propiedades de los determinantes

1. Propiedades de determinantes:
1. Si todos los elementos de una fila (renglón) o
columna de A son nulos, entonces |A| = 0.
0
000
132
716
=−=A 0
011
035
043
=−=B
2. Si dos filas o columnas de A son idénticas, entonces
|A| = 0.
0
101
232
616
=−−=A 0
341
115
341
==B

2. Propiedades de determinantes:
3. Si B es la matriz que se obtiene sumando un
múltiplo de una fila (o columna) de A a otra fila (o
columna), entonces |B|=|A|.
 En otras palabras, si a los elementos de una fila se
le suman o restan los elementos de otra fila
multiplicados por escalares no nulos, el
determinante no se altera.
ABA ff
=
−
= →
−
= +
123
413
1038
123
413
212
21 2

3. Ejercicios:
1086
531
42
+++
+++
++
nnn
nnn
nnn
Calcular los siguientes determinantes:
6111
5132
4210
2321
−
−
−

4. Propiedades de determinantes:
4. Si en una matriz se intercambian dos filas (o
columnas), el determinante solo cambia de signo.
6,
31
02
6,
02
31
==−== BBAA
215
232
421
.2
215
464
421
==A
5. Si todos los elementos de una fila (o columna) de un
determinante son múltiplos de un número, éste se puede
sacar como factor común del determinante.

5. Propiedades de determinantes:
7. El determinante del producto de dos matrices de orden n es el
producto de sus determinantes: |AB| = |A||B|.
8. |AT
| = |A|
9. |I| = 1
100
420
532
.2
200
840
1064
3
==A
6. Como consecuencia de la propiedad anterior, se puede decir
que si k es una constante y A tiene orden n, entonces |kA| =
kn
|A|.

6. Ejercicios (pág. 285).- Calcular el determinante en
las siguientes matrices:
6001
2034
1023
5067
.30
−
−
1000
7100
4510
8371
.31
−
−
2130
8642
4213
4321
.32
−
−−−
−
−
3000
0400
0020
0001
.33
−
−

7. Determinante de una matriz triangular
20)1)(2)(5)(2(
1000
5200
6750
0162
−=−=
−
=A
Con las propiedades estudiadas, se puede calcular
el determinante de una matriz de cualquier orden,
transformándola en una matriz triangular, y así,
obtener el producto de los elementos de la diagonal
principal.
Si A es una matriz triangular superior (o inferior), entonces |A|
es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

8. Ejemplo:
184
963
032 −
Calcular los determinantes
1510
2241
3152
1021
−−
−

9. Ejercicios :
123
454
321
.24
− 143
1.27 3
2
3
1
2
1
3
2
2
1
−
−
−
41. Si A es de orden 4x4 y |A| = 12 ¿Cuál es el valor
del determinante de la matriz obtenida al multiplicar
cada elemento (entrada) de A por 2?
42. Suponga que A es una matriz cuadrada de orden 5
y |A|=½. Sea B la matriz obtenida al multiplicar la
tercera fila de A por 7 (las otras filas permanecen
sin cambio). Encuentre |2B|.
Calcular el determinante en las
siguientes matrices:

10. Ejercicios :
123
454
321
.24
− 143
1.27 3
2
3
1
2
1
3
2
2
1
−
−
−
41. Si A es de orden 4x4 y |A| = 12 ¿Cuál es el valor
del determinante de la matriz obtenida al multiplicar
cada elemento (entrada) de A por 2?
42. Suponga que A es una matriz cuadrada de orden 5
y |A|=½. Sea B la matriz obtenida al multiplicar la
tercera fila de A por 7 (las otras filas permanecen
sin cambio). Encuentre |2B|.
Calcular el determinante en las
siguientes matrices: