Material de apoyo trabajo y energía para fisica 1 ciencias quimicas y farmacia

HIPODROMO DEL NORTE ZONA 2
(TRANSFORMACIÓN DE ENERGÍA POTENCIAL EN CINETICA)
2015
Ing. César García Nájera.
Guatemala, 2015
Material de apoyo “TRABAJO, ENERGÍA
Y POTENCIA, CONSERVACIÓN DE LA
ENERGÍA”.
MECANICA
FUERZA


TEXTO DIDACTICO DE FISICA GENERAL DE APOYO A SU LIBRO DE TEXTO
Unidad VI
Trabajo, energía y potencia Introducción
El tema que estudiaremos en esta unidad es muy importante en la vida cotidiana, ya que
tenemos que realizar un trabajo en todo momento, ejemplo cuando caminamos, subimos
gradas, corremos.
Así mismo, cuando estamos en nuestra casa y encendemos el televisor, el radio, todo tipo de
aparatos eléctricos, estamos operando con energía eléctrica la cual puede tener su origen en
los embalses, o cuando salimos a la calle estamos expuestos a la energía solar que es una
fuente de energía, y como estos ejemplos existen otros tipos de energía. Nos podemos dar
cuenta que todo a nuestro alrededor está relacionado con el tema de trabajo, energía y
potencia.
Finalmente el objetivo de estudio de este tema es que por medio de las diversas actividades
que realizaremos, apliquemos a problemas cotidianos y retengamos los conceptos de trabajo,
los distintos tipos de energía y potencial.
Conceptos básicos que debe saber en esta unidad
Trabajo hecho por una fuerza constante
En Física el concepto de trabajo es una cantidad escalar, no tiene dirección.
F

dr 
Figura: Fuente propia
Si una partícula se mueve a lo largo de una línea recta sufriendo un desplazamiento de
magnitud r y si sobre ella actúa una fuerza F

constante, el trabajo realizado por esta
fuerza está definido así:
cosrFrFW 

, donde  es el ángulo entre F

y r


El trabajo no es un vector, es un escalar ya que es un producto punto, aunque puede ser
positivo o negativo.
Caso particular:
Si los vectores F

y r

 forman un ángulo  = 0º, es decir son paralelos el trabajo realizado
por la fuerza es: dFFdrFW  º0cos

La unidad de medida en el sistema internacional para el trabajo es:
78

Energía cinética
La energía cinética es una cantidad escalar que depende del movimiento y siempre es positiva
o cero, no tiene dirección, también puede definirse como el trabajo necesario para acelerar a
una partícula desde el reposo hasta una rapidez y su unidad de medida es la misma que la de
trabajo.
2
2
1
mvK  . Donde K es la energía cinética de la
partícula, m es la masa y v es la rapidez.
Teorema del trabajo y la energía
El teorema dice que el trabajo realizado por la fuerza neta sobre una partícula es igual al
cambio de la energía cinética, lo cual se expresa así:
ifneto KKKW  , donde fK es la energía cinética final y iK es la energía cinética
inicial.
Trabajo realizado por fuerzas variables
El trabajo realizado por una fuerza variable en un desplazamiento que va de fi xax y
está dado de la forma
siguiente: ........ bbaa xFxFW
........ bbaa xFxFW
Xi X
Lo anterior representa el área bajo la curva de fuerza en el eje vertical y posición en el
eje horizontal, desde 21 xax
OBSERVACIÓN:
El trabajo es un
escalar pero su
resultado puede ser
negativo o positivo.
Recuerde que son
escalares y no tienen
dirección.
79

Potencia
Es la rapidez a la que se efectúa un trabajo. Hablamos de potencia por ejemplo, cuando
compramos bombillas de 100 W, 75 W, una bomba para llevar agua desde un punto situado
en el suelo hasta una altura de 100 m en un edificio, cuando se quiere mejorar la potencia de
un motor de un auto, etc.
Potencia media
La potencia media, se define como: la razón del trabajo medio W y un intervalo de tiempo
t
t
W
P



t
medioTrabajo
P


La unidad de medida en el sistema internacional es:
Potencia instantánea
La potencia instantánea P se define como el límite al que tiende la potencia media cuando
t se aproxima a cero.
dt
dW
t
W
P
t
eains 




lim0
tantan
También podemos expresar la potencia como un producto escalar de la forma siguiente:
vFP

 , Donde F = Fuerza y
v = velocidad, si F es constante.
Lo cual es la rapidez instantánea con que la fuerza realiza trabajo sobre una partícula.
Ejemplos resueltos
EJEMPLO 1
El gerente del restaurante “Los Panchos” empuja
una caja de carne, con una fuerza cuya magnitud
es de 200 N y en la dirección mostrada. La caja se
desplaza sobre el piso con una rapidez constante
una distancia de 10 m.
¿Cuál de las siguientes aseveraciones son
correctas respecto a :
 El trabajo realizado por F es cero.
 El cambio de la energía cinética es cero.
 El trabajo total es cero.
 La fuerza resultante que actúa sobre la caja
es diferente de cero.
F= 200 N
30º
80

RESOLUCION: Datos
Potencia =
año
Joule
x 19
100.2 De tabla: 1 año = 31,536,000 segundos
a) La potencia expresada en Joule / segundo. Se expresa así:













s
año
año
Joule
xP
000,536,31
1
102 19
simplificando:
segundo
Joule
xP 11
1034.6 o WattsxP 11
103.6
RESOLUCION:
a. El trabajo realizado por F no es cero ya que: cosrFrFW 

cosrFW  = (200)(10) cos30º
JouleW 05.732,1 por lo tanto es diferente de cero
b. El cambio de la energía cinética es cero.
Si la rapidez es constante también el cambio de la energía cinética es cero ya que la
energía cinética depende de la rapidez.  if KKK
2
2
1
fmv -
2
2
1
imv
RESPUESTA: Es correcta, ya que v es constante.
c. Por el teorema de Trabajo-Energía, sabemos que ifneto KKKW 
Del inciso anterior sabemos que el cambio de energía cinética es cero, por lo tanto también
el trabajo total es cero. 0netoW
EJEMPLO 2
Si el consumo total de energía eléctrica en EE.UU. es del orden de
año
Joule
x 19
100.2 .
a) Exprese esta tasa promedio de consumo de energía eléctrica, en watts:
b) Qué cantidad de energía, en Joule, se consume en una hora.
c) Qué cantidad de energía, en kW-h, se consume en una hora
81

b) Como sabemos que WattsxP 11
1034.6 y 



t
W
P tPW 
y en una hora hay 3,600 segundos
Trabajo = (Potencia)(tiempo) W )3600)(103.6( 11
segundos
segundo
Joule
x
La energía que se consume en una horas es .1028.2 15
Joulex
c) U = Potencia en kW * tiempo en horas
U = hkWxhkWx  88
103.6)1)(103.6(
EJEMPLO 3
El gráfico muestra la fuerza
que varía a lo largo del eje
x. Determine el trabajo
hecho por la fuerza al
mover la partícula a lo largo
del eje x.
a. de x = 0 a x = 12 m.
b. de x = 12 a x = 18 m
xF (N) Figura: Fuente propia
300N
200N
100N x ( m)
-100N 3 6 9 12 15 18
-200N - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
RESOLUCION:
DATOS:
De la gráfica en: x = 0 F = 0 N, x = 12m F = 300 N x = 18 F = -300N
 El trabajo realizado por la fuerza xF está dado: dxFW x
12
0
Lo cual representa el
área bajo la curva entre mym 120 en el gráfico dado de fuerza en función de la
posición.
  dxFW x
12
0
Área de un trapecio = ) * 300 Newton = 2700 Joule.
El trabajo para mover el cuerpo de x = 0 a x= 12 es W = 2700 Joule.
De la misma manera se calcula el trabajo realizado por xF de x = 12 a x = 18 m.
82

(se puede dividir en 2 áreas),   dxFW xtotal
15
12
dxFx
18
15
, La primera integral representa
el área entre x = 12 a x = 15 m (área positiva) y la segunda integral (área negativa)
entre x = 15 a x = 18 m, 300*3*
2
1
300*3*
2
1
totalW = 0 J W = 0 Joule.
EJEMPLO 4
Pedro, de masa m se deja caer desde un trampolín, al mismo tiempo Rebeca, también de
masa m, comienza a descender desde un tobogán sin fricción. El tobogán tiene la forma de
un cuadrante de un círculo. Si Pedro y Rebeca parten de la misma altura respecto al agua.
¿Cuál de las siguientes aseveraciones es válida respecto a su energía cinética en el
momento de tocar el suelo?
a. La energía cinética de Pedro es mayor que la de Rebeca.
b. La energía cinética de Pedro es menor que la de Rebeca.
c. La energía cinética de Pedro es igual que la de Rebeca.
d. No hay suficiente información.
RESOLUCION:
DATOS: Pedro y Rebeca tienen la misma masa m, se dejan caer, tienen la misma velocidad
inicial (cero). Verticalmente recorren la misma altura h.
A continuación se muestra los vectores, desplazamiento y la fuerza de atracción
gravitacional de Pedro y rebeca:
Pedro Rebeca.
r

 gmF

 r

 gmF


 = 0º, ya que es el ángulo formado por r

 y gmF


Del teorema de trabajo y energía sabemos que el trabajo total es igual al cambio de energía
cinética.
ifneto KKKW  de donde la energía cinética inicial de Pedro y Rebeca son iguales ya
que parten del reposo:
0iK por lo tanto el trabajo neto es igual a la energía cinética final, para ambos.
83

fneto KW  .
La única fuerza que actúa sobre Pedro es la Fuerza de atracción gravitacional, por lo tanto
es la única que realiza trabajo.
º0coscos mghrFrFW  
Obtenemos: fneto KmghW  .
Para Rebeca actúan dos fuerzas el peso y la Normal, pero la Normal es siempre
perpendicular al desplazamiento, por eso
0º90coscos  nhrFrFW 
Además el peso de Rebeca hace un trabajo igual al de Pedro
Se puede concluir que tanto Rebeca y Pedro tienen la misma emergía cinética
RESPUESTA: OPCION ¨c¨
EJEMPLO 5
Una fuerza horizontal F
acelera a un bloque de masa
4 kg hacia la izquierda.
Suponga que el coeficiente
de fricción cinético es de 0.5
entre los dos bloques y las
superficies. El bloque de 5 kg
se mueve hacia arriba a lo
largo del plano, y cuando ha
recorrido una distancia de 2.5
m lleva una velocidad de 2
m/s, si parten del reposo.
Determine.
F 4kg
5kg
53º
Nota: Datos conocidos:
En el problema (5) de la unidad de dinámica
de traslación, aplicando las Leyes de Newton
se calcularon los datos siguientes: F = 80.7
N, y el valor de la tensión en la cuerda T =
57.9 N, La fricción sobre el cuerpo de 4 kg es:
kf = 19. 6 N , r = 2.5m
84

a) El trabajo realizado por la
fuerza F, sobre el bloque de
4 kg, cuando se ha
desplazado 2.5 m, en Joule.
FIGURA 1
r
F
b) El trabajo realizado por la
fuerza de gravedad que actúa
sobre la masa de 5 kg, cuando se
ha desplazado 2.5 m, en Joule.
FIGURA 2
En m = 5 kg, para incisos b y c
r
37º
W kf
c. El trabajo hecho por la fricción
cinética que ejerce la superficie
horizontal sobre el bloque de 4
kg, en joule.
FIGURA 3
En m = 5 kg, para incisos b y c
r
kf
a. En la figura 1 se muestran la dirección de F
que actúa sobre m = 4 kg y el vector
desplazamiento r .
Para calcular El trabajo realizado por la
fuerza F, sobre el bloque de 4 kg, cuando se
ha desplazado 2.5 m, se calcula con la
siguiente expresión  cosrFW
W = (80.7N) (2.5m)(cos0º) = 201.7 Joule
Donde se nota en la figura 1 que el ángulo
entre F y r es de 0º.
JouleW 7.201 RESPUESTA.
b) El trabajo realizado por la fuerza de
gravedad, se calcula usando la siguiente
ecuación: Dado, F = m g
 cos)( rFW cos)( rmg 
W = (5kg)(9.8m/s2
)(2.5m)(cos143º)
En la figura 2 se observa que el ángulo entre
W y r es de 180º - 37º = 143º
JouleW 8.97 RESPUESTA.
a. El trabajo realizado por la fuerza de
fricción se calcula así:
º180cos))((cos)( rfrFW k  
cos)( rFW 
W = (19.6N)(2.5m)(cos180º)
El ángulo entre la Fricción y el
desplazamiento es 180º como se observa en
la figura 3.
JouleW 49 RESPUESTA
85

ACTIVIDAD 1 HOJA DE TRABAJO
A continuación encontrará 10 expresiones, algunas verdaderas y otras falsas,
identifique las verdaderas colocando una “V” en el CUADRO a la derecha de cada una
y una “F” cuando la considere falsa.
1 La unidad del TRABAJO en el sistema Internacional es el Newton
2 La energía cinética es un VECTOR
3 La Masa de un cuerpo es un VECTOR
4 La dina es una unidad de FUERZA en el sistema cgs
5 La unidad inglesa para medir la POTENCIA es el Watt
6 Si un auto viaja a rapidez constante, su cambio de ENERGÍA CINETICA ES
CERO.
7 Si un auto viaja a rapidez constante, EL TRABAJO NETO ES CERO.
8 Si un cuerpo se lanza hacia arriba, cuando este alcanza su altura máxima, la
energía CINETICA es cero en ese punto.
9 Cuando un cuerpo se mueve en una superficie rugosa, el Trabajo de la fuerza
de Fricción es negativo.
10 La POTENCIA en el Sistema Internacional se mide en Joules
A continuación encontrará 3 problemas coloque sus respuestas con sus
correspondientes unidades en los lugares indicados.
1. Un caballo va por la orilla de un río y tira de una barcaza con la fuerza de
400 N, mediante una cuerda que forma un ángulo de 37º con la dirección
del río.
Determinar el trabajo que realiza al recorrer 200 m.
Solución: 64.000 Julios
86

2. Por un plano inclinado de 3 m de alto y 4 m de base, se traslada con
rapidez constante un bloque de 100 kg, mediante una fuerza F paralela al
desplazamiento (no hay fricción).
a) ¿Con qué fuerza F se ha empujado el bloque?
b) ¿Qué trabajo se habrá realizado la fuerza F cuando el bloque llegue al final
del plano inclinado?
c) ¿Cuál ha sido la ventaja de usar el plano inclinado, en vez de elevarlo
verticalmente?
Solución: A) 2.940 J.; B) 588 N.; C) La Fuerza Aplicada Es Menor
3. Desde la parte alta de un plano inclinado rugoso, de 3 m de altura y 5 m
de largo se suelta un cuerpo de 4 kg llegando a la parte inferior del
plano en 3 segundos con una velocidad de magnitud 4 m/s.
a) La Energía Cinética en la parte superior vale _______________________
b) La Energía Cinética en la parte inferior vale ________________________
c) El Valor del cambio de Energía Cinética es ________________________
d) El trabajo total o neto vale ______________________________________
e) El Valor del trabajo hecho por el peso en el recorrido es _______________
f) El trabajo hecho por la fricción es ________________________________
g) La potencia desarrollada por el peso es ____________________________
h) La potencia disipada por la fricción vale ___________________________
4. En un campo horizontal, una pelota amarrada a una cuerda de 2 m de
largo se hace girar a nivel del suelo con una rapidez constante de 10
m/s. Encuentre
a) El valor del tiempo de una vuelta _______________________.
b) La frecuencia ________________________.
c) La velocidad angular _________________.
d) La velocidad tangencial en m/s ____________________________.
e) La aceleración de la pelota, en m/s2
____________________
f) La Tensión en la cuerda
g) El trabajo que hace la Tensión sobre el cuerpo cuando ha girado un cuarto
de vuelta ______
5. Si la rapidez de una partícula se duplica,
¿Qué ocurre con su energía cinética?
Subimos un trineo de 20 kg por una pendiente de 30% ejerciendo una fuerza F
mediante una cuerda que forma un ángulo de 45º con el suelo. El coeficiente de
rozamiento entre el trineo y la nieve es 0,05. Si el trineo avanza con rapidez
constante de 1 m/s,
6. ¿Calcular el trabajo realizado por la fuerza F cuando ha recorrido 10 m.
Solución: 1.015 J. ***
87

7. Calcular la potencia de un motor que eleva 625 litros de aceite cada minuto en un
pozo de 24 m de profundidad. La densidad del aceite es 800 kg/m3
.
Solución: 1.960 W (= 2,67 CV)
8. Una bombilla de 60W se mantiene encendida durante 1.5 hrs.
La altura a la que se puede elevar una masa de 3 Kg con la energía liberada por el
bulbo, en m, es:
9. Un proyectil de 2 g sale del cañón de un fusil a 300 m/s:
a) Calcular la energía cinética del proyectil a la salida del cañón.
Solución: A) 90 J. **
9. Las siguientes 4 preguntas hacen referencia al
siguiente enunciado. Un bloque de 10 Kg de masa es
empujado acelerando hacia arriba sobre un plano
inclinado 300
con la horizontal, por una fuerza de 90
Newton de magnitud paralela al plano. El coeficiente de
fricción cinético entre el plano y el bloque es de μk= 0.3.
Para un recorrido de d= 4.5 m a lo largo del plano.
1. El trabajo hecho por la fuerza F sobre el bloque en Joules es
de:
a) 732 b) 351 c) 845 d) 405 e)
NEC
2. El trabajo hecho por la fuerza de fricción sobre el bloque en
Joules es de:
M
F
α
M
d
a) - 248.3 b) - 114.6 c) + 248.3 d) + 114.6 e) NEC
3. El trabajo hecho por la fuerza de normal sobre el bloque en Joules es de:
a) 382 b) 827 c) cero d) 441 e) NEC
4. El trabajo hecho por la fuerza de gravedad (peso) sobre el bloque en Joules es de:
a) -220.5 b) 441.0 c) 995.5 d) - 477.8 e) NEC
10.Un elevador de 650 kg empieza a moverse desde el reposo. Si se desplaza hacia
arriba durante 3 segundos con aceleración constante alcanzando una rapidez de 1.75
m/s, determine:
a) La potencia promedio del motor
del elevador durante éste periodo, en W es:
a. 11,100 b. 5910 c. 2530 d. 980 e. NAC
b) La potencia en el instante t = 3
segundos, en Watt es:
a. 11,100 b. 5910 c. 2530 d. 980 e. NAC
88

Unidad VII
Energía potencial y conservación de la energía mecánica Introducción
Cama elástica (Almacena energía elástica) Fuente propia
La energía potencial, energía cinética y el principio de la conservación de la energía
son aplicados en todo momento, por ejemplo, se utilizan para fabricar juguetes. Estos están
llenos de física ya que funcionan de acuerdo con los principios físicos más variados como los
juguetes de cuerda en los que se enrolla un resorte que va soltándose poco a poco, donde se
aplica la energía potencial elástica. Otros ejemplos serían los toboganes en los centros
recreativos, resbaladeros y hasta para la construccion de una hidroelectrica donde hay
transformaciones de energía. Por lo expuesto anteriormente vemos la cantidad de
aplicaciones de este tema y por lo tanto su importancia de su estudio.
El objetivo que se pretende al finalizar la unidad es que usted, por medio de las diversas
actividades a realizar en esta unidad retenga los conceptos de energía potencial, energía
cinética y la conservación de la energía y los aplique en los problemas cotidianos.
Conceptos que usted debe saber de esta unidad Energía potencial de un sistema
Este tipo de energía puede asociarse con las posiciones relativas de dos o más partículas que
interactúan en un sistema.
También podemos definir la ENERGIA POTENCIAL, como la capacidad de realizar un
trabajo debido a su posición, por ejemplo, un libro a una altura respecto al suelo, un resorte
comprimido o estirado, todos estos dependen de la posición.
m
h = 2h - 1h
m 2h
1h
Fuente propia
Recuerde que la energía
potencial es un escalar y que
depende de la posición.
89

El trabajo realizado por la fuerza gravitacional para levantar un libro desde una posición inicial
1, hasta una posición final 2, es: )mg(h0º18cos 12 hhmgWg  .
El signo negativo del trabajo realizado por la fuerza de gravedad es debido a que el ángulo
formado por los vectores: desplazamiento y fuerza gravitacional es 180º.
Simplificando: )mg(h 21 hWg 
Donde:
11 mghU  es la energía potencial gravitacional en el punto 1.
22U mgh , es la energía potencial gravitacional en el punto 2.
UWg  Ecuación para el trabajo realizado por la fuerza gravitacional cuando el cuerpo
sufre el desplazamiento del punto 1 al punto 2.
Cuando el cuerpo está bajando el trabajo realizado por la gravedad es positivo, porque el
ángulo formado por los vectores desplazamiento y fuerza gravitacional es 0º.
Resumiendo, sí el cuerpo está subiendo, el trabajo realizado por la fuerza de gravedad es
negativo y sí el cuerpo está bajando el trabajo realizado por la fuerza de gravedad es
positivo.
De la misma manera el trabajo hecho por un resorte está dado por:
donde es la energía potencial elástica en el punto 1.
es la energía potencial elástica en el punto 2.
Energía mecánica
La energía mecánica E se define como la suma de las energía cinética y la energía potencial.
Rg UUKE 
Sistemas conservativos
Una fuerza es conservativa si el trabajo realizado por este tipo de fuerzas es cero a lo largo
de una trayectoria cerrada. Ejemplo: la fuerza de atracción gravitacional, donde el trabajo
realizado por esta es cero en una trayectoria cerrada y no depende de la trayectoria que se
siga.
Rg UUKE  , esta energía es constante si solo actúan fuerzas conservativas pero si hay
fuerzas no conservativas E cambia.
0 ifnc EEEW , que también se puede escribir así 0 if EEE
Donde UK  o 2211 KUUK  o 21 EE 
Ecuación de la conservación de la energía mecánica.
Donde:
111 UKE  es la energía mecánica (LA SUMA DE LAS ENERGIAS) en el punto 1,
222 KUE  es la energía mecánica (LA SUMA DE LAS ENERGIAS) en el punto 2.
90

Sistemas no conservativos
Fuerza no conservativa
Una fuerza no es conservativa, si el trabajo total en una trayectoria cerrada no es cero. Un
ejemplo de una fuerza no conservativa es la fuerza de fricción, ya que si se tiene un cuerpo
que se desliza sobre una superficie rugosa, el trabajo realizado por esta fuerza de fricción
(FUERZA NO CONSERVATIVA) depende de la longitud de la trayectoria seguida y no de los
puntos extremos. (Entre mas larga la trayectoria mas trabajo se hace).
Ecuación de la conservación de la energía mecánica
El trabajo realizado por las fuerzas conservativas es cero a lo largo de una trayectoria cerrada.
0 ifnc EEEW Que también se puede escribir así 0 if EEE
Donde UK  o 2211 KUUK  o 21 EE 
El trabajo hecho por las fuerzas no conservativas es igual al cambio de la energía mecánica.
ifnc EEEW  , en este caso el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas es
diferente de cero.
Ejemplos resueltos
EJEMPLO 1
Una mujer lanza una pelota de 1 kg, de masa
desde la posición mostrada en dirección hacia
arriba con una velocidad de 10 m /s , y luego
regresa a su posición inicial, si se desprecia la
fricción del aire, A lo largo de esta trayectoria
cerrada, calcule:
a. La energía mecánica cuando han pasado 2
segundos.
b. El cambio de energía cinética desde el
momento que se lanza hasta el momento en
que llega a la posición inicial de lanzamiento.
smvo /10
H
RESOLUCION
DATOS: Velocidad inicial = 10 m/s
a) t = 2 s, E =?
Recordemos que la energía mecánica es constante, por lo tanto la energía mecánica
al inicio (posición de lanzamiento) es la misma energía mecánica cuando han
pasado 2 segundos y se calcula usando la siguiente expresión:
En el punto inicial: iiiii mghmvUKE 
2
2
1
, si el nivel de referencia se coloca en la
posición inicial, donde 0ih , al sustituir nos queda así:
91

Otra forma, es calculando la magnitud de la
velocidad y la posición cuando han pasado los dos segundos:
2
2
2222
2
1
mghmvUKE 
La magnitud de la rapidez cuando han pasado 2 segundos:
Si smv /101  , ?2 v
t = 2 segundos, 2
/8.9 smga  y de la fórmula de movimiento rectilíneo
uniformemente variado calculamos la velocidad en este tiempo:
smvssmsmatvv fif /6.9)2)(/8.9(/10 2

La posición del punto 2 se encuentra así:
my
ssmssmyattvy i
4.0
)2)(/8.9(
2
1
)2)(/10(
2
1
2
222


con la magnitud de la velocidad y la posición del punto 2,
JouleE 502  RESPUESTA.
b. El cambio de energía cinética es cero, ya que solo existen fuerzas conservativas
(Fuerza gravitacional) y la trayectoria es cerrada.
El trabajo total también es cero porque su desplazamiento es cero.
EJEMPLO 2
Un paquete de 0.50 Kg. se libera del
reposo en el punto A de una superficie
inclinada rugosa como se muestra,
inicialmente en el punto A está a una
altura de 5 metros. El paquete es tan
pequeño que puede tratarse como una
partícula; se desliza por la vía y llega
al punto B con rapidez de 8.40 m /s.
a partir de allí, el paquete se desliza 6
m sobre una superficie horizontal
también rugosa hasta C donde se
detiene.
Determine:
A
5m B C
Nivel de referencia
Fuente propia
a. El trabajo que realiza la fricción sobre el
paquete entre A y B.
b.Que coeficiente de fricción cinética tiene la
superficie horizontal:
92

RESOLUCION
DATOS: Magnitud de la velocidad en A = 0, ya que parte del reposo, la magnitud de la
velocidad en B es 8.4 m /s. Posición de A es 5m y además colocamos el nivel de
referencia en B. Note que para calcular el trabajo que realiza la fricción del punto A hacia
el punto B, es igual al cambio de energía mecánica entre A y B, es decir el trabajo
realizado por la fuerza no conservativa.
ifnc EEEW  , donde la energía mecánica inicial, es en el punto A.
AAAAA mghmvUKE 
2
2
1
,
JouleEA 5.24
Para la energía mecánica en B, no hay energía potencial gravitacional ya que 0bh
bbbbb mghmvUKE 
2
2
1
0
2
1 2
 bbbb mvUKE Sustituyendo
JouleEb 64.17
Sabemos que el trabajo realizado por la fuerza no conservativa es igual al cambio de
energía mecánica, por lo tanto tenemos:
5.246.17  ifnc EEEW JouleWnc 86.6
a. En la superficie de B a C puede observar el diagrama de las fuerzas que actúan
sobre el bloque, 0 yF +
Diagrama de cuerpo libre del bloque, cuando se encuentra en el tramo del punto B a C
fk n
W
0 wn despejando n: wn  , sustituyendo obtenemos:
 mgn (0.5 kg )(9.8 m/s2
) = 4.9 Newton
La fuerza de fricción se calcula así: )9.4(  nfk
El trabajo realizado por la fricción es: Sustituyendo x = 6m y n = 4.9Newton
La 0cE porque se detiene en el punto C y la altura del punto C es cero, JEb 64.17
ifnc EEEW 
 4.29 Joule4.170  resolviendo obtenemos:  = 0.6 RESPUESTA
93

EJEMPLO 3
Un bloque de masa 2.5 kg se desliza
cuesta abajo por una pista sin
fricción, considere que M se mantiene
pegado a la superficie en todo el
movimiento, como se muestra en la
figura, si en el punto A tiene una
velocidad de 1 m/s,
H = 2 m, R = 0.5m ,determine
a. La magnitud de la velocidad del
bloque en el punto B en, m/s
b. La fuerza normal que ejerce la
superficie en B, en Newton.
c. La constante del resorte en
kN/m, Si la máxima compresión del
resorte en C es 5 cm,
Fuente propia
RESOLUCION:
Diagrama de cuerpo libre de M,
cuando se encuentra en B
n
W
a. Para calcular la magnitud de la velocidad en el
punto B, analizamos del punto A al punto B, en
cuyo recorrido no existe fricción, por lo tanto la
energía mecánica de los puntos A y B son
iguales.
El nivel de referencia lo colocamos en B.
La energía mecánica en el punto A se calcula así:
AAAAA mghmvUKE 
2
2
1
La energía mecánica en B se calcula de la misma forma que en A:
bbbbb mghmvUKE 
2
2
1
La posición del punto B es cero, por lo tanto la energía
potencial en B es cero..
al igualar las energías de A y B:
2
25.15.62 Bv , donde obtenemos:
smvB /07.7 RESPUESTA.
c. En la figura se observan las fuerzas que actúan sobre la masa en el punto B, y por la
segunda ley de Newton en movimiento circular:
94

La aceleración Radial se dirige verticalmente hacia arriba apuntando hacia el centro del círculo
R
mv
maF B
Ry
2
 + Ra
R
mv
wn B
2
 despejando n, obtenemos:
R
mv
wn B
2
 y luego sustituyendo:
c. La constante del resorte k la encontramos analizando del punto A al punto C, para ello
conocemos JouleEA 5.62 y la energía mecánica en C es la misma ya que se conserva la
energía mecánica: 22
2
1
2
1
kxmghmvUKE CCCCC 
La magnitud de la velocidad en el punto C es cero porque no hay energía cinética en C
, kxEC )1025.1(25.12 3

Igualando las energías de A y C, Joule5.62 kx )1025.1(25.12 3
 , obtenemos el valor
de k = 40,200 N /m = 40.2 kN /m
EJEMPLO 4
Una bola de masa m = 1 kg está unida al extremo de una varilla delgada de longitud
L = 2 m, el otro extremo de la varilla está pivotado de modo que la bola pueda moverse en
círculo vertical. La varilla se lleva a la posición vertical como se muestra
en la figura y se empuja horizontalmente hacia la derecha de modo que la varilla oscile.
Determine:
a. Qué magnitud de la velocidad inicial se
necesita para que la varilla alcance 15
grados con respecto a la vertical.
b. Cómo se muestra la tensión que experimenta
la varilla cuando está en posición vertical.
Fuente propia
95

RESOLUCION
a.Para calcular la magnitud de la velocidad que
debe tener m para que llegue a los 15º,
colocamos el nivel de referencia en el punto A,
el más bajo, sabemos que sólo existen Fuerzas
conservativas, por lo tanto se conserva la
energía mecánica.
BA EE 
 AA mghmv
2
2
1
BB mghmv 
2
2
1
, en A la
altura es cero. En B la velocidad es cero.

2
2
1
Amv Bmgh despejando la velocidad
despejando la velocidad del punto A
)034.0)(8.9(22  bA ghv
smvA /82.0 RESPUESTA.
b) En la figura anterior se observan las
fuerzas que actúan sobre la masa en el
punto A, conocemos R = 1 m y por la
segunda ley de Newton obtenemos la
tensión en la cuerda.
R
mv
maF A
Ry
2
 +
R
mv
wT A
2
 despejando T:
R
mv
wT A
2
 sustituyendo
DATOS
15º L
L B
A
Nivel referencia H = 0.034
Para calcular H:
H = L(L- LCOS15º)
H = 0.034 m
Diagrama de cuerpo libre de m cuando se
encuentra en A
T
W
Recuerde que el vector aceleración
centrípeta en A tiene la dirección a lo
largo de la línea radial como se muestra
a continuación.
Ra
NewtonT 24.5 RESPUESTA
96
97

Ejemplo 5
Si una partícula gira una revolución completa,
regresando a su posición inicial,
¿Qué puede decir usted acerca del trabajo
ejercido por la fuerza conservativa?
RESOLUCION :
Se sabe que la partícula tiene una
trayectoria cerrada, ya que es una
revolución completa y que sólo actúan
fuerzas conservativas, por lo tanto, el
trabajo realizado sobre la partícula es cero.
Otras actividades
ACTIVIDAD 1 LECTURA
ACTIVIDAD 2 Proyecto final
Construcción de un juguete o cualquier otra actividad manual donde se apliquen
principios físicos.
La presente actividad consiste en que construya ya sea un juguete, una pista de carros, una
pistola de resortes u otra manualidad.
El objetivo que se pretende con la elaboración de este proyecto es que integre todos los
conceptos adquiridos a lo largo del curso incluyendo el de esta unidad, y los aplique en
cualquier problema cotidiano. Elabore un trabajo escrito de los temas que aplica en el
trabajo que ha seleccionado.
Resuelva los problemas dejando el procedimiento de cada uno.
1. En la cima de unas montañas rusas un vehículo está a una altura de 40 m sobre el
suelo y avanza a 5 m/s. Calcular la energía cinética del vehículo cuando está en una
segunda cima situada a 20 m sobre el suelo, si se desprecian la fricción. La masa del
vehículo con sus ocupantes es de 1.000 kg.
Solución: 208,5 KJ.
2. Un péndulo simple se suelta desde la posición horizontal. Demostrar que la tensión del
98

hilo al pasar por la posición vertical es tres veces el peso del cuerpo
Un pequeño objeto se suelta por el borde interior de una semiesfera hueca de radio R = 1 m.
Hallar el valor de la fuerza que la semiesfera ejerce sobre el cuerpo cuando pasa por el punto
más bajo de su trayectoria.
Solución: 3 Mg
3.
4. Un pequeño objeto de masa m se suelta desde el
punto A del rizo. Calcular:
a) Rapidez del cuerpo en el punto C,
b) fuerza que ejerce la vía sobre el cuerpo en
dicho punto. Solución: A) ; B) 7mg
5. Un cuerpo se lanza sobre un plano horizontal con una rapidez inicial de 6 m/s;
sabiendo que el coeficiente de rozamiento es 0,3, calcúlese el tiempo que tarda en
detenerse y la distancia que ha recorrido.
Solución: 6,12 M. ; 2,04 S
6. Un bloque de 35,6 N de peso avanza a 1,22 m/s sobre una mesa horizontal (sin
rozamiento). Si en su camino se encuentra con un resorte cuya constante elástica es
3,63 N/m. ¿Cuál es la máxima compresión del resorte? Solución: 1,22 m
7. Dejamos caer un cuerpo de 100 g sobre un
muelle de k = 400 N/m. La distancia entre
el cuerpo y el muelle es de 5 m. Calcular la
longitud x del muelle que se comprime.
Solución:0,159 m.
8. Se comprimen 40 cm de un muelle
de k = 100 N/m situado sobre un
plano horizontal y, en esta forma, se
dispara un cuerpo de 0,5 kg.
99

Calcular, si se desprecia el
rozamiento, la altura que alcanza el
cuerpo en el plano inclinado
Solución: 1,63 m.
9. Un bloque de masa 0.25 kg se coloca sobre la parte superior de un resorte vertical
ligero, de constante de fuerza 5000 N/m y empujado hacia debajo de modo que el
resorte se comprime 0.1 m. Después de que el bloque se suelta desde el reposo,
avanza hacia arriba y luego se separa del resorte. ¿A qué altura máxima sube sobre
el punto de liberación?
10. Una partícula tiene una energía cinética constante K. ¿Qué magnitudes son
constantes de las siguientes? (posición, desplazamiento, rapidez , distancia recorrida)
11. Un niño de 25 kg que está en un columpio de 2 m de largo comienza a moverse desde
una posición de reposo en la que los soportes del columpio forman un ángulo de 30
grados con la vertical. a) Sin tomar en cuenta la fricción, calcule la rapidez del niño en
la posición más baja. b) Si la rapidez del niño en la posición más baja es de 2 m/s
¿cuánta energía mecánica se pierde debido a la fricción.
Tabla No. 2: Valores de coeficientes de fricción
Materiales µ s µ k
Acero sobre acero 0.74 0.57
Aluminio sobre acero 0.61 0.47
Cobre sobre acero 0.53 0.36
Hule sobre concreto 1.0 0.80
Madera sobre madera 0.25 - 0.5 0.20
Hielo sobre hielo 0.15 0.06
Vidrio sobre vidrio 0.94 0.4
FORMULAS UTILES.


Volumen
masa
 , Volumen de un cilindro: hr2
 ,
 Volumen de una esfera:
3
4 3
r
, Volumen de un cubo:
3
l

Carne______________________Nombre________________________________________________
FORMULARIO Vectores


AsenA
AA
y
x

 cos 22
yx AAA 

xxx BAR  yyy BAR  = =
= =
)()()(cos
222
),,(
zbzaybyaxbxaABBA
zayaxaAzayaxakzajyaixaA







Trabajo = Torca =
BA
BA



cos cos/ AP BA

 ,
B
B
B
BA
P BA 



 
/ senBABXA


Si la aceleración es constante y el tiempo inicial es cero:
t
f
vovor
f
r
tatovor
f
rraov
f
vtaov
f
v
)(
2
1
2
2
1
2
22






















Movimiento Circular y Relativo












B/A
v
P/B
v
P/A
v
B/A
r
P/B
r
P/A
r
22
2
a
0
1
T
r
r
tv
crtv
rs
dt
d
t
medf
f
T







Movimiento circular uniformemente variado
Dinámica de la traslación



 



gmwNssfN
kk
famF 
Trabajo, potencia y energía mecánica
d
f
F
f
EE
FNC
W
mec
EK
Tot
Wkx
el
UmghgUmvK
vFP
dt
dW
P
t
W
media
PrCosFrFWrdFW















0
2
2
12
2
1
* 
103

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