Clase N°04 de Cálculo I 2022-I HELLEN metalurgica.pptx

SEMESTRE ACADÉMICO 2022-I
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE
SAN MARCOS
Facultad de Ingeniería Geológica, Minera, Metalúrgica y Geográfica
Escuela Profesional de Ingeniería Metalúrgica
Mg. HELLEN TERREROS NAVARRO
A
S
I
G
N
A
T
U
R
A
C
Á
L
C
U
L
OI
2022-I
Mg. Hellen Terreros Navarro 1

TEMA: CLASE DE FUNCIONES Y FUNCION INVERSA
Mg. Hellen Terreros Navarro
UNIDAD I SEMANA 4 SESIÓN 1
CRITERIO/CAPACIDAD
El estudiante identifica si una función es par o impar y establece su
simetría; calcula la función inversa.
COMPETENCIA
Resuelve situaciones problemáticas de contexto real referidas a
analizar cambios discontinuos o regularidades, entre valores o
expresiones; traduciéndolas a expresiones algebraicas que pueden
incluir la regla de formación de funciones que mejor se ajusten al
comportamiento del fenómeno observado.

Contenido
01
02
03
Paridad de una función
Función par e impar
Funciones periódicas
Clases de funciones
Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva

PARIDAD DE UNA FUNCIÓN
 FUNCIÓN PAR
Diremos que 𝑓 es una función par si :
1) 𝑥 ∈ 𝐷𝑓, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 − 𝑥 ∈ 𝐷𝑓.
2) 𝑓 −𝑥 = 𝑓 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓.
Su gráfica es simétrica respecto al eje Y.
= 2𝑥 + 4 , 𝑥 ∈ [−2; 2] es par
= 𝑓(𝑥)
Ejemplo
Demostrar que la función 𝑓 𝑥
Demostración:
El intervalo [−2; 2] es simétrico.
𝑓 −𝑥 = −2𝑥 + 4 = 2𝑥 + 4
Por tanto 𝑓 es función par.

f x 3x2
 4x4
f  x f x
f x 3x2
 4x4
 3x2
 4x4
 f x
Por lo tanto esta función es par
Ejemplo:
Dada la función
Muestre que la función es par y bosquejar su grafico
Solución:
Analizaremos si la función es par, para ello debe cumplir que:

 Función Impar
Diremos que 𝑓 es una función impar si :
1) 𝑥 ∈ 𝐷𝑓, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 − 𝑥 ∈ 𝐷𝑓.
2) 𝑓 −𝑥 = −𝑓 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓.
Su gráfica es simétrica respecto al
origen de coordenadas.
Función sin paridad
El carácter par o impar de una función es lo que
conocemos como su paridad. Las funciones que
no son ni pares, ni impares, carecen de paridad.

1
2
𝑔 𝑥 = 𝑥3 + 𝑥
Dada la función
𝑔 −𝑥 = −𝑔(𝑥).
2
𝑔 −𝑥 = −𝑥 3 +
1
−𝑥
= −𝑔 𝑥
Por lo tanto esta función es impar
3
1
2
= −𝑥 − 𝑥
3
1
= − 𝑥 + 𝑥
2
Ejemplo:
Muestre que la función es impar y bosquejar su grafico.
Solución:
Analizaremos si la función es impar, para ello debe cumplir:
veamos

Ejemplo
Demostrar que el producto de dos funciones, una impar y la otra par es una
función impar.
Demostración:
Sea la función ℎ 𝑥 = 𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 → 𝐷𝑜𝑚𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚𝑔 … … … … . . 1
Si 𝑓 es impar→ ൜
∀𝑥𝐷𝑜𝑚𝑓 → −𝑥𝜖 𝐷𝑜𝑚𝑓
𝑓 −𝑥 = −𝑓 𝑥 … … … . … . (2)
Si 𝑔 es impar→ ቊ
∀𝑥 𝐷𝑜𝑚𝑔 → −𝑥𝜖 𝐷𝑜𝑚𝑔
𝑔 −𝑥 = 𝑔 𝑥 … … … … … . (3)
Multiplicando 2 y 3, se tiene 𝑓 −𝑥 . 𝑔 −𝑥 = −𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓 ∩ 𝐷𝑜𝑚𝑔.
Pero, en (1) ℎ −𝑥 = 𝑓 −𝑥 . 𝑔 −𝑥 = −𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 = −ℎ 𝑥
Por tanto el producto de dos funciones, una impar y otra par es impar.

FUNCIONES PERIÓDICAS
Una función 𝑓(𝑥) es periódica si cumple que :
Diremos que 𝑓 es una función periódica si : ∃ 𝑇/𝑇 ≠ 0 ∈ ℝ
1) 𝑥 ∈ 𝐷𝑓 → (𝑥 + 𝑇) ∈ 𝐷𝑓
2) 𝑓(x + T)= 𝑓(x), ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓.
Observa que: 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥 + 𝑛𝑇) donde n = 0, ±1, ± 2, ±3,...
Al valor mínimo, mayor que cero, de la constante T que cumple lo
anterior se le llama el periodo fundamental (o simplemente periodo) de
la función.
Cuestión:
¿Es f(t) = cte. una función periódica?

Ejemplo:
Las funciones senx y cosx son funciones periódicas con periodo 𝑇 = 2𝜋
El periodo es 2𝜋
El periodo es 2𝜋 El periodo es 1

Como cos(x + 2kπ) = cos(x) para cualquier entero k, entonces, para que
se cumpla la igualdad, se requiere que:
El valor mínimo de T se obtiene con 𝑘1 = 4, 𝑘2 = 3, es decir, T = 24π.
Ejemplo: ¿Cuál es el periodo de la función 𝑓 𝑥 = cos
𝑥
3
+ cos
𝑥
4
?
Solución:
Si 𝑓(𝑥) es periódica se debe cumplir:
𝑓 𝑥 + 𝑇 = cos
𝑥 + 𝑇 𝑥 + 𝑇
3 4
+ cos = cos
𝑥
3
+ cos
𝑥
4
= 𝑓(𝑥)
2
T/3 = 2𝑘1π y T/4 = 2𝑘 π , de donde
𝑘1
= 4
𝑘2 3

OBSERVACIONES:
Si k representa un entero, entonces 2k 1 es un entero impar.
y
f x senx f x cos x pueden
En consecuencia, los ceros de
escribirse en forma breve como:
1
)
senx  0 para x  k, k un entero.
2)
2
cos x  0 para x  2k 1 , k un entero.
PROPIEDADES SOBRE AMPLITUDES, PERIODOS Y
DESPLAZAMIENTOS DE FASE
Si y  a.senbx  c o y  acosbx  c para números reales a y b
diferentes de cero, entonces
b b
la amplitud es a , el periodo es
2
, y el desplazamiento de fase es 
c ;
(1)
(2) un intervalo que contenga exactamente un ciclo se puede hallar al resolver
la desM
ig
g.J
uu
l
i
aoF
ll
do
r
e
asdDion0iciobx  c  2 .Mg. Hellen Terreros Navarro

TEOREMA (SOBRE AMPLITUDES Y PERIODOS)
de cero, entonces la gráfica tiene amplitud y periodo .
puede ser comprimida horizontalmente por un factor b.
concepto se ilustra en los siguientes dos ejemplos.
y=acosbx para números reales a y b diferentes
Si y  asenbx o
a
b
2
También podemos relacionar el papel de b con la discusión de comprimir y
estirar horizontalmente una gráfica de seno y coseno. Si b  1, la gráfica de
y  asenbx o y=acosbx
Si 0  b  1 , las gráficas se estiran horizontalmente en un factor de 1
. Este
b

Ejemplo 1. Estiramiento
, multiplicamos por 2 la coordenada y de cada punto sobre la
y  2senx
gráfica de y  senx . Esto nos da la figura de color celeste, donde por
comparación también vemos la gráfica de y  senx de color rojo violeta.
El procedimiento es el mismo que para estirar verticalmente la gráfica de una
función.

Ejemplo 2. Acortamiento
, multiplicamos por las coordenadas y de puntos sobre la
. Esta multiplicación comprime verticalmente la gráfica de
por un factor de , como se ilustra en la figura celeste.
y 
1
senx
2
1
2
gráfica de y  senx
y  senx
1
2

y  2senx
Ejemplo 3. (Reflexión)
Trace la gráfica de la ecuación.
Solución
La gráfica de trazada en la figura se puede obtener al trazar
la gráfica de a través del eje x (como se muestra en la figura de
color verde).
y  2senx
primero la gráfica de y  senx (que se muestra en la figura de color rojo) y
luego multiplicando por -2 las coordenadas y. Un método alternativo es reflejar
y  2senx

Ejemplo 4. (Alargamiento)
y  3cos x
Encuentre la amplitud y trace la gráfica de
Solución
Por el análisis previo, la amplitud es 3. Como se indica en la figura, primero
trazamos la gráfica de y  cos x y, luego, multiplicamos por 3 a las
coordenadas y.

Ejemplo 1.
.
y  3sen2x
Encuentre la amplitud y periodo y trace la gráfica de
Solución
Usando el teorema sobre amplitudes y periodos
b=2 , obtenemos lo siguiente:
con a  3 y
a  3  3 y
2 
2 
2  
b 2 2
Entonces, hay exactamente una onda senoidal de
amplitud 3, con x el intervalo 0, . Para trazar
la gráfica, trazamos esta onda en 0,  y, luego,
extendemos la gráfica a derecha e izquierda
para obtener la figura.

Ejemplo 2.
.
y  2sen
1
x
2
Encuentre la amplitud y el periodo y trace la gráfica de
Solución
obtenemos lo siguiente:
b=
1
,
2
Usando el teorema sobre amplitudes y periodos con a  2 y
1
2
1
2
b
a  2  2 y
2

2

2
 4
Entonces, hay una onda senoidal de amplitud 2 en el
intervalo 0,4 . Para trazar la gráfica, trazamos
esta onda en 0,4 y, luego, extender la gráfica
a derecha e izquierda para obtener la figura.

entonces f(x) ≤ f(y) .
f(x) > f(y).
FUNCIONES MONÓTONAS
Sea 𝑓: 𝐴 → 𝑅, diremos que:
1. 𝑓es creciente en un conjunto C ⊂ 𝐴, si 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐶 con x < y,
2. 𝑓 es decreciente en un conjunto 𝐶 ⊂ 𝐴, si 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐶 con x < y, entonces
3. 𝑓es creciente (respectivamente decreciente) cuando lo es en todo su
dominio de definición.
4. 𝐿𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓 es monótona si 𝑓 es creciente o decreciente.

Ejemplo
¿Es la función f (x) (x3)2
4creciente o decreciente sobre el intervalo
I  ,2 ?
solución
Se tiene que Df 
Sea x1,x2   ,2
 I  Df
tal que x1  x2  x1  x2  2
 x1 3  x2 3  1 (x1 3)  (x 3)
2 2
2
 (x 3)2
 4  (x 3)2
 4  f (x )  f (x )
1 2 1 2
Así, se obtiene que x  x  f(x )  f(x ) , con lo cual se concluye que f es
decreciente en I  ,2 .

𝑓 𝑎 = 𝑓 𝑏 → 𝑎 = 𝑏 ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓
 Función Inyectiva (1-1)
Se dice que 𝑓: 𝐴 → 𝐵, es una Función Inyectiva si:
𝑎 ≠ 𝑏 → 𝑓 𝑎 ≠ 𝑓(𝑏)
Equivalentemente:
CLASES DE FUNCIONES
Usando la definición, tenemos que “Una función f es inyectiva si cualquier recta horizontal corta a
la gráfica de f a lo más en un punto”

Ejemplo. f (x) 
x 1
, x 1 es inyectiva.
x 1
En efecto
,
2
f (x) 
x 1
=1+
x 1 x 1 1 2
2 2
= 1+
. Partimos de f (x1)  f (x2 ) 1+
x 1 x 1
de aquí x1 1 =x2 1 , entonces x1 =x2
Otros ejemplos:
1. La función constante no es inyectiva en ningún intervalo de , pues
f (x1) f (x2)aun cuando x1  x2 .
2. La función lineal no constante f (x)  mx  b es inyectiva sobre todo , pues
si x1  x2 , entonces f (x1) f (x2).
3. La función cuadrática f (x) x2
no es inyectiva sobre , pero si lo es
separadamente sobre o
 
.

NOTA:
1)
2)
3)
4)
Si f es creciente en a,b, entonces el rango de f en a,b es
Rf [ f (a), f (b)], donde [a,b]  Df
Si f es creciente en a,b, entonces el rango de f en a,b es
Rf  f (a), f (b), donde
Si f es creciente en a,b
a,b Df
, entonces el rango de f en a,b es
Rf  
 f (a), f (b) , en donde a,b  Df
a,b es
Si f es creciente en a, b , entonces el rango de f en
Rf  f (a), f (b) donde a,b  Df .

5) Si f es decreciente en a,b, entonces el rango de f en a,b es
6)
7)
 Df
8) es
 Df .
Rf [ f (b), f (a)]donde [a,b]  Df
Si f es decreciente en a,b, entonces el rango de f en a,bes
Rf  f (b), f (a) donde a,b Df
Si f es decreciente en a,b [a, b , entonces el rango de f en [a, b es
Rf  f (b), f (a) donde [a, b
Si f es decreciente en a,b , entonces el rango de f en a,b
Rf = f (b),f (a) donde a,b

regla de correspondencia partida) como
1
2
2 f
f3
Cuando se trata de probar que una función es inyectiva en el caso en que f
está constituida por la unión de varias funciones, es decir, cuando tiene su
 f1 x, x Df
f x  f x, x D


f x, x D

 3
Donde por supuesto Df , Df y Df son disjuntos dos a dos, se procede de la
1 2 3
siguiente manera:
(i) Se prueba que cada función fi es inyectiva en su respectivo dominio.
(ii)Se debe verificar que los rangos (en este caso los tres rangos) sean
disjuntos dos a dos.
Nota:


 x5, x
5,
Ejemplo sea f (x)  

x2
 4x 5, x
2,1
Solución:
2
2

 f1(x)  x 5, x
5,
Primero redefinimos la función f (x)  
f (x)  (x  2) 9, x2,1
 

1
1) Inyectividad de f :
f1(x1)  f1(x2 )  x1 5  x2 5  x1 5  x2 5  x1  x2 f1(x) es inyectiva.
 
 f1(5), f1()  Rf1
 
0, .
2)Rf : como f1 es creciente en 5,  Rf
1  1
3) Inyectividad de f2
f (x )  f (x )  x 2
 4x 5  x 2
 4x 5 (x  2)2
9  (x  2)2
9
2 1 2 2 1 1 2 2 1 2
 (x  2)2
 (x  2)2
 x  2  x  2  x  2  x  2  x  x
1 2 1 2 1 2 1 2 2
 f es inyectiva
obs: x1 
2,1  2  x1 1 0  x1  2  3 x1  2  x1  2 lo mismo vale para x2  2
4) Rf : como f2 es creciente en 2,1  Rf
2  2
 
 f2 (2), f2 (1)  Rf2
 
9,0 .
luego f es inyectiva.
5)
Rf1
 Rf2
 
0,  
9,0  

Teorema: Si la función 𝑓 es monótona entonces es inyectiva
𝑓 𝑥 = 𝑥3 1
𝑓 𝑥 =
𝑥
(Función creciente) (Función
decreciente)

 Función Epiyectiva (sobreyectiva)
es una Función Sobreyectiva
si:
Se dice que 𝑓: 𝐴 → 𝐵
∀ 𝑏 ∈ B , ∃ 𝑎 ∈ A tal que 𝑓 𝑎 = 𝑏 Equivalentemente: Ran 𝑓 = 𝐵
Ejemplos
1. La función f :  tal que f (x)x2
no es sobreyectiva, pues
Rf  
0.
2. La función f :  tal que f (x)x3
es sobreyectiva, pues dado cualquier
real ysiempre existe x 3 y modo que f (3 y)  y .
3.
i) Determinar si f es inyectiva.
ii) Determinar si f es sobreyectiva.
x
Sea f : 0 1definida por f (x) 
x 1

 Función Biyectiva
Se dice que 𝑓: 𝐴 → 𝐵 es una Función Biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva
a la vez.

Ejemplo
Sea f :  una función definida por f (x)  3x .
i) , f (x1)  f (x2)  3x1 3x2 x1 x2 por lo tanto f es
Inyectiva: x1,x2 
inyectiva.
ii) Sobreyectiva: y 
3
existe x  
y tal que f (x)  f (
y
)  3(
y
)  y , por lo
3 3
f f
tanto es sobreyectiva. De (i) y (ii) es biyectiva.

Gráficamente podemos representar
𝑓 y 𝑓 −1 de la manera siguiente:
 Función Inversa
Dada la una función 𝑓: 𝐴 → 𝐵 , inyectiva se llama función inversa de 𝑓 a la función
denotado por:
Observación:
𝑦 = 𝑓 𝑥
𝑓−1
𝑓−1: 𝐵 → 𝐴
- 𝑥 = 𝑓−1 𝑦
Ejemplo:
Gráfico de:𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑, 𝒇−𝟏(𝒙) = 𝟑
𝒙

Ejemplo:
Hallar la inversa y grafica de la función
Solución:
Para hallar la inversa de la función
debemos despejar la variable 𝑥 ∶
y  2 x  1
2
y  1
 x
Como y es “muda”. Por lo tanto
f 1
x
x 1
2
f x   2 x  1
2
f  1
 x  
x  1
→ 𝑓−1 𝑦 =
𝑦 + 1
2
𝑦 = 𝑥

COMENTARIO
1) En general, si f: A  B entonces f 1
existe si y solo si f es biyectiva. Si f
no fuese inyectiva y/o sobreyectiva, habría que hacer las restricciones
del caso, para que exista f 1
.
f :A f es biyectiva si y solo si es inyectiva.
3) La observación (2) que acabamos de analizar, nos indica que, para que
una función f: A  Rf tenga inversa es necesario y suficiente que sea
inyectiva.
4) La equivalencia y  f x   x  f 1
y nos indica que para
encontrar la regla de correspondencia de f 1
, partimos de y = f(x) y
despejamos x en términos de y, esto nos proporciona la regla de
correspondencia de f 1
; x  f 1
y .
2) Como toda función f : A  B es sobreyectiva sobre su rango, entonces

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN INVERSA
Geométricamente, la gráfica de la función inversa se obtiene como reflexión de
la gráfica de función sobre la recta diagonal y  x .
f
Hay una relación interesante entre la gráfica de una función y la gráfica
f 1
.
de su función inversa Primero observamos que b f a es
equivalente a a  f 1
b. Estas ecuaciones implican que el punto a,b está
f si y sólo si el punto b,a está sobre la gráfica de
sobre la gráfica de
f 1
.

Solución
 Inyectiva: tenemos que
      2
1 2 1 2 1 2 1 2
x , x  0, ; f x  f x  x  3  x2
 3  x  x luego f es inyectiva
 Rango: f es creciente en 0,; luego Rf  f 0, f   3,
 f :0, 3,, entonces existe f 1
:3, 0,
 Cálculo de la regla de correspondencia de f 1
: partimos de
y  3 , entonces f y y 3 o
y  x2
3  y  3  x2
 x   y  3  x 
simplemente f 1
x x 3, x3,.
 Df  3,
Ejemplo. 1
Sea f x x2
3 para x  0 . Encuentre la función inversa de f

Ejemplo 2
Sea f (x)  x 5 , x  5, halle f * en caso de que exista.
Solución
 Inyectiva: tenemos que x1, x2 5, : f (x1)  f (x2 )  x1  5 = x2 5
 x1  x2 luego f es inyectiva.
f
 Rango: f es creciente en 5,  ; luego Rf = R  5, 

f(5),f ()  0,  .
 f: 5,   0,  , entonces existe f *: 0,   5, 
Df* = 0, 
 Cálculo de la regla de correspondencia de f *: partimos de y  x 5
 y2
 5  x entonces f *(y) = y2 + 5, y 0,  o
simplemente f *(x) = x2 + 5, x  0, .

INVERSA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA
Sean las funciones 𝑓: 𝐴 → 𝐵 y 𝑔: 𝐵 → 𝐶
La inversa de la función compuesta de 𝑓 con 𝑔 es la función denotado por
(𝑔°𝑓)−1 :𝐶 → 𝐴 y definida como: (𝑔°𝑓)−1(𝑥)=(𝑓−1 𝑔−1)(𝑥)
°
con Ran(𝑓)∩ Dom(𝑔) ≠ ∅
‫ٿ‬ 𝑔−1(𝑥)𝜖𝐷𝑜𝑚(𝑓−1)}
Donde
Dom (𝑔°𝑓)−1 = {𝑥𝜖𝑐 / 𝑥𝜖𝐷𝑜𝑚 𝑔−1
A
𝑓 B 𝑔
C
𝑓−1
𝑔−1
(𝑔°𝑓)−1

Considere las siguientes funciones reales definidas por
f x 53x g x x2
1
y  53x
3
𝑥 = 5−𝑦
= 𝑓−1(𝑦)
Ejemplo:
y
Hallar (𝑔°𝑓)−1
Solución:
1. Para hallar la inversa de hacemos
entonces
f x 53x
luego 𝑓−1
5 − 𝑥
𝑥 =
3
2. Dom(𝑓−1)=ℝ= Ran(𝑓)
3. Análogamente 𝑔−1 𝑥 = 𝑥2 − 1 , Dom(𝑔−1)=[1, +∞ >= Ran(𝑔)

° °
5. (𝑔 𝑓)−1(𝑥) =(𝑓−1 𝑔−1)(𝑥) = 𝑓−1((𝑔−1)(𝑥))= 5 − 𝑥2 − 1
3
4. Dom (𝑔°𝑓)−1 = {𝑥𝜖𝐶 / 𝑥𝜖𝐷𝑜𝑚 𝑔−1
‫ٿ‬ 𝑔−1(𝑥)𝜖𝐷𝑜𝑚(𝑓−1)}
𝑥𝜖 [1, +∞ > ‫ٿ‬ 𝑥2 − 1 𝜖 ℝ
𝑥2-1≥ 0
𝑥 ≥ 1 ∨ 𝑥 ≤ −1
= [1, +∞ >

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