Intensidad del campo electrico clase 3

1. El campo eléctrico
Clase 3
27/Enero/2015

2. El campo eléctrico
 La fuerza eléctrica ejercida por una carga sobre otra carga es un ejemplo
de acción a distancia, semejante a la fuerza gravitatoria ejercida por una
masa sobre otra.
 La idea de acción a distancia presenta un problema conceptual difícil.
 Para evitar el problema de la acción a distancia se introduce el concepto
del campo eléctrico.
 Una carga crea un campo eléctrico E en todo el espacio y este campo
ejerce una fuerza sobre la otra carga

3. El campo eléctrico
+
+
-
F1
F2
F3
F = F1 + F2 + F3
q0
q1
q3
q2
Una pequeña carga testigo
o de prueba) 𝑞0 en las
proximidades de un sistema
de cargas 𝑞1, 𝑞2 𝑦 𝑞3 ……..
Experimenta una Fuerza F
proporcional a 𝑞0. La
relación 𝐹/𝑞0 es el campo
eléctrico E en esa posición

4. El campo eléctrico
 Por lo tanto en la siguiente figura se muestra una serie de cargas
puntuales, 𝑞1, 𝑞2 𝑦 𝑞3 dispuestas arbitrariamente en el espacio. Estas cargas
producen un campo eléctrico E en cualquier punto del espacio. Si
situamos una pequeña carga testigo o de prueba 𝑞0 en algún punto
próximo, esta experimentara la acción de una fuerza debido a las otras
cargas. La fuerza resultante ejercida sobre 𝑞0 es la suma vectorial de las
fuerzas individuales ejercidas sobre 𝑞0 por cada una de las otras cargas del
sistema.

5. El campo eléctrico
 Como cada una de estas fuerzas es proporcional a 𝑞0. Por lo tanto el
campo eléctrico 𝐸 en un punto se define por esta fuerza dividida por 𝑞0:
 0
0
Pequeña
Definición del Campo Electrico
F
E q
q


6. El campo eléctrico
 La unidad del SI del campo eléctrico es el newton por coulomb 𝑁/𝐶 . En
la siguiente tabla se presentan algunos campos eléctricos de la
naturaleza.
𝑬, 𝑵/𝑪
En los cables domésticos 10−2
En las ondas de radio 10−1
En la atmosfera 102
En la luz solar 103
Bajo una nube tormentosa 104
En la descarga de un relámpago 104
En un tubo de rayos X 106

7. El campo eléctrico
𝑬, 𝑵/𝑪
En el electrón de un átomo de
hidrogeno
6 × 1011
En la superficie de un núcleo de
uranio
6 × 1021

8. El campo eléctrico
 Es decir el campo eléctrico es un vector que describe la condición en el
espacio creada por el sistema de cargas puntuales. Desplazando la carga
testigo o de prueba 𝑞0 de un punto a otro, podemos determinar E en todos
los puntos del espacio (excepto el ocupado por una carga 𝑞). El campo
eléctrico E es, por lo tanto, una función vectorial de la posición. La fuerza
ejercida sobre una carga testigo o de prueba 𝑞0 en cualquier punto está
relacionada con el campo eléctrico en dicho punto por:
0F Eq

9. El campo eléctrico
 El campo eléctrico debido a una sola carga puntual 𝑞𝑖 en la posición 𝑟
puede calcularse a partir de la ley de Coulomb. Si situamos una pequeña
carga testigo o de prueba positiva 𝑞0 𝑒𝑛 á𝑙𝑔𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 P la distancia 𝑟𝑖,𝑝 de la
carga 𝑞𝑖, la fuerza que actúa sobre ellas es:
0
0
,0 ,02
,
i
ii
i
kq q
r
r
F 

10. El campo eléctrico
 El campo eléctrico en el punto P debido a la carga 𝑞𝑖 es por lo tanto:
,02
,0
Ley de coulomb para el
campo E creado por una
carga puntual
i
ii
i
kq
E r
r

+
Punto de la Fuente
Punto del campo
𝑟𝑖,𝑝
𝑟𝑖,𝑝
𝐸𝑖,𝑝
𝑞𝑖
El campo eléctrico E en un punto P debido
a la carga 𝑞𝑖 colocada en un punto i

11. El campo eléctrico
 En donde 𝑟𝑖,𝑝 es un vector unitario que apunta desde el punto de la fuente
i al punto de observación del campo o punto del campo P. El campo
eléctrico resultante debido a una distribución de cargas puntuales se
determina sumando los campos originados por cada carga
separadamente:
,, 2
,
Campo electrico E debido a un sistema de cargas puntuales
i
i pp i p
i i i p
kq
E E r
r
  

12. Problemas
 Problema 1
 Una carga de 4𝜇𝐶 esta en el origen. ¿Cual es el valor y dirección del
campo eléctrico sobre el eje 𝑥 en (a) 𝑥 = 6𝑚 y (b) 𝑥 = −10𝑚? (c) Hacer un
esquema de la función 𝐸 𝑥 respecto a 𝑥 tanto para valores positivos como
negativos de 𝑥. (Recuérdese que 𝐸 𝑥 es negativo cuando E señala en el
sentido negativo de las 𝑥.

13. Problemas
 Solución
 Expresamos el campo eléctrico en un punto 𝑃 situado a una distancia 𝑥
desde una carga 𝑞
 Evaluamos esta expresión para 𝑥 = 6𝑚
 Inciso a
,02
( ) P
kq
E x r
x

 
  
 
   
9 2 2
2
8.99 10 / 4
6
6
6 999 /
N m C C
E m i
m
E m N C i
 



14. Problemas
 Solución Inciso b
 Evaluamos esta expresión para 𝑥 = −10𝑚
 
  
 
 
   
9 2 2
2
8.99 10 / 4
10
10
10 360 /
N m C C
E m i
m
E m N C i
 
  
 

15. Problemas
 Solución Inciso c
 En el siguiente gráfico se trazó el campo Eléctrico, utilizando Excel con
diferentes valores del E con Excel.

16. Problemas
 Problema 2
 Dos cargas puntuales, cada una de ellas de +4𝜇𝐶, están sobre el eje 𝑥,
una en el origen y la otra en 𝑥 = 8𝑚. Hallar el campo eléctrico sobre el eje
𝑥 en (a) 𝑥 = −2𝑚, (b) 𝑥 = 2𝑚, (c)𝑥 = 6𝑚 y 𝑑 𝑥 = 10𝑚. (e) ¿En que punto del
eje 𝑥 es cero el campo eléctrico? (f) Hacer un esquema de 𝐸 𝑥 en función
de 𝑥.

17. Problemas
 Solución
 Sea q la que representa las cargas de +4𝜇𝐶 y utilizamos la ley de Coulomb
para encontrar el 𝐸 debido a una carga puntual y el principio de
superposición de campos para encontrar el campo eléctrico en los lugares
especificados.

18. Problemas
 Solución
 Tomando en cuenta que 𝑞1 = 𝑞2, utilizamos la ley de Coulomb y el principio
de superposición para expresar el campo eléctrico debido a las cargas
dadas en un punto P a una distancia x del origen, tenemos que:
 
 
1 2 1 2
1 2
1 2
, ,22
1 2
, ,1 22
( ) ( ) ( )
8
considerando que
1 1
( )
8
q q q p q p
q p q p
kq kq
E x E x E x r r
x m x
q q
E x kq r r
x m x
   


 
  
  

19. Problemas
 Solución Inciso a
 Aplicando esta ecuación que obtuvimos al punto donde 𝑥 = −2𝑚 .
Tenemos que: 𝑟1,𝑝 = 𝑥 = −2𝑚 y 𝑟2,𝑝 = 𝑎 − 𝑥 = 8m − −2m = 10m
 Considerando
 
 
    
 
 
2
2 2
1 1
( 2 ) 36,000 /
2 8 2
( 2 ) 9360 /
E m N m C i i
m m m
E m N C i
 
      
    
  
𝑃
𝑞1
𝑥 = 0𝑚
𝑞2
𝑥 = 8𝑚
𝑥 = −2𝑚
+ +
𝑎 = 8𝑚

20. Problemas
 Solución Inciso b
 Aplicando esta ecuación que obtuvimos al punto donde 𝑥 = 2𝑚. Tenemos
que:
 Tenemos que: 𝑟1,𝑝 = 𝑥 = 2𝑚 y 𝑟2,𝑝 = 𝑎 − 𝑥 = 8m − 2m = 6m
 
 
    
 
 
2
2 2
1 1
(2 ) 36,000 /
2 8 2
(2 ) 8000 /
E m N m C i i
m m m
E m N C i
 
    
  

𝑃
𝑞1
𝑥 = 0𝑚
𝑞2
𝑥 = 8𝑚
+ +
𝑎 = 8𝑚
𝑥 = 2𝑚

21. Problemas
 Solución Inciso c
 Aplicando esta ecuación que obtuvimos al punto donde 𝑥 = 6𝑚. Tenemos
que:
 Tenemos que: 𝑟1,𝑝 = 𝑥 = 6𝑚 y 𝑟2,𝑝 = 𝑎 − 𝑥 = 8m − 6m = 2m
 
 
    
 
 
2
2 2
1 1
(6 ) 36,000 /
6 8 6
(6 ) 8000 /
E m N m C i i
m m m
E m N C i
 
    
  
 
𝑃
𝑞1
𝑥 = 0𝑚
𝑞2
𝑥 = 8𝑚
+ +
𝑎 = 8𝑚
𝑥 = 6𝑚

22. Problemas
 Solución Inciso d
 Aplicando esta ecuación que obtuvimos al punto donde 𝑥 = 10𝑚 .
Tenemos que:
 Tenemos que: 𝑟1,𝑝 = 𝑥 = 10𝑚 y 𝑟2,𝑝 = 𝑥 − 𝑎 = 10m − 8m = 2m
 
 
   
 
 
2
2 2
1 1
(10 ) 36,000 /
10 10 8
(10 ) 9350 /
E m N m C i i
m m m
E m N C i
 
   
  

𝑃
𝑞1
𝑥 = 0𝑚
𝑞2
𝑥 = 8𝑚
+ +
𝑎 = 8𝑚
𝑥 = 10𝑚

23. Problemas
 Solución Inciso e
 Considerando por simetría que
 
 
(2 ) 8000 /
(6 ) 8000 / }
(4 ) 0
E m N C i
y
E m N C i
E m

 
 
𝐸2𝑚 = 8𝑘𝑁/𝐶
𝐸4𝑚 = 0 𝑁/𝐶
𝐸2𝑚 𝐸6𝑚
𝐸6𝑚 = −8kN/C

24. Problemas
 Solución Inciso f
 Usando Excel y
graficando los
valores de 𝐸 𝑥 en
función de 𝑥
tenemos:

25. Problemas
 Problema 3
 Cuando se coloca una carga testigo o de prueba 𝑞0 = 2𝑛𝐶 en el origen,
experimenta la acción de una fuerza de 8 × 10−4
𝑁 en la dirección positiva
del eje de las 𝑦. (a) ¿Cuál es el campo eléctrico en el origen? (b) ¿Cuál
sería la fuerza que se ejercería sobre una carga de −4𝑛𝐶 situada en el
origen? (c) Si esta fuerza debida a una carga situada sobre el eje 𝑦 en 𝑦 =
3𝑚, ¿cual será el valor de dicha carga?

26. Problemas
 Solución Inciso a
 Podemos encontrar el campo eléctrico en el origen a partir de la
definición y la fuerza sobre una carga considerando que 𝐹 = 𝑞𝐸. Además
podremos aplicar la ley de Coulomb para encontrar el valor de la carga
colocada en 𝑦 = 3 𝑐𝑚.
 Aplicamos la definición del campo eléctrico y obtenemos:
   
4
0
8 10
400 /
2
N jF
E kN C j
q nC


  

27. Problemas
 Solución Inciso b
 Expresamos y evaluamos la fuerza sobre un cuerpo cargado en un campo
eléctrico
    4 400 / 1.60F qE nC kN C j mN j    

28. Problemas
 Solución Inciso c
 Aplicamos la ley de Coulomb y obtenemos
 
 
   
  
  
2
2
9 2 2
4
1.60
0.03
1.60 0.03
40
8.99 10 / 4
kq nC
j mN j
m
mN m
q nC
N m C nC

   
    
 

29. Problemas
 Problema 4
 Una carga puntual 𝑄1 = 25𝑛𝐶 esta en el punto 𝑃1 4, −2,7 y una carga 𝑄2 =
60𝑛𝐶 está en 𝑃2 −3,4, −2 . a) Si 𝜖 = 𝜖 𝑜, encontrar E en el punto 𝑃3 1,2,3 . b)
¿En qué punto sobre el eje 𝑦 𝐸 𝑥 = 0?

30. Problemas
 Solución
 Una carga puntual 𝑄1 = 25𝑛𝐶 esta en el punto 𝑃1 4, −2,7 y una carga 𝑄2 =
60𝑛𝐶 está en 𝑃2 −3,4, −2 .
 a) Si 𝜖 = 𝜖 𝑜, encontramos E en el punto 𝑃3 1,2,3 . Este campo debe ser
𝐸 =
1
4𝜋𝜖 𝑜
𝑄1 𝑉13
𝑉13
+
𝑄2 𝑉23
𝑉23
𝐸 𝑟 =
𝑄1
4𝜋𝜖 𝑜 𝑟 − 𝑟1
2
𝑎1 +
𝑄2
4𝜋𝜖 𝑜 𝑟 − 𝑟2
2
𝑎2 + ⋯ … … . . +
𝑄 𝑛
4𝜋𝜖 𝑜 𝑟 − 𝑟𝑛
2
𝑎 𝑛

31. Problemas
 Solución
 Donde 𝑉13 = −3𝑖 + 4𝑗 − 4𝑘 𝑦 𝑉23 = 4𝑖 − 2𝑗 + 5𝑘. También tenemos que 𝑉13 =
41 𝑦 𝑉23 = 45
𝐸 =
10−9
4𝜋𝜖 𝑜
25𝑉13
𝑉13
3
+
60𝑉23
𝑉23
3

32. Problemas
 Solución
 En consecuencia tenemos que
𝐸 =
10−9
4𝜋𝜖0
25 × −3𝑖 + 4𝑗 − 4𝑘
41 41 1/2
+
60 × 4𝑖 − 4𝑗 + 5𝑘
45 45 1/2
𝐸 = 4.58𝑖 − 0.15𝑗 + 5.51𝑘

33. Problemas
 Solución
 Tenemos que el 𝑃3 𝑒𝑠 𝑎ℎ𝑜𝑟𝑎 0, 𝑦, 0 , por lo tanto el 𝑉13 = −4𝑖 + 𝑦 + 2 𝑗 − 7𝑘 y
𝑉23 = 3𝑖 + 𝑦 − 4 𝑗 + 2𝑘. Tambien tenemos que
 𝑉13 = 65 + (𝑦 + 2)2 𝑦 𝑉23 = 13 + 𝑦 − 4 2
 Por lo tanto la componente de 𝑥 del 𝐸 en el nuevo 𝑃3 𝑒𝑠
 𝐸 𝑥 =
10−9
4𝜋𝜖 𝑜
25× −4
65+ 𝑦+2 2 3/2 +
60×3
13+ 𝑦−4 2 3/2

34. Problemas
 Solución
 Considerando que 𝐸 𝑥 = 0 y simplificando la expresión del lado izquierdo
llegamos a la siguiente expresión cuadrática:
 0.48𝑦2
+ 13.92𝑦 + 73.10 = 0
 La cual toma los valores de 𝑦 = −6.89, −22.11

35. Campo debido a una distribución
continua de carga volumétrica
 Si ahora se visualiza una región del espacio con un enorme número de
cargas separadas por distancias diminutas.
 Esto realmente no es una limitación ya que nuestros resultados finales,
como ingenieros en comunicaciones, casi siempre están en términos de la
corriente en una antena receptora, del voltaje en un circuito electrónico,
o de la carga en un condensador, o en general en términos de algún
fenómeno macroscópico a gran escala. En raras ocasiones es necesario
conocer una corriente electrón por electrón.
 La densidad de carga volumétrica se simboliza con 𝜌 𝑣, cuyas unidades son
coulomb por metro cúbico 𝐶/𝑚3

36. Campo debido a una distribución
continua de carga volumétrica
 La pequeña cantidad de carga ∆𝑄 en un volumen pequeño ∆𝑣 es:
 ∆𝑄 = 𝜌 𝑣∆𝑣
 Y se puede definir matemáticamente mediante la utilización de un
proceso de limite
 𝜌 𝑣 = lim
∆𝑣→0
∆𝑄
∆𝑣
 La carga total dentro de cualquier volumen finito se obtiene por
integración sobre todo el volumen
 𝑄 = 𝑣𝑜𝑙
𝜌 𝑣 𝑑𝑣

37. Campo debido a una distribución
continua de carga volumétrica
 La diferencial 𝑑𝑣 significa una integración a través de todo el volumen e
implica una integración triple; sin embargo, se acostumbra indicarla con
un solo símbolo de integración.

38. Problema
 Una densidad volumétrica de carga uniforme de 0.2𝜇𝐶/𝑚3
esta en una
concha esférica que se extiende de 𝑟 = 3𝑐𝑚 𝑎 𝑟 = 5𝑐𝑚.
 Si 𝜌 𝑣 = 0 en cualquier otra parte, encontrar: a) la carga total presente en la
concha, y b) el valor de 𝑟1 si la mitad de la carga total está en la región
3𝑐𝑚 < 𝑟 < 𝑟1

39. Problema
 Solución
 Inciso a
 Sin embargo para encontrar la carga total presente en la concha tenemos
que:
 El volumen será 𝑟2
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑∅
 𝑄 = 0
2𝜋
0
𝜋
0.03
0.05
0.2 𝑟2
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑∅ = 4𝜋 0.2
𝑟3
3 0.03
0.05
⟹
 𝑄 = 8.21 × 10−5
𝜇𝐶 = 82.1𝑝𝐶

40. Problema
 Solución
 Inciso b
 Para encontrar el valor de 𝑟1 si la mitad de la carga total está en la región
3𝑐𝑚 < 𝑟 < 𝑟1, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒:
 El volumen será 𝑟2
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑∅
 𝑄 = 0
2𝜋
0
𝜋
0.03
𝑟1
0.2 𝑟2
𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑∅ = 4𝜋 0.2
𝑟3
3 0.03
𝑟1
⟹
 Si consideramos que la mitad de la carga es
 𝑄 =
8.21×10−5 𝜇𝐶
2
= 4.105 × 10−5
𝐶

41. Problema
 Solución
 Inciso b
 4.105 × 10−5 𝐶 = 4𝜋 0.2
𝑟3
3 0.03
𝑟1
⟹
 𝑟1 =
3×4.105×10−5
0.2×4𝜋
+ 0.03 3
1/3
= 4.24𝑐𝑚