Taller No 4 _ Unidad 4 - Aplicaciones Matrices.pdf

Programa de Administración Pública Territorial – CETAP Mocoa.
Escuela Superior de Administración Pública – ESAP.
Matemáticas II.
Taller No 4. Unidad 4. Aplicaciones Matrices.
Integrantes:
Fabian Andrey Soto Tobar.
Jhon Darío Jaimes Sandoval.
Nixon Esneider Lasso.
William Hernán Córdoba Caicedo.
Ejercicios:
Solucionar los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, utilizando matrices:
1. 𝒙 − 𝟒𝒚 = 𝟏𝟐
𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟖
Un sistema de ecuaciones lineales puede ser representado usando matrices, así:
𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐵
Donde: A es la matriz de los coeficientes de las variables.
X es el vector de las variables.
B es el vector independiente.
Y para resolver se debe llegar a la expresión:
𝐼 ∙ 𝑋 = 𝐶
Donde 𝐼 es la matriz Identidad.
Y esto se resuelve siguiendo las siguientes operaciones de matrices:
𝐴−1
∙ 𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐴−1
∙ 𝐵
𝐼 ∙ 𝑋 = 𝐶
Haciendo uso del proceso anterior, tenemos:
𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐵
(
1 −4
3 2
) ∙ (
𝑥
𝑦) = (
12
8
)

𝐴 = (
1 −4
3 2
)
𝑋 = (
𝑥
𝑦)
𝐵 = (
12
8
)
Debemos calcular la matriz inversa de A, y para ello se usa un teorema que dice:
𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎(𝐴) = 𝐴−1
=
1
𝐷𝑒𝑡(𝐴)
𝐴𝑑𝑗(𝐴) =
1
𝐷𝑒𝑡(𝐴)
𝐴′
𝐷𝑒𝑡(𝐴) = (1) ∙ (2) − (3) ∙ (−4) = 2 − (−12) = 2 + 12 = 14
𝐴𝑑𝑗(𝐴) = 𝐴′
Iniciamos hallando la matriz de cofactores:
Elemento de A Cofactor Elemento de A Cofactor
1 2 -4 -3
3 4 2 1
𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠(𝐴) = (
2 −3
4 1
)
A partir de la Matriz de Cofactores se halla la Adjunta, haciendo la
transposición de esta matriz:
= (
1 −4
3 2
)
′
= (
2 4
−3 1
)
Reemplazamos los valores obtenidos en la siguiente ecuación para hallar la
matriz inversa:
=
1
𝐷𝑒𝑡(𝐴)
1
𝐷𝑒𝑡(𝐴)
𝐴′
=
1
14
(
2 −4
3 1
) = (
2 14
⁄ 4 14
⁄
−3 14
⁄ 1 14
⁄
)
= (
1 7
⁄ 2 7
⁄
−3 14
⁄ 1 14
⁄
)
Con los resultados anteriores y reemplazando en la siguiente expresión
obtenemos los valores buscados:

𝑋 = 𝐴−1
∙ 𝐵
(
𝑥
𝑦) = (
1 7
⁄ 2 7
⁄
−3 14
⁄ 1 14
⁄
) ∙ (
12
8
)
(
𝑥
𝑦) = (
(1 7
⁄ ) ∙ (12) + (2 7
⁄ ) ∙ (8)
(−3 14
⁄ ) ∙ (12) + (1 14
⁄ ) ∙ (8)
)
(
𝑥
𝑦) = (
12 7
⁄ + 16 7
⁄
−36 14
⁄ + 8 14
⁄
)
(
𝑥
𝑦) = (
28 7
⁄
−28 14
⁄
)
(
𝑥
𝑦) = (
4
−2
)
Respuesta: Los valores de 𝑥 y 𝑦 son:
𝑥 = 4
𝑦 = −2

2. 𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟔
𝟒𝒙 + 𝟏𝟐𝒚 = 𝟐𝟒
Haciendo uso del proceso anterior, tenemos:
𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐵
(
1 3
4 12
) ∙ (
𝑥
𝑦) = (
6
24
)
𝐴 = (
1 3
4 22
)
𝑋 = (
𝑥
𝑦)
𝐵 = (
6
24
)
Debemos calcular la matriz inversa de A, y para ello se usa un teorema que dice:
=
1
𝐷𝑒𝑡(𝐴)
1
𝐷𝑒𝑡(𝐴)
𝐴′
𝐷𝑒𝑡(𝐴) = (1) ∙ (12) − (4) ∙ (3) = 12 − (12) = 0
Iniciamos hallando la matriz de cofactores:
Elemento de A Cofactor Elemento de A Cofactor
1 12 3 -4
4 -3 12 1
𝑀𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠(𝐴) = (
12 −4
−3 1
)
A partir de la Matriz de Cofactores se halla la Adjunta, haciendo la
transposición de esta matriz:
= (
12 −4
−3 1
)
′
= (
12 −3
−4 1
)
Reemplazamos los valores obtenidos en la siguiente ecuación para hallar la
matriz inversa:

=
1
𝐷𝑒𝑡(𝐴)
1
𝐷𝑒𝑡(𝐴)
𝐴′
Pero como el 𝐷𝑒𝑡(𝐴) = 0, no es posible hacer la división por cero.
Revisando el sistema de ecuaciones lineales dado:
𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟔
𝟒𝒙 + 𝟏𝟐𝒚 = 𝟐𝟒
Se observa que la segunda ecuación es múltiplo de la primera, ya que si se
multiplica la primera por 4 obtenemos la segunda ecuación; por tanto, no hay una
única solución, razón por la cual el determinante da cero y no se pudo obtener la
matriz inversa.
La respuesta:
𝑥 = 6 − 3𝑦
𝑦 = 𝑦
La solución general:
𝑋 = (
6 − 3𝑦
𝑦
)
3. Sea el sistema de ecuaciones lineales:
𝟖𝒙 − 𝟑𝒚 = −𝟑𝟒
𝟐𝒙 + 𝟓𝒚 = 𝟐𝟔
𝟏𝟒𝒙 − 𝟏𝟏𝒚 = −𝟗𝟒
a. Escribimos la matriz aumentada.
(
8 −3
2 5
14 −11
|
−34
26
−94
)
A esta matriz le aplicaremos operaciones de filas hasta que quede en su forma
reducida, es decir, que la parte de la matriz que está a la izquierda quede como
la matriz identidad.
b. A la segunda fila F2 se le suma el resultado de multiplicar la primera fila F1
por (−1 4
⁄ ):
(− 1 4
⁄ )𝐹1 + 𝐹2 → 𝐹2 (
8 −3
0 23 4
⁄
14 −11
|
−34
69 2
⁄
−94
)

c. A la tercera fila F3 se le suma el resultado de multiplicar la primera fila F1 por
(−7 4
⁄ ):
(−7 4
⁄ )𝐹1 + 𝐹3 → 𝐹3 (
8 −3
0 23 4
⁄
0 −23 4
⁄
|
−34
69 2
⁄
−60 2
⁄
)
d. A la tercera fila F3 se le suma la segunda fila F2:
𝐹2 + 𝐹3 → 𝐹3 (
8 −3
0 23 4
⁄
0 0
|
−34
69 2
⁄
0
)
e. Se multiplica la segunda fila F2 por 4 23
⁄ :
(4/23)𝐹2 → 𝐹2 (
8 −3
0 1
0 0
|
−34
6
0
)
f. Se suma a la primera fila F1 el resultado de multiplicar la segunda fila F2 por
(3):
(3)𝐹2 + 𝐹1 → 𝐹1 (
8 0
0 1
0 0
|
−16
6
0
)
g. Se multiplica la primera fila F1 por 1 8
⁄ :
(1/8)𝐹1 → 𝐹1 (
1 0
0 1
0 0
|
−2
6
0
)
h. Finalmente se escriben los valores de la solución que se obtienen convirtiendo
la matriz reducida obtenida en ecuación nuevamente, es decir:
La respuesta:
𝑥 = −2
𝑦 = 6
𝑋 = (
−2
6
)

4. Sea el sistema de ecuaciones lineales
𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟑
𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟏
𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 + 5𝒛 = 𝟖
La solución de un sistema de ecuaciones lineales consiste en encontrar las
coordenadas del punto en el cual se cortan las rectas de dicho sistema. Para
problemas con más de dos variables, se pueden solucionar eficientemente
utilizando matrices.
Método con operaciones de filas entre Matrices
Emplea el sistema de eliminación de Gauss-Jordan y resulta aconsejable para
sistemas de ecuaciones 3𝑥3 y superiores.
(
1 1 1
2 −3 4
3 2 5
|
3
1
8
)
A esta matriz le aplicaremos operaciones de filas hasta que quede en su
forma reducida, es decir, que la parte de la matriz que está a la izquierda
quede como la matriz identidad.

por (-2):
(−2)𝐹1 + 𝐹2 → 𝐹2 (
1 1 1
0 −5 2
3 2 5
|
3
−5
8
)
c. A la tercera fila F3 se le suma el resultado de multiplicar la primera fila F1
por (-3):
(−3)𝐹1 + 𝐹3 → 𝐹3 (
1 1 1
0 −5 2
0 −1 2
|
3
−5
−1
)
d. Se intercambian las posiciones de las filas F2 y F3
𝐹2 ↔ 𝐹3 (
1 1 1
0 −1 2
0 −5 2
|
3
−1
−5
)
e. Se multiplica por (-1) la Fila F2:
(−1)𝐹2 → 𝐹2 (
1 1 1
0 1 −2
0 −5 2
|
3
1
−5
)
f. Se suma a la fila F3 el resultado de multiplicar la fila F2 por (5):
(5)𝐹2 + 𝐹3 → 𝐹3 (
1 1 1
0 1 −2
0 0 −8
|
3
1
0
)
g. Se multiplica la fila F3 por (-1/8):
(−1/8)𝐹3 → 𝐹3 (
1 1 1
0 1 −2
0 0 1
|
3
1
0
)
h. Se suma a la fila F2 el resultado de multiplicar la fila F3 por (2):
(2)𝐹3 + 𝐹2 → 𝐹2 (
1 1 1
0 1 0
0 0 1
|
3
1
0
)
i. Se suma a la fila F1 el resultado de multiplicar la fila F2 por (-1):
(−1)𝐹2 + 𝐹1 → 𝐹1 (
1 0 1
0 1 0
0 0 1
|
2
1
0
)

j. Se suma a la fila F1 el resultado de multiplicar la fila F3 por (-1):
(−1)𝐹3 + 𝐹1 → 𝐹1 (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
|
2
1
0
)
k. Finalmente se escriben los valores de la solución que se obtienen
convirtiendo la matriz reducida obtenida en ecuación nuevamente, es decir,
la respuesta es:
𝑥 = 2;
𝑦 = 1;
𝑧 = 0
𝑋 = (
2
1
0
)
5. La agricultura (𝑥), la manufactura (𝑦) y la mano de obra y capital (𝑧) en un
pequeño país están relacionados de la siguiente manera: 10% de la producción
agrícola se emplea para pagar a las industrias manufactureras y para la mano de
obra y capital; la manufacturera y la mano de obra requieren productos agrícolas
equivalentes a 30% y 22% de su propia producción, respectivamente; la
agricultura vende dentro del país 359 miles de dólares ajenos a la mano de obra y
capital y a la manufactura.
Las demandas interindustriales totales sobre 𝑦 y 𝑧, junto con sus demandas
finales de consumo local (en millones de dólares), son como sigue:
0,1𝑥 + 0,6𝑦 + 0,2𝑧 = 70
0,5𝑥 + 0,1𝑦 + 0,2𝑧 = 1.730
Del enunciado se tiene la siguiente ecuación:
0,1𝑥 + 0,3𝑦 + 0,22𝑧 = 359
Por lo tanto, nuestro sistema de ecuaciones lineales a resolver es el siguiente:
0,1𝑥 + 0,3𝑦 + 0,22𝑧 = 359
0,1𝑥 + 0,6𝑦 + 0,2𝑧 = 70
0,5𝑥 + 0,1𝑦 + 0,2𝑧 = 1.730
Resolveremos el sistema usando la matriz ampliada.

a. Escribimos la matriz ampliada.
(
0,1 0,3 0,22
0,1 0,6 0,2
0,5 0,1 0,2
|
359
70
1.730
)
b. Multiplicamos por 10 la todas las filas:
(
1 3 11 5
⁄
1 6 2
5 1 2
|
3.590
700
17.300
)
c. A la segunda fila F2 se le suma el resultado de multiplicar la primera fila F1
por (-1):
(−1)𝐹1 + 𝐹2 → 𝐹2 (
1 3 11 5
⁄
0 3 −1 5
⁄
5 1 2
|
3.590
−2.890
17.300
)
d. A la tercera fila F3 se le suma resultado de multiplicar la primera fila F1 por
(-5):
(−5)𝐹1 + 𝐹3 → 𝐹3 (
1 3 11 5
⁄
0 3 −1 5
⁄
0 −14 −9
|
3.590
−2.890
−650
)
e. Se multiplica por (1/3) la segunda fila F2:
(1 3
⁄ )𝐹2 → 𝐹2 (
1 3 11 5
⁄
0 1 −1 15
⁄
0 −14 −9
|
3.590
−2.890 3
⁄
−650
)
f. A la tercera fila F3 se le suma el producto de la segunda fila F2 por (14):
(14)𝐹2 + 𝐹3 → 𝐹3 (
1 3 11 5
⁄
0 1 −1 15
⁄
0 0 −149 15
⁄
|
3.590
−2.890 3
⁄
−42.410 3
⁄
)
g. Se multiplica la tercera fila F3 por (−15 149
⁄ ):
(−15 149
⁄ )𝐹3 → 𝐹3 (
1 3 11 5
⁄
0 1 −1 15
⁄
0 0 1
|
3.590
−2.890 3
⁄
212.050 149
⁄
)

h. Se suma la primera fila F1 con el producto de (-3) por la segunda fila F2:
(1 15
⁄ )𝐹3 + 𝐹2 → 𝐹2 (
1 3 11 5
⁄
0 1 0
0 0 1
|
3.590
−129.400 149
⁄
212.050 149
⁄
)
i. Se suma la segunda fila F2 con el producto de (1 15
⁄ ) por la tercera fila F3:
(1 15
⁄ )𝐹3 + 𝐹2 → 𝐹2 (
1 3 11/5
0 1 0
0 0 1
|
3.590
−129.400 149
⁄
212.050 149
⁄
)
j. Se suma la primera fila F1 el producto de (− 11 5
⁄ ) por la tercera fila F3:
(−11 5
⁄ )𝐹3 + 𝐹1 → 𝐹1 (
1 3 0
0 1 0
0 0 1
|
68.400 149
⁄
−129.400 149
⁄
212.050 149
⁄
)
k. Se suma la primera fila F1 el producto de (−3) por la segunda fila F2:
(−3)𝐹2 + 𝐹1 → 𝐹1 (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
|
456.600 149
⁄
−129.400 149
⁄
212.050 149
⁄
)
l. Finalmente se escriben los valores de la solución que se obtienen
la respuesta es:
𝑥 =
456.600
149
𝑦 =
−129.400
149
𝑧 =
212.050
149
𝑋 = (
456.600 149
⁄
−129.400 149
⁄
212.050 149
⁄
)
6. Una cafetería estudiantil tiene 24 mesas, 𝑥 mesas con 4 asientos cada una, 𝑦 mesas
con 6 asientos cada una y 𝑧 mesas con 10 asientos cada una. La capacidad total de
asientos de la cafetería es de 148. Con motivo de una reunión estudiantil especial,

se emplearán la mitad de las 𝑥 mesas, un cuarto de las 𝑦 mesas y una tercera parte
de las 𝑧 mesas, para un total de 9 mesas.
Determinar 𝑥, 𝑦, 𝑧.
Respuesta:
El planteamiento del sistema de ecuaciones lineales tomado del enunciado es:
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 24
4𝑥 + 6𝑦 + 10𝑧 = 148
(1 2
⁄ )𝑥 + (1 4
⁄ )𝑦 + (1 3
⁄ )𝑧 = 9
(
1 1 1
4 6 10
1 2
⁄ 1 4
⁄ 1 3
⁄
|
24
148
9
)
por (-4):
(−4)𝐹1 + 𝐹2 → 𝐹2 (
1 1 1
0 2 6
1 2
⁄ 1 4
⁄ 1 3
⁄
|
24
52
9
)
por (−1 2
⁄ ):
(−1 2
⁄ )𝐹1 + 𝐹3 → 𝐹3 (
1 1 1
0 2 6
0 −1 4
⁄ −1 6
⁄
|
24
52
−3
)
d. Se multiplica la segunda fila F2 entre por (1/2):
(1 2
⁄ )𝐹2 → 𝐹2 (
1 1 1
0 1 3
0 −1 4
⁄ −1 6
⁄
|
24
26
−3
)
e. A la tercera fila F3 se le suma el resultado de multiplicar la segunda fila F2
por (1 4
⁄ ):

(1 4
⁄ )𝐹2 + 𝐹3 → 𝐹3 (
1 1 1
0 1 3
0 0 7 12
⁄
|
24
26
7 2
⁄
)
f. Se multiplica la tercera fila F3 por (12 7
⁄ ):
(12 7
⁄ )𝐹3 → 𝐹3 (
1 1 1
0 1 3
0 0 1
|
24
26
6
)
g. Se le suma a la segunda fila F2 el resultado de multiplicar la tercera fila F3
por (−3):
(−3)𝐹3 + 𝐹2 → 𝐹2 (
1 1 1
0 1 0
0 0 1
|
24
8
6
)
h. Se le suma a la primera fila F1 el resultado de multiplicar la tercera fila F3
por (−1):
(−1)𝐹3 + 𝐹1 → 𝐹1 (
1 1 0
0 1 0
0 0 1
|
18
8
6
)
i. Se le suma a la primera fila F1 el resultado de multiplicar la segunda fila F2
por (−1):
(−1)𝐹2 + 𝐹1 → 𝐹1 (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
|
10
8
6
)
j. Finalmente se escriben los valores de la solución que se obtienen
la respuesta es:
𝑥 = 10, cantidad de mesas con 4 asientos.
𝑦 = 8, cantidad de mesas con 6 asientos.
𝑧 = 6, cantidad de mesas con 10 asientos.
𝑋 = (
10
8
6
)
7. El salón de eventos de la casa de la cultura del municipio de Villanueva tiene 56
mesas, 𝑥 mesas con 4 asientos cada una, 𝑦 mesas con 8 asientos cada una, y 𝑧
mesas con 10 asientos cada una. La capacidad de asientos de la cafetería es de 664.
Durante un seminario – taller se ocuparon la mitad de las 𝑥 mesas, un cuarto de

las 𝑦 mesas y un décimo de las 𝑧 mesas. ¿Cuántas de cada tipo se usaron en ese
evento?
Respuesta:
Del enunciado del ejercicio se pueden extraer los siguientes datos:
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 56
4𝑥 + 8𝑦 + 10𝑧 = 664
(1 2
⁄ )𝑥 + (1 4
⁄ )𝑦 + (1 10
⁄ )𝑧 = ¿?
No es posible resolver el sistema de ecuaciones porque faltan datos.
Nota: Pero, si el ejercicio completo y corregido es1:
El salón de eventos de la casa de la cultura del municipio de Villanueva tiene 56
mesas, x mesas con 4 asientos cada una, y mesas con 8 asientos cada una, y z mesas
con 10 asientos cada una. La capacidad de asientos de la cafetería es de 364.
Durante una seminario - taller se ocuparon la mitad de las x mesas, un cuarto de
las y mesas y un décimo de las z mesas, para un total de 19 mesas. ¿Cuántas de
cada tipo se usaron en ese evento?
Por lo tanto, nuestro nuevo sistema de ecuaciones lineales a resolver con el
ejercicio completo es el siguiente:
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 56
4𝑥 + 8𝑦 + 10𝑧 = 364
(1 2
⁄ )𝑥 + (1 4
⁄ )𝑦 + (1 10
⁄ )𝑧 = 19
(
1 1 1
4 8 10
1 2
⁄ 1 4
⁄ 1 10
⁄
|
56
364
19
)
por (-4):
1
Ejercicio 6. Página 13 del documento: “Capítulo 4. Sistema de ecuaciones lineales”. Recuperado de:
http://www.geocities.ws/migucubi/Capitulo4.pdf

(−4)𝐹1 + 𝐹2 → 𝐹2 (
1 1 1
0 4 6
1 2
⁄ 1 4
⁄ 1 10
⁄
|
56
140
19
)
por (-1/2):
(−1/2)𝐹1 + 𝐹3 → 𝐹3 (
1 1 1
0 4 6
0 −1 4
⁄ −2 5
⁄
|
56
140
−9
)
d. Se multiplica la segunda fila F2 por (1/4):
(1/4)𝐹2 → 𝐹2 (
1 1 1
0 1 3 2
⁄
0 −1 4
⁄ −2 5
⁄
|
56
35
−9
)
e. Se suma a la tercera fila F3 el resultado de multiplicar la segunda fila F2 por
(1/4):
(1/4)𝐹2 + 𝐹3 → 𝐹3 (
1 1 1
0 1 3 2
⁄
0 0 −1 40
⁄
|
56
35
−1 4
⁄
)
f. Se multiplica la tercera fila F3 por (-40):
(−40)𝐹3 → 𝐹3 (
1 1 1
0 1 3 2
⁄
0 0 1
|
56
35
10
)
g. Se suma a la segunda fila F2 el resultado de multiplicar la tercera fila F3 por
(-3/2):
(−3/2)𝐹3 + 𝐹2 → 𝐹2 (
1 1 1
0 1 0
0 0 1
|
56
20
10
)
h. Se suma a la primera fila F1 el resultado de multiplicar la tercera fila F3 por
(-1):
(−1)𝐹3 + 𝐹1 → 𝐹1 (
1 1 0
0 1 0
0 0 1
|
46
20
10
)
i. Se suma a la primera fila F1 el resultado de multiplicar la segunda fila F2
por (-1):

(−1)𝐹2 + 𝐹1 → 𝐹1 (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
|
26
20
10
)
j. Finalmente se escriben los valores de la solución que se obtienen
la respuesta es:
𝑥 = 26, cantidad de mesas con 4 asientos.
𝑦 = 20, cantidad de mesas con 8 asientos.
𝑧 = 10, cantidad de mesas con 10 asientos.
𝑋 = (
26
20
10
)
8. Se emitieron tres tipos de bonos de deuda pública de tres tipos, por un total de
79,20 miles de dólares. Si el tipo A le cuesta al público 5, el tipo B cuesta 2,8 y el
tipo C cuesta 1,6; todos en miles de dólares. ¿Cuántos bonos de cada tipo fueron
vendidos?
Respuesta.
Del enunciado del ejercicio se pueden extraer los siguientes datos:
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = ¿?
5𝑎 + 2,8𝑏 + 1,6𝑐 = 79,20
No es posible resolver el sistema de ecuaciones porque faltan datos.
Nota: Pero, si el ejercicio completo y corregido es2:
Se emitieron 23 bonos de deuda pública de tres tipos, por un total de 79,20 miles
de dólares. Si el tipo A le cuesta al público 5, el tipo B cuesta 2,8 y el tipo C cuesta
1,6; todos en miles de dólares. La diferencia entre el número de bonos A y el
número de bonos B es la mitad del número de bonos C. ¿Cuántos bonos de cada
tipo fueron vendidos?
Por lo tanto, nuestro nuevo sistema de ecuaciones lineales a resolver con el
ejercicio completo es el siguiente:
2
Ejercicio 7. Página 13 del documento: “Capítulo 4. Sistema de ecuaciones lineales”. Recuperado de:
http://www.geocities.ws/migucubi/Capitulo4.pdf

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 23
5𝑎 + 2,8𝑏 + 1,6𝑐 = 79,20
𝒂 - 𝒃 - 𝟎, 𝟓𝒄 = 𝟎
(
1 1 1
5 2,8 1,6
1 −1 −0,5
|
23
79,20
0
)
Reescribiendo la matriz ampliada tenemos:
(
1 1 1
5 14 5
⁄ 8 5
⁄
1 −1 −1 2
⁄
|
23
396 5
⁄
0
)
por (-5):
(−5)𝐹1 + 𝐹2 → 𝐹2 (
1 1 1
0 −11 5
⁄ −17 5
⁄
1 −1 −1 2
⁄
|
23
−179 5
⁄
0
)
por (-1):
(−1)𝐹1 + 𝐹3 → 𝐹3 (
1 1 1
0 −11 5
⁄ −17 5
⁄
0 −2 −3 2
⁄
|
23
−179 5
⁄
−23
)
d. Se multiplica la segunda fila F2 por (-5/11):
(−5/11)𝐹2 → 𝐹2 (
1 1 1
0 1 17 11
⁄
0 −2 −3 2
⁄
|
23
179 11
⁄
−23
)
e. Se suma a la tercera fila F3 el resultado de multiplicar la segunda fila F2 por
(2):
(2)𝐹2 + 𝐹3 → 𝐹3 (
1 1 1
0 1 17 11
⁄
0 0 35 22
⁄
|
23
179 11
⁄
105 11
⁄
)

f. Se multiplica la tercera fila F3 por (22/35):
(22/35)𝐹3 → 𝐹3 (
1 1 1
0 1 17 11
⁄
0 0 1
|
23
179 11
⁄
6
)
g. Se suma a la segunda fila F2 el resultado de multiplicar la tercera fila F3 por
(-17/2):
(−17/2)𝐹3 + 𝐹2 → 𝐹2 (
1 1 1
0 1 0
0 0 1
|
23
7
6
)
h. Se suma a la primera fila F1 el resultado de multiplicar la tercera fila F3 por
(-1):
(−1)𝐹3 + 𝐹1 → 𝐹1 (
1 1 0
0 1 0
0 0 1
|
17
7
6
)
i. Se suma a la primera fila F1 el resultado de multiplicar la segunda fila F2
por (-1):
(−1)𝐹2 + 𝐹1 → 𝐹1 (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
|
10
7
6
)
la cantidad de bonos vendidos por cada tipo es:
𝑥 = 10, cantidad de bonos vendidos de tipo A.
𝑦 = 7, cantidad de bonos vendidos de tipo B.
𝑧 = 6, cantidad de bonos vendidos de tipo C.
𝑋 = (
10
7
6
)
9. Una droguería comunitaria vende 100 unidades de vitamina A, 50 unidades de
vitamina C y 25 unidades de vitamina D por un total de U$17,50; 200 unidades de
vitamina A, 100 unidades de vitamina C y 100 unidades de vitamina D por U$
45,00; 500 unidades de vitamina A, 80 unidades de vitamina C y 50 unidades de

vitamina D por U$ 64,00. Encuentre el costo por unidad de cada una de las
vitaminas A, C y D.
Respuesta:
El planteamiento del sistema de ecuaciones lineales tomado del enunciado es:
100𝑎 + 50𝑐 + 25𝑑 = 17,50
200𝑎 + 100𝑐 + 100𝑑 = 45,00
500𝑎 + 80𝑐 + 50𝑑 = 64,00
(
100 50 25
200 100 100
500 80 50
|
17,50
45,00
64,00
)
b. A la segunda fila F2 se le suma el producto de la primera fila F1 por (-2):
(−2)𝐹1 + 𝐹2 → 𝐹2 (
100 50 25
0 0 50
500 80 50
|
35 2
⁄
10,00
64,00
)
c. A la tercera fila F3 se le suma el producto de la primera fila F1 por (−5):
(−5)𝐹1 + 𝐹3 → 𝐹3 (
100 50 25
0 0 50
0 −170 −75
|
35 2
⁄
10,00
−47 2
⁄
)
d. Intercambiamos de posición las filas F2 y F3:
𝐹2 ↔ 𝐹3 (
100 50 25
0 −170 −75
0 0 50
|
35 2
⁄
−47 2
⁄
10
)
e. Se divide la tercera fila F3 entre 50:
(1 50
⁄ )𝐹3 → 𝐹3 (
100 50 25
0 −170 −75
0 0 1
|
35 2
⁄
−47 2
⁄
1 5
⁄
)
f. Se multiplica la segunda fila F2 por (−1/170):

(−1 170
⁄ )𝐹2 → 𝐹2 (
100 50 25
0 1 15 34
⁄
0 0 1
|
35 2
⁄
47 340
⁄
2 10
⁄
)
g. A la segunda fila F2 se le suma el resultado de multiplicar la tercera fila F3
por (− 15 34
⁄ ):
(−15 34
⁄ )𝐹3 + 𝐹2 → 𝐹2 (
100 50 25
0 1 0
0 0 1
|
175 10
⁄
1 20
⁄
2 10
⁄
)
h. A la primera fila F1 se le suma el resultado de multiplicar la tercera fila F3
por (−25):
(−25)𝐹3 + 𝐹1 → 𝐹1 (
100 50 0
0 1 0
0 0 1
|
25 2
⁄
1 20
⁄
2 10
⁄
)
i. A la primera fila F1 se le suma el resultado de multiplicar la segunda fila F2
por (−50):
(−50)𝐹2 + 𝐹1 → 𝐹1 (
100 0 0
0 1 0
0 0 1
|
10
1 20
⁄
2 10
⁄
)
j. Se multiplica la primera fila F1 por (1 100
⁄ ):
(1 100
⁄ )𝐹1 → 𝐹1 (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
|
1 10
⁄
1 20
⁄
1 5
⁄
)
el costo para cada una de las vitaminas es:
𝑎 = $
1
10
, costo de la vitamina A.
𝑐 = $
1
20
, costo de la vitamina C.
𝑑 = $
1
5
, costo de la vitamina D.
𝐴 = (
1 10
⁄
1 20
⁄
1 5
⁄
)

10. Explique en qué se aplica la Matriz de Leontief. No extenderse más de diez
renglones.
Respuesta:
La matriz de Leontief sirve para presentar el sistema de cuentas y producción de
bienes y servicios, del sistema de cuentas nacionales, principalmente describe las
transacciones intersectoriales relacionadas con la producción y sirve también
como herramienta de programación y análisis económico a fin de determinar los
niveles de producción que deben alcanzar los diferentes sectores para satisfacer
las demandas de consumo o inversión de los diferentes productos; su objetivo es
servir de herramienta para el análisis de algunas situaciones de planeación de la
producción en macroeconomía. Puede utilizarse para estudiar la composición del
valor agregado de los productos y efectuar análisis de precios, calcular
requerimientos de importaciones, etc.

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