1. 1
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2016-I
TRIGONOMETRÍA
“REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE’’
Docente: Lic. Rodolfo Carrillo Velàsquez
Definición:
Es el procedimiento mediante el cual se
determinan las razones trigonométricas de
un ángulo que no es agudo, en función de
otro que sí lo sea.
𝑅(∝) ⇒ 𝑅(𝛽)
∝: no es agudo
𝛽: es agudo
La conversión de una razón trigonométrica
(R.T) de un ángulo cualquiera en otra razón
equivalente de un ángulo del primer
cuadrante se llama: “reducción al primer
cuadrante”
También reducir al primer cuadrante un
ángulo significa encontrar los valores de las
RT de cualquier ángulo en forma directa
mediante reglas prácticas.
Casos:
Ángulos positivos menores de una vuelta:
En este caso, el ángulo original "α" se
descompone como la suma o resta de un
ángulo cuadrantal (90º ; 180º ; 270º ó 360º)
con un ángulo que sea agudo; para luego
aplicar:
  


RTRT 





360
180
  


RTCoRT 





270
90
Donde el signo (±) que deberá anteponerse
al resultado dependerá del cuadrante al que
pertenezca el ángulo original " 𝛼 "
Por ejemplo; calculemos:
*
*
II. Ángulos mayores de una vuelta:
En este caso, se procede de la siguiente
manera:
Por ejemplo, calculemos:
Si el ángulo estuviese expresado en
radianes, se procede de la siguiente
manera:
𝑅𝑇(2𝑛𝜋±∝) = ±𝑅𝑇(∝)
 Observación
𝑅𝑇(𝑛𝜋±∝) = {
±𝑅𝑇(∝); 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟
𝑅𝑇(𝜋±∝); 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
3º30Cot)º30º270(Tanº240Tan
)(



2º30Csc)º30º360(Cscº330Csc
)(



R.T. ( ) = R.T. ( ) ; donde 360º  
q
Residuo
Sec1200º = Sec120º = Sec(90º + 30º) = Csc30º = 2 
1200º 360º
1080º 3
120º
  
( )
Semana Nº 6

2. Lic. Rodolfo Carrillo Trigonometría.
2
III. Ángulos negativos:
𝑺𝒆𝒏(−∝) = −𝑺𝒆𝒏 ∝ 𝑪𝒕𝒈(−∝) = −𝑪𝒕𝒈 ∝
𝑪𝒐𝒔(−∝) = 𝑪𝒐𝒔 ∝ 𝑺𝒆𝒄(−∝) = 𝑺𝒆𝒄 ∝
𝑻𝒈(−∝) = −𝑻𝒈 ∝ 𝑪𝒔𝒄(−∝) = −𝑪𝒔𝒄 ∝
Por ejemplo, calculemos:
IV. Ángulos fraccionarios:
𝑅𝑇 (
𝑛𝜋
𝑘
±∝) ; 𝑛 > 𝑘
Si la fracción es impropia es posible
descomponerse en la suma de un número
entero más una fracción propia, lo cual será
más sencillo descomponer y reducir
teniendo en cuenta criterios anteriores.
V. Ángulos relacionados:
PROBLEMAS PROPUESTOS
1) Si   , simplifique:
   
    1º9022
122




CosCos
CosSenF
A) - 1 B) - ½ C) 0 D) ½ E) 1
2) Si SenA +2CosA = 0, Calcule el valor
de F ,
Si:      
     ASenACosACxc
ATgASecACtgF


º360.º180.º180
º90.º180.º270
A) –8 B) -5 C) 5/4 D) 0 E) 8
3) ¿Qué relación existe entre a y b?
sabiendo que:
0
4
b2a36Ctg
8
b3a2Tg 



 



 
a) ½ b) 1/3 c) ¼ d)1/5 e) 1/6
4) Cuál es la relación que existe entre x
e y.








 



 
2
89
10
2415
10
40  CosyxCtgxTg
a) 2y = 3x b) y = 3x c) 2y – 3x = 
d) y = 3x + p e) 2y – 3x = 2
5) Sabiendo que:
Entonces el valor de: M = |senq + cscq|
en términos de K es: (k > 0)
A)2K B) 1/K C) 2/K
D) E)
6) Analice la veracidad de las
proposiciones siendo , Zn
i.  SennSen  )(
ii.








 




6
5
6
5
2
3
3
2  CtgTgTg
iii. )()781(  CosSecCosSec 
iv.








 
x
Ctg
x
nCtg 113 
a) FFFF b) FFVF c) FVVV
d) FVVF e) VFVF
7) Si a y b son ángulos complementarios,
simplificar la expresión:
   
   baTgabCos
abTgbaSenM
1110.54
1413.76


a) -2 b) -1 c) 2 d) 0 e) 1
8) Si entonces al simplificar:
3)º30Cot()º30º90(Tanº120Tan)º120(Tan
)(












TanyTanx
CosyCosx
SenySenx
180ºyx:Si










TanyTanx
CosyCosx
SenySenx
360ºyx:Si
)sencos(
2
77
ctg
2
37
Ksen 




 





 

2
)1k( 2

k
)1k( 2

x y
2

 
3secx.secy cos(8x 9y)
F
tgx tgy sen(9x 8y)

 
 

3. Lic. Rodolfo Carrillo Trigonometría.
3
Se obtiene:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e)5
9) Si a y c son suplementarios, además a
y b son complementarios. Reducir:
)(
)(
)(
)34()32cos(4
cbaSen
cbaSen
cbatg
cbCsccaM




a) -3 b)2 c) -1 d)-2 e) 0
10)Calcular el valor de
ZkkCos
SecSen
Tg
E 

 ;
2
)12(
6
253
3
109
6
143



a)
7
2 b)
7
2 c)
21
32 d)
21
32 e)
15
32
11)Siendo “” y “ ” las medidas de dos
ángulos complementarios:
 
 
 
 



32
23
64cos
42cos




ctg
tgQ
A) -1 B) 1 C) 0 D) -2 E) 2
12)Reducir:
3 4 6
7 7 7 7H cos cos cos cos      
A) 0 B) 1 C) 2 D)
1
2
E) 3
2º EXAMEN SUMATIVO–UNS 2013 - I
13)Si




 
2
43
2
4  SenSen , Evaluar:




 



 




 



 

2
7
2
16
2
15
2
10 33


CosCos
SenSen
M
a)
32
7 b)
7
32 c)
32
39 d)
32
25 e)
25
32
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2012- I
14)Calcular:
E = tg100º.tg120º.tg160º.tg250º.tg350º
a)
3
3 b) 3 c)-1 d) 1 e) 3
15)Hallar : E = Secθ − Tanθ
x
y
θ
(x;-15)
17
a) 3/5 b) -3/5 c) 5/3 d) -5/2 e) -3/4
16)Si: 𝑥 − 𝑦 = 𝜋 , evalúe:
Tan(x + a). Tan(x + b). Tan(x + c). Tan(x + n)
Tan(y + a). Tan(y + b). Tan(y + c). Tan(x + n)
a) n b) n-1
c) 0 d) 1 e) -1
17) Si k ∈ Z; Calcular:
E = Cos(2k − 1)
π
2
+ Csc(4k − 1)
π
2
+ Sen(2k + 1)
π
2
+ Cos2kπ
a) 1 b) 0 c) 2 d) (−1) 𝑘 e) −(−1) 𝑘 − 1
18) Si se cumple:
Sen [(4k + 5)
π
2
− α] Cos[(2k + 1)π + α]
Sen[23π + α]Tan [
17π
2
+ α]
=
2
3
Calcular: Secα
a) -2/3 b) -3/2 c) 2/3 d) 1 e) 1/3
19) Al convertirlo al primer cuadrante,
resulta:
I. Tan4 = Tan(4 − π)
II. Sen3 = −Sen(π − 3)
III. Cot5 = −Cot(2π − 5)
IV. Cos2 = −Cos(π − 2)
Son verdaderas, las igualdades:
a) II; III y IV b) Solo I c) III y IV
d) I; III y IV e) Todas

4. Lic. Rodolfo Carrillo Trigonometría.
4
20) Hallar E = Cscθ + Cotθ
x
y
θ
(x;-5)13
a) 2/3 b) -3/2 c) -2/3 d) 3/2 e) -2
21) Calcula el valor de:
E = Sen (−
83π
8
) − Cos(−
57π
8
)
a) 1 b) 2 c) 0 d) -1 e) -2
22) Reducir:
M = Cos
7π
11
+ Sen
6π
11
− Sen
5π
11
+ Cos
4π
11
a) 0 b) 2 c) -2 d) 4 e) -4
23) Si :
𝑓(x) =
Sen(π + x) + Cos(
3π
2
+ x)
x
+ xSen (
π
2
− x) Sec(2π − x)
Resolver: [𝑓(𝑥) + 𝜋][𝑓(𝑥) − 𝜋] < 0
a) 〈−𝜋; 𝜋〉 b) 〈−2𝜋; 2𝜋〉 c) [– 𝜋; 𝜋]
d) 〈−1; 1〉 e) 〈−𝜋; 𝜋〉 − {0}
24) Calcular el valor de:
E =
Cosβ + Cosθ + Sen(β + 2θ)
Cos (
β + 3θ
2
)
x
y
β
θ
a) Senθ b)−Senθ c) -1
d) −Tanθ e)1
25) Si: O1 es centro, hallar:
E = Tan|θ| + |Cotθ|
x
y
3
2
1
θ
O1
a) -2 b) 2 c) 0 d) 10/3 e) -10/3
26) Si:
∑ 𝑆𝑒𝑛 (
𝑛𝜋
2
+ 𝑥) = ∑ 𝐶𝑜𝑠 (
𝑛𝜋
2
+ 𝑥)
5
𝑛=1
5
𝑛=1
Calcule:
𝑅 = ∑ 𝑇𝑎𝑛 [(𝑛 + 1)
𝜋
2
+ 𝑥]
5
𝑛=1
a) 0 b) -1 c) 1 d) 2 e) -2
27) Hallar: Tanθ si ‘‘O’’ es centro
3
2
1
O θ
a) 31/11 b)11/31 c) -31/11
d) -11/31 e) -1/3