder, R. (2016).
Problem Solving in Mathematics Education. ICME-13 Topical
Surveys, DOI 10.1007/978-3-319-40730-2_1
• Martínez, M. & Hernández, J. (2004). La enseñanza problémica y el
desarrollo de la creatividad. En García, L. (Comp.). La creatividad
en la educación, 93 – 138. La Habana: Pueblo y Educación.

35. Referencias
• Perú, Ministerio de Educación (2016). Programa curricular de
Educación Primaria. Lima: Autor.
• Rizo, C. & Campistrous, L. (s.f.). Didáctica y solución de
problemas.
• Santos-Trigo, M. (2014). Problem Solving in Mathematics
Education. En Lerman S. (Ed.). Encyclopedia of Mathematics
Education, 496 – 501. Dordrecht: Springer Science+Business
Media.
• Schoenfeld, A. (1980). Teaching Problem-Solving Skills. The
American Mathematical Monthly, 794 – 805.
• Torres, P. (1999). Métodos problémicos en la enseñanza de la
Matemática. La Habana: Academia.
• Torres, P. (2013). La instrucción heurística en la formación de
profesores de matemáticas. En Flores, García, Hernández & Sosa
(Comps.). Matemática educativa: la formación de profesores, 201
– 216. México D. F.: Díaz de Santos.