Modelado del viscosímetro Couette

1. Flujo angular entre dos cilindros concéntricos
Este flujo se conoce como Couette y es ampliamente usado para medir viscosidades.
Cilindro externo rotatorio, a velocidad angular ω
Cilindro interno fijo: Se mantiene así al
aplicar un torque de resistencia al giro T
Fluido de viscosidad a determinar
ri El equipo se diseña de modo que no haya efectos en los
extremos de los cilindros, al hacer que el
r0 cilindro interno sea muy largo y de pequeño diámetro.
Se desea medir la viscosidad del fluido en función de los parámetros del equipo y las mediciones de ω y
el torque.
En este caso el modelo es cilíndrico con vr = vz = 0
1
𝑟
𝜕(𝑟𝑣𝑟)
𝜕𝑟
+
1
𝑟
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝜃
+
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑧
= 0
vr = vz = 0 y son constantes
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝜃
= 0
vθ = vθ(r) y vr = 0
Tomando la ecuación de Navier-Stokes para vθ en coordenadas cilíndricas.
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝑡
+ 𝑣𝑟
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝑟
+
𝑣 𝜃
𝑟
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝜃
+ 𝑣𝑧
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝑧
= −
1
𝜌𝑟
𝜕𝑃
𝜕𝜃
+ 𝑔 𝜃 +
𝜇
𝜌
𝜕2
𝑣 𝜃
𝜕𝑟2
+
𝜇
𝜌𝑟
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝑟
−
𝜇𝑣 𝜃
𝜌𝑟2
+
𝜇
𝜌𝑟2
𝜕2
𝑣 𝜃
𝜕𝜃2
+
𝜇
𝜌
𝜕2
𝑣 𝜃
𝜕𝑧2
Eliminando términos llegamos a la expresión:
0 =
𝜕2
𝑣 𝜃
𝜕𝑟2
+
1
𝑟
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝑟
−
𝑣 𝜃
𝑟2

2. En este paso podrían cambiar todas las derivadas parciales a derivadas totales.
𝑑
𝑑𝑟
[
1
𝑟
𝑑(𝑟𝑣 𝜃)
𝑑𝑟
] =
𝑑
𝑑𝑟
{
1
𝑟
[𝑟
𝑑𝑣 𝜃
𝑑𝑟
+ 𝑣 𝜃
𝑑𝑟
𝑑𝑟
]} =
𝑑
𝑑𝑟
[
𝑑𝑣 𝜃
𝑑𝑟
+
𝑣 𝜃
𝑟
]
=
𝑑2
𝑣 𝜃
𝑑𝑟2
+
1
𝑟
𝑑𝑣 𝜃
𝑑𝑟
−
𝑣 𝜃
𝑟2
por lo que puede sustituirse toda la ecuación simplificada de Navier-Stokes por:
0 =
𝑑
𝑑𝑟
[
1
𝑟
𝑑(𝑟𝑣 𝜃)
𝑑𝑟
]
Integrando,
1
𝑟
𝑑(𝑟𝑣 𝜃)
𝑑𝑟
= 𝑐1
Separando variables e integrando de nuevo
∫ 𝑑(𝑟𝑣 𝜃) = 𝑐1 ∫ 𝑟𝑑𝑟 + 𝑐2
𝑟𝑣 𝜃 =
𝑐1
2
𝑟2
+ 𝑐2
Las condiciones frontera para este sistema son:
C.F.1. En r = ri, vθ = 0;
C.F.2. En r = r0, vθ = ω r0
Aplicando la primera condición frontera 0 =
𝑐1
2
𝑟𝑖
2
+ 𝑐2
Aplicando la segunda 𝜔𝑟0
2
=
𝑐1
2
𝑟0
2
+ 𝑐2
Restando ambas ecuaciones: 𝜔𝑟0
2
=
𝑐1
2
(𝑟0
2
− 𝑟𝑖
2
)
𝑐1 =
2𝜔𝑟0
2
(𝑟0
2
− 𝑟𝑖
2
)
que al sustituir en la ecuación de la primera condición frontera:
0 =
2𝜔𝑟0
2
(𝑟0
2
− 𝑟𝑖
2
)
2
𝑟𝑖
2
+ 𝑐2
𝑐2 = −
𝜔𝑟0
2
𝑟𝑖
2
𝑟0
2
− 𝑟𝑖
2
Sustituyendo las constantes de integración,

3. 𝑟𝑣 𝜃 =
𝜔𝑟0
2
(𝑟0
2
− 𝑟𝑖
2
)
𝑟2
−
𝜔𝑟0
2
𝑟𝑖
2
𝑟0
2
− 𝑟𝑖
2
Haciendo común denominador
𝑣 𝜃 =
𝜔𝑟0
2
𝑟
𝑟2
− 𝑟𝑖
2
𝑟0
2
− 𝑟𝑖
2
𝑣 𝜃 =
𝜔𝑟0
2
𝑟0
2
− 𝑟𝑖
2
𝑟2
− 𝑟𝑖
2
𝑟
=
𝜔𝑟0
2
𝑟0
2
− 𝑟𝑖
2 (𝑟 −
𝑟𝑖
2
𝑟
)
La pregunta original sin embargo, no era el perfil de velocidad, sino cómo obtener la viscosidad. La
ecuación de Newton en cilíndricas es:
𝜏 𝑟𝜃 = −𝜇 [𝑟
𝜕
𝜕𝑟
(
𝑣 𝜃
𝑟
) +
1
𝑟
𝜕𝑣𝑟
𝜕𝜃
]
Que considerando que vθ = vθ(r) y vr = 0
Se reduce a
𝜏 𝑟𝜃 = −𝜇𝑟 [
𝑑
𝑑𝑟
(
𝑣 𝜃
𝑟
)]
Sustituyendo vθ y derivando
𝜏 𝑟𝜃 = −𝜇𝑟 [
𝑑
𝑑𝑟
{
𝜔𝑟0
2
𝑟0
2
− 𝑟𝑖
2
1
𝑟
(𝑟 −
𝑟𝑖
2
𝑟
)}]
𝜏 𝑟𝜃 = −𝜇𝑟
𝜔𝑟0
2
𝑟0
2
− 𝑟𝑖
2 [
𝑑
𝑑𝑟
(1 −
𝑟𝑖
2
𝑟2)]
𝜏 𝑟𝜃 = −𝜇𝑟
𝜔𝑟0
2
𝑟0
2
− 𝑟𝑖
2 [
2𝑟𝑖
2
𝑟3
]
𝜏 𝑟𝜃 = −𝜇
2𝜔𝑟0
2
𝑟0
2
− 𝑟𝑖
2 [
𝑟𝑖
𝑟
]
2
Evaluando el esfuerzo en ri: (donde se aplica el torque para inmovilizar ese cilindro)
(𝜏 𝑟𝜃)𝑖 = −𝜇
2𝜔𝑟0
2
𝑟0
2
− 𝑟𝑖
2
Por su parte, el torque requerido para que no gire el cilindro interior es equivalente a Fuerza x brazo de
palanca
𝑇𝑖 = 𝐹𝑟𝑖
Y el esfuerzo cortante en esa posición:
(𝜏 𝑟𝜃)𝑖 = − (
𝐹
𝐴 𝑟
)
𝑖
= −
𝐹
2𝜋𝑟𝑖 𝐿

4. Sustituyendo la ecuación de Ti en esta última
(𝜏 𝑟𝜃)𝑖 = −
𝑇𝑖
𝑟𝑖
⁄
2𝜋𝑟𝑖 𝐿
= −
𝑇𝑖
2𝜋𝑟𝑖
2
𝐿
Igualando esta expresión con la obtenida por Navier-Stokes:
−
𝑇𝑖
2𝜋𝑟𝑖
2
𝐿
= −𝜇
2𝜔𝑟0
2
𝑟0
2
− 𝑟𝑖
2
Y finalmente:
𝜇 =
𝑇𝑖
4𝜋𝑟𝑖
2
𝐿
(
𝑟0
2
− 𝑟𝑖
2
𝜔𝑟0
2 )