Trabajo de Mátematica

1. 0
0 0 0
1) :
(0)
(5) 2 ? ( ) 3 ? ( ) 4
Datos
dP
kP P P
dt
P P t P t P t P t P
= =
= = = = =
Se resuelve la ecuación diferencial que representa al proceso, separando las variables
dP
kdt
P
=∫ ∫ → ln P kt C= + . Se aplica exponencial a ambos lados de la
ecuación ln P kt C
e e +
=
y resulta kt
P Ce=
Se aplican las condiciones dadas para calcular C y k.
.0
0 0
k
P Ce C P= ⇒ =
5 5
0 02 2k k
P Pe e= ⇒ = Se aplica logaritmo a ambos lados de la ecuación obtenida
ln 2
ln 2 5 0,1386
5
k k= ⇒ = =
Por lo tanto la ecuación que describe el proceso es
0
0,1386tP Pe=
a) Si P(t)=3P0
0,1386
0 03 ln3 0,1386 7,9t
P P e t t años= ⇒ = ⇒ =
b) Si P(t)=4P0
0 0
0,13864 ln 4 0,1386 10tP P e t t años= ⇒ = ⇒ =
5) Datos:
Vida media= 3,3 h N(0)= 1 g N(t)= 0,1 t=?
dN
kN
dt
=
Se resuelve la ecuación diferencial que representa al proceso, separando las variables

2. dN
kdt
N
=∫ ∫ → ln N kt C= + . Se aplica exponencial a ambos lados de la
ecuación ln N kt C
e e +
=
y resulta kt
N Ce=
Se aplican las condiciones dadas para calcular C y k.
.0
0 1 1k
N Ce C= = ⇒ =
3,30
(3,3) 0,5
2
kN
N e= = = Se aplica logaritmo a ambos lados de la ecuación
obtenida para despejar k
ln 0,5 3,3 0,21k k= ⇒ = − Con lo que la ecuación que describe el proceso queda
0,21t
N e−
= . Ahora se calcula el tiempo que demora descomponerse el 90% de la
muestra, es decir, cuando habrá 0,1 gramos de la misma.
0,21
0,1 ln0,1 0,21 10,96t
e t t h−
= ⇒ = − ⇒ =
11) Datos:
85,5% del C-14 acumulado se había deteriorado
Se debe partir de
0( ) ktA t A e= , con los datos suministrados en el texto, k =-0,00012378
0
0,00012378( ) tA t A e−= . Si 85,5% se había deteriorado, quedaba 14,5%
0 0
0,000123780,145 ln 0,145 0,000123778
ln0,145
0,00012378
tA A e t
t
−= ⇒ = −
=
−
Por lo tanto t es aprox 15600 años.
12) Datos:
t = 660 años
% C-14 presente en la tela = ?

3. Del problema 3, la cantidad de carbono presente viene dada por 0
0,00012378( ) tA t A e−=
Dado que t = 660, se resuelve para A0
0
0,00012378.660(660) 0,921553A A e−= = . Así que, aprox. 92,16% de la cantidad
original permanecía en la tela para 1988.
13) Datos:
T(0) = 70ºF Tm = 10ºF T(0,5)= 50ºF T(1)= ? t=? T=15ºF
( )
ln( )
ln( )
dT dT
k T Tm kdt
dt T Tm
dT
kdt
T Tm
T Tm kt C
T Tm kt Ce e
kt ktT Tm Ce T Tm Ce
= − ⇒ =
−
=
−
− = +
− +=
− = ⇒ = +
∫ ∫
Se usan las condiciones dadas para hallar C y k.
0
(0) 70 70 10 60
10 60
T Ce C
ktT e
= = + ⇒ =
= +
0,5 0,540
(0,5) 50 50 10 60
60
2ln(2 / 3) 0,81
0,8110 60
K k
T e e
k k
tT e
= = + ⇒ =
= ⇒ = −
−= +
0,81.11 10 60 36,7ºPara t T e T−= = + =
0,81
15º 15 10 60
t
Si T e
−
= = +
5 10,81 0,8115 10 60 ln 0,81
60 12
ln(1/12)
3,07 min
0,81
t te e t
t
 − −− = ⇒ = ⇒ = − ÷
 
= =
−
17) Datos:
T(0)=70ºF T(1/2)=110ºF T(1)=145ºF Tm=?

4. ( )
ln( )
ln( )
0(0) 70 70 70 (70 )
110/ 2 / 2(1/ 2) 110 110 (70 )
70
145
(1) 145 145 (70 )
dT dT
k T Tm kdt
dt T Tm
dT T Tm kt Ckdt T Tm kt C e e
T Tm
kt ktT Tm Ce T Tm Ce
ktT Tm Ce C Tm T Tm Tm e
Tmk kT Tm Tm e e
Tm
k kT Tm Tm e e
= − ⇒ =
−
− += ⇒ − = + ⇒ =
−
− = ⇒ = +
= = + ⇒ = − = + −
−
= = + − ⇒ =
−
−
= = + − ⇒ =
∫ ∫
( )
( )
2
22
2 2
/ 2
70
110145 110
145
70 70 70
(145 )(70 ) 110 220
390º
Tm k ke e
Tm
TmTm Tm
Tm
Tm Tm Tm
Tm Tm Tm Tm
Tm F
=
−
−− − 
= ⇒ − = ÷
− − − 
− − = − +
=
20.-) Datos:
V= 200 L A(0)=30 g c
e
=0g sal/l v
e
= 4l/min = v
s
A(t)=?
A= cantidad de sal en el tanque

5. La ecuación que describe el proceso es
0 / min
4 / min
200 min 50
0
50 50
ln aplica exponencial a ambos lados de la igualdad
50 50
50A=C
0
50(0) 30 30
dA
v v
e sdt
v g
e
Ag l A
v g
s l
dA A dA dt
dt A
dA dt t
A C Se
A
t
e
A Ce C
= −
=
= =
−
= − ⇒ =
− −
= ⇒ = +
−
−
= = ⇒
∫ ∫
30
50( ) 30
t
A t e
=
−
=
25) Datos:
V= 100 gal A(0)=10 lb sal c
e
=1/2 lb sal/gal v
e
= 6 gal/min
v
s
=4 gal/min A(30)=? A= cantidad de sal en el tanque
2
2 2
La ecuación que describe el proceso es
6 0.5 3 / min
min
4
4 / min
100 (6 4) min 100 2
2 2 2ln(50 )
3 3 Ec. lineal, u=e (50 )
50 50
(50 ) 3(50 )
dA
v v
e sdt
gal lb sal
v lb
e gal
Alb gal A
v lb
s t gal t
dA A dA A t
t
dt t dt t
t A t dt
= −
= =
= =
+ − +
+
= − ⇒ + = = +
+ +
+ = + +∫
3
2 2
2
2
3(50 )
(50 ) ( ) 50 (50 )
3
(0) 10 10 50 0 (50 0) 100000
(30) 50 30 100000(50 30) 64,38
C
t
t A C A t t C t
A C C
A lb
−
−
−
+
+ = + ⇒ = + + +
= = + + + ⇒ = −
= + − + =
29) Datos:

6. E=100V Circuito RC en serie R=200Ω C= 10
-4
farads q(t)=? q(0)=0 i(t)=?
1
( )
1 1
200 100 multiplica por
4 20010
1 5050 Ecuación lineal,
2
50150 50
2 100
500,01
0(0) 0 0 0,01 0,01
50( ) 0,01 0,01
50( ) 0,5
dq
R q E t
dt C
dq
q se
dt
dq tq u e
dt
tet te q e dt C C
tq Ce
q Ce C
tq t e
dq ti i t e
dt
+ =
+ =
−
+ = =
= + = +
−= +
= = + ⇒ = −
−= −
−= =
∫
30) Datos:
E=200V Circuito RC en serie R=1000Ω C=5x10
-6
farads q(t)=? i(0)=4
Determine q e i en t=0,005 s. Determine q conforme t →∞
1
( )
1 1
1000 200 multiplica por
6 10005 10
2 200200 Ecuación lineal,
10
dq
R q E t
dt C
dq
q se
dt x
dq tq u e
dt
+ =
+ =
−
+ = =

7. 2002200 200
10 1000
2000,001
200 0(0) 0,4 200 0,4 200 0,002
200( ) 0,001 0,002
200( ) 0,4
200.0,005 4(0,005) 0,001 0,002 2,64 10
200.0,005(0,005) 0,4 0,14
tet te q e dt C C
tq Ce
dq ti i Ce Ce C
dt
tq t e
ti t e
q e x C
i e
= + = +
−= +
−= = = − ⇒ = − ⇒ = −
−= −
−=
− −= − =
−= =
∫
72A
Conforme t→∞ q→0,001