Teoría de ecuaciones

2. Una ecuación cuadrática de variable “x” es aquella que
puede escribirse en la forma:
ax2 + bx + c = 0
Donde: a, b y c son números reales (a 0).
Ejemplo: 2x2 – 7x + 3 = 0 ( a = 2, b = 7, c = 3 )
DEFINICIÓN
FORMAS INCOMPLETAS
ax2 + bx = 0 Ejemplo: 3x2 – 2x = 0
ax2 + c = 0 Ejemplo: 2x2 – 32 = 0
ax2 = 0 Ejemplo: 9x2 = 0

3. Ejemplo N°1: Resolver x2 - 7x + 12 = 0
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
Resolución: x2 7x + 12 = 0
MÉTODO DE FACTORIZACIÓN
x
x
(x  3)(x  4) = 0
Factorizando:
Entonces:
3x
4x
= 7x
Luego: x – 3 = 0 ó x – 4 = 0
De donde: x = 3 ó x = 4
Por tanto: C.S. = 3; 4
3
4

4. Ejemplo N°2: Resolver 3x2 = 5x
Resolución:
Escribimos la ecuación de
la forma:
3x2  5x = 0
Factorizamos “x”: x( 3x  5 ) = 0
Luego: x = 0 ó 3x  5 = 0
De donde: x = 0 ó x = 5/3
Por tanto: C.S. = 0; 5/3
OBSERVACIÓN IMPORTANTE: No simplifique una variable
en la ecuación original porque se pierde una solución

5. Ejemplo N°3: Resolver (3x – 4)(x + 1) = – 2
Resolución:
Debemos expresar la ecuación en la forma: ax2 + bx + c = 0
(3x – 4)(x + 1) = – 2
Para ello efectuamos las operaciones de
multiplicación en el primer miembro
Obtenemos: 3x2 + 3x – 4x – 4 = – 2
Reduciendo: 3x2 – x – 2 = 0
Entonces: (3x + 2)(x – 1) = 0
Luego: 3x + 2 = 0 ó x – 1 = 0
De donde: x = – 2/3 ó x = 1 C.S. =  –2/3; 1 
3x
x
2
– 1
2x
3x
= x
Factorizando:

6. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
POR LA FÓRMULA CUADRÁTICA (de Carnot)
a
2
ac
4
b
b
x
2




Dada la ecuación: ax2 + bx + c = 0, sus raíces pueden
calcularse mediante la fórmula
A la cantidad subradical: b2 – 4ac se le llama
discriminante y se representa por 
Es decir:  = b2 – 4ac

7. PROPIEDADES DEL DISCRIMINANTE
1. Si  > 0, la ecuación tiene raíces reales y diferentes
Ejemplo: Resolver 2x2 – 3x – 1 = 0
Resolución:
Identificamos los valores
de los coeficientes:
a = 2; b = – 3; c = –1 a
2
ac
4
b
b
x
2




Reemplazamos en:
)
2
(
2
)
1
)(
2
(
4
)
3
(
)
3
(
x
2







Obtenemos:
4
17
3
x
4
17
3
x 2
1










 



4
17
3
;
4
17
3
.
S
.
C
4
17
3
x


De donde:

8. PROPIEDADES DEL DISCRIMINANTE
2. Si  = 0, la ecuación tiene raíces reales e iguales
Ejemplo: Resolver 4x2 – 12x + 9 = 0
Resolución:
Identificamos los valores
de los coeficientes:
a = 4; b = – 12; c = 9 a
2
ac
4
b
b
x
2




Reemplazamos en:
)
4
(
2
)
9
)(
4
(
4
)
12
(
)
12
(
x
2






Obtenemos:
8
0
12
x
8
0
12
x 2
1













2
3
.
S
.
C
8
0
12
x


De donde:

9. PROPIEDADES DEL DISCRIMINANTE
3. Si  < 0, la ecuación tiene raíces imaginarias
Ejemplo: Resolver x2 + x + 1 = 0
Resolución:
Identificamos los valores
de los coeficientes:
a = 1; b = 1; c = 1 a
2
ac
4
b
b
x
2




Reemplazamos en:
)
1
(
2
)
1
)(
1
(
4
)
1
(
)
1
(
x
2




Obtenemos:
2
3
1
x




Por tanto: La ecuación no tiene solución en el conjunto de los
números reales ( sus soluciones son imaginarias )

10. APLICACIONES
Equilibrio de mercado
Cuando el precio de un producto es p dólares por unidad, suponga que
un fabricante suministrará 3p2 – 4p unidades del producto al mercado y
que los consumidores demandarán 24 – p2 unidades. Determine el valor
de p para que el mercado esté en equilibrio (oferta = demanda)
Resolución
Oferta = 3p2 – 4p
Demanda = 24 – p2
3p2 – 4p = 24 – p2
Luego: 4p2 – 4p – 24 = 0
Simplificando: p2 – p – 6 = 0
Factorizando: (p – 3)(p + 2) = 0
Luego: p = 3 ó p = –2
Respuesta: Cuando el precio del producto sea de $3, el mercado
estará en equilibrio (no se toma en cuenta el otro valor pues no podemos
hablar de precio negativo)

11. APLICACIONES
Negocios
Una compañía determina que si se produce y vende q unidades de un producto,
el ingreso total por las ventas será de 100q. Si el costo variable por unidad es
de $ 2 y el costo fijo de $ 1200, determine los valores de q para los que:
Ingreso total por ventas = costo variable + costo fijo (Esto es, utilidad cero)
Resolución
Datos: q
100
total
Ingreso 
Costo variable = 2q
Costo fijo = 1200
1200
q
2
q
100 

Elevando al cuadrado:
10000q = 4q2 + 4800q + 1440000
Reduciendo: q2 – 1300q + 360000 = 0
Factorizando: (q – 900)(q – 400) = 0
Luego: q = 900 ó q = 400
Respuesta: Si se producen y venden 400 ó 900 unidades, la utilidad será cero