Exponentes racionales y radicales

1. FUNDAMENTOS
MATEMÁTICAS
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 1 / 11

2. Exponentes racionales y radicales
Raíz enésima de un número real
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 2 / 11

3. Exponentes racionales y radicales
Raíz enésima de un número real
Si n es un número natural y a y b son números reales de modo que
an
= b
entonces decimos que a es la raíz enésima de b
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 2 / 11

4. Exponentes racionales y radicales
Raíz enésima de un número real
Si n es un número natural y a y b son números reales de modo que
an
= b
entonces decimos que a es la raíz enésima de b
Con n = 2 y n = 3, las raíces comúnmente se conocen como raíces
cuadradas y raíces cúbicas, respectivamente.
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 2 / 11

5. Exponentes racionales y radicales
Raíz enésima de un número real
Si n es un número natural y a y b son números reales de modo que
an
= b
entonces decimos que a es la raíz enésima de b
Con n = 2 y n = 3, las raíces comúnmente se conocen como raíces
cuadradas y raíces cúbicas, respectivamente.
Ejemplos
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 2 / 11

6. Exponentes racionales y radicales
Raíz enésima de un número real
Si n es un número natural y a y b son números reales de modo que
an
= b
entonces decimos que a es la raíz enésima de b
Con n = 2 y n = 3, las raíces comúnmente se conocen como raíces
cuadradas y raíces cúbicas, respectivamente.
Ejemplos
−2 y 2 son raíces cuadradas de 4 porque (−2)2
= 4 y 22
= 4
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 2 / 11

7. Exponentes racionales y radicales
Raíz enésima de un número real
Si n es un número natural y a y b son números reales de modo que
an
= b
entonces decimos que a es la raíz enésima de b
Con n = 2 y n = 3, las raíces comúnmente se conocen como raíces
cuadradas y raíces cúbicas, respectivamente.
Ejemplos
−2 y 2 son raíces cuadradas de 4 porque (−2)2
= 4 y 22
= 4
−3 y 3 son raíces cuartas de 81 porque (−3)4
= 81 y 34
= 84
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 2 / 11

8. Exponentes racionales y radicales
Raíz enésima de un número real
Si n es un número natural y a y b son números reales de modo que
an
= b
entonces decimos que a es la raíz enésima de b
Con n = 2 y n = 3, las raíces comúnmente se conocen como raíces
cuadradas y raíces cúbicas, respectivamente.
Ejemplos
−2 y 2 son raíces cuadradas de 4 porque (−2)2
= 4 y 22
= 4
−3 y 3 son raíces cuartas de 81 porque (−3)4
= 81 y 34
= 84
−4 es raíz cúbica de −64 porque (−4)3
= −64
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 2 / 11

9. Exponentes racionales y radicales
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 3 / 11

10. Exponentes racionales y radicales
¿Cuántas raíces reales tiene un número real b?
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 3 / 11

11. Exponentes racionales y radicales
¿Cuántas raíces reales tiene un número real b?
1 Cuando n es par, el número de raíces enésimas de un número
real positivo b debe venir en pares: una positiva y la otra
negativa. Por ejemplo, las raíces cuartas reales de 81 incluyen
-3 y 3.
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 3 / 11

12. Exponentes racionales y radicales
¿Cuántas raíces reales tiene un número real b?
1 Cuando n es par, el número de raíces enésimas de un número
real positivo b debe venir en pares: una positiva y la otra
negativa. Por ejemplo, las raíces cuartas reales de 81 incluyen
-3 y 3.
2 Cuando n es par y b es un número real negativo, hay dos
raíces enésimas reales de b. Por ejemplo, si b = −9 y el
número real a es una raíz cuadrada de b, entonces por
definición a2
= −9. Pero esto es una contradicción, puesto
que el cuadrado de un número real no puede ser negativo y
concluimos que b no tiene raíces reales en este caso.
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 3 / 11

13. Exponentes racionales y radicales
¿Cuántas raíces reales tiene un número real b?
1 Cuando n es par, el número de raíces enésimas de un número
real positivo b debe venir en pares: una positiva y la otra
negativa. Por ejemplo, las raíces cuartas reales de 81 incluyen
-3 y 3.
2 Cuando n es par y b es un número real negativo, hay dos
raíces enésimas reales de b. Por ejemplo, si b = −9 y el
número real a es una raíz cuadrada de b, entonces por
definición a2
= −9. Pero esto es una contradicción, puesto
que el cuadrado de un número real no puede ser negativo y
concluimos que b no tiene raíces reales en este caso.
3 Cuando n es impar, entonces hay solo una raíz enésima real
de b. Por ejemplo la raíz cúbica de −64 es −4.
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 3 / 11

14. Exponentes racionales y radicales
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 4 / 11

15. Exponentes racionales y radicales
Utilizamos la notación n
√
b, llamada radical para denotar la raíz
enésima principal de b. El símbolo
√
2 se llama signo radical y
el número b dentro de él se llama radicando. El entero positivo n
se llama índice del radical. Para raíces cuadradas (n = 2)
escribimos
√
b en lugar de 2
√
b.
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 4 / 11

16. Exponentes racionales y radicales
Utilizamos la notación n
√
b, llamada radical para denotar la raíz
enésima principal de b. El símbolo
√
2 se llama signo radical y
el número b dentro de él se llama radicando. El entero positivo n
se llama índice del radical. Para raíces cuadradas (n = 2)
escribimos
√
b en lugar de 2
√
b.
Índice Radical
Radicando
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 4 / 11

17. Exponentes racionales y radicales
Exponentes racionales caso 1
Si n es un número natural y b es un número real, entonces
b
1/n
=
n
√
b
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 5 / 11

18. Exponentes racionales y radicales
Exponentes racionales caso 1
Si n es un número natural y b es un número real, entonces
b
1/n
=
n
√
b
Ejemplos
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 5 / 11

19. Exponentes racionales y radicales
Exponentes racionales caso 1
Si n es un número natural y b es un número real, entonces
b
1/n
=
n
√
b
Ejemplos
9
1
2 =
√
9 = 3
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 5 / 11

20. Exponentes racionales y radicales
Exponentes racionales caso 1
Si n es un número natural y b es un número real, entonces
b
1/n
=
n
√
b
Ejemplos
9
1
2 =
√
9 = 3
(−8)
1
3 = 3
√
−8 = −2
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 5 / 11

21. Exponentes racionales y radicales
Exponentes racionales caso 2
Si
m
n
es un número racional reducido a términos mínimos (m, n
son números naturales) entonces
b
m/n
= b
1/n
m
o, de forma equivalente
b
m/n
=
n
√
bm
siempre que exista.
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 6 / 11

22. Exponentes racionales y radicales
Exponentes racionales caso 2
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 7 / 11

23. Exponentes racionales y radicales
Exponentes racionales caso 2
Ejemplos
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 7 / 11

24. Exponentes racionales y radicales
Exponentes racionales caso 2
Ejemplos
(81)
3
4 =


81
1
4



3
= 4
√
81
3
= 33
= 9
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 7 / 11

25. Exponentes racionales y radicales
Exponentes racionales caso 2
Ejemplos
(81)
3
4 =


81
1
4



3
= 4
√
81
3
= 33
= 9
(−8)
5
3 = ((−8)
1
3 )5 = 3
√
−8
5
= (−2)5 = −32
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 7 / 11

26. Exponentes racionales y radicales
Exponentes racionales negativos
a−m/n
=
1
a
m/n
(a = 0)
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 8 / 11

27. Exponentes racionales y radicales
Exponentes racionales negativos
a−m/n
=
1
a
m/n
(a = 0)
Ejemplos
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 8 / 11

28. Exponentes racionales y radicales
Exponentes racionales negativos
a−m/n
=
1
a
m/n
(a = 0)
Ejemplos
4−5
2 =
1
4
5
2
=
1
4
1
2
5 =
1
√
4
5 =
1
25
=
1
32
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 8 / 11

29. Exponentes racionales y radicales
Exponentes racionales negativos
a−m/n
=
1
a
m/n
(a = 0)
Ejemplos
4−5
2 =
1
4
5
2
=
1
4
1
2
5 =
1
√
4
5 =
1
25
=
1
32
(−8)−1/3
=
1
(−8)1/3
=
1
3
√
−8
=
1
−2
= −
1
2
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 8 / 11

30. Exponentes racionales y radicales
Exponentes racionales negativos
a−m/n
=
1
a
m/n
(a = 0)
Ejemplos
4−5
2 =
1
4
5
2
=
1
4
1
2
5 =
1
√
4
5 =
1
25
=
1
32
(−8)−1/3
=
1
(−8)1/3
=
1
3
√
−8
=
1
−2
= −
1
2
Las siguientes propiedades se derivan directamente de las propiedades
de los exponentes previamente estudiadas. =⇒
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 8 / 11

31. Exponentes racionales y radicales
Si m y n son números naturales y a y b son números reales para los
cuales existen las raíces indicadas, entonces
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 9 / 11

32. Exponentes racionales y radicales
Si m y n son números naturales y a y b son números reales para los
cuales existen las raíces indicadas, entonces
Propiedad Ilustración
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 9 / 11

33. Exponentes racionales y radicales
Si m y n son números naturales y a y b son números reales para los
cuales existen las raíces indicadas, entonces
Propiedad Ilustración
1. ( n
√
a)
n
= a
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 9 / 11

34. Exponentes racionales y radicales
Si m y n son números naturales y a y b son números reales para los
cuales existen las raíces indicadas, entonces
Propiedad Ilustración
1. ( n
√
a)
n
= a 3√
2
3
= 21/3
3
= 21 = 2
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 9 / 11

35. Exponentes racionales y radicales
Si m y n son números naturales y a y b son números reales para los
cuales existen las raíces indicadas, entonces
Propiedad Ilustración
1. ( n
√
a)
n
= a 3√
2
3
= 21/3
3
= 21 = 2
2. n√
ab = n
√
a · n√
b
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 9 / 11

36. Exponentes racionales y radicales
Si m y n son números naturales y a y b son números reales para los
cuales existen las raíces indicadas, entonces
Propiedad Ilustración
1. ( n
√
a)
n
= a 3√
2
3
= 21/3
3
= 21 = 2
2. n√
ab = n
√
a · n√
b 3√
216 = 3√
27 · 8 = 3√
27 · 3√
8 = 3 · 2
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 9 / 11

37. Exponentes racionales y radicales
Si m y n son números naturales y a y b son números reales para los
cuales existen las raíces indicadas, entonces
Propiedad Ilustración
1. ( n
√
a)
n
= a 3√
2
3
= 21/3
3
= 21 = 2
2. n√
ab = n
√
a · n√
b 3√
216 = 3√
27 · 8 = 3√
27 · 3√
8 = 3 · 2
3. n a
b =
n√
a
n√
b
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 9 / 11

38. Exponentes racionales y radicales
Si m y n son números naturales y a y b son números reales para los
cuales existen las raíces indicadas, entonces
Propiedad Ilustración
1. ( n
√
a)
n
= a 3√
2
3
= 21/3
3
= 21 = 2
2. n√
ab = n
√
a · n√
b 3√
216 = 3√
27 · 8 = 3√
27 · 3√
8 = 3 · 2
3. n a
b =
n√
a
n√
b
3 8
64 =
3√
8
3√
64
= 2
4 = 1
2
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 9 / 11

39. Exponentes racionales y radicales
Si m y n son números naturales y a y b son números reales para los
cuales existen las raíces indicadas, entonces
Propiedad Ilustración
1. ( n
√
a)
n
= a 3√
2
3
= 21/3
3
= 21 = 2
2. n√
ab = n
√
a · n√
b 3√
216 = 3√
27 · 8 = 3√
27 · 3√
8 = 3 · 2
3. n a
b =
n√
a
n√
b
3 8
64 =
3√
8
3√
64
= 2
4 = 1
2
4. m n
√
a = mn
√
a
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 9 / 11

40. Exponentes racionales y radicales
Si m y n son números naturales y a y b son números reales para los
cuales existen las raíces indicadas, entonces
Propiedad Ilustración
1. ( n
√
a)
n
= a 3√
2
3
= 21/3
3
= 21 = 2
2. n√
ab = n
√
a · n√
b 3√
216 = 3√
27 · 8 = 3√
27 · 3√
8 = 3 · 2
3. n a
b =
n√
a
n√
b
3 8
64 =
3√
8
3√
64
= 2
4 = 1
2
4. m n
√
a = mn
√
a
3√
64 = 3·2√
64 = 6√
64 = 2
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 9 / 11

41. Exponentes racionales y radicales
Si m y n son números naturales y a y b son números reales para los
cuales existen las raíces indicadas, entonces
Propiedad Ilustración
1. ( n
√
a)
n
= a 3√
2
3
= 21/3
3
= 21 = 2
2. n√
ab = n
√
a · n√
b 3√
216 = 3√
27 · 8 = 3√
27 · 3√
8 = 3 · 2
3. n a
b =
n√
a
n√
b
3 8
64 =
3√
8
3√
64
= 2
4 = 1
2
4. m n
√
a = mn
√
a
3√
64 = 3·2√
64 = 6√
64 = 2
5. Si n es par: n
√
an = |a|
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 9 / 11

42. Exponentes racionales y radicales
Si m y n son números naturales y a y b son números reales para los
cuales existen las raíces indicadas, entonces
Propiedad Ilustración
1. ( n
√
a)
n
= a 3√
2
3
= 21/3
3
= 21 = 2
2. n√
ab = n
√
a · n√
b 3√
216 = 3√
27 · 8 = 3√
27 · 3√
8 = 3 · 2
3. n a
b =
n√
a
n√
b
3 8
64 =
3√
8
3√
64
= 2
4 = 1
2
4. m n
√
a = mn
√
a
3√
64 = 3·2√
64 = 6√
64 = 2
5. Si n es par: n
√
an = |a| (−3)2 = |−3| = 3
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 9 / 11

43. Exponentes racionales y radicales
Si m y n son números naturales y a y b son números reales para los
cuales existen las raíces indicadas, entonces
Propiedad Ilustración
1. ( n
√
a)
n
= a 3√
2
3
= 21/3
3
= 21 = 2
2. n√
ab = n
√
a · n√
b 3√
216 = 3√
27 · 8 = 3√
27 · 3√
8 = 3 · 2
3. n a
b =
n√
a
n√
b
3 8
64 =
3√
8
3√
64
= 2
4 = 1
2
4. m n
√
a = mn
√
a
3√
64 = 3·2√
64 = 6√
64 = 2
5. Si n es par: n
√
an = |a| (−3)2 = |−3| = 3
Si n es impar: n
√
an = a
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 9 / 11

44. Exponentes racionales y radicales
Si m y n son números naturales y a y b son números reales para los
cuales existen las raíces indicadas, entonces
Propiedad Ilustración
1. ( n
√
a)
n
= a 3√
2
3
= 21/3
3
= 21 = 2
2. n√
ab = n
√
a · n√
b 3√
216 = 3√
27 · 8 = 3√
27 · 3√
8 = 3 · 2
3. n a
b =
n√
a
n√
b
3 8
64 =
3√
8
3√
64
= 2
4 = 1
2
4. m n
√
a = mn
√
a
3√
64 = 3·2√
64 = 6√
64 = 2
5. Si n es par: n
√
an = |a| (−3)2 = |−3| = 3
Si n es impar: n
√
an = a 3
√
−8 = −2
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 9 / 11

45. Exponentes racionales y radicales
Simplificación de radicales
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 10 / 11

46. Exponentes racionales y radicales
Simplificación de radicales
Una expresión que implica radicales se simplifica si se satisfacen
las siguientes condiciones:
1 Las potencias de todos los factores bajo el radical son
menores que el índice del radical.
2 El índice del radical se redujo hasta donde fue posible.
3 No aparece algún radical en el denominador.
4 No aparece alguna fracción dentro del radical.
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 10 / 11

47. Exponentes racionales y radicales
Simplificación de radicales
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 11 / 11

48. Exponentes racionales y radicales
Simplificación de radicales
Ejemplos
1.
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 11 / 11

49. Exponentes racionales y radicales
Simplificación de radicales
Ejemplos
1. 3
√
8x3y6z9 =
3
√
23 3
√
x3 3
√
y6 3
√
z9=2
3
3 x
3
3 y
6
3 z
9
3 = 2xy2
z3
2.
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 11 / 11

50. Exponentes racionales y radicales
Simplificación de radicales
Ejemplos
1. 3
√
8x3y6z9 =
3
√
23 3
√
x3 3
√
y6 3
√
z9=2
3
3 x
3
3 y
6
3 z
9
3 = 2xy2
z3
2.
6
√
81x4y2 = 6
√
92x4y2 = 9
2
6 x
4
6 y
2
6 = 9
1
3 x
2
3 y
1
3 = 3
√
9
3
√
x2 3
√
y = 3
√
9x2y
MATEMÁTICAS FUNDAMENTOS 11 / 11