ejercicios y problemas

1. Universidad Nacional de Trujillo 7.3. Mecánica Cuántica 2
Departamento Académico de Física Dr. Antonio Rivasplata M.
Escuela Profesional de Física MSc. Guillermo H. Ramirez U.
Semestre 2021-I
Tarea 07 – Partículas Idénticas
1. Dos partículas idénticas de espín 1/2 se mueven en un potencial de oscilador armónico 3D, donde
( )
2 2
2 2 2
1 2
0 1 2
1
2 2 2
p p
H m r r
m m
ω
= + + +
a) Encuentre los tres niveles de energía más bajo y sus degeneraciones.
b) Si una pequeña perturbación se adiciona con la forma
( ) ( )
1 2 1 2
'
H A S S L L
= + ⋅ +
Donde 1
S y 2
S son los operadores vectoriales de espín para las dos partículas, 1
L y 2
L son sus
momentos angulares orbitales, A es una constante real.
2. Sea i
σ
ψ la función de onda de estados de una sola partícula normalizada a la unidad. Escriba la función
de onda normalizada para un sistema de tres partículas idénticas de Bose interactuando débilmente las
cuales ocupan estados de una partícula con números cuánticos 1 2 3
, ,
σ σ σ .
3. Dos partículas idénticas de espín 1/2 de masa m interactúan con el potencial real
( ) 1 2 ,
0 ,
A B r a
V r
r a
σ σ
− − ⋅ <

= 
>

 

Donde A y B son constantes positivas. Encuentre la relación entre A y B tal que exista un solo estado
ligado 0
l = con energía de enlace extremadamente pequeña. (Sugerencia: aproxime a cero la energía
de enlace en un sentido límite).
4. Para un sistema de dos espines débilmente interactuantes 1 2
1
2
s s
= = , encuentre los valores propios y
las correspondientes funciones propias del espín total 1 2
S s s
= + , y determine la naturaleza de la
simetría de estas funciones de espín.
5. Para un sistema de dos espines débilmente interactuantes 1 2 1
s s
= = , encuentre los valores propios y
las correspondientes funciones propias correspondientes a los operadores del espín total
( )
2
2
1 2
ˆ ˆ ˆ
S s s
= + y 1 2
ˆ ˆ ˆ
z z z
S s s
= + . Determine la naturaleza de la simetría de estas funciones de espín.

2. 6. Encuentre la constante de normalización para un sistema de dos electrones, cuya función de onda está
dada por
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 1 2
, , , , ,
r r m m r r m m
φ χ
Ψ = ⋅
   
χ esta normalizada. Además, se sabe que:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
3 3 3 *
1, 1, 0
A B A B AB
d r r d r r d r r r
ψ ψ ψ ψ α
= = = ≠
∫ ∫ ∫
      
Donde ,
A B
ψ ψ son soluciones de la ecuación de Schrodinger, además por simplicidad los electrones no
interactúan.