La matemática en mesopotamia

1. Universidad Pedagógica Nacional
Francisco Morazán
Integrantes:
Cesia Leticia Perdomo Hernández
Denis Mauricio Cisnado García
Jimer Sado Bodden Martínez
Nelson Rigoberto Sánchez Matute
Wilfredo Granados Torres
Historia y Naturaleza de la Matemática
Catedrático: Lic. Marlon Baquedano
Grupo No. 3
I Periodo Académico
11/03/2022

2. Mesopotamia
La civilización mesopotámica empezó a conformarse como tal varios
milenios antes de nuestra era. Su importancia reside en ser la primera
que deja testimonio escrito de sus logros, los instrumentos para la
resolución de sus problemas cotidianos, la importancia de los dioses, la
adivinación de sus designios, la estructura social de sus gentes, los
avatares de su historia. Conceptos como los de clases sociales, la
construcción de ciudades, la enseñanza de conocimientos, el
imperialismo, la defensa de intereses económicos, la expansión y
control de la tierra, el aprovechamiento agrícola, el comercio y tantos
otros, encuentran en Mesopotamia su primera expresión constatable.
Capitulo III

3. 1. Los documentos cuneiformes
La escritura cuneiforme nace, en primer lugar, ante la necesidad de contabilizar bienes
y transacciones, es decir, su origen tenía una finalidad contable. Esta escritura era de
Mesopotamia Cerca del 3200 A.C el sistema contable consistía en el uso de unas fichas
de formas geométricas (conos, discos, esferas). La escritura cuneiforme es una formas
más antiguas de expresión escrita de los sumerios
En la primera etapa se utilizaron imágenes elementales que pronto
también se utilizaron para grabar sonidos.

4. 2. Numeración Posicional
 Los signos cuneiformes derivan de signos pictográficos lineales utilizados en el
periodo Uruk IV-III, es decir, a fines del IV° milenio a. C.
 crearon una escritura basada en símbolos cuneiformes ( en forma de cuña).
 Dos de esos símbolos los utilizaron para su sistema de numeración e introdujeron el
sistema sexagesimal y es el primer sistema posicional del que se tiene registro.
El símbolo del 1 se utilizaba para representar cifras del 1 al 9 y el símbolo del 10 para los
números hasta el 59. para cifras mayores usaban los mismos símbolos y formaban grupos
u ordenes que separan por un espacio. Ejemplos:

5. 3. Fracciones Sexagesimales

6. 4 Las operaciones fundamentales
• La eficacia de los babilonios calculando no era consecuencia únicamente de su sistema de
numeración, sino que los matemáticos mesopotámicos se mostraron extremadamente hábiles
inventando métodos algorítmicos, tales como el algoritmo para aproximar raíces cuadradas
que se ha atribuido posteriormente a diversos matemáticos, entre ellos los
griegos Arquitas (428-365 a.C.) y Herón de Alejandría (aprox. 100 a.C.).
• A pesar de la eficacia de esta regla para el cálculo de raíces cuadradas, los escribas
mesopotámicos parecen haber preferido imitar al matemático aplicado moderno, recurriendo
frecuentemente a las diversas y abundantes tablillas de que disponían.
• Para representar la suma los babilonios reunían las dos expresiones en una sola, como en ,
que significa 10+9=19. La resta se solía indicar por , que representa 20-1=19.
• También efectuaban los babilonios multiplicaciones de números enteros: multiplicar por 37,
por ejemplo, suponía multiplicar por 30 luego por 7, y sumar el resultado. El
símbolo específico para la multiplicación era el que se pronunciaba a-ra que
significa ir.

7. 5. Problemas algebraicos
Hay una tabla de la que hacen mucho uso los babilonios, se trata de una tabulación de valores de juega un papel
esencial en el algebra babilónica, desarrollando un nivel mas alto que en Egipto.
Conocemos muchos problemas que aparecen en textos del período babilónico antiguo que demuestran que la resolución de
la ecuación completa de segundo grado no ofrecían ninguna dificultad importante para los babilonios, Dada la flexibilidad
de las operaciones algebraicas que habían desarrollado así podía transponer términos en una ecuación sumando igualdades
y eliminar fracciones y otros factores multiplicando ambos miembros por cantidades iguales sumando

9. 6. Ecuaciones cuadráticas
La resolución de las ecuaciones cuadráticas completas parece haber superado en muchas la capacidad algebraica
de los egipcios; en cambio, Neugebauer descubrió en 1930 que tales ecuaciones habían sido manejadas ya con
gran soltura por los babilonios en algunos de los textos más antiguos que conocemos.
Hay un problema en el que se pide Hallar el lado de un cuadrado si su área menos el lado es igual a 14, 30; la
solución de este problema es equivalente a la resolución de las ecuación

11. 7. Ecuaciones cubicas
 La reducción babilónica de una ecuación cuadrática de la forma 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 = 𝑐 a su forma normal 𝑦2
+ 𝑏𝑦
= 𝑎𝑐 por medio de la sustitución 𝑦 = 𝑎𝑐 muestra el alto grado de flexibilidad que alcanzo el algebra
mesopotámica. Circunstancia que unida al sistema de computación posicional explica en gran parte la
superioridad de la matemática babilónica sobre la egipcia
 En Egipto no hay ningún testimonio de resolución de ecuaciones cubicas, mientras que en Mesopotamia
conocemos muchos ejemplos. Los babilónicos resolvían las cubicas puras como la 𝑥3
= 0; 7,30 consultando
directamente la tabla de cubos o raíces cubicas, y para los valores que no aparecían en las tablas usaban una
simple interpolación lineal para conseguir una aproximación.
 El algebra babilónica alcanzo un nivel de abstracción tan extraordinario tal que las ecuaciones 𝑎𝑥4
+ 𝑏𝑥2
= 𝑐
y 𝑎𝑥8
+ 𝑏𝑥4
= 𝑐 fueron consideradas simples ecuaciones cuadráticas disfrazadas. Es decir, en ecuaciones
cuadráticas en 𝑥2
𝑦 𝑥4
respectivamente.

12. 8. Las ternas pitagóricas
Los descubrimientos algebraicos de los babilónicos son dignos de admiración. Pero los
motivos que pudieron haber tras ellos no son fáciles de entender, se puede admitir que
casi toda la matemática y ciencia prehelénica en general fueron completamente utilitaria,
como el caso de la tablilla 322 de la colección plimpton de la universidad de columbia.
Sugiere que pudo haber estimulo hacia la matemática cultivada por si misma, la tablilla
data del periodo babilónico antiguo (ca 1900 a 1600 aC).
los números en las filas no están ordenandos al azar ya que los números de la primera columna
van disminuyendo de manera continua de arriba hacia abajo, los que construyeron esta tabla
debieron comenzar por tomar dos enteros sexagesimales regulares que podemos llamar p y q con
p > 𝑞 para con ellos formar las ternas pitagóricas 𝑝2
− 𝑞2
, 2𝑝𝑞 𝑦 𝑝2
+ 𝑞2
. Limitándose con
valores de p menores a 60
valores correspondientes de q tales que 1 <
𝑝
𝑞
< 1 + 2, es decir triángulos rectángulos tales
que
𝑎 < 𝑏

13. 9. Áreas de polígonos
 Hace algunos años era una opinión generalizada la de que los babilonios habían sido mejores
algebristas que los egipcios, pero que en cambio, habían contribuido menos a la geometría.
 En el valle mesopotámico se solía calcular el área del circulo tomando tres veces el cuadrado del
radio, lo cual queda muy por debajo del método egipcio en grado de aproximación.
 En 1936 se desenterró una colección de tablillas procedente de Susa.
.
 Compara las áreas y los cuadrados de los lados de los polígonos regulares de tres, cuatro, cinco,
seis y siete lados.
 La geometría no era para ellos una teoría matemática en el sentido en que lo es para nosotros,
sino un cierto tipo de aritmética o algebra aplicada en la que las figuras venían representadas por
medio de números.
 La semejanza entre todas las circunferencias parece haber sido dada por descontado en
Mesopotamia, como lo fue también en Egipto, y los muchos problemas sobre medidas de
triángulos que aparecen en las tablillas cuneiformes.

14.  En el museo de Bagdad se conserva una tablilla en la que esta dibujado un triangulo rectángulo ABC, de
lados a = 60, b = 45, y c = 75, subdividido en cuatro triángulos rectángulos menores ACD, CDE, DEF y EFB.
 Cuyas áreas son respectivamente:
8,6, 5,11; 2,24,3,19; 3,56,9,36 y 5,53; 53,39,50,24.
 Teorema: las áreas de figuras semejantes
son entre si como los cuadrados de lados correspondientes.
Calculan: AD=27, CD=36, BD=48, y de los triángulos BCD y DCE se obtiene CE=21, DE= ?

15. 10. Geometria como aritmetica aplicada
 Al igual que los egipcios, los babilonios no distinguían lo exacto de lo aproximado.
 El área de un cuadrilátero lo calculaban obteniendo la media aritmética de dos lados opuestos.
 El volumen de un tronco de cono o de pirámide lo calculaban a
veces obteniendo la media aritmética de las dos bases y multiplicándola por la altura:
La cual no es exacta.

16.  A veces para troncos de pirámides cuadradas la formula:
que tampoco es exacta.
 O bien la fórmula:
que es correcta y se reduce a la que conocían los egipcios.

17. En el período seleúcida , en el siglo IV a.C. se plantean problemas similares que también hacen uso del Teorema de
Pitágoras (Una caña):
Una caña se apoya en una pared; si el extremo superior baja 3 unidades cuando el extremo inferior se separa 9 unidades
de su posición inicial, ¿cuál es la longitud de la caña? La respuesta que se da es la correcta: 15 unidades.