1. τ=3
τ=5
τ=10
)/exp(1(5 τtq −−=
Circuito RC alimentado con cc
C
q
dt
dq
R
C
q
Ri +=+=ε
ε
R
Ci
R
itenq
ε
=⇒== 0
00
0=+
C
i
dt
di
R dt
CRi
di 1
−=
CR
t
e
R
i
−
=
ε
t
t
CR
t
eCR
R
dtiq
00
)(∫ 


−==
−ε






−=
−
CR
t
eCq 1ε
)/exp(5,1 CRti −=
τ=3
τ=5
τ=10
τ=RC: constante de tiempo RC

2. Curva de descarga del capacitor En determinado momen-
to de la curva de carga se
cortocicuita la fem, por ej.
cuando q=q0
R
C q0
+
-
0' =+=+ R
dt
dq
C
q
Ri
C
q
CR
dt
q
dq
−= CR
t
eqq
−
= 0
CR
t
e
CR
q
dt
dq
i
−
−== 0
i
i en sentido contrario
)3/exp(5 tq −=
)3/exp(5,1 ti −=

3. Circuito RL alimentado con cc
ε
R
Li dt
di
LRi +=ε 02
2
=+
dt
id
L
dt
di
R
dt
di
s =
0=+
dt
ds
LsR dt
L
R
s
ds
−=
L
tR
e
L
s
−
=
ε





 −=
−
L
tR
e
R
i 1
ε
t
L
R
s
s
t
−=
=0
ln
En t=0, i=o y (di/dt)t=0 =st=o =ε /L
)1(5,1 3
t
ei
−
−=
Con CC
t = 0 C: cc L: ca
t = ∞ C: ca L: cc
Si en t’ se cc la fem
0=+
dt
di
LRi L
tR
eii
−
= 0
τ=L/R: constante de tiempo RL

4. Circuito LC alimentado con cc
ε
i
C
L
0=−−
C
q
dt
di
Lε 0
1
2
2
=+ i
Cdt
id
L
2
0cos00 0
π
ϕϕ ±=⇒==⇒== iiit
Oscilador
armónico
simple
)(cos0
ϕω += tii
τ
π
πω
2
2
1
=== f
CL
i0: amplitud; f: frecuencia natural circ. LC; ϕ: ángulo de fase; τ: período
000 ==⇒= iyqt
ϕ
ω
ε
ϕωε 1
00
0
00 −
=
−=⇒−=




=⇒== sen
L
isenLi
dt
di
Lqt
t
2
0
2
0
π
ϕ
π
ϕ −=⇒〈⇒= isi
L
C
L
i ε
ω
ε
==0tsen
L
t
L
i ω
ω
επ
ω
ω
ε
=




 −=
2
cos
En t=o todo ε en L; C descargado
En t=0, C es un cc y solo
actúa L=> i(t=0)=0

5. )cos1( t
C
q
VC
ωε −==∆
Carga en el condensador
)cos1()cos1(sen
0
2
0
tCt
L
t
L
dtiq
t t
ωεω
ω
ε
ω
ω
ε
−=−=== ∫ ∫
Caída de potencial en el condensador
Caída de potencial en el inductor
t
dt
di
LVL
ωε cos==∆ ε=∆+∆ LC
VV
ε
i
C
L
t
L
i ω
ω
ε
sen=
Suma de tensiones par-
ciales instantáneas en
cada elemento =ε, pero
no de amplitudes pues
no tienen la misma fase
∆ϕ =180°0 1 2 3 4 5 6 7
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
Tiempo
Tensión-Corriente
L
V∆
C
V∆
i
2ε

6. ε
i
C
L
t
L
i ω
ω
ε
sen= )cos1( t
C
q
VC
ωε −==∆
t
dt
di
LVL
ωε cos==∆
)cos1( tCq ωε −=
Potencia suministrada t
L
C
t
L
iP ωεω
ω
ε
ε sensen 2
2
===
2
22
)cos1(
22
t
C
C
q
UC
ω
ε
−== tt
C
dt
dU
P C
C
ωωω
ε
sen)cos1(2
2
2
−==
t
L
iL
UL
ω
ω
ε 2
2
22
sen
22
== tt
Ldt
dU
P L
L
ωωω
ω
ε
cossen2
2
2
==
tt
L
C
PC
ωωε sen)cos1(2
−=
tt
L
C
PL
ωωε cossen2
=
LC
PPP +=
t
0 1 2 3 4 5 6 7
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
PL
PC
P
Potencia

7. 222
222
0
iL
C
q
C
q
UUU LC
+==+=
C
q0
L
00 2
2
=+⇒=+
C
q
dt
qd
L
C
q
dt
di
L
)(cos0
ϕω += tqq
CL1=ω
0,0 0
=⇒== ϕqqtSi tqq ωcos0
=
tq
dt
dq
i ωω sen0
−==
t
C
q
C
q
VC
ωcos0
==∆
)(coscos 00
πωω −=−==∆ t
C
q
t
C
q
dt
di
LVL
0=∆+∆ LC
VV
0 1 2 3 4 5 6 7
-6
-4
-2
0
2
4
6
Tensión-Corriente
Tiempo
i
C
V∆
L
V∆
∆ϕ
t
C
q
UC
ω2
2
0
cos
2
=
t
qL
UL
ω
ω 2
2
0
2
sen
2
=
0 1 2 3 4 5 6
C
B
qo/2C
Potencia
Tiem po
UC
UL
2

8. 0 1 2 3 4 5 6 7
-2
0
2
4
6
Corriente
Tiempo
Régimen
amortiguadoC
L
R 2<
Circuito RLC alimentado por cc
L
ε
C
i R
C
q
iR
dt
di
L ++=ε
C
i
dt
di
R
dt
id
L ++= 2
2
0






+−





−= ϕt
L
R
CL
t
L
R
ii 2
2
0
4
1
cos
2
exp
Solución solo válida para R chicas tal que
CLL
R 1
4 2
2
<
C
L
R 2> Régimen sobreamortiguado
C
L
R 2= Régimen crítico
R
L
t
L
R
ii
2
)
2
(exp0
=
−=
τ

9. i adelanta ε en π/2
i atrasa ε en π/2
R, C y L alimentadas con ca
ε R
tωεε sen0
=
t
RR
i ω
εε
sen0
==
tCVCq ωε sen0
==
tC
dt
dq
i ωωε cos0
==
)2(sen0
πω += tii
ε
L
ε
C
∫=⇒= dt
L
i
dt
di
L
ε
ε
t
L
i ω
ω
ε
cos0
−=
)2(sen0
πω −= tii
0 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
Tensión-Corriente
ε
i
0 1 2 3 4 5 6 7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
Tensión-Corriente
ε
i
0 1 2 3 4 5 6 7
-6
-4
-2
0
2
4
6
Tensión-Corriente
Tiempo
ε
i
i yε en fase
tii ωsen0
=
)1(00
Ci ωε =
C
XC
ω
1
= Reactancia
capacitiva
Li ωε 00
= LXL
ω=
Reactancia
inductiva
Ri00
=ε

10. tωεε sen0
=
tsen
R
i ω
ε0
=
tsen
R
iP ω
ε
ε 2
2
0
==
tsen
R
RiPR
ω
ε 2
2
02
==
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Potencia
tC
dt
dq
i ωωε cos0
==
tCVCq ωε sen0
==
ttsenCiP ωωωεε cos
2
0
==
tsen
C
C
q
UC
ω
ε 2
2
0
2
22
== ttsenC
dt
dU
P C
C
ωωωε cos
2
0
==
t
L
i ω
ω
ε
cos0
−= ttsen
L
iP ωω
ω
ε
ε cos
2
0
−==
t
L
LiL
UL
ω
ω
ε 2
2
2
0
2
cos
)(22
== ttsen
Ldt
dU
P L
L
ωω
ω
ε
cos
2
0
−−==
C
R
L

11. Circuito RC alimentado con ca
ε R
C
C
q
Ri +=ε
tωεε sen0
=
)(sen0
ϕω += tii
∫ +−== )(cos0
ϕω
ω
t
i
dtiq
)(cos)( 0
00
ϕω
ω
ϕωωε +−+= t
C
i
tsenRitsen
)cos(cos
)coscos(
0
00
ϕωϕω
ω
ϕωϕωωε
sentsent
C
i
senttsenRitsen
−
−+=
⇒=− 0)cossen(cos 0
0
ϕ
ω
ϕω
C
i
iRt
R
Cω
ϕ
1
tg =
⇒=++− 0)sencos(sen 0
00
ϕ
ω
ϕεω
C
i
iRt
ϕ Cω/1
R
)sen
1
cos(00
ϕ
ω
ϕε
C
Ri +=
ZiCRi 0
22
00
)1( =+= ωε
Comportamiento capa-
citivo, i adelanta a ε
Z: Impedancia
)(sen)( 0
ϕωε +==∆ tZRRiVR
)(cos)( 0
ϕωωε +−==∆ tCZCqVC
ε=∆+∆ CR
VV
i0
∆VR0=i0R
∆VC0=i0XC i0Z
ϕ
2222
)/1(/
1
)/1(/cos CR
C
senCRR ω
ω
ϕωϕ +





=+=

12. Circuito RL alimentado con ca
ε R
L
tωεε sen0
=
dt
di
LRi +=ε
)(sen0
ϕω += tii
)(cos)(sensen 000
ϕωωϕωωε +++= tiLtRit
)cos(cos
)coscos(
0
00
ϕωϕωω
ϕωϕωωε
sentsentiL
senttsenRitsen
−
++=
⇒=+ 0)cossen(cos 00
ϕωϕω iLiRt
R
Lω
ϕ −=tg
Comportamiento in-
ductivo, ε adelanta a i
ϕ
R
Lω
⇒=−+− 0)sencos(sen 000
ϕωϕεω iLiRt )sencos(00
ϕωϕε LRi −=
ZiLRi 0
22
00
)( =+= ωε Z: Impedancia
)(sen)( 0
ϕωε +==∆ tZRRiVR
)(cos0
ϕω
ε
ω +==∆ t
Z
L
dt
di
LVL ε=∆+∆ LR
VV
i0
∆VR0=i0R
∆VL0=i0XL
i0Z
ϕ
)
)()(
( 22220
LR
L
L
LR
R
Ri
ω
ω
ω
ω
ε
+
−
−
+
=

13. Circito LC alimentado con ca
Cε
L dt
di
L
C
q
+=ε
tωεε sen0
=
)(sen0
ϕω += tii
)(cos
)cos)((cos)/(
0
00
ϕωω
ϕϕωωωε
++
−+−=
tiL
tCitsen
∫ −+−==
t
t
i
dtiq
0
0
)cos)((cos ϕϕω
ω
)cos(cos
)coscos(cos)/(
0
00
ϕωϕωω
ϕϕωϕωωωε
sentsentiL
sentsentCitsen
−+
−−−=
⇒=−+− 0)sensen)/((sen 000
ϕωϕωεω iLCit
1;0cos
2
±==⇒±= ϕϕ
π
ϕ sen






−=⇒= L
C
i ω
ω
εϕ
1
1sen 00
0
i






−=⇒−=
C
Li
ω
ωεϕ
1
1sen 00 Circuito inductivo 0
i
Zi00
=ε
Circuito capacitivo

14. Circuito RLC serie alimentado con ca
R
L
C
i dt
di
L
C
q
Ri ++=ε
tωεε sen0
=
i
Cdt
di
R
dt
id
Lt
1
cos 2
2
0
++=ωωε
)(0
ϕω += tsenii
)()cos()(cos 0
0
2
00
ϕωϕωωϕωωωωε +++++−= tsen
C
i
tiRtseniLt
)coscos()cos(cos
)coscos(cos
0
0
2
00
ϕωϕωϕωϕω
ωϕωϕωωωωε
senttsen
C
i
sentsent
RisenttsenLit
++−
++−=
0)cos(cos 0
0
2
00
=++−− ϕϕωϕωωεω sen
C
i
iRseniLt
0)coscos( 0
0
2
0
=+−− ϕϕωϕωω
C
i
seniRiLtsen
Zi
C
LRi 0
2
2
00
1
=




 −+=
ω
ωε
R
CL
tg
)/1( ωω
ϕ
−
=
Zi /00
ε=
R
ϕ ωL-(1/ ωC)
ωL
1/ ωC
i0

15. Zi00
=ε
Circuito RLC paralelo alimentado con ca
L
C
R
i
tωεε sen0
=
)(0
ϕω += tseniiLCR
iiii ++=
tsen
R
iR
ω
ε0
=
t
C
tsen
C
iC
ω
ω
επ
ω
ω
ε
cos
)/1(
)
2
(
)/1(
00
=+=
t
L
tsen
L
iL
ω
ω
επ
ω
ω
ε
cos)
2
( 00
−=−=
t
L
t
C
tsen
R
tseni ω
ω
ε
ω
ω
ε
ω
ε
ϕω coscos
)/1(
)( 000
0
−+=+
0)cos( 0
0
=+−
R
itsen
ε
ϕω
0)
)/1(
(cos 00
0
=−+−
LC
senit
ω
ε
ω
ε
ϕω
Ri0
0
cos
ε
ϕ =
)
1
(
0
0
L
C
i
sen
ω
ω
ε
ϕ −=
22
)/1(()/1(
/1
sen
LCR
LC
ωω
ωω
ϕ
−+
−
=
R
LC
tg
/1
/1 ωω
ϕ
−
=
2200
)/1(()/1(
1
LCR
i
ωω
ε
−+
=
ε0
1/R
ωC 1/ωL
ϕ

16. Resonancia en circuito RLC
2
2
0
0
1





 −+
=
C
LR
i
ω
ω
ε
C
L
R
imáx
ω
ω
ε 10
=⇒=
CL
1
=ω
0 20 40 60 80 100 120
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
V= 200 V
L 20 H
C=0,4 microF
R=10 Ohms
R=500 Ohms
R=1000 Ohms
Corrientemáxima
Frecuencia (f)
fπω 2=
-2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
Corriente
Tiempo
cteω
)(0
ϕω += tseniitωεε sen0
=

17. Circuito tanque (CT) RLC serie presenta algunas desventajas técni-
cas como sintonizador (allí resonancia es i max)
En CT sintonía con i mínimo. Como VR será
entonces mínimo, la V sobre // LC es máximaL
Ci R
iC iL
dt
di
LRiitsen L
CL
++= )(0
ωε
2
2
dt
id
LCi
C
q
dt
di
L L
C
CL
=⇒= L
LL
Ri
dt
di
L
dt
id
LRCtsen ++= 2
2
0
ωε
)(0
ϕω += tsenii LL
)coscos()
cos(cos)coscos(
0
0
2
00
ϕωϕωϕω
ϕωωϕωϕωωωε
senttsenRisentsen
tLisenttsenLRCitsen
L
LL
++−
++−=
0)coscos( 00
2
00
=+−−− ϕϕωϕωεω LLL
RisenLiLRCitsen
0)cos(cos 00
2
0
=++− ϕϕωϕωω senRiLisenLRCit LLL
]cos)[( 2
00
ϕωϕωε senLRLRCi L
−+−=
2
tg
ω
ω
ϕ
LRCR
L
−
−
=
2
ωLRCR −
Lω
2/1222
])()[(
sen
LLRCR
L
ωω
ω
ϕ
+−
−
= 2/1222
2
])()[(
cos
LLRCR
LRCR
ωω
ω
ϕ
+−
−
=

18. LLL
ZiLLRCRi 0
2/1222
00
])()[( =+−= ωωε
L
L
Z
i 0
0
ε
=
)sen(2
02
2
ϕωω +−== tLCi
dt
id
LCi L
L
C)(0
ϕω += tsenii LL
)sen()sen()1( 0
2
0
ϕωϕωω +=+−=+= titLCiiii LLC
Z
C
L
CL
R
LLRCR
LC
i 0
2
22
2
0
2/1222
2
0
0
)
1
(
/])()[(
)1( ε
ω
ω
ε
ωω
ωε
=
−
+
=
+−
−
=
0
1
=⇒= i
LC
si ω No hay caída en R y todo la tensión en //

19. Potencia en circuitos de alterna tωεε sen0
= )(0
ϕω += tsenii
)sen(sen)( 00
ϕωωεε +== ttiitP
0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6
0
2
4
6
8
1 0
Potenciaentregada
T ie m p o
Sentido de potencia instantánea?
∫∫
∫∫
+
=+==
TT
TT
tttt
T
i
tti
T
dti
T
P
00
00
0
00
0
)sencossencossensen(
)sen(sen
11
ϕωωϕωω
ε
ϕωωεε
Función impar
ϕ
ε
cos
2
00
i
P =
2/
2/
0
0
εε =
=
ef
ef
ii Valores constantes de i y V que
producen la misma potencia me-
dia que la tensión de alterna
ϕcos Factor de potencia
220 V de línea es Vef: 310 de pico
Al circuito inductivo o capacitivo
(ϕ±π/2) no se le entrega potencia
ϕε cosefefa
iP = Potencia activa (la que se disipa en R)
ϕε seniP efefr
= Potencia reactiva (la que oscila)
efefap
iP ε= Potencia aparente Para una P requerida, a > cos ϕ < i.
Multas por bajo cos ϕ. Se cobre VA
Ri
Z
R
i efefef
2
=ε

20. Elementos en serie ∑= )()( tVtV k
Tratamiento con números complejos
Elementos en paralelo )()( titi k∑=
jbasenjej
+=+==Ε 10100
cos1
ϕεϕεε ϕ
jdcsenjiieiI j
+=+== 20200
cos2
ϕϕϕ
Se definen tensión y corriente complejas
22
0
baE +== ε
a
b
arctg=1
ϕ
2
2
0
dciI +== )/(2
dcarctg=ϕ
)Re( tj
EeV ω
=
)Re( tj
Iei ω
=
∑≠ 00 k
VV ∑≠ 00 k
ii
En R jo
e
R
I 0
ε
=
En C
)2/(
0
π
ωε j
CeI =
En L )2/(0 π
ω
ε j
e
L
I −
=
tωεε cos0
=Si
L
C
R
Y*Z*YZ
RI /0
ε=
CjI ωε0
=
)/( 0
LjI ωε−=
Cω/1
R RR/1 R/1
Cω
C
j
ω
−
Ljω
Cjω
Lω
Lω
1
L
j
ω
−
])Re[( 2121
tj
eIIii ω
+=+

21. 22
2
)/1(
cos
CR
R
Z
RVR
ω
ϕ
ε +
==
Pasa altos y pasa bajos
VR
VC
tωεε sen0
=
)(sen0
ϕω += tii 22
00
)1( CRi ωε +=
R
Cω
ϕ
1
tg =
)(sen)( 0
ϕωε +==∆ tZRiRVR
∫ +−== )(cos0
ϕω
ω
t
i
dtiq
)cos()( 0
ϕωωε +−==∆ tCZCqVC





 += ∫ ∫
τ τ
ϕω
ω
ϕω
ετ
ε
ε 0 00
0
sencot
sen
cossen)(
dttgdt
t
tZRVR





 −
−
= ∫ ∫
τ τ
ω
ϕω
ω
ϕω
ετ
ωε
ε 0 00
0
sen
sensen
sen
coscos)(
dt
t
t
dt
t
tCZVC
00 →ωsi
∞→ωsi1
22
2
)/1(
)/1(
sen
/1
CR
C
Z
CVC
ω
ω
ϕ
ω
ε +
==
01 →ωsi
∞→ωsi0
0 2 4 6 8
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
Ganancia
Frecuencia
0 2 4 6 8
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
Ganancia
Frecuencia
Filtro
Pasa
Alto
Filtro
Pasa
Bajo