Este documento presenta una serie de ejercicios de inducción matemática para sumas, desigualdades, divisibilidad y el binomio de Newton. Los ejercicios piden demostrar diferentes fórmulas y propiedades matemáticas utilizando inducción matemática. Adicionalmente, se pide conjeturar fórmulas para diferentes sumas.
SELECCIÓN DE LA MUESTRA Y MUESTREO EN INVESTIGACIÓN CUALITATIVA.pdf
Inducción matemática
1. TAREA # 1
INDUCCIÓN MATEMÁTICA.
En los siguientes ejercicios, para sumas, demuestre lo afirmado por inducción matemática.
1.
=
n
i
i
1
=
2
)
1
( +
n
n
2.
=
n
i
i
i
1
!
* = (n+1)! –1
3.
=
−
n
i
i
1
3
)
1
2
( = 2
n (2n 2
-1)
4.
=
n
i
i
1
2
=
6
)
1
2
)(
1
( +
+ n
n
n
5.
=
n
i
i
1
3
= (
2
)
1
( +
n
n
) 2
6.
=
−
n
i
i
1
)
2
6
( = n(3n+1)
7.
=
n
i
i
1 2
1
= 1- n
2
1
8.
= +
−
n
i i
i
1 )
2
3
)(
1
3
(
1
=
4
6 +
n
n
9.
=
n
i
i
i
1
3 =
4
3
)
1
2
( )
1
( +
− n
n
+
4
3
10.
=
+
n
i
id
a
0
)
( =
2
)
2
)(
1
( nd
a
n +
+
11.
= +
+
n
i i
i
i
1 )
2
)(
1
(
1
=
)
2
)(
1
(
4
)
3
(
+
+
+
n
n
n
n
2. 12. ( a + b ) n
=
=
n
i i
n
0
a i
n−
bi
, N
n
; a 0
y b 0
.
13. )
(
1
i
n
i
i b
a +
=
=
=
n
i
i
a
1
+
=
n
i
i
b
1
14.
=
n
i
i
ca
1
= c
=
n
i
i
a
1
, c R
15.
=
n
i
i
a
1
=
−
=
+
1
0
1
n
i
i
a
16.
=
n
i
i
a
0
=
+
=
−
1
1
1
n
i
i
a
17.
=
−
n
i
i
ar
10
1
= a
−
−
r
rn
1
1
; si a R
y r R
- 0,1
18.
=
−
n
i
x
i
sen
1
)
1
2
( =
senx
nx
2
)
2
cos(
1−
3. TAREA # 2
INDUCCIÓN MATEMÁTICA.
En los siguientes ejercicios, para desigualdades, demuestre lo afirmado por inducción
matemática.
1. 2n+1 < 2 n
, N
n
: n 3
2. 2 n
> n 2
, N
n
: n 5
3. n < 2 n
, N
n
4. si a > 1 a n
> 1 , N
n
5. 3 n
1+ 2 n
, N
n
6. n 4
< 4 n
, N
n
: n 5
7. N
n
: n > 2
+
n
1
1 n
2
8. N
n
: n >1
n
n
n
+1
> n
9. (1 + x ) n
> 1 + nx , si n > 1 ; xR , x -1
10. 2 1
−
n
(a n
+ b n
) > (a + b) n
, siempre que a+b 0 ; a b y n > 1
11. 3 n
< n , N
n
: n > 6
4. 12. n < n n
, N
n
: n > 1
13. 2 n
< n , N
n
: n > 3
14. .
=
n
i
i
a
1
I
Ia
n
i
i
=1
5. TAREA # 3
INDUCCIÓN MATEMÁTICA.
En los siguientes ejercicios, para divisibilidad, demuestre lo afirmado por inducción
matemática.
1. N
n
, 64 3 2
2 +
n
- 8 n - 9
2. N
n
, 9 4 n
- 3 n – 1
3. N
n
, 5 7 n
- 2 n
4. N
n
, 3 4 n
- 1
5. N
n
, 24 5 n
2
- 1
6. N
n
, 3 n3
- 4 n + 6
7. N
n
, 8 5 1
+
n
+ 2 * 3 n
+ 1
8. N
n
, 7 11 n
- 4 n
9. N
n
, 7 3 1
2 +
n
+ 2 2
+
n
10. N
n
, ( x – y ) x n
- y n
6. TAREA # 4
INDUCCIÓN MATEMÁTICA.
En los siguientes ejercicios, para el binomio de Newton, demuestre lo afirmado por
inducción matemática.
1. ( a + b ) n
=
=
n
i i
n
0
a i
n−
bi
, N
n
; a 0
y b 0
.
2. n
n
i i
n
2
0
=
=
3. ( ) 0
1
0
=
−
=
i
n
i i
n
4. Demostrar que en el desarrollo de ( a + b ) n
, la suma de los coeficientes de las
potencias pares de a es igual a la suma de los coeficientes de las potencias de
impares de b.
5. N
n
: n > 2
+
n
1
1 n
2
6. N
n
: n >1
n
n
n
+1
> n
7. (1 + x ) n
> 1 + nx , si n > 1 ; xR , x -1
8. 2 1
−
n
(a n
+ b n
) > (a + b) n
, siempre que a+b 0 ; a b y n > 1
7. TAREA # 5
INDUCCIÓN MATEMÁTICA.
En los siguientes ejercicios, miscelánea , demuestra lo afirmado por inducción
matemática.
1. x n
2
> 0 , si x 0 y N
n
2. Un polígono de n lados tiene n vértices, N
n
: n > 2
3. ( a n
) m
= a nm
, N
m
n
, y aR
4. La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es ( n – 2 ) 180 °
N
n
: n > 2
5. N
k
m
; N
m
k
, ; k m .
6. Todo entero positivo mayor que uno se puede escribir como producto de números
primos.
7. Sean a i ( i = 1, 2 , ... , n ) números reales, tales que a 1
1 y a n - a 1
−
n 1
entonces a n n .
8. La suma de los cubos de tres enteros positivos consecutivos, cualesquiera, es
divisible por tres.
9. N
n
,
3
)
2
3
( 2
3
n
n
n +
+
es un número entero.
8. 10. N
n
,
6
)
3
2
( 2
3
n
n
n +
+
es un número entero.
12. (1+a
k
2
) =
a
a n
−
− +
1
1 1
2
, k= 0,1, ... , n
En los siguientes ejercicios, conjeture una fórmula para cada una de las sumas que se
indican.
1.
=
−
n
i
i
1
3
)
1
2
( =
2.
=
n
i
i
1
3
)
2
( =
3.
=
+
n
i
i
i
1
)
1
( =
4.
=
n
i
i
1
2 =
5.
=
+
n
i
i
1
)
1
2
( =
6.
=
−
n
i
i
1
)
2
3
( =
7.
=
−
n
i
i
1
)
3
4
( =
8.
= +
−
n
i i
i
1 )
1
2
)(
1
2
(
1
=