Modelado para dar principio a conceptos de fluido no newtoniano y Ley de Stokes

1. Flujo laminar dentro de tubo
Considere un tubo circular en posición horizontal dentro del cual se desplaza un fluido newtoniano
incompresible en estado estacionario. El tubo es de gran longitud de modo que los efectos de entrada y
salida (extremos) son despreciables. Obtenga para este caso el perfil de velocidad, la velocidad máxima,
la velocidad media, el gasto volumétrico, el esfuerzo cortante máximo y el perfil del esfuerzo cortante.
P1
P2
R
0 L
Esta geometría ya se había analizado al aplicar la ecuación de continuidad y en dicho análisis se llegó a la
conclusión de que vz = vz(r)
vr = vθ = 0 y son constantes
La integral de vz con respecto z es constante:
vz = vz (r, θ, z)
si no está girando el flujo, entonces la conclusión es vz = vz (r)
Con esto en mente, analizaremos la ecuación de Navier-Stokes para el componente axial de la velocidad
Después de simplificar términos, obtenemos
Pero la derivada del producto
en coordenadas cilíndricas:
𝜕 𝑣𝑧
𝜕𝑡
+ 𝑣𝑟
𝜕 𝑣𝑧
𝜕𝑟
+
𝑣 𝜃
𝑟
𝜕 𝑣𝑧
𝜕𝜃
+ 𝑣𝑧
𝜕 𝑣𝑧
𝜕𝑧
= −
1
𝜌
𝜕𝑃
𝜕𝑧
+ 𝑔𝑧 +
𝜇
𝜌
𝜕2
𝑣𝑧
𝜕 𝑟2 +
𝜇
𝜌𝑟
𝜕 𝑣𝑧
𝜕𝑟
+
𝜇
𝜌 𝑟2
𝜕2
𝑣𝑧
𝜕 𝜃2 +
𝜇
𝜌
𝜕2
𝑣𝑧
𝜕 𝑧2
Edo. Vr = 0 Vθ = 0 No es vz = vz (r)
Estacionario Ecn cont factor motriz
vz

2. Así que podemos sustituir estos términos en la ecuación
Separamos variables
Integrando
Condición frontera 1
Se espera un perfil de velocidad simétrico respecto al eje central de la tubería donde por ser el punto
más alejado de las paredes del tubo, la velocidad sea máxima
En r = 0; dvz/dr = 0
Sustituyendo
De modo que
Separando variables e integrando
Aplicando la segunda condición frontera,
En r = R; vz = 0
𝜕
𝜕𝑟
[ 𝑟 (
𝜕 𝑣𝑧
𝜕𝑟
)] = 𝑟
𝜕2
𝑣𝑧
𝜕 𝑟2 +
𝜕 𝑣𝑧
𝜕𝑟
= 𝑟 (
𝜕2
𝑣𝑧
𝜕 𝑟2 +
1
𝑟
𝜕 𝑣𝑧
𝜕𝑟
)

3. Por lo tanto,
𝑣𝑧 =
∆ 𝑃
4 𝐿𝜇
𝑟2
−
∆ 𝑃
4 𝐿𝜇
𝑅2
𝑣𝑧 =
(−∆ 𝑃) 𝑅2
4 𝐿𝜇
[1 − (
𝑟
𝑅
)
2
] 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑙 𝑑𝑒 𝑣 𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑

4. Para obtener la velocidad máxima regresamos a la condición que ya usamos de que esto ocurre en r = 0
No es inusual obtener la relación vz/vmax:
Para el cálculo de caudal hay dos estrategias
El análogo a un promedio ponderado integral por diferencial de áreas
Hacer la doble integral estricta de caudal
Como vz no depende de θ, puede integrarse esta variable sin problemas
Sacamos constantes y separamos en dos integrales
Y la expresión de velocidad se obtiene a partir de v = Q/A
( 𝑣𝑧) 𝑚𝑎𝑥 =
(−∆ 𝑃) 𝑅2
4 𝐿𝜇
𝑄 =
2 𝜋(−∆ 𝑃) 𝑅2
4 𝜇𝐿
{∫ 𝑟𝑑𝑟
𝑅
0
+ ∫
𝑟3
𝑅2 𝑑𝑟
𝑅
0
}
𝑄 =
2 𝜋(−∆ 𝑃) 𝑅2
4 𝜇𝐿
{
𝑅2
2
+
𝑅4
4 𝑅2} =
2 𝜋(−∆ 𝑃) 𝑅2
4 𝜇𝐿
{
𝑅2
2
+
𝑅2
4
} =
𝜋(−∆ 𝑃) 𝑅4
8 𝜇𝐿

5. La ecuación de velocidad media frecuentemente se escribe en función de diámetro –porque es más fácil
medir el diámetro de una tubería-:
Esta ecuación también se despeja de variadas maneras:
Expresión que se utiliza para obtener valores aproximados de viscosidad de los fluidos que se esperan
ser newtonianos en rango laminar (tema a analizar a futuro).
Para la expresión de esfuerzo cortante regresamos al balance de fuerzas que se usó en la lección de
generación de moméntum
con lo que el perfil de esfuerzo es
Para nuestro caso también es verdad que
Y como ya habíamos analizado, en r = 0, dvz/dr = 0, por lo que τrz = 0, constituyendo así el valor mínimo
de esfuerzo, lo que nos lleva a pensar que la condición “opuesta” geométricamente que es la pared (en r
= R) de la tubería es la posición del esfuerzo máximo:
( 𝑣𝑧) 𝑚 =
𝑄
𝐴
=
𝜋(−∆ 𝑃) 𝑅4
8 𝜇𝐿
𝜋 𝑅2
𝑣 𝑚 =
(−∆ 𝑃) 𝑅2
8 𝜇𝐿
( 𝑣𝑧) 𝑚𝑒𝑑
( 𝑣𝑧) 𝑚á 𝑥
=
1
2
𝑣 𝑚 =
(−∆ 𝑃) 𝐷2
32 𝜇𝐿
(− 𝛥𝑃) =
32 𝑣 𝑚 𝜇𝐿
𝐷2
( 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó 𝑛 𝑑𝑒 𝐻𝑎𝑔𝑒𝑛 − 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑒𝑣𝑖𝑙𝑙𝑒)
𝜏 𝑟𝑧 =
𝑟(−∆ 𝑃)
2 𝐿
( 𝜏 𝑟𝑧 ) 𝑀á 𝑥 = ( 𝜏 𝑟𝑧 ) 𝑃𝑎𝑟𝑒𝑑 =
𝑅(−∆ 𝑃)
2 𝐿