ecuacion

1. 123337.8 Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo
37.8 Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo
Hasta ahora nos hemos ocupado únicamente de problemas independientes del tiempo; es decir,
problemas que no cambian con el tiempo. Sin embargo, electrones y otras partículas se mueven.
¿Qué ecuación puede describir la correspondiente dependencia del tiempo del comportamiento
ondulatorio de la materia? Aparte de describir la dependencia de la coordenada espacial x, la
función de onda ahora también tiene que depender del tiempo t. Todavía nos limitaremos al
movimiento en una dirección espacial y supondremos que la energía potencial es constante en el
tiempo; es decir, que es una función únicamente de la coordenada x. La ecuación de Schrödinger
dependiente del tiempo se vuelve entonces
– ( , ) ( ) ( , ) ( , ).


2 2
22m x
x t U x x t i
t
x t
∂
∂
=
∂
∂
  + (37.32)
Aquí utilizamos el símbolo (x,t) para denotar la función de onda cuántica y su dependencia
de espacio y tiempo. En este punto no estamos interesados en las soluciones generales de esta
ecuación diferencial parcial, ni estamos interesados en derivarla de algún principio general. Sin
embargo, quisiéramos ver si podemos encontrar soluciones especiales que nos permitan escribir
la función de onda general como producto de dos funciones que dependen cada una solamente
de una variable
( , ) ( ) ( ).x t x t= 
Este intento de resolver una ecuación diferencial parcial se llama comúnmente “separación de
variables”. Veamos qué ocurre si insertamos este Ansatz en la ecuación de Schrödinger depen-
diente del tiempo 37.32:
– ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (


2 2
22m x
x t U x x t i
t
∂
∂
=
∂
∂
    ( )+ ( ) xx t
t
m x
x t U x x i
) ( )
– ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

   
( )⇒
+
2 2
22
∂
∂
=  ( ) ( ).x
t
t
∂
∂
Dividimos ambos lados de esta ecuación entre el producto (x)(t) y encontramos
− +






2 2
22
1
m x
x U x x
x
∂
∂
= 

( ) ( ) ( )
( )
ii
t
t
t

∂
∂


( )
( )
.






1
Ahora el lado izquierdo es una función únicamente de x y el lado derecho es únicamente una fun-
ción de t. Esta igualdad puede aplicarse a todos los x y t solamente si cada lado es igual a la misma
constante. Motivados por la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo 37.9, llamamos a
esta constante E, la energía que entra en la ecuación 37.9. El lado izquierdo de esta ecuación lleva
entonces a
– ( ) ( ) ( )
( )
2 2
22
1
m
d
dx
x U x x
x
 

+






= EE
m
d
dx
x U x x E x
⇒
+– ( ) ( ) ( ) ( ),
2 2
22
  =
lo que reconocemos como nuestra ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. Mediante
el mismo argumento encontramos para el lado derecho de nuestra ecuación
E i
d
dt
t
t
d
dt
t
i
E
=
=




 
( )
( )
( ) – (






⇒
1
tt
t Ae AeiEt i t
)
( ) – / –
⇒
 
= =
donde introducimos nuevamente la frecuencia angular  vía E = ħ. Podemos colocar la cons-
tante de normalización A a 1, porque e i t–
,
2
1= y, por lo tanto, la condición de normalización para
la función de onda se ha cumplido. Nuestra solución global es, por ende,
( , ) ( ) ,–
x t x e i t
= 
(37.33)
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2. 1234 Capítulo 37 Mecánica cuántica
donde (x) es una solución normalizada de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
con la energía E = ħ. Una función de onda de la forma de la ecuación 37.33 se llama solución
estacionaria o estado estacionario de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. Esta
condición mínima para la existencia de estos estados estacionarios es que la energía potencial sea
independiente del tiempo, es decir, constante en el tiempo. Un estado estacionario es un estado
con una energía exacta si la energía potencial es constante en el tiempo. Esto es igual que en la
mecánica newtoniana, donde la energía mecánica total E se conserva. Recuerde que puede haber
muchas otras soluciones a la ecuación de Schrödinger 37.32, pero la clase especial de soluciones
con energía bien definida se puede escribir en la forma separable de la ecuación 37.33.
Funciones propias y valores propios
Igual que definimos un operador K para la energía cinética en la ecuación 37.7, también podemos
introducir un operador H, que, aplicado a la función de onda, ofrece un producto del valor de
energía multiplicado por la función de onda,
H ( ) ( ).x E x= (37.34)
Si se compara esto con la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, se puede ver que este
operador puede escribirse formalmente como
H K U= =− + +
2 2
22m
d
dx
U x( ) . (37.35)
Este operador H se llama operador hamiltoniano. En álgebra lineal, si es posible aplicar un ope-
rador a una función y obtener una constante multiplicada por esta misma función, entonces esta
función se llama (x) una función propia y la constante un valor propio. Por lo tanto, un estado
estacionario es una función propia del operador hamiltoniano H con un valor propio E.
El operador hamiltoniano es lineal: para cualquier función 1(x) y 2(x) y las constantes a1
y a2,
H H Ha x a x a x a x1 1 2 2 1 1 2 2   ( ) ( ) ( ) ( ).+( ) += (37.36)
Además, si dos funciones 1(x) y 2(x) son soluciones con los valores propios E1 y E2, entonces la
aplicación del operador hamiltoniano a la combinación lineal (x) = a11(x) + a22(x) da
H H
H H
  
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
x a x a x
a x a x
=
=
=
1 1 2 2
1 1 2 2
+( )
+
aa E x a E x1 1 1 2 2 2 ( ) ( ).+
Observe que (x) = a11(x) + a22(x) no es una función propia de H en el caso general de que
E1 ≠ E2.
37.9 Función de onda de muchas partículas
Hasta ahora hemos analizado la mecánica cuántica sólo para el caso en el que una sola partícula
está presente. Para seguir adelante tenemos que discutir las características generales de la función
de onda cuando dos o más partículas están presentes.
Función de onda de dos partículas
Comencemos con dos partículas y supongamos que conocemos la función de onda para el caso en
el que sólo una partícula está presente. Además, limitémonos nuevamente al caso estático (inde-
pendiente del tiempo). Luego, la ecuación de Schrödinger para la función de onda de una par-
tícula (x) está dada por la ecuación 37.9. Si ahora ponemos dos partículas en el mismo potencial,
entonces necesitamos calcular cómo cada una de las partículas interactúa con el potencial externo
y cómo ellas interactúan entre sí. El caso general de las dos partículas interactuando entre sí está
fuera del alcance de este libro. Sin embargo, el hecho de considerar el caso en el que las dos par-
tículas no interactúan entre sí nos aporta importantes conocimientos físicos y es útil en muchas
situaciones físicas.
Primero pensemos en la notación. Queremos caracterizar la coordenada de la partícula 1
mediante x1 y la de la partícula 2 mediante x2. Entonces la función de onda de una sola partícula
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