Clase 13 PC

1. Problemas Complementarios
28-03-2014

2. Problema 1
 Si la estrella del Norte o Polaris se apagara hoy, ?en que año
desaparecería de nuestra visión? La distancia desde la Tierra a
Polaris es alrededor de 6.44 × 1018 𝑚

3. Problema 1
Solución
 Datos: distancia = 6.44 × 1018
𝑚; 𝑇 =?
 Sabemos que: 𝜆 ∙ 𝑓 = 𝑐 =
1
𝑇
=
𝑑
𝑇
 ⟹ 𝑇 =
𝑑
𝐶
=
6.44×1018 𝑚
3×108 𝑚/𝑠
×
1𝑎ñ𝑜
365𝑑𝑖𝑎𝑠
×
1𝑑í𝑎
24ℎ
×
1ℎ
3600𝑠
 Por lo tanto: 𝑇 = 680𝑎ñ𝑜𝑠
 En consecuencia: La estrella desaparecería de nuestra visión
en el 2680.

4. Problema 2
 La rapidez de una onda electromagnética que viaja en una
sustancia transparente no magnética es 𝑣 =
1
𝑘∙𝜖∙𝜇0
, donde 𝑘
es la constante dieléctrica de la sustancia.
 Determine la rapidez de la luz en el agua, la cual tiene una
constante dieléctrica a frecuencias ópticas de 1.78.

5. Problema 2
 Solución
 Por dato 𝑣 =
1
𝑘∙𝜖∙𝜇0
(𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒)
 Nos piden: 𝑣 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 =? 𝑠𝑖 𝑘 = 1.78
 Sabemos que por condición se cumple
 𝑣 =
1
1.78 4𝜋×10−7 8.85×10−12

6. Problema 2
 Solución
 ∴ 𝑉𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 = 2.25 × 108 𝑚/𝑠

7. Problema 3
 Una onda electromagnética en el vacío tiene una amplitud de
campo eléctrico de 220 V/m. Calcule la amplitud del campo
magnético correspondiente.

8. Problema 3
 Solución
 Datos: 𝐸 𝑚á𝑥 =
220𝑉
𝑚
; 𝐵 𝑚á𝑥 =?
 Sabemos que en una onda electromagnética se cumple que:

𝐸 𝑚á𝑥
𝐵 𝑚á𝑥
= 𝑐

9. Problema 3
 Solución
 ⟹ 𝐵 𝑚á𝑥 =
𝐸 𝑚á𝑥
𝑐
=
220
3×108 ∴ 𝐵 𝑚á𝑥 = 733 × 10−9 𝑇 = 733𝑛𝑇

10. Problema 4
 Calcule el valor máximo del campo magnético de una onda
electromagnética en un medio donde la rapidez de la luz es
de dos tercios de la rapidez de la luz en el vacío, y donde la
amplitud del campo eléctrico es de 7.60 mV/m

11. Problema 4
 Solución
 Datos: 𝐸 𝑚á𝑥 = 7.60 ×
10−3 𝑉
𝑚
; donde: 𝑐 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =
2
3
𝑐 𝑣𝑎𝑐í𝑜
 Sabemos que en una onda electromagnética se cumple que:

𝐸 𝑚á𝑥
𝐵 𝑚á𝑥
= 𝑐 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =
2
3
𝑐 𝑣𝑎𝑐𝑖𝑜 ⟹ 𝐵 𝑚á𝑥 =
3𝐸 𝑚á𝑥
2𝑐 𝑣𝑎𝑐í𝑜
=
3× 7.6×10−3
2× 3×108
 𝐵 𝑚á𝑥 = 38 × 10−12 𝑇 ≅ 38𝑝𝑇

12. Problema 5
 La figura muestra una onda sinusoidal electromagnética plana que
se propaga en lo que se eligió como la dirección de 𝑥. Suponga que
la longitud de onda es 50m y el campo vibra en el plano 𝑥𝑦 con una
amplitud de 22V/m. Calcule a) la frecuencia de la onda y b) la
magnitud y dirección de B cuando el campo tiene su valor máximo
en la dirección 𝑧 negativa. C) Escriba una expresión para B en la
forma 𝐵 = 𝐵 𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡

13. Problema 5
 Con valores numéricos para 𝐵 𝑚𝑎𝑥, 𝑘 𝑦 𝜔
𝑧
𝑦
𝑥
𝐸 =
22𝑉
𝑚
𝑗
𝜆 = 50m
𝐵 =?

14. Problema 5
 Solución
 Inciso a
 Sabemos que: 𝜆 ∙ 𝑓 = 𝑐 ⇒ 𝐹 =
𝑐
𝜆
=
3×108
50
 ∴ 𝑓 = 6 × 106 𝐻𝑧 = 6𝑀𝐻𝑧

15. Problema 5
 Solución
 Inciso b
 Sabemos que:
𝐸 𝑚𝑎𝑥
𝐵 𝑚𝑎𝑥
= 𝑐 ⇒ 𝐵 𝑚𝑎𝑥 =
𝐸 𝑚𝑎𝑥
𝑐
=
22𝑉/𝑚
3×108
 ∴ 𝐵 𝑚𝑎𝑥 = 73.3 × 10−9 𝑇 = 73.3𝑛𝑇 (−𝑘)

16. Problema 5
 Solución
 Inciso c
 Sabemos que: 𝜔 = 2𝜋 × 𝑓 = 2𝜋 × 106
= 12𝜋 × 106
𝑟𝑎𝑑/𝑠
 𝜔 = 3.77 × 107 𝑠−1
 Además:
𝜔
𝑘
= 𝑐 ⟹ 𝑘 =
3×108
12𝜋×106 = 0.126

17. Problema 5
 Solución
 Inciso c
 Entonces: 𝐵 𝑥, 𝑡 = −73.3𝑁𝑇𝑐𝑜𝑠 0.126 − 3.77 × 107
𝑡 𝑘

18. Problema 6
 Escriba expresiones para los campos eléctrico y magnético de
una onda electromagnética plana sinusoidal que tiene
frecuencia de 3𝐺𝐻𝑧 y viaja en la dirección 𝑥 positiva. La
amplitud del campo eléctrico es 300 V/m

19. Problema 6
 Solución
 Datos: 𝑓 = 3 × 109 𝐻𝑧 𝐸 𝑚𝑎𝑥 = 300𝑉/𝑚
 Sabemos que las expresiones para una ecuación de onda
están dadas por:
 𝐵 𝑥, 𝑡 = 𝐵 𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
 𝐸 𝑥, 𝑡 = 𝐸 𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡

20. Problema 6
 Solución
 Donde: 𝐵 𝑚𝑎𝑥 =
𝐸 𝑚𝑎𝑥
𝐶
=
3×102
3×108 = 1 × 10−6
𝑇
 𝜔 = 2𝜋𝑓 = 2 3.1416 3 × 109 = 18.85 × 10−9 𝑠−1
 𝑘 =
𝜔
𝑐
=
18.85×109
3×108 = 62.8

21. Problema 6
 Solución
 𝐵 𝑥, 𝑡 = 1𝜇𝑇 𝑐𝑜𝑠 62.8𝑥 − 18.85 × 109 𝑡
 𝐸 𝑥, 𝑡 = 300𝑉/𝑚 𝑐𝑜𝑠 62.8𝑥 − 18.85 × 109
𝑡

22. Problema 7
 Verifique por sustitución que las siguientes ecuaciones
 Respectivamente
 𝐸 = 𝐸 𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
 𝐵 = 𝐵 𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
 son soluciones para las ecuaciones

𝜕2 𝐸
𝜕𝑥2 = 𝜇 𝑜 ∙ 𝜖 𝑜
𝜕2 𝐸
𝜕𝑡2 𝑦
𝜕2 𝐵
𝜕𝑥2 = 𝜇 𝑜 ∙ 𝜖 𝑜
𝜕2 𝐸
𝜕𝑡2

23. Problema 7
 Solución
 Tenemos que
 ⟹
𝜕𝐸
𝜕𝑥
= −𝐸 𝑚á𝑥 𝑘𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
 ⇒
𝜕2 𝐸
𝜕𝑥2 = −𝐸 𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝑘2 𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
 Por lado
 ⟹
𝜕𝐸
𝜕𝑡
= 𝐸 𝑚á𝑥 𝜔𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
 ⇒
𝜕2 𝐸
𝜕𝑡2 = −𝐸 𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝜔2
𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡

24. Problema 7
 Solución
 Entonces reemplazando tenemos
 −𝐸 𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝑘2
𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 = 𝜇0 𝜖0 ∙ −𝐸 𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝜔2
𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
 ⟹
1
𝜇0 𝜖0
=
𝜔2
𝑘2 ∴
𝜔
𝑘
=
1
𝜇0 𝜖0
= 𝑐 (𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜)
 En consecuencia
 𝐸 = 𝐸 𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 si es solución de la ecuación

25. Problema 7
 Solución
 Por otro lado:
 Tenemos que
 ⟹
𝜕𝐵
𝜕𝑥
= −𝐵 𝑚á𝑥 𝑘𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
 ⇒
𝜕2 𝐵
𝜕𝑥2 = −𝐵 𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝑘2
𝑠𝑒𝑛 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
 Además
 ⟹
𝜕𝐵
𝜕𝑡
= 𝐵 𝑚á𝑥 𝜔𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
 ⇒
𝜕2 𝐵
𝜕𝑡2 = −𝐵 𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝜔2 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡

26. Problema 7
 Solución
 Entonces reemplazando tenemos
 −𝐵 𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝑘2
𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 = 𝜇0 𝜖0 ∙ −𝐵 𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝜔2
𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡
 ⟹
1
𝜇0 𝜖0
=
𝜔2
𝑘2 ∴
𝜔
𝑘
=
1
𝜇0 𝜖0
= 𝑐 (𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜)
 En consecuencia
 𝐵 = 𝐵 𝑚𝑎𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡 si es solución de la ecuación