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Los numeros reales
- 1. Matemáticas Números reales 1.º Bachillerato Sucesivas ampliaciones del concepto de número R R –2 –1 0 1/2 1 2 2 Q Q –2 –1 0 1/2 1 2 Z Z –2 –1 0 1 2 N N 0 1 2
- 2. Matemáticas Números reales 1.º Bachillerato Ejemplo de número racional q=2,478787878……. Pasos: • Primero 1000q = 2478,787878…. • Segundo 10q = 24,78787878.… • Tercero 990q = 2478 – 24 2478 - 24 2454 409 • Cuarto q= = = 990 990 165
- 3. Matemáticas Números reales 1.º Bachillerato Ejemplo de número irracional a a 2=b fracción irreducible b a2 2 = b2 2 divide a a 2b2 = a2 Imposible a = 2k 2b2 = 4k2 2 divide a b b2 =2k2 a fracción reducible b
- 4. Matemáticas Números reales 1.º Bachillerato El cuerpo conmutativo de los números reales Suma de números reales • C1→ Propiedad asociativa: (a + b) + c = a + (b + c) • C2→ Elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a • C3→ Elemento opuesto: a + (–a) = (–a) + a = 0 • C4→ Propiedad conmutativa: a + b = b + a Producto de números reales • C5→ Propiedad asociativa: (a . b) . c = a . (b . c) • C6→ Elemento neutro: a . 1 = 1 . a = a • C7→ Elemento inverso, para a no nulo: a . a–1 = a–1 . a = 1 • C8→ Propiedad conmutativa.: a . b = b . a Propiedad distributiva del producto respecto a la suma. • C9→ a . (b + c) = a . b + a . c
- 5. Matemáticas Números reales 1.º Bachillerato Representación de números reales: Racionales 1 u. 1 u. 1 u. 1 u. 1 u. 1 u. O 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 U
- 6. Matemáticas Números reales 1.º Bachillerato Representación de números reales: Irracionales 1 u. 1 u. 3 2 2 1 u. O 2 3 Fijados un origen y una unidad de medida sobre la recta, dar un número real equivale a señalar un punto en la recta
- 7. Matemáticas Números reales 1.º Bachillerato Intervalo abierto y cerrado • Intervalo abierto: (a, b) = {x∈R / a < x < b} a b Los extremos no pertenecen al conjunto • Intervalo cerrado: [a, b] = {x∈R / a ≤ x ≤ b} a b Los extremos sí pertenecen al conjunto
- 8. Matemáticas Números reales 1.º Bachillerato Intervalos semiabiertos • Intervalo abierto por la derecha: [a, b) = {x∈R / a ≤ x < b} a b El extremo izquierdo pertenece al conjunto; el derecho no. • Intervalo abierto por la izquierda: (a, b] = {x∈R / a < x ≤ b} a b El extremo izquierdo no pertenece al conjunto: el derecho sí.
- 9. Matemáticas Números reales 1.º Bachillerato Entorno de un punto Entorno de centro “a” y radio “δ”: es un intervalo abierto de la forma (a – δ, a + δ) = E (a, δ) δ δ a a–δ a+δ
- 10. Matemáticas Números reales 1.º Bachillerato Entorno reducido de un punto Entorno reducido de centro “a” y radio “δ”: es un intervalo abierto de la forma (a – δ, a + δ) – {a}= (a – δ, a) ∪ (a, a + δ) = E*(a, δ) δ δ a a–δ a+δ
- 11. Matemáticas Números reales 1.º Bachillerato Propiedades de las potencias P1 → Producto de potencias de la misma base am . an = am+n P2 → Cociente de potencias de la misma base am : an = am–n P3 → Potencia de una potencia (am)n = am.n P4 → Producto de potencias del mismo exponente am . bm = (a.b)m P5 → Cociente de potencias del mismo exponente am : bm = (a : b)m
- 12. Matemáticas Números reales 1.º Bachillerato Propiedades de los radicales R1 → Producto de radicales a b= ab R2 → Cociente de radicales a a = b b R3 → Potencia de un radical ( a)3 = a3 R4 → Raíz de un radical 3 6 a= a
- 13. Matemáticas Números reales 1.º Bachillerato Números combinatorios y triángulo de Pascal Triángulo de Pascal 1 ( 1) 0 1 1 ( 0) ( 1) 1 1 1 2 1 ( 2) ( 2) ( 2) 0 1 2 1 3 3 1 ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) 0 1 2 3 1 4 6 4 1 ( 4) 0 ( 4) ( 4) ( 4) ( 4) 1 2 3 4 1 5 10 10 5 1 ( 5) 0 ( 5) ( 5) 1 2 ( 5) ( 5) ( 5) 3 4 5 1 6 15 20 15 6 6 1 ( 0) ( 6) 1 ( 6) 2 ( 6) 3 ( 6) 4 ( 6) 5 ( 6) 6 • ( m) = ( m) = 1 ( m) m • ( m) + ( m ) ( m+1 ) = 0 m • n = ( m-n ) n n-1 n
- 14. Matemáticas Números reales 1.º Bachillerato Definición de logaritmos loga N = x ⇔ ax= N • log3 1 = x como 30 =1 ⇒x = 0 ⇒x =1 • log3 3= x como 3 =3 1 ⇒x = 3 • log3 27=x como 33 =27
- 15. Matemáticas Números reales 1.º Bachillerato Propiedades de los logaritmos L1 → Logaritmo de un producto log (A . B) = log A + log B L2 → Logaritmo de un cociente log (A : B) = log A – log B L3 → Logaritmo de una potencia log An = n log A Cambio de base loga M = (log M)/(log a)
- 16. Matemáticas Números reales 1.º Bachillerato Aplicaciones de potencias y logaritmos Crecimiento exponencial: P = P ⋅k t 0 nt r Interés compuesto: C = C0 ⋅ 1 + n ⋅ 100 t Desintegración radiactiva: m ⋅ 0,5 d + pH de las disoluciones: pH = − log[ H ]