Base teórica para calcular tuberías para fluidos no newtonianos y ejemplos

1. Esfuerzos cortantes y modelos
Al aplicarse un esfuerzo cortante, el fluido se desplaza en dirección de la fuerza ocasionando
un gradiente de velocidad 𝑑𝑣 / 𝑑𝑦 (velocidad de corte)
Esfuerzos cortantes en
fluidos
− 𝑑𝑣 / 𝑑𝑦
F. Newtoniano
Fluido ideal
Sólido
𝜇
𝜏
Fluidos de Ostwald de Waele o “ley de potencia”
𝜏 = 𝑘 −
𝑑𝑣
𝑑𝑦
n < 1 Pseudoplásticos
n = 1 Newtoniano
n > 1 Dilatantes
Plástico de Bingham
𝜏 = 𝑘 −
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+ 𝜏

2. Ejercicio 14 Encuentre el modelo a partir de los datos.
𝑑𝑣 / 𝑑𝑦 𝜏 (Pa)
0.00 0.00
0.50 21.0
1.00 35.0
1.50 47.0
2.00 59.0
0.00
10.00
20.00
30.00
40.00
50.00
60.00
0.00 0.50 1.00 1.50 2.00
(Pa)
𝐼𝑛(𝑑𝑣 / 𝑑𝑦) In ( 𝜏 )
0.000 0.000
-0.693 3.045
0.000 3.555
0.405 3.850
0.693 4.078
y= b +mx
m 0.75
b 3.55
𝜏 = 𝑘 −
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝐼𝑛(𝜏 ) = 𝐼𝑛(𝑘) + 𝑛 𝐼𝑛
𝑑𝑣
𝑑𝑦
𝑘 = 35 𝑏 = 𝑛 = 0.75
𝜏 = 35 −
𝑑𝑣
𝑑𝑦
.

3. Obtención de modelos para Ley de la Potencia y ecuación de
Hagen-Poiseuille
Flujo de un fluido de Ostwald de Waele (o Ley de la Potencia) por un ducto horizontal en
sección circular (de radio R) con gradiente de presión como factor motriz en régimen laminar
completamente desarrollado.
𝐹 = 𝑃𝜋𝑟 − (𝑃 + 𝑑𝑃)𝜋𝑟 − 𝜏(2𝜋𝑟𝑑𝑧) = 0
−
𝑑𝑃
𝑑𝑧
=
2𝜏
𝑟
La caída de presión por longitud es empíricamente constante como ya hemos trabajado en
este curso, y le llamaremos B por facilidad de nomenclatura
−
𝑑𝑃
𝑑𝑧
=
2𝜏
𝑟
= 𝐵(𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒)
𝜏 =
𝐵𝑟
2
Para un fluido de Ostwald de Waele la ecuación de esfuerzo cortante es:
𝜏 = 𝑘 −
𝑑𝑣
𝑑𝑟
=
𝐵𝑟
2
𝜏
− 𝑑𝑣 / 𝑑𝑦
F. Newtoniano
𝜇
𝜏 = − 𝜇 ( 𝑑𝑣 / 𝑑𝑦)
𝑣
𝑃 𝑃 + 𝛥𝑃

4. −𝑑𝑣 =
𝐵
2𝑘
𝑟 𝑑𝑟
Perfil de velocidades
𝑣 =
𝐵
2𝑘
𝑅 − 𝑟
1
𝑛 + 1
Velocidad máxima:
𝑣 =
𝐵
2𝑘
𝑅
1
𝑛 + 1
Para obtener la velocidad media utilizamos el cálculo de caudal
𝑣 =
𝑄
𝐴
=
∫ 𝑣𝑑𝐴
𝐴
=
∫
𝐵
2𝑘
𝑅 − 𝑟
1
𝑛 + 1
2𝜋𝑟𝑑𝑟
𝜋𝑅
𝑣 =
2
𝐵
2𝑘
𝑅
1
𝑛 + 1
𝑅
2
−
𝑅
1
𝑛 + 3
𝑣 =
2
𝐵
2𝑘
𝑅
1
𝑛 + 1
𝑅
1
𝑛
+ 3 − 2
2
1
𝑛 + 3
𝑣 =
𝐵
2𝑘
𝑅
𝑛
1 + 3𝑛
𝑣
𝑣
=
𝐵
2𝑘
𝑅
𝑛
1 + 3𝑛
𝐵
2𝑘
𝑅
1
𝑛 + 1
𝑣
𝑣
=
𝑛
1 + 3𝑛
𝑛
1 + 𝑛
=
1 + 𝑛
1 + 3𝑛
1/n+1=(1+n)/n

5. 𝑣
𝑣
=
𝐵
2𝑘
𝑅 − 𝑟
1
𝑛 + 1
𝐵
2𝑘
𝑅
1
𝑛 + 1
𝑣
𝑣
= 1 −
𝑟
𝑅
Caso particular
Fluido newtoniano: n = 1; k = μ
𝑣
𝑣
= 1 −
𝑟
𝑅
(𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏ó𝑙𝑖𝑐𝑜)
𝑣
𝑣
=
1
2
𝑣 =
𝐵
2𝜇
𝑅
1
4
𝑣 =
−
𝑑𝑃
𝑑𝑧
2𝜇
𝐷
4
1
4
𝑣 =
−
𝛥𝑃
𝛥𝑧
2𝜇
𝐷
4
1
4
Despejando:
−𝛥𝑃 =
32𝑣 𝜇𝐿
𝐷
(𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐻𝑎𝑔𝑒𝑛 − 𝑃𝑜𝑖𝑠𝑒𝑣𝑖𝑙𝑙𝑒)
Esta expresión es aceptada para Re < 2100
(R-r) = 1-r/R

6. Obtención de Reynolds generalizado
Regresando a la igualdad de fuerzas derivadas de presión y esfuerzo cortante, para obtener
una expresión de 𝜏
𝜏 𝑤( 𝜋𝐷𝐿) = (−∆𝑃) 𝜋
4 𝐷2
𝜏 =
(−∆𝑃)𝐷
4𝐿
Si para el fluido de Ostwald de Waele hacemos una analogía basada en cómo cambia el
modelo newtoniano al de la Ley de la Potencia:
𝜏 𝑤 =
8𝑣
𝐷
𝑛′
𝑘′
¿Qué relación existe entre k y n; k’ y n’?
𝑣 𝑚 =
𝐵
2𝑘
1
𝑛
𝑅
1
𝑛+1 𝑛
1 + 3𝑛
Elevando la velocidad (media) a la n:
𝑣 𝑛 =
−
∆𝑃
𝐿
2𝑘
𝐷
2
1+𝑛
𝑛
1 + 3𝑛
𝑛
Sustituyendo la expresión de Hagen-Poiseville aquí,
𝜏 𝑤 =
8𝑣
𝐷
𝜇
𝜏
8v/D
𝜏
8v/D
Zona laminar
Newtoniano (μ ctte) Ostwald de Waele

7. Despejamos de esta expresión (-ΔP) para poderlo sustituir en la ecuación de 𝜏 :
𝜏 𝑤 =
(−∆𝑃) 𝐷
4𝐿
=
𝑣 𝑛(2𝑘)21+𝑛
4𝐷 𝑛
1 + 3𝑛
𝑛
𝑛
8 𝑛
8 𝑛
𝜏 𝑤 =
8𝑣
𝐷
𝑛
𝑘 2
1 + 3𝑛
8𝑛
𝑛
Comparando con
𝜏 𝑤 =
8𝑣
𝐷
𝑛′
𝑘′
n = n’ y 𝑘′
= 𝑘
1+3𝑛
4𝑛
𝑛
Reynolds generalizado
Para fluidos que siguen la Ley de la Potencia, se propone el número de Reynolds generalizado
de la siguiente manera:
𝑅𝑒 ≡
𝐷 𝑣 𝜌
𝛾
Dodge y Metzner experimentaron con este tipo de fluidos y llegaron a una expresión de
trabajo de fricción y una gráfica:
𝑤 𝐹 =
(4𝑓)𝐿𝑣2
2𝐷
Donde 𝑓 = 𝑓(𝑅𝑒, 𝜀
𝐷 , 𝑛)
Donde:
𝛾 = 8 𝑘 = 8 𝑘
1 + 3𝑛
4𝑛
Unidades de k:
𝑃𝑎 ⋅ 𝑠
Por falta de gráficas para rugosidad
relativa distinta a cero se utiliza la
relación siguiente:
𝑓∈ = 𝑓∈
𝑓∈
𝑓∈ á
𝑓
Re
n

8. Diagrama Dodge-Metzner:
Ejemplo 30 Determine la caída de presión que tendrá en una tubería horizontal de 100 m lisa
y de 8 cm de diámetro interno una solución de carboximetil celulosa al 1.5% en agua cuando
tiene un flujo de 3 L/s.
Para un tubo horizontal, la simplificación de la ecuación de Bernoulli es:
𝑊 =
−∆𝑃
𝜌
Para una mezcla de 1.5% CMC en agua a 25°C:
ρ = 1000 kg/m3
; n’ = 0.554; γ = 1.369
𝑣 =
𝑄
𝐴
=
. 003
𝜋
4 (.8)
= 0.6𝑚/𝑠
𝑅𝑒 =
𝐷 𝑣 𝜌
𝛾
=
(. 8). (0.6) . (1000)
1.369
= 86.1 < 1000(𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑒 𝑛)
𝑊 =
(4𝑓)𝐿𝑣
2𝐷
𝑓 =
16
𝑅𝑒
∴ 4𝑓 =
64
𝑅𝑒
=
64
86.1
= 0.74
𝑊 =
(. 74)(100)0.6
2(.08)
=
−∆𝑃
1000

9. Ejemplo 31 Determine la caída de presión que tiene una suspensión de arcilla al 14.3% en
agua cuando fluye por el interior de una tubería de 50m de longitud, 5 cm de diámetro interno
y rugosidad relativa de 0.001 con un caudal de 5 L/s. Esta suspensión es un fluido que sigue
la ley de la potencia, con γ = .0512 y n = .350; ρ = 1200 kg/m3
.
𝑣 =
𝑄
𝐴
=
. 005
𝜋
4 (.5)
= 2.55𝑚/𝑠
𝑅𝑒 =
𝐷 𝑣 𝜌
𝛾
=
(. 05). (2.55) . (1200)
0.0512
= 3.8𝑥10
En diagrama de Dodge-Metzner, se lee para n = 0.35, f = 0.0025
Para poder hacer la corrección de tubería lisa a rugosa hacemos las lecturas análogas en el
diagrama de Moody con el mismo valor de Reynolds. En este diagrama, f para tubería lisa es
de .022 y para rugosidad relativa de 0.001 es de .025
𝑓∈ = 𝑓∈
𝑓∈
𝑓∈ á
𝑓∈ = .0025
. 025
. 022
= 0.0028
𝑊 =
(4𝑓)𝐿𝑣
2𝐷
=
(4𝑥. 0028)(50)(2.55)
2(.05)
= 36.41 =
−∆𝑃
1200