1) El documento presenta los conceptos fundamentales de balance de masa, momento y energía para sistemas que involucran transporte molecular y convectivo. 2) Se describen las ecuaciones generales que relacionan la acumulación, generación, transporte molecular y transporte convectivo para dichos balances. 3) Finalmente, se especifican las ecuaciones correspondientes a cada tipo de balance (masa, momento, energía) en términos de las propiedades involucradas como densidad, velocidad y coeficientes de transporte.

1. Balance global de propiedades
El balance de propiedades, tal como lo aprendimos en la clase de Balance masa y
energía es:
Entrada + Generación = Salida + Acumulación
Este balance será nuestro punto de partida en fenómenos de transporte, pero para ello
incluiremos en nuestro balance dos conceptos:
Transporte molecular
Recordando la ecuación que usamos en la sección pasada:
𝜑 𝑚,𝑥 = −𝛿
dæ
d𝑥
(2)
Que se generaliza a las tres dimensiones
𝜑 = −𝛿∇æ
Para cartesiano:
𝜑 = −𝛿 (
dæ
d𝑥
+
dæ
dy
+
dæ
d𝑧
)
El transporte molecular para cada tipo de transporte se representa de la manera siguiente
Transferencia de
momentum
Transferencia de masa Transferencia de calor
𝜏 𝑦𝑥 = −𝜇
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑦
𝐽 𝐴 = −𝐷𝐴𝐵
𝑑𝐶𝐴
𝑑𝑥
𝑞
𝐴
= −𝑘
𝑑𝑇
𝑑𝑥
Transporte convectivo
𝜑𝑐 = æ𝑣̅
O escrito en una sola dirección:
𝜑𝑐,𝑥 = æ𝑣𝑥
Para un sistema donde se presenten ambos tipos de transporte:
𝜑 𝑥 = 𝜑 𝑥,𝑚 + 𝜑 𝑥,𝑐 = −𝛿
dæ
d𝑥
+ æ𝑣𝑥
Para hacer el balance en un volumen de control, consideramos entradas y salidas. El
balance lo haremos para flujos, por ello multiplicamos el flux por el área (misma área en
entrada y salida)

2. 2
1 x 2
Agrupamos entrada y salida, para un volumen de control específico, que será de
tamaño diferencial:
𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 = (𝜑 𝑥 𝐴) 𝐸 = (𝜑 𝑥 𝐴)1
𝑆𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 = (𝜑 𝑥 𝐴) 𝑆 = (𝜑 𝑥 𝐴)2
Los otros dos términos que necesitamos para el balance son generación y
acumulación:
𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = (𝜑̇ 𝐺)𝑉
𝐴𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = 𝑉
𝜕æ
𝜕𝑡
𝑚̇ = 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑚á𝑠𝑖𝑐𝑜 =
𝐾𝑔
𝑠
𝜑̇ 𝐺: 𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖ó𝑛 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎:
𝑀𝑎𝑠𝑎
𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 ∗ 𝑣𝑜𝑙
Fenómenos típicos de generación:
Masa
- Reacciones químicas (A →B)
- “Reacciones nucleares”
Calor
- Reacciones química
- Fricción (mecánica; disipación viscosa)
- Corriente eléctrica
Moméntum
Juntando todos los términos:
(𝜑 𝑥 𝐴)1 + (𝜑̇ 𝐺)𝑉 = (𝜑 𝑥 𝐴)2 + 𝑉
𝜕æ
𝜕𝑡
1 x 2
Agrupamos entrada y salida, para un volumen de control específico, que será de
tamaño diferencial:

3. 3
𝜕æ
𝜕𝑡
− (𝜑̇ 𝐺) = −
Δ(𝜑 𝑥 𝐴)
Δ𝑉
= lim
∆𝑉→0
−
Δ(𝜑 𝑥 𝐴)
Δ𝑉
𝜕æ
𝜕𝑡
− (𝜑̇ 𝐺) = −
𝜕(𝜑 𝑥 𝐴)
𝜕𝑉
Sustituyendo V = Ax
𝜕æ
𝜕𝑡
− (𝜑̇ 𝐺) = −
𝜕(𝜑 𝑥 𝐴)
𝜕(𝐴𝑥)
𝜕æ
𝜕𝑡
− (𝜑̇ 𝐺) = −
𝐴𝜕(𝜑 𝑥)
𝐴𝜕(𝑥)
Y eliminando el área constante y común
𝜕æ
𝜕𝑡
− (𝜑̇ 𝐺) = −
𝜕𝜑 𝑥
𝜕𝑥
(4)
Los términos de entrada y salida, recordamos que son flux total, por lo que pueden
sustituirse por la suma del flux convectivo y molecular
𝜕æ
𝜕𝑡
− (𝜑̇ 𝐺) = −
𝜕
𝜕𝑥
[−𝛿
𝜕æ
𝜕𝑥
+ æ𝑣𝑥]
Derivando y reacomodando
𝜕æ
𝜕𝑡
− (𝜑̇ 𝐺) =
𝜕
𝜕𝑥
[𝛿
𝜕æ
𝜕𝑥
] −
𝜕(æ𝑣𝑥)
𝜕𝑥
De manera frecuente consideramos δ como un valor promedio y “constante” dentro del
rango de operación de nuestro sistema
𝜕æ
𝜕𝑡
− (𝜑̇ 𝐺) = 𝛿
𝜕2
æ
𝜕𝑥2
−
𝜕(æ𝑣𝑥)
𝜕𝑥
Acumulación – Generación = Transporte molecular – Transporte convectivo
También se expresa esta ecuación de la manera siguiente:
𝜕æ
𝜕𝑡
+
𝜕(æ𝑣𝑥)
𝜕𝑥
= (𝜑̇ 𝐺) + 𝛿
𝜕2
æ
𝜕𝑥2
Con su respectiva ecuación para concentración de energía, masa y moméntum.
Recordando que los términos de concentración para cada fenómeno viene de las
expresiones análogas entre éstos:
Transferencia de
momentum
Transferencia de masa Transferencia de calor
𝜏 = −𝜇
𝑑𝑣
𝑑𝑥
𝐽 𝐴 = −𝐷𝐴𝐵
𝑑𝐶𝐴
𝑑𝑥
𝑞
𝐴
= −𝑘
𝑑𝑇
𝑑𝑥
𝜏 = −
𝜇
𝜌
𝑑(𝜌𝑣)
𝑑𝑥
𝐽 𝐴 = −𝐷𝐴𝐵
𝑑𝐶𝐴
𝑑𝑥
𝑞
𝐴
= −
𝑘
𝜌𝐶𝑝
𝑑(𝜌𝐶𝑝𝑇)
𝑑𝑥

4. 4
Calor
𝜕(𝜌𝐶𝑝𝑇)
𝜕𝑡
+
𝜕(𝜌𝐶𝑝𝑇𝑣𝑥)
𝜕𝑥
= (𝜑̇ 𝐺) + 𝛼
𝜕2(𝜌𝐶𝑝𝑇)
𝜕𝑥2
Recordando que “alfa” incluye los términos k, ρ y Cp,
𝛼 =
𝑘
𝜌𝐶𝑝
𝜕𝑇
𝜕𝑡
+
𝜕(𝑇𝑣𝑥)
𝜕𝑥
=
(𝜑̇ 𝐺)
𝜌𝐶𝑝
+ 𝛼
𝜕2
𝑇
𝜕𝑥2
Recuerde que el término de generación es calor generado por unidad de volumen.
Masa
𝜕ρ 𝐴
𝜕𝑡
+
𝜕(ρ 𝐴 𝑣𝑥)
𝜕𝑥
= (ρ 𝐴̇ 𝐺
) + 𝐷𝐴𝐵
𝜕2
ρ 𝐴
𝜕𝑥2
Masa en unidades molares
𝜕C 𝐴
𝜕𝑡
+
𝜕(C 𝐴 𝑣𝑥)
𝜕𝑥
= (C 𝐴
̇
𝐺
) + 𝐷𝐴𝐵
𝜕2
C 𝐴
𝜕𝑥2
Moméntum
𝜕(𝜌𝑣𝑥)
𝜕𝑡
+
𝜕(ρ𝑣𝑥
2)
𝜕𝑥
= (𝑝 𝑣̇ 𝐺
) + 𝒱
𝜕2(𝜌𝑣𝑥)
𝜕𝑥2
Si además la densidad es constante (flujo incompresible)
𝜕(𝑣𝑥)
𝜕𝑡
+
𝜕(𝑣𝑥
2)
𝜕𝑥
=
(𝑝 𝑣̇ 𝐺
)
𝜌
+ 𝒱
𝜕2(𝑣𝑥)
𝜕𝑥2
Este ejercicio se realizó para una sola dimensión pero puede generalizarse para las tres
dimensiones reescribiendo la ecuación 4
𝜕æ
𝜕𝑡
= (𝜑̇ 𝐺) − (∇ ∙ 𝜑) (5)
Es importante recordar que el término de flux incluye el término molecular y convectivo
𝜑 = 𝜑 𝑚 + 𝜑𝑐
Específicamente el término convectivo es:
𝜑𝑐 = ӕ𝑣̅
De acuerdo a la ecuación 5, necesitamos evaluar la divergencia del término convectivo:
∇ ∙ (ӕ𝑣̅) = ӕ(∇ ∙ 𝑣̅) + 𝑣̅ ∙ (∇ӕ)
Mientras que el para el término molecular,
𝜑 𝑚 = −𝛿∇ӕ

5. 5
∇ ∙ 𝜑 𝑚 = ∇ ∙ (−𝛿∇ӕ)
Por lo tanto,
(∇ ∙ 𝜑) = ∇𝜑 𝑚 + ∇𝜑𝑐 = ∇ ∙ (−𝛿∇ӕ) + ∇ ∙ (ӕ𝑣̅)
(∇ ∙ 𝜑) = ∇ ∙ (−𝛿∇ӕ) + [ӕ(∇ ∙ 𝑣̅) + 𝑣̅ ∙ (∇ӕ)]
Estos términos los sustituimos en la ecuación 5,
𝜕æ
𝜕𝑡
= (𝜑̇ 𝐺) − 〈∇ ∙ (−𝛿∇ӕ) + [ӕ(∇ ∙ 𝑣̅) + 𝑣̅ ∙ (∇ӕ)]〉
Reacomodando,
𝜕æ
𝜕𝑡
+ 𝑣̅ ∙ (∇ӕ) = (𝜑̇ 𝐺) + ∇ ∙ (𝛿∇ӕ) − ӕ(∇ ∙ 𝑣̅)
Para δ constante,
𝜕æ
𝜕𝑡
+ 𝑣̅ ∙ (∇ӕ) = (𝜑̇ 𝐺) + 𝛿∇ ∙ (∇ӕ) − ӕ(∇ ∙ 𝑣̅)
Adicionalmente a los términos del lado izquierdo se le llama “Derivada material”
𝐷ӕ
𝐷𝑡
≡
𝜕æ
𝜕𝑡
+ 𝑣̅ ∙ (∇ӕ)
Finalmente, dado que la concentración es un escalar, la última ecuación puede
escribirse:
𝐷ӕ
𝐷𝑡
=
𝜕ӕ
𝜕𝑡
+𝑣̅ ∙ (∇ӕ) = ӕ̇ 𝐺 + 𝛿∇2
ӕ − ӕ(∇ ∙ 𝑣̅)