Ejemplo de cálculo de Hardy Cross

1. Redes de tuberías
Método Hardy-Cross
Caudales y dirección
Balance del punto “i” al punto “i“
∆𝑃
𝜌
+
∆𝑣
2
+ 𝑔∆𝑧 + 𝑊 + 𝑊 = 0 ∑(𝑊 + 𝑊 ) = 0
Si en la red no hay máquinas:
1. Suponer una distribución de caudales (respetando el balance de masa).
2. Evaluar ∑𝑊 = ∑ 𝛽 𝑄 en cada malla
3. Si ∑𝑊 ≠ 0, se corrige el balance
∑ 𝑓 𝐿 𝑄
2
𝜋
4
𝐷
= 0 𝛽 =
𝑓 𝐿
2
𝜋
4
𝐷
∑ 𝛽 𝑄 = 0
Tubería

2. La corrección de 𝛥𝑄 viene de:
∑(𝛽 [𝑄 + 𝛥 𝑄 ] ) = 0
∑ 𝛽 𝑄 + 2 𝛥 𝑄 𝑄 + 𝛥𝑄 = 0
∑ 𝛽 𝑄 + 2 𝛥 𝑄 𝑄 ≈ 0
𝛥 𝑄 = −
∑𝛽 𝑄
2 ∑𝛽 𝑄
𝛥 𝑄 =
𝑊
2 |𝛽 𝑄 |
Convección de signos
Negativo Positivo
El signo de 𝛥 𝑄 representa el exceso que debe restarse a los excesos y sumarse a las
diferencias
4. Repetir hasta que 𝛥 𝑄−→ 0
despreciable

3. Ejemplo 29.
Tubería 𝐿 (m) 𝐷 (m) 𝑓
A 100 0.15 0.02
B 200 0.20 =
C 80 0.20 =
D 100 0.12 =
E 200 0.10 =
F 150 0.20 =
G 100 0.15 =
H 100 0.15 =
I 100 0.15 =
Solución
Proponer direcciones y flujos, cumpliendo el balance de masa.
A
B
D C
G
E F
H I𝑄 = 0.1 𝑚 /𝑠
𝑄 = 0.06 𝑚 /𝑠
𝑄 = 0.04 𝑚 /𝑠

4. Balance de masa
𝐴 + 𝐵 = 0.06
𝐻 + 𝐸 = 0.01
𝐺 + 𝐼 = 0.04
𝛽 =
𝑓 𝐿
2
𝜋
4
𝐷
La columna Qi es la primera propuesta de flujos.
Tubería 𝑄 𝛽 𝛽 𝑄 𝛽 𝑄
A 0.04 21348 853.93 34.157
B 0.02 10132 202.64 4.053
C 0.04 4053 162.11 6.485
D 0.03 65150 1954.50 58.635
E 0.07 324227.8 22695.95 1588.716
F 0.01 7599 75.99 0.760
G 0.02 21348 427 8.539
H 0.03 21348 640.4 19.213
I 0.02 21348 427.0 8.539
A
B
D C
G
E F
H I
𝑄 = 0.1 𝑚 /𝑠
𝑄 = 0.06 𝑚 /𝑠
𝑄 = 0.04 𝑚 /𝑠
I
II III

5. Corrección de la malla I
A B C D
𝛥 𝑄 =
−∑𝛽 𝑄
2 ∑𝛽 𝑄
=
−34.157 + 4.053 + 6.485 + 58.635
2(853.93 + 202.64 + 162.11 + 1954.5 )
= 0.0055
Corrección de la malla II
D E F H
𝛥 𝑄 =
−∑𝛽 𝑄
2 ∑𝛽 𝑄
=
−58.6 + 1588.716 + 0.76 + 19.213
2( 1954.5 + 22695.95 + 75.99 + 640.4 )
= −0.0314
Corrección de la malla III
C F G I
𝛥 𝑄 =
−∑𝛽 𝑄
2 ∑𝛽 𝑄
=
−6.485 − 0.76 − 8.539 + 8.539
2( 162.11 + 75.99 + 427 + 427 )
= −0.0033
Nótese que se ha omitido el signo menos que aparece en la demostración, en realidad esta
“omisión” se debe a que como se menciona en el apartado de la convención de signos, se
debe restar a los flujos en exceso y sumar a los flujos deficientes.
En términos prácticos, si el ΔQ es + se invierte el signo del giro (observe las tuberías de la
malla I) y si el ΔQ es – se dejan los mismos signos usados en este último cálculo.
Caudales corregidos
Tubería 𝑄 𝛥𝑄I 𝛥𝑄II 𝛥𝑄III 𝑄
A 0.04 +0.0055 0.045517
B 0.02 −0.0055 0.014483
C 0.04 −0.0055 −0.0033 0.028965
D 0.03 −0.0055 −0.0321 -0.00759
E 0.07 −0.0321 0.037923
F 0.01 +0.0321 −0.0033 0.03876
G 0.02 −0.0033 0.016683
H 0.03 +0.0321 0.062077
I 0.02 +0.0033 0.023317

6. Estos caudales (y/o direcciones corregidas) deberían seguir respetando el balance de materia.
El signo negativo en el caudal D indica que esa dirección ahora es en sentido contrario
respecto a la primera suposición.
Y se repite iteración hasta que las correcciones de los caudales queden por debajo de la
tolerancia de error permitida.
Tubería 𝐿 (m) 𝐷 (m) 𝑓 𝑄 𝛽 𝛽 𝑄 𝛽 𝑄
A 100 0.15 0.02 0.045517 21348.33 971.719 44.23005
B 200 0.2 0.02 0.014483 10132.12 146.7402 2.12519
C 80 0.2 0.02 0.028965 4052.847 117.3921 3.400304
D 100 0.12 0.02 0.007594 65149.94 494.7578 3.75726
E 200 0.1 0.02 0.037923 324227.8 12295.75 466.294
F 150 0.2 0.02 0.03876 7599.089 294.5397 11.41632
G 100 0.15 0.02 0.016683 21348.33 356.1553 5.941759
H 100 0.15 0.02 0.062077 21348.33 1325.236 82.26646
I 100 0.15 0.02 0.023317 21348.33 497.7779 11.60666
A
B
D C
G
E F
H I
𝑄 = 0.1 𝑚 /𝑠
𝑄 = 0.06 𝑚 /𝑠
𝑄 = 0.04 𝑚 /𝑠
I
II III

7. Corrección de la malla I
A B C D
𝛥𝑄 =
∑𝛽 𝑄
2 ∑𝛽 𝑄
=
−44.2301 + 2.1252 + 3.400 − 3.757
2(971.719 + 146.74 + 117.39 + 494.76 )
= −0.0123
Corrección de la malla II
D E F H
𝛥𝑄 =
∑𝛽 𝑄
2 ∑𝛽 𝑄
=
3.757 − 466.294 + 11.4163 + 82.2665
2( 494.76 + 12295.75 + 294.54 + 1325.24 )
= −0.0128
Corrección de la malla III
C F G I
𝜟𝑸 𝑰𝑰𝑰 =
∑𝜷𝒊 𝑸𝒊
𝟐
𝟐 ∑𝜷𝒊 𝑸𝒊
=
−𝟑. 𝟒 − 𝟏𝟏. 𝟒𝟐 − 𝟓. 𝟗𝟒 + 𝟏𝟏. 𝟔𝟏
𝟐( 𝟏𝟏𝟕. 𝟑𝟗 + 𝟐𝟗𝟒. 𝟓𝟒 + 𝟑𝟓𝟔. 𝟏𝟔 + 𝟒𝟗𝟕. 𝟕𝟖 )
= −𝟎. 𝟎𝟎𝟑𝟔
Después de 7 iteraciones:
Tubería 𝐿 (m) 𝐷 (m) 𝑓 𝑄 𝛽 𝛽 𝑄 𝛽 𝑄
A 100 0.15 0.02 0.029951 21348.33 639.4052 19.15087
B 200 0.2 0.02 0.030049 10132.12 304.4594 9.148681
C 80 0.2 0.02 0.060098 4052.847 243.5675 14.63789
D 100 0.12 0.02 0.008453 65149.94 550.718 4.655267
E 200 0.1 0.02 0.021498 324227.8 6970.241 149.8461
F 150 0.2 0.02 0.042118 7599.089 320.0604 13.48039
G 100 0.15 0.02 0.003616 21348.33 77.20058 0.279175
H 100 0.15 0.02 0.078502 21348.33 1675.887 131.5605
I 100 0.15 0.02 0.036384 21348.33 776.7327 28.26046

8. El cálculo de los tres términos correctivos ya es muy pequeño y podemos concluir el caudal
que esperamos sea correcto.
𝑄 𝑄 𝑄 𝑄 𝑄
𝑄 -5.6E-06 0.029951 -5.6E-06 0.029945
0.030049 5.63E-06 0.030055
𝑄 -7.9E-06 0.060098 5.63E-06 5.63E-06 0.060109
0.008453 -5.6E-06 7.87E-06 0.008455
𝑄 -4.8E-05 0.021498 -7.9E-06 0.02149
0.042118 7.87E-06 -4.8E-05 0.042078
0.003616 -4.8E-05 0.003568
0.078502 7.87E-06 0.07851
0.036384 4.83E-05 0.036432