INDUCCIÓN MATEMÁTICA

INDUCCIÓN MATEMÁTICA
CUADRO SINÓPTICO
Visto el esquema anterior, la primera pregunta que hay que
formularse es:
¿Qué es la inducción matemática?
Busquemos en el DRAE. Inducción: Acción y efecto de inducir. A
continuación habla de la inducción: eléctrica, magnética y mutua.
No dice nada de la inducción matemática. Busco inducir: Fil.
Ascender lógicamente el entendimiento desde el conocimiento de los
fenómenos, hechos o casos, a la ley o principio que virtualmente los
contiene o que se efectúa en todos ellos uniformemente.
Esta definición la podríamos expresar en un lenguaje menos
académico, de esta forma:
La inducción es un proceso por el cual de varios casos
particulares obtenemos una ley general
Siguiendo con el procedimiento vamos a ver lo que dice el CIRLEC.
Inducción: Fil. Tipo de razonamiento, opuesto a la deducción que
partiendo de enunciados particulares, concluye uno de extensión

general. Si se consideran todos los casos particulares que incluye el
universal, la Inducción se llama completa; si solo algunos se llama
Inducción incompleta.
Lo que dice el CIRLEC me sugiere el siguiente:
Ejemplo de Inducción incompleta:
Si tomo objetos diversos y de distinto material y desde una cierta
altura y en cualquier punto de la tierra los abandono, observo que
caen. Esta observación me permite inducir la siguiente ley:
Todo cuerpo abandonado a una cierta altura sin obstáculo
tiende a caer
Como la tierra es, sensiblemente, esférica podemos añadirle a la ley
anterior:
en dirección al centro de la tierra
Uniendo ambas proposiciones podemos enunciar la ley completa:
Todo cuerpo abandonado a una cierta altura sin obstáculo
tiende a caer en dirección al centro de la tierra
En un lenguaje más coloquial podemos decir que la inducción nos
permite pasar de lo particular a lo general.
Ejemplo de inducción completa: La inducción matemática
La inducción matemática nos va a permitir generalizar; esto es,
obtener expresiones generales por observación de los casos
particulares y constituye un recurso muy utilizado en teoría de
números.
Para formalizar algo más lo anterior podemos consulto el DICMAT que
dice:
La inducción es el camino para llegar a una solución que
consta de cuatro pasos: Inferir, presentar una hipótesis,
comparar y concluir.

El principio de inducción completa es un proceso que se enuncia así:
Sea A un conjunto finito que cumple estas condiciones:
a) El primer elemento tiene una determinada propiedad.
b) Si un elemento cualquiera tiene esa propiedad y la tiene también
el elemento siguiente.
c) Entonces todos los elementos del conjunto tienen esa
propiedad
Nota: Los razonamientos basados en este principio se llaman
razonamientos por recurrencia y son los razonamientos matemáticos
por excelencia.
Para aplicar tal principio precisamos:
- Un conjunto
- Una propiedad que puede expresarse en una fórmula
- Hacer tres verificaciones:
1ª Que la propiedad la cumpla el primer elemento del
conjunto.
2ª Que la cumpla un elemento cualquiera bien por
comprobación o suposición. A tal elemento es usual denominarlo
elemento h.
3ª Verificar que el siguiente elemento, esto es el (h + 1),
cumple también esa propiedad.
Conclusión: Todos los elementos del conjunto cumplen esa
propiedad.
Ejemplo 1:
Demostrar por inducción que la suma de los n primeros números
naturales consecutivos es igual a la mitad del producto del último
número considerado por su siguiente.
a) Caso particular:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = (5 x 6)/2 = 15

Observación: El último número considerado es 5; su siguiente 6; su
producto 30; su mitad 15. Si sumamos el primer miembro obtenemos
15.
Lo que hemos hecho es comprobar que la propiedad es verdadera
para n = 5 y así la podíamos aplicar para cualquier número; pero,
por muchas veces que la apliquemos, no sabemos si esa propiedad la
cumplen todos los números naturales.
Demostremos por inducción que esta propiedad es general.
La propiedad en cuestión se escribiría de forma general así:
j n = 1 + 2 + 3 + 4 +......+ n = n(n + 1)/2
desde j=1, hasta j=n
NOTA: j es un contador que va dandole a n valores sucesivos: 1, 2, 3
.... hasta el valor n.
Nos preguntamos:
¿Se puede aplicar el principio de inducción?
Comprobemos con el esquema propuesto:
¿Tenemos un conjunto?
Si: Los números naturales.
¿Tenemos la propiedad?
Si: La suma de n primeros números naturales consecutivos es
igual a la mitad del producto del último número considerado
por su siguiente.
Su expresión general es:
j n = 1 + 2 + 3 + 4 +...+ n = n(n + 1)/2 (1)
NOTA: Recordamos que j es un contador que va dandole a n valores
sucesivos 1, 2, 3 .... hasta el valor n.

conjunto.
El primer elemento es 1 y su siguiente 2; aplicando la fórmula 1 = 1
x 2/2 =1
comprobación o suposición.
Si la cumple el elemento h la fórmula sería:
1 + 2 + 3 +....+ h = h(h + 1)/2 (*)
3ª Verificar que el siguiente elemento, esto es, el (h + 1),
cumple también esa propiedad
Si a los dos elementos de la igualdad anterior le sumamos (h + 1)
obtendríamos:
{1 + 2 + 3 +.......+ h} + (h + 1) = {h(h + 1)/2} + (h + 1) (**)
Observa que lo encerrado entre llaves {} del primero y segundo
miembro de (**) es lo escrito en (*)
Intuyamos la solución aplicando la propiedad. En el primer miembro
de (**) el último elemento considerado es (h + 1); su siguiente en
esta caso será: (h + 2); luego, de acuerdo con la propiedad
enunciada:
j(h+1) ={1 + 2 + 3 +...+ h}+(h+1) = (h+1)(h+2)/2
desde j=1, hasta j=(h+1)
NOTA: Volvemos a recordar que j es un contador que va dandole a h
valores sucesivos 1, 2, 3 .... hasta el valor (h+1).
Para probarlo hagamos transformaciones en el segundo miembro de
(**)
h(h + 1)/2 + (h + 1) Si sacamos (h+1) de factor común en la
expresión anterior se transforma asi:
(h + 1)(h/2 + 1) = (h + 1)(h + 2)/2

Como puede comprobarse, es la fórmula intuida por aplicación de la
propiedad.
Conclusión:
Todos los elementos del conjunto cumplen la propiedad
expresada matemáticamente así:
j n = 1 + 2 + 3 + 4 +...+ n = n(n + 1)/2
¿Qué quiere decir esto? La fórmula (1) es válida para cualquiera
que sea el valor de n.
----o----
En el ejemplo anterior hemos resuelto la siguiente cuestión:
Enunciada una propiedad, escribir su fórmula general y
demostrarla por inducción.
En el ejemplo siguiente vamos a resolver la siguiente cuestión: Dada
la fórmula general de una propiedad, enunciarla, y
demostrarla por inducción
Ejemplo 2:
Demostrar por inducción que:
j(2n-1) = 1+3+5 +...+(2n - 1) = n2 (1)
Para enunciar la propiedad “traduzcamos” los símbolos:
¿Qué expresa ?
 es la letra griega sigma mayúscula y en Matemáticas simboliza la
suma.
¿Qué expresa (2n-1)?
Con esta fórmula se representa un número impar cualquiera; basta
sustituir n por el lugar que ocupa en los números impares, valores
que se le adjudican a j. Así ¿Cual será el 1º, el 5º, el 7º... impar? Se
sustituye en (2n-1), n respectivamente por 1, 5, 7 y nos resultaría:

2 x 1-1 = 1; 2 x 5-1 = 10-1 = 9; 2 x 7-1= 13
Observa que 1+3+5 +...+(2n - 1) son los resultados de sustituir en
la expresión (2n-1), n, por los números naturales consecutivos 1, 2,
3,...
¿Qué expresa n2?
El cuadrado de un número; en nuestro caso el último número natural
considerado.
¿Qué expresa el signo =?
Expresa “igual que”.
Si “sustituímos” en (1) cada símbolo por lo su formulación verbal
tendremos:
La suma de los n primeros números impares consecutivos es
igual al cuadrado del último número impar considerado
.
a) Caso particular: 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42
Observación: El último número impar considerado es el 4º.
Lo que hemos hecho es comprobar que la propiedad es verdadera
para n = 4 y así la podíamos aplicar para cualquier número; pero,
por muchas veces que la apliquemos no sabemos si esa propiedad la
j(2n-1) = 1+3+5 +...+(2n - 1) = n2 (1)

NOTA: Es la última vez que recordamos que j es un contador que va
dandole a n valores sucesivos 1, 2, 3 .... hasta n.
Nos preguntamos:
¿Se puede aplicar elprincipio de inducción?
Si: La suma de los n primeros números impares consecutivos
es igual al cuadrado del último número impar considerado
conjunto.
El primer elemento se obtiene al sustituir en 2n-1, n. por 1, y nos
resultaría:
(2 x 1) - 1 = 1
que es el primer número impar, como sabemos.
1 + 3 +.5...+ (2h-1) = h2 (*)
¿Cual sería el número impar que ocupa el lugar (h+1)?
Dos formas hay de obtener el siguiente impar de un impar dado:
Sumándole 2 unidades al impar dado obtenemos su siguiente.

Asi el siguiente de 7 es 7+2= 9
el siguiente de (2h-1) sería:
(2h-1) +2 = 2h -1 + 2 = 2h + 1;
o bien sustituyendo en la expresión general (2n-1), n, por (h+1);
esto es, donde esté n, la sustituimos por (h+1) y operamos asi:
2(h+1) - 1 = 2h + 2 - 1 = 2h + 1
Si a los dos elementos de la igualdad (*) le sumamos (2h + 1)
obtendríamos:
{1 + 3 +.5...+ (2h-1)} + (2h+1) = {h2}+2h+1
Intuyamos la solución aplicando la propiedad.
En el primer miembro de (*) el último elemento considerado es (2h -
1); su siguiente en este caso será: (2h + 1);
luego, de acuerdo con la propiedad enunciada:
{1 +3 +.5 +...... (2h + 1) = (h + 1)2
Para probarlo observamos que el segundo miembro de (**), h2 + 2h
+ 1, es el cuadrado de (h + 1); esto es: (h + 1)2
matemáticamente se expresaría así:
h2 + 2h + 1 = (h + 1)2
La expresión anterior es un producto notable que se desarrolla por el
binomio de Newton o multiplicando (h + 1) por sí mismo o
recurriendo a la fórmula que se aprende de memoria y muchas veces
no se sabe lo que se está diciendo pero que la recuerdo asi:
El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero más
el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado
del segundo.
Como puede comprobarse, es la fórmula intuida por aplicación de la
propiedad.
Conclusión:

Todos los elementos del conjunto cumplen esa propiedad
j(2n-1) = 1+3+5 +...+(2n - 1) = n2
¿Qué quiere decir esto? La fórmula es válida para cualquiera que
sea el valor de n.
NOTA: Si observas el segundo ejemplo lo he resuelto aplicando el
esquema del primero, con las mismas palabras en lo que es igual y
sustituyendo lo que es diferente.
----o----
En los ejemplos 1 y 2, hemos operado con números y sumas y hemos
aprendido dos cosas:
Dada una fórmula enunciar en el lenguaje ordinario la
propiedad que expresa y, recíprocamente, enunciada una
propiedad en el lenguaje ordinario escribir la fórmula que la
simboliza
Asimismo los dos ejemplos se refieren a igualdades; en el siguiente
nos vamos a referir a una desigualdad.
Mutatis mutandis, como dicen los latinos que significa: “cambiando lo
que haya que cambiar”, voy a seguir el mismo esquema.
Ejemplo 3:
Demostrar por inducción que para n >1 la potencia enésima de un
número más la unidad es mayor que la unidad más el producto de
ese número por el exponente. Simbolicemos la propiedad en una
fórmula:
Al número le vamos a llamar a (recuerda que si lo escribo en negrita
es para destacarlo diferenciando de la preposición a).
La primera parte de la propiedad: La potencia enésima de un
número más la unidad, se simboliza así:
(1+a)n.
Es mayor que, se simboliza así: >

La segunda parte de la exposición: unidad más el producto de ese
número por el exponente, se simboliza así:
(1+na)
luego lo que hemos de probar por inducción es:
(1+a)n > 1 + na;
a) Caso particular muy particular para a= 1 y n= 3 tenemos 23 =
8 > 1 + 2x1.
b) Caso particular más general:
(1+a)2 = 1 + 2a + a2 > 1 + 2a.
Lo que hemos hecho es comprobar que la propiedad es verdadera: en
el primer caso para
a = 1 y n = 3 y en el segundo caso para a = a y n = 2; así la
podíamos aplicar para cualquier número pero, por muchas veces que
la apliquemos, no sabemos si esa propiedad la cumplen todos los
números naturales.
(1+a)n > 1 + na (1)
Nos preguntamos
Si: Para n>1, la potencia enésima de un número más la unidad
es mayor que la unidad más el producto de ese número por el
exponente.

conjunto.
El primer elemento se obtiene al sustituir en
(1+a)n > 1 + na, n, por 2; recuerda que el primer número natural
después de 1, es 2.
Sustituyendo nos resultaría:
(1+a)2 = 1 + 2a + a2 > 1 + 2a
(Esto lo hemos hecho más arriba y podíamos referirnos a esta
transformación así: ver apartado b); recurso muy matemático de
referirse sin más a lo hecho para no reiterarlo)
(1+a)h > 1 + ha (*)
Lo que tenemos que probar es que
(1+a)(h+1) > 1 + (h+1)a (**)
¿Cual sería la expresión del elemento siguiente al h; esto es: el que
ocupa el lugar (h+1)?
Dos formas hay de obtener el término siguiente: multiplicando el
primer miembro de (*) por
(1 + a)
Recuerda que la potencia siguiente de un número se obtiene
multiplicando la potencia anterior por ese número.
Así la potencia siguiente de 24 se obtendría multiplicándola por 2;
esto es:
24 x 2 = 25
o bien sustituyendo en la fórmula general

(1+a)n, n, por (h+1)
esto es donde esté n, la sustituimos por (h+1) y obtendríamos:
(1+a)(h+1);
Para demostrar la propiedad hacemos la siguiente transformación: Si
a los dos miembros de la igualdad (*) lo multiplicamos por
(1 + a)
obtendríamos:
{(1+a)h} (1 + a) > {(1 + ha)}(1+a) (**)
Que es lo mismo que escribir después de operar:
(1+a)(h+1) > 1 + ha+ a + ha2 (***)
El segundo miembro de(***) después de sacar factor común se
puede expresar así:
1 + ha+ a + ha2 = 1 + (h +1) a + ha2 > 1 + (h+1) a
NOTA: Para llegar a esa desigualdad hemos despreciado, como en el
apartado b), ha2 que es positivo; luego al despreciar una cantidad
positiva del segundo miembro de la igualdad anterior, el primer
miembro sería mayor que el segundo..
Por tanto (***) la podemos escribir asi:
(1+a)(h+1) > 1 + (h+1)a
que es lo mismo que resulta de sustituir en
(1+a)n > 1 + na, n, por (h + 1);
Conclusión:

(1+a)n > 1 + na
¿Qué quiere decir esto? La fórmula es válida para cualquiera que
sea el valor de n.
----o----
Ejemplo 4:
Demostrar por inducción que la suma de todos los números
combinatorios de numerador m y órdenes sucesivos hasta m, es
igual a 2 elevado al numerador. Simbolicemos la propiedad en una
fórmula:
NOTA: Tengo dificultad para escribir con símbolos en el ordenador el
combinatorio m sobre n, que se expresa mediante este símbolo ( )
con el numerador m arriba y el orden n abajo. Como el combinatorio
m sobre n es el número de combinaciones ordinarias de m
elementos tomados de n en n, y el símbolo de las combinaciones
ordinarias es: Cm,n operaré con él, por comodidad. Si se sustituye en
el desarrollo posterior Cm,n por el símbolo combinatorio habremos
resuelto el problema de la escritura, al tratarse de dos conceptos
equivalentes.
La primera parte de la exposición: la suma de todos los números
combinatorios de numerador m y órdenes sucesivos hasta m, se
simboliza así:
Cm,n
igual que, se simboliza así: =
La segunda parte de la exposición: 2 elevado al numerador se
expresa asi: 2m
La simbolización y lo que hemos de probar por inducción es:
n = m
 Cm,n = Cm,0 + Cm,1 + Cm,2 +...+ Cm,m = 2m (1)
n = 0
a) Supongamos que m = 5 entonces sería:

 C5,n = C5,0 + C5,1 + C5,2 +...+ C5,5 = 25 = 32
desde n = 0, hasta n = 5
Como C5,0 = C5,5 = 1; C5,1 = C5,4 = 5;
C5,2 = C5,3 = 10 (2)
NOTA: En (2), se ha aplicado la propiedad de los números
combinatorios complementarios (ir)
En a) hemos comprobado que la propiedad que pretendemos
demostrar es verdadera, cuando
m = 5; así la podíamos aplicar para cualquier número; pero, por
muchas veces que la apliquemos no sabemos si esa propiedad la
Nos preguntamos
Si: La suma de todos los combinatorios de numerador m y
órdenes sucesivos hasta m, es igual a 2 elevado al numerador.
 Cm,n = Cm,0 + Cm,1 + Cm,2 +...+ Cm,n = 2m
desde n = 0, hasta n = m (1)
conjunto.
El primer elemento es Cm,0 se obtiene al sustituir en Cm,n, n por 0 y
su valor es igual a la unidad. (Todo combinatorio de orden cero es
igual a la unidad)

Ch,0 + Ch,1 + Ch,2 +...+ Ch,h = 2h (2)
Lo que tenemos que probar es que:
C (h+1),0 + C (h+1),1 + C (h+1),2 +C (h+1),3...+ C(h+1), (h+1) = 2(h+1) (3)
Para demostrar la propiedad hacemos la siguiente transformación: Si
los dos miembros de la igualdad (2) lo multiplicamos por 2
obtendríamos:
2(Ch,o + Ch,1 + Ch,2+ Ch,3...+ Ch,h) = 2h x 2 = 2(h+1) (4)
Los segundos miembros de (3) y (4), son iguales y los primeros
miembros, tienen que serlo también (propiedad transitiva); lo que
hay que demostrar es que:
2  Ch,n =  C(h+1),n
desde n=0, hasta n=h desde n = 0, hasta
n = (h+1)
El primer miembro podemos escribirlo así:
2(Ch,0 + Ch,1 + Ch,2+ Ch,3...+ Ch,h) = Ch,0+{Ch,0+Ch,1} +{Ch,1+Ch,2} +
...
{Ch,2+ Ch,3}+.....{....+ Ch, h}+ {Ch, h}
Por las propiedades de los números combinatorios:
Ch,0 = C(h+1),0 = 1
Ch,0+Ch,1 = C(h+1),1
Ch,1+Ch,2 = C(h+1),2
Así sucesivamente hasta
{(....)+ Ch, h}= C(h+1), h En (....) he simbolizado el anterior a Ch, h
{Ch, h}= 1 = { C(h+1), (h+1)}
.Podemos afirmar que el primer miembro de (4) es igual al primer
miembro de (3)

Por tanto hemos probado la propiedad esto es:
 C(h+1),n = C (h+1),0 + C (h+1),1 + C (h+1),2 +...+ C(h+1), (h+1) =
2(h+1)
desde n = 0, hasta n = (h+1)
Conclusión:
 Cm,n = Cm,0 + Cm,1 + Cm,2 +...+ Cm,n = 2m
desde n = 0, hasta n = m
¿Qué quiere decir esto?
La fórmula es válida para cualquiera que sea el valor de m.
OBSERVACION: Todos los ejemplos se han desarrollado utilizando el
mismo esquema de proceso. Se proponen diversos ejercicios para
que el lector los demuestre por inducción.
Ejercicio pedido por correo.
Demostrar por inducción la fórmula del desarrollo de la potencia del binomio.
Ejercicios propuestos: Probar por inducción las siguientes
propiedades:
1) La suma de los cuadrados de los n primeros números naturales
( n2
) es igual a:
2) La suma de los cubos de los n primeros números naturales
( n3
) es igual a:

Introducción
Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo
inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la
notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n
incógnitas.
Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las
ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de
ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía,
informática, física, etc...
La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial dn los lenguajes de
programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas
en filas y columnas : hojas de cálculo, bases de datos,...
Definición de matriz
Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m líneas
horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma:
Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices
indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna
(j). Por ejemplo el elemento a25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.
Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar
en ambas son iguales.
Algunos tipos de matrices
Vamos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con frecuencia debido a su utilidad, y de los
que es conveniente recordar su nombre.
Atendiendo a la forma
Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1n.
Ejemplo
Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m 1.
Ejemplo
Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En
estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n  n.

Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los
elementos aij con i + j = n +1 la diagonal secundaria.
Ejemplo
Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At
, a la matriz que
se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de At
, la segunda fila de
A es la segunda columna de At
, etc.
De la definición se deduce que si A es de orden m ´ n, entonces At
es de orden n  m.
Ejemplo
Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At
, es decir, si aij = aji  i, j.
Ejemplos
Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At, es decir, si aij = –aji  i, j.
Ejemplos
Atendiendo a los elementos
Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0.
Ejemplos
Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal
principal son nulos.
Ejemplos
Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales.
Ejemplos
Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1.
Ejemplos
Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo
lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos:
Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es
decir, aij =0  i<j.
Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos. Es
decir, aij =0 j<i.
Trasposición de matrices
Dada una matriz de orden m x n, A = (aij), se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At
, a la
matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. Es decir:

Propiedades de la trasposición de matrices
1. Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única.
2. (At
)t
= A.
Suma y diferencia de matrices
La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, es otra matriz S=(sij) de la misma
dimensión que los sumandos y con término genérico sij=aij+bij. Por tanto, para poder sumar dos matrices
estas han de tener la misma dimensión.
La suma de las matrices A y B se denota por A+B.
Ejemplo
Propiedades de la suma de matrices
1. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa)
2. A + B = B + A (propiedad conmutativa)
3. A + 0 = A (0 es la matriz nula)
4. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de
matriz opuesta de A, ya que A + (–A) = 0.
La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como: A–B = A + (–B)
Producto de una matriz por un número
El producto de una matriz A = (aij) por un número real k es otra matriz B = (bij) de la misma dimensión
que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij por k, es decir, bij = k·aij.
Ejemplo
El producto de la matriz A por el número real k se designa por k·A. Al número real k se le llama también
escalar, y a este producto, producto de escalares por matrices.
Propiedades del producto de una matriz por un escalar
1. k (A + B) = k A + k B (propiedad distributiva 1ª)
2. (k + h)A = k A + h A (propiedad distributiva 2ª)
3. k [h A] = (k h) A (propiedad asociativa mixta)
4. 1·A = A (elemento unidad)
Propiedades simplificativas
1. A + C = B + C  A = B.
2. k A = k B  A = B si k es distinto de 0.
3. k A = h A  h = k si A es distinto de 0.

Producto de matrices
Dadas dos matrices A y B, su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplacando las
filas de A por las columnas de B. De manera más formal, los elementos de P son de la forma:
Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Es más, si A
tiene dimensión m n y B dimensión n p, la matriz P será de orden m p. Es decir:
Ejemplos
Propiedades del producto de matrices
1. A·(B·C) = (A·B)·C
2. El producto de matrices en general no es conmutativo. (Ejemplo)
3. Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene A·In = In·A = A.
4. Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que A·B = B·A = In.
Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se representa por A–1
.
5. El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir: A·(B + C) =
A·B + A·C
Consecuencias de las propiedades
1. Si A·B= 0 no implica que A=0 ó B=0. (Ejemplo)
2. Si A·B=A·C no implica que B = C. (Ejemplo)
3. En general (A+B)2
 A2
+ B2
+2AB,ya que A·B  B·A.
4. En general (A+B)·(A–B)  A2
–B2
, ya que A·B  B·A.
Matrices inversibles
Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es inversible o regular; en caso contrario recibe el
nombre de singular.
Porpiedades de la inversión de matrices
1. La matriz inversa, si existe, es única
2. A-1
A=A·A-1
=I
3. (A·B) -1
=B-1
A-1
4. (A-1
) -1
=A
5. (kA) -1
=(1/k·A-1
6.
(At
) –1
=(A-1
) t
Observación
Podemos encontrar matrices que cumplen A·B = I, pero que B·A I, en tal caso, podemos decir que A es
la inversa de B "por la izquierda" o que B es la inversa de A "por la derecha".
Determinantes

Dada una matriz cuadrada
se llama determinante de A, y se representa por |A| ó det(A), al número:
, con
(Sn es el grupo de las permutaciones del conjunto {1, 2,.. n}, e i() es la signatura de la permutación)
También se suele escribir:
Puedes consultar la siguiente página interactiva, la cual contiene una calculadora para
trabajar con matrices.
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/ed99-0289-02.html
Cálculo de determinantes de órdenes 1, 2 y 3
Es fácil comprobar que aplicando la definición se tiene:

En este último caso, para acordarnos de todos los productos posibles y sus correspondientes signos se
suele usar la Regla de Sarrus, que consiste en un esquema gráfico para los productos positivos y otro para
los negativos:
Cálculo de un determinante por los adjuntos de una línea
Sea A una matriz cuadrada y aij uno cualquiera de sus elementos. Si se suprime la fila i y la columna j de
la matriz A se obtiene una submatriz Mij que recibe el nombre de matriz complementaria del elemento
aij.
Dada la matriz
la matriz complementaria del elemento a11 es la matriz que resulta de suprimir en la matriz A la fila 1 y la
columna 1; es decir:
Llamamos menor complementario del elemento aij al determinante de la matriz complementaria del
elemento aij , y se representa por ij
Se llama adjunto de aij , y se representa por por Aij, al número (–1)i+j
ij.
El determinante de una matriz cuadrada es igual a la suma de los elementos de una fila o columna
cualquiera, multiplicados por sus adjuntos.
Por ejemplo, si desarrollamos un determinante de orden n por los adjuntos de la 1ª fila se tiene:
La demostración es muy fácil, basta con aplicar la definición de determinante a ambos lados de la
igualdad.

Nota
Esta regla rebaja el orden del determinante que se pretende calcular en una unidad. Para evitar el cálculo
de muchos determinantes conviene elegir líneas con muchos ceros
Propiedades de los determinantes
Si todos los elementos de una línea (fila o columna) de una matriz cuadrada se descomponen en dos
sumandos, entonces su determinante es igual a la suma de dos determinantes que tienen en esa línea los
primeros y segundos sumandos, respectivamente, y en las demás los mismos elementos que el
determinante inicial.
det (L1 + L'1, L2, L3...) = det (L1, L2, L3...) + det (L'1, L2, L3...)
Ejemplo
• Si se multiplican todos los elementos de una línea de una matriz cuadrada por un número, el
determinante queda multiplicado por dicho número.
det (k·L1, L2, L3...) = k·det (L1, L2, L3...)
Ejemplo
• Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden, entonces se verifica:
det (A·B) = det (A) · det (B)
Ejemplo
• Si permutamos dos líneas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo con
respecto al inicial:
det (L1, L2, L3...) = −det (L2, L1, L3...)
Ejemplo
• Si una matriz cuadrada tiene una línea con todos los elementos nulos, su determinante vale cero.
det (0, L2, L3...) = 0
Ejemplo
• Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales, su determinante vale cero.
det (L1, L1, L3...) = 0
Ejemplo
• Si dos líneas paralelas de una matriz cuadrada son proporcionales, su determinante se anula.

det (L1, k·L1, L3...) = 0
Ejemplo
• Si una fila (columna) de una matriz cuadrada es combinación lineal de las restantes filas (columnas),
su determinante vale cero.
det (L1, L2, a·L1 + b·L2...) = 0
Ejemplo
• Si a una línea de una matriz cuadrada se le suma otra paralela, su determinante no varía.
det (F1 + F2, F2, F3) = det (F1, F2, F3) + det (F2, F2, F3) = det (F1, F2, F3)
Ejemplo
• Si a una línea de una matriz cuadrada se le suma otra paralela multiplicada por un número, su
determinante no varía.
det (L1 + k· L2, L2, L3...) = det (L1, L2, L3...) + det (k·L2, L2, L3...) = det (L1, L2, L3...) + 0
Cálculo de determinantes por el método de Gauss
Se conoce cómo método de Gauss a un método para facilitar el cálculo de determinantes usando las
propiedades de éstos. Dicho método consiste en hallar un determinante equivalente (con el mismo valor)
al que se pretende calcular, pero triangular. De esta forma el problema se reduce a calcular un
determinante de una matriz triangular, cosa que es bastante fácil usando las propiedades de los
determinantes.
Para conseguir triangularizar el determinante se pueden aplicar las siguientes operaciones:
• Permutar 2 filas ó 2 columnas.
• Multiplicar o dividir una línea por un número no nulo.
• Sumarle o restarle a una línea otra paralela multiplicada por un número no nulo.
Cálculo de la matriz inversa usando determinantes
Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por Adj(A), a la matriz de los
adjuntos, Adj(A) = (Aij).
Si tenemos una matriz tal que det (A)  0, se verifica:
Esto es fácil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los elementos de una fila por
sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de los productos de los elementos de una fila por

los adjuntos de otra fila diferente es 0 (esto sería el desarrollo de un determinante que tiene dos filas
iguales por los adjuntos de una de ellas).
Aplicación de las matrices y los determinantes a los sistemas de
ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales (s.e.l.) es un conjunto de m ecuaciones con n incógnitas de la forma:
donde aij son los coeficientes, xi las incógnitas y bi son los términos independientes.
Representación matricial de un s.e.l.
El anterior sistema se puede expresar en forma matricial, usando el producto de matrices de la forma:
De modo simplificado suele escribirse Am,n · Xn,1 = Bm,1 , donde la matriz A de orden m x n se denomina
matriz de coeficientes.
También usaremos la matriz ampliada, que representaremos por A', que es la matriz de coeficientes a la
cual le hemos añadido la columna del término independiente:
Discusión de un s.e.l.: Teorema de Rouché-Fröbenius
Dado un sistema de ecuaciones con matriz de coeficientes A, matriz ampliada A' y rangos respectivos r y
r' se verifican:
1. El sistema de ecuaciones es compatible cuando rango(A) = rango(A')
2. En caso de compatibilidad existen dos posibilidades:
Si r = r' = n (nº de incógnitas)  Sistema compatible determinado (una única solución)
Si r = r' < n (nº de incógnitas)  Sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones)
Al valor n - r se le llama grado de libertad del sistema.
Resolución de un s.e.l.

a) Regla de Cramer
Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas (n=m) y es compatible
determinado (a un s.e.l. qu cumple estas condiciones se le llama un sistema de Cramer).
El valor de cada incógnita xi se obtiene de un cociente cuyo denominador es el determinate de la matriz
de coeficientes, y cuyo numerador es el determinante que se obtiene al cambiar la columna i del
determinante anterior por la columna de los términos independientes.
b) Por inversión de la matriz de coeficientes
Si A·X = B, entonces X = A-1
B.
Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas (n=m) y es compatible
determinado.
NUMEROS COMPLEJOS
1.1 Introducción.
Los números reales, a pesar de sus excelentes propiedades, presentan una gran
deficiencia: no es un cuerpo algebraicamente cerrado, es dedir, no existe ningin número
real que verifique la relación x2
+ 1 = 0. Por tanto, los matemáticos han sentido la
necesidad de "inventarse" un número, que notaremos por "i", y que tenga la propiedad
de que i2
+ 1 = 0.
Buscamos un cuerpo que sea algebraicamente cerrado, que contenga a R y tal que i sea
un elemento suyo. Como hemos visto, i no pertenece a R, y ha de pertenecer a dicho
cuerpo, con lo cual definimos:
C = {z = a + b·i / a,b reales}
Evidentemente, si a + b·i = c + d·i entonces a = c y b = d.
En C se clefinen las operaciones heredadas de R:
Suma:
(a + b·i) + (c + d·i) = a + b·i + c + d·i = (a + c) + (b + d)·i
Producto:
(a + b·i)·(c + d·i) = ac + ad·i + bc·i + bd·i2
= (ya que i2
= -1) = (ac - bd) + (ad +
bc)·i
es decir, (a + b·i)·(c + d·i) = (ac - bd) + (ad + bc)·i, que es otro número complejo.
Análogamente podemos considerar el conjunto R2, y en él definir las operaciones:
Suma:
(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)
Producto:
(a,b)·(c,d) = (ac-bd,ad+bc)

El desarrollo del tema lo realizaremos en el conjunto C, aunque se puede trasladar
fácilmente en todo momento a R2
con las operaciones definidas anteriormente.
1.2 El cuerpo (C,+,·)
Veamos en primer lugar que (C,+) tiene estructura de grupo abeliano:
Asociativa:
Es evidente que si z1, z2 y z3 son elementos de C, se verifica que zl + (z2 + z3) =
(z1 + z2) + z3
Elemento neutro:
Es el elemento 0 + 0·i, que lo notaremos por 0 = 0 + 0·i.
Elemento opuesto:
Dado z = a + b·i, a su elemento opuesto lo notaremos por -z, y será -z = (-a) + (-
b)·i = -a - b·i.
Conmutativa:
Es obvio que si z1 y z2 son elementos de C, se verifica que z1 + z2 = z2 + z1
Veamos ahora que (C,·) tiene también estructura de grupo abeliano.
Las proniedades asociativa y commutativa se verifican evidentemente.
Elemento neutro:
Es el elemento de C, que notamos por 1, y que viene dado por 1 = 1 + 0i
Elemento inverso:
Dado el elemento de C: z = a + b·i, con z no nulo, existe otro elemento de C que
es su inverso, que lo notamos por z-1
=1/z, y que viene dado por z-1
= 1/z =
1/(a+b·i) = (a-b·i)/(a+b·i)(a-b·i) = (a-b·i)/(a2
-b2
·i2
) = a/(a2
+b2
)-[b/(a2
+b2
)]·i
Por último es fácil comprobar que se verifica la propiedad distributiva del producto
respecto a la suma:
z1·(z2 + z3) = z1·z2 + z1·z3
Por lo tanto, (C,+,·) tiene estructura de cuerpo abeliano.
1.3 Notaciones
De manera análoga a la anterior se demuestra que (R2
,+,·) tiene estructura de cuerpo
con las operaciones definidas en la introducción. A ambos cuerpos, que son
"esencialmente" iguales, se les denomina cuerpo de los números complejos, se les
nota por C. Si el número complejo z lo notamos de la forma z = a + b·i, diremos que
está en forma binómica; si lo representamos por z = (a,b), diremos que está en forma
cartesiana.
Al número real a lo llamaremos parte real de z, y al número b parte imaginaria.

Existe un subcuerpo de C, el formado por los elementos de la forma {a + 0·i / a real},
que lo identificamos con el conjunto de los números reales; así escribiremos a + 0·i = a,
y mediante dicha identificación diremos que todo número real es a la vez un número
complejo, que no tiene parte imaginaria.
Un número complejo que no tenga parte real diremos que es imaginario puro, y será de
la forma 0 + b·i = b·i.
1.4 Potencia de un número complejo.
Veamos cómo son las potencias del número complejo i:
i1
= i
i2
= -1
i3
= i2
·i = -i
i4
= (i2
)2
= (-1)2
= 1
i5
= i4
·i = 1·i = i
.................................
in
= 1 si n es múltiplo de 4
in
= i si al dividir n entre 4 da de resto 1
in
= -1 si al dividir n entre 4 da de resto 2
in
= -i si al dividir n entre 4 da de resto 3
Sea z = a + b·i un número complejo en forma binómica. Para calcular su potencia n-
ésima basta con efectuar el binomio de Newton:
(a + b·i) = (n
0)·an
+ (n
1)·an-1
·b1
·i1
+ (n
2)·an-2
·b2
·i2
+ (n
3)·an-3
·b3
·i3
+ ... + (n
n)·bn
·in
==
(n
0)·an
+ (n
1)·an-1
·b·i - (n
2)·an-2
·b2
- (n
3)·an-3
·b3
·i + ... + (n
n)·bn
·in
2.1 Definición.
Sea z = a + b·i un número complejo en forma binómica. Llamaremos conjugado de z, y
lo notaremos por z´, al número complejo z´ = a - b·i.
En forma cartesiana el conjugado de (a,b) es (a,-b).
2.2 Propiedades de la conjugacíon.

1. El conjugado del conjugado de un número complejo es el propio número
complejo: (z´)´ = z.
En efecto, sea z = a + b·i ==> z´ = a - b·i ==> (z´)´ = a - (- b·i) = a + b·i = z
2. El conjugado de la suma es la suma de los conjugados: (z1 + z2)´ = z1´ + z2´.
En efecto, sean z1 = a + b·i y z2 = c + d·i; es z1´ = a - b·i y z2´ = c - d·i, por tanto
z1´ + z2´ = a - b·i + c - d·i = (a+c) - (b+d)·i = (z1 + z2)´.
3. El conjugado del opuesto es el opuesto del conjugado: (- z)´ = - z´.
En efecto, sea z = a + b·i ==> - z = - a - b·i ==> (- z)´ = - a + b·i = - (a - b·i) = -
z´.
4. El conjugado del producto es el producto de los conjugados: (z1 · z2)´ = z1´ · z2´.
En efecto, sean z1 = a + b·i y z2 = c + d·i. Es z1 · z2 = (ac - bd) + (ad + bc)·i, de
donde (z1 · z2)´ = (ac - bd) - (ad + bc)·i.
Por otra parte, z1´ · z2´ = (a - b·i) · (c - d·i) = [ac - (-b)(-d)] + [a(-d) + c(-b)]·i =
(ac - bd) + (-ad - bc)·i = (ac - bd) - (ad + bc)·i = (z1 · z2)´.
5. El conjugado del inverso es el inverso del conjugado: 1/z´ = (1/z)´.
En efecto, sea z = a + b·i ==> z´ = a - b·i ==> 1/z´ = [a - (- b)·i]/(a2
+ b2
) = (a +
b·i)/(a2
+ b2
). Por otra parte, 1/z = (a - b·i)/(a2
+ b2
) ==> (1/z)´ = (a + b·i)/(a2
+
b2
) = 1/z´.
6. El conjugado del cociente es el cociente de los conjugados: (z1/z2)´ = z1´/z2´.
7. z es un número real <==> z = z´.
8. z es imaginario puro <==> z = -z´.
Estas tres últimas propiedades son de inmediata demostración.
3.1 Definición.
Sea z un número complejo, se define el módulo de z, y lo notarnos por |z|, como la raíz
cuadrada positiva del producto de z por su conjugado, es decir:
|z| = +(z · z´)1/2
Si el número complejo en forma binómica viene dado por z = a + b·i, se tiene que |z|2
=
(a + b·i)·(a - b·i) = a2
- b2
i2
= a2
+ b2
, de la que se obtiene la llamada expresión
analítica del módulo de un número complejo:
|z| = (a2
+ b2
)1/2
3.2 Propiedades.
1. |z| = 0 ==> z = 0
2. |-z| = |z|
3. |z´| = |z|
4. |z1 + z2| < |z1| + |z2| (Llamada propiedad triangular).
5. |z1| - |z2| < |z1 - z2|
6. |z1 · z2| = |z1| · |z2|
7. Si c C R, |c·z| = |c| · |z|, donde |c| es el valor absoluto de c.
4.1 Representación geométrica de un número complejo.
Sea z = a + b·i un número complejo en forma binómica. Su expresión en forma
cartesiana es

z = (a,b). Consideremos el plano euclídeo real R2
, y en él un
sistema de referencia ortonormal. A cada número complejo z =
a + b·i le hacemos corresponder un punto del plano P(a,b); y
recíprocamente, dado ese punto del plano le asociamos el
complejo z = a + b·i. Tenemos pues una biyección entre el plano euclídeo real R2
y el
cuerpo de los núneros complejos C.
El punto del plano P(a,b) correspondiente al complejo z = a + b·i recibe el nombre de
afijo de z. El ángulo que forma el vector OP con el eje de abcisas recibe el nombre de
argumento de z.
Además, el módulo del vector OP es:
|OP| = (a2
+ b2
)1/2
= |z|
que coincide con la distancia del punto P al origen de coordenadas.
Sea r = |z|. Si x es su argumento, se tiene que:
sen x = PA/OP = b/r ==> b = r·sen x
cos x = OA/OP = a/r ==> a = r·cos x
Luego podernos escribir z = a + b·i = r·cos x + i·r·sen x = r·(cos x + i·sen x)
4.2 Forma trigonométrica y forma polar.
Esta expresión, z = r·(cos x + i·sen x), recibe el nombre de forma trigonométrica de z,
donde r es el módulo de z y x su argumento.
Definimos la forma polar del número complejo z = r·(cos x + i·sen x) como rx.
4.3 Igualdad de números complejos en forma trigonométrica.
Veamos cuando dos complejos en forma trigonométrica, o en forma polar, son iguales:
Sean z1 = r·(cos x + i·sen x) y z2 = r´·(cos y + i·sen y). Si z1 = z2, entonces r·(cos x +
i·sen x) = r´·(cos y + i·sen y). Como dos números complejos iguales tienen el mismo
módulo, entonces r = r´, y por tanto, (cos x + i·sen x) = (cos y + i·sen y), de donde:
cos x = cos y
==> y = x + 2·k·pi, con k C Z
sen x = sen y
Por tanto, r·(cos x + i·sen x) = r·[cos (x + 2·k·pi) + i·sen(x + 2·k·pi)], y en forma polar
resulta:
rx = rx + 2·k·pi
4.4 Paso de la forma binómica a la forma polar
Hemos visto que z = a + b·i = r·(cos x + i·sen x) = r·cos x + i·r·senx, de donde:
a = r·cos x
b = r·sen x
Por otra parte, sea z = a + b·i un número complejo en forma binómica. Por definición
tenemos que:
|z| = (a2
+ b2
)1/2

Además es:
b/a = (r·sen x)/(r·cos x) = (sen x)/(cos x) = tg x
Por tanto
x = arc tg (b/a)
estudiando el cuadrante de x según los signos de la parte real y de la parte imaginaria le
z.
5.1 Producto.
Sean z1 = r1·(cos x + i·sen x) y z2 = r2·(cos y + i·sen y) dos números complejos en forma
trigonométrica. Es:
z1·z2 = [r1·(cos x + i·sen x)]·[r2·(cos y + i·sen y)] = r1·r2·(cos x + i·sen x)·(cos y + i·sen
y) = r1·r2·(cos x cos y + i·cos x sen y + i·sen x cos y + i2
·sen x sen y) = r1·r2·[(cos x cos
y - sen x sen y) + i·(cos x sen y + sen x cos y)] = r1·r2·[cos(x + y) + i·sen(x + y)]
Es decir;
z1·z2 = r1·r2·[cos(x + y) + i·sen(x + y)]
En forma polar sería:
rx·r´y = (r·r´)x + y
5.2 Cociente.
Veamos en primer lugar cómo se calcula el inverso de un número complejo en forma
polar.
Sea z = r·(cos x + i·sen x) = a + b·:i , donde a = r·cos x y b = r·sen x
Tenemos:
1/z = a/(a2
+ b2
) - [b/(a2
+ b2
)]·i = (r·cos x)/(r2
cos2
x + r2
sen2
x) - [(r·sen x)/(r2
cos2
x +
r2
sen2
x)]·i = (cos x)/[r·(cos2
x + sen2
x)] - i·(sen x)/[r·(cos2
x + sen2
x)] = (1/r)·cos x -
(1/r)·i·sen x = (1/r)·(cos x - i·sen x) = (1/r)[cos(-x) + i·sen(-x)]
Es decir,
1/rx = (1/r)-x
Por lo tanto, la expresión del cociente de números complejos vendrá dada por:
rx /r´y = (r/r´)x - y
5.3 Potencia.
Sea z = rx un número complejo en forma polar. Para calcular su potencia n-ésima,
bastará con multiplicarlo por sí mismo n veces, con lo que se obtiene:
zn
= z·z·..(n veces)..·z = (rx)·(rx)·..(n veces)..·(rx) = (r·r·..(n veces)..·r)x+x+..(n veces)..+x = (rn
)n·x
Es decir,
(rx)n
= (rn
)n·x
Si escribimos el número z en forma trigonométrica obtenemos:
z = r·(cos x + i·sen x) ==> zn
= rn
·(cos x + i·sen x)n
= rn
·(cos n·x + i·sen n·x)
De donde:

cos(n·x) + i·sen(n·x) = (cos x + i·sen x)n
expresión que recibe el nombre de fórmula de Moivre.
Como aplicación de esta fórmula podemos obtener las razones trigonométricas seno y
coseno de múltiplos de un ángulo conocidas las razones trigonométricas del ángulo.
Ejemplo:
Conocidos cos x y sen x , calculemos cos 4x y sen 4x :
cos 4x + i·sen 4x = (cos x + i·sen x)4
= (4
0)·cos4
x + (4
1)·cos3
x·i·sen x +
(4
2)·cos2
x·i2
·sen2
x + (4
3)·cos x·i3
·sen3
x + (4
4)i4
·sen4
x = cos4
x + 4·i·cos3
x·sen x -
6·cos2
x·sen2
x - 4·i·cos x·sen3
x + sen4
x = (cos4
x - 6·cos2
·sen2
x + sen4
x) + (4·cos3
x·sen x
- 4·cos x·sen3
x)·i
Como dos complejos son iguales si y sólo si lo son sus partes reales así como sus partes
imaginarias, tenemos que:
cos 4x = cos4
x - 6·cos2
x·sen2
x + sen4
x
sen 4x = 4·cos3
x·sen x - 4·cos x·sen3
x
6.1 Raíz n-ésima.
Sea z = rx un número complejo. Calculemos su raíz n-ésima. Ésta va a ser un número
complejo w = sy de forma que wn
= (sy)n
= rx. Es decir:
(sn
)n·y = rx ==>
sn
= r
==>
s = r1/n
n·y = x + 2·k·pi , con k C Z y = (x + 2·k·pi)/n , con k C Z
Cualquiera de los números complejos que se obtienen de sy al variar k en Z es una raíz
n-ésima de z.
Teorema.
Todo numero complejo z tiene exactamente n raíces n-ésimas distintas.
Demostración.
Sea z = rx un número complejo. Hemos dicho que sy es una raíz n-ésima de z, siendo s =
r1/n
e y = (x + 2·k·pi)/n , con k C Z.
Si llamamos wk = sy , cuando k C {0,1,2,...,n-1}, obtenemos exactamente n raíces n-
ésimas de z distintas. Veamos que cualquier otra raíz coincide con una de estas xk.
Sea t C Z, t distinto de 0,1,2,...,n-1. Entonces, por el algoritmo de la división euclídea
es:
t = p·n + r, con 0 <= r < n , y r número entero.
Si notamos por xt = sy, siendo y = (x + 2·t·pi)/n, tenemos que:
y = (x + 2·t·pi)/n = (x + 2·r·pi +2·n·p·pi)/n = (x + 2·r·pi)/n + 2·p·pi
De donde xt y xr tienen el mismo argumento, y por tanto xt = xr. Además, xr es uno de
los xk que dijimos antes, ya que r C {0,1,2,...,n-1}.
c.q.d.
En resumen, para calcular la raíz n-ésima del número complejo z = rx , se procede de la
siguiente manera:

• El módulo será la raíz n-ésima del módulo de z.
• El argumento viene dado por la fórmula:
y = (x + 2·k·pi)/n dándole a k los valores 0,1,2,...,n-1
RAICES RACIONALES DE POLINOMIOS
En esta ocasión pasaremos a encontrar todas las raíces racionales de un polinomio
con coeficientes racionales.
Teorema del factor(factorización): Si r es una raíz del polinomio P(x), entonces x - r
es un factor de P(x). Por el contrario, si x - r es un factor de P(x), entonces r es una
raíz de P(x).
Ejemplos para discusión:
1) ¿Cuáles son las raíces de P(x) = x2
- x - 6?
2) Demuestra que x + 1 es un factor de x25
+ 1.
3) ¿Cuáles son las raíces de P(x) = 3(x - 5)(x + 2)(x - 3)?
4) ¿Cuáles son las raíces de x4
- 1?
5) ¿Cuáles son las intersecciones con el eje de x de la gráfica de P(x) = x2
- x - 6?
Ejercicio de práctica:
1) Usa el teorema del factor para demostrar que x + 4 es un factor del polinomio
P(x) = x3
- 13x + 12.
2) ¿Cuáles son las raíces de P(x) = 2(x + 3)(x + 7)(x - 8)(x + 1)?
3) ¿Cuáles son las raíces de x2
+ 4 = 0?
4) ¿Cuáles son las intersecciones con el eje x de P(x) = x2
- 9?
Teorema fundamental del álgebra: Cada polinomio P(x) de grado n>0 tiene al
menos una raíz.
Definición: Si un factor x - r ocurre k veces en la factorización completa de un
polinomio P(x), entonces r es una raíz de P(x) = 0 con multiplicidad k.
Ejemplos:
1) 1) En el polinomio P(x) = x2
- 10x + 25 es un polinomio con raíz 5 de
multiplicidad 2. Observa que, x2
- 10x + 25 = (x - 5)(x - 5) = (x - 5)2
.
2) 2) Un polinomio P(x) de menor grado, con coeficiente principal 1 que tiene las
siguientes raíces:-7 de multiplicidad 3 y 5 de multiplicidad 2 queda
expresado de la forma factorizada como : P(x) = (x + 7)3
(x – 5)2
.
Teorema de las n raíces: Cada polinomio P(x) de grado n>0 se puede expresar
como el producto de n factores lineales. De aquí que, P(x) tenga exactamente n
raíces (no necesariamente distintas).
Ejemplo: El polinomio P(x) = 6(x - 5)3
(x + 1)2
(x - i)(x + i) es de grado siete y tiene siete
raíces, no todas diferentes. Observa que 5 es una raíz de multiplicidad 3; -1 es una

raíz de multilpicidad 2; i y -i es de multiplicidad 1. Así que este polinomio de
grado siete tiene exactamente siete raíces tomando en cuenta al 5 y al -1 con sus
respectivas multiplicidades.
Teorema de raíces imaginarias: Las raíces imaginarias de polinomios con
coeficientes reales, si existe, ocurren en pares conjugados.
Ejemplo: Al hallar las raíces del polinomio P(x) = x2
- 6x + 13 por la fórmula
cuadrática encontramos que las raíces son 3 + 2i y 3 - 2i, que son números
conjugados imaginarios.
Teorema de las raíces racionales: Si P(x) = anxn
+ an-1 xn-1
+ an-2 xn-2
+ ... + a1x + a0
es una función polinómica con coeficientes enteros (donde an es diferente de cero y a0
es diferente de cero) y b/c (de forma simplificada) es un cero racional de P(x),
entonces b es un factor del término constante a0 y c es un factor del coeficiente de
an.
Ejemplos para discusión: Halla todas las raíces racionales para:
1) P(x) = 2x3
- 9x2
+ 7x + 6
2) P(x) = 2x3
- 7x2
+ 4x + 3
Ejercicio de práctica: Halla todas las raíces para P(x) = 2x3
+ x2
- 11x - 10.
Los polinomios son funciones no lineales suficientemente particulares como para
merecer un párrafo aparte. Supondremos aquí que la expresión conocida del polinomio
es la canónica
(Otras expresiones interesantes son aquellas que resultan al escribir el polinomio
característico de una matriz tridiagonal simétrica, según vimos en el capítulo V.)
Como hemos insistido previamente, la velocidad de convergencia del método de
Newton puede no ser tal, en términos reales, debido al problema del costo en
evaluaciones de cada iteración. para evaluar eficientemente un polinomio y su derivada
se cuenta con el Método de Horner, que pasamos a describir.
El polinomio dado en ?? se puede escribir también de la forma
Esta última expresión permite evaluar el polinomio en un z dado, de manera
recursiva, aprovechando el anidamiento, según el procedimiento

De este modo el valor del polinomio en z será
El ahorro en el número de productos es considerable. Al calcular p(z)
reemplazando x por el valor z en la expresión ?? se realizan (2n - 1) productos, en
cambio con el procedimiento ?? solo se realizan n de estas operaciones. Si el objetivo
fuera conocer solo el valor de p en z, entonces los valores bn,bn-1,...,b1 podrían ser
olvidados una vez utilizados. Pero si la razón de estos cálculos es realizar una iteración
del método de Newton (z será en ese caso la iteración anterior xk) entonces tendrán una
segunda utilidad, pues se relacionan con la derivada del polinomio, como se muestra a
continuación. Sea
Se comprueba fácilmente, identificando coeficientes y usando la definción de los
coeficientes bi, que
y por lo tanto
De modo que la evaluación de la derivada del polinomio p se realizará según el
mismo método de Horner, es decir, siguiendo la recurrencia ?? para calcular ahora ci a
partir de los coeficientes bi,i = n,n - 1,...,1
El único valor que interesa es c1 = p'(z) y por lo tanto los demás términos de la
recurrencia pueden ser olvidados una vez utilizados.
En síntesis una iteración de Newton se realizará en este caso como sigue.

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