Conceptos básicos de fenómenos de transporte

1. Definiciones básicas de fenómenos de transporte
Presión es la magnitud escalar que relaciona la fuerza con la superficie sobre la cual actúa, es decir,
equivale a la fuerza que actúa sobre la superficie. Cuando sobre una superficie plana de área A se
aplica una fuerza normal F de manera uniforme, la presión P viene dada de la siguiente forma:
𝑃 =
𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟
Á𝑟𝑒𝑎
Esfuerzo de Corte
Cuando un material es sometido a una carga de corte puro o cizallamiento, la relación entre el
esfuerzo de corte dividida para el área se conoce como "Esfuerzo de corte (tau)", éste puede
tomar cualquier valor dependiendo de la carga y del área. Una matriz de corte de rodelas produce
esfuerzos de corte puro. También en torsión pura se producen esfuerzos de corte puro.
𝜏 =
𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑒𝑛 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎
Á𝑟𝑒𝑎
Flujo. Se define como una cantidad por unidad de tiempo. Sus unidades pueden ser:
𝐾𝑔𝑚𝑜𝑙
𝑠
,
𝑙𝑡
𝑠
,
𝐽
𝑠
Flux. Se define como una cantidad por unidad de tiempo por área, es decir tomar el flujo y dividirlo entre
el área que atraviesa. Sus unidades pueden ser:
𝐶𝑎𝑙
𝑚2 𝑠
,
𝐵𝑇𝑈
𝐹𝑡2 𝑠
,
𝐾𝑔
𝑚2 𝑠
TRANSPORTE MOLECULAR Y CONVECTIVO
La manera más sencilla de entender la diferencia entre lo que llamamos transporte molecular y convectivo
es recordar las explicaciones básicas de calor que nos dieron en secundaria o preparatoria.
¿Qué tipos de transferencia de calor existe?
Calor conductivo, convectivo y radiación.
El calor conductivo se nos explica con el ejemplo clásico de una varilla de metal que se acerca a una fuente
de calor, que se encuentra digamos a 100 °C. Si sujetamos la varilla por suficiente tiempo nuestra mano
comenzará a calentarse. La transferencia de calor en este caso se realiza porque las moléculas cercanas a
la zona de 100 °C se “contagian” de la energía cinética molecular y transfieren estas vibraciones a las

2. moléculas vecinas. Tal cual este tipo de calor es el que llamamos molecular en la clase de fenómenos de
transporte.
El calor convectivo se nos explica como el que favorece el ventilador en un lugar El calor convectivo se
debe al movimiento de un fluido. Si no hay movimiento de fluido no hay transferencia de calor de tipo
convectivo y lo mismo aplica en fenómenos de transporte.
(La radiación se queda como tema a discutir hasta que llegues a la clase de Transferencia de calor).
FENOMENOS DE TRANSPORTE MOLECULAR
El transporte molecular es comúnmente estudiado a través del concepto de densidad de flujo, ¿flujo de
qué?
Comenzaremos por presentarte la expresión general que se sustituye en cada tipo de fenómeno (calor,
moméntum y masa).
𝝋 = 𝝌
𝒅𝚿
𝒅𝒚
Donde
χ es una constante de proporcionalidad, cuyo nombre genérico es “difusividad”.
ψ es la propiedad de transporte
dψ como diferencial, se conoce como “fuerza impulsora” (el hecho de que exista este gradiente es el que
promueve que haya una transferencia para empezar)
Las siguientes son las expresiones análogas de transporte molecular básicas para cartesiano
unidireccional (como ejemplo y comparación de analogías)
Transporte Ecuación Fuerza
impulsora
Resistencia Ley Unidades
Moméntum 𝜏 𝑥𝑦 = −𝜇
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑦
∆𝑣 ∆𝑦
Ley de
Newton
𝑁
𝑚2
,
𝐾𝑔
𝑚 • 𝑠2
Energía
𝑞
𝐴
= −𝑘
Δ𝑇
Δ𝑥
∆𝑇 ∆𝑥
Ley de
Fourier
𝐽
𝑚2 • 𝑠
Masa 𝐽 = −𝐷𝐴𝐵
𝜕𝐶𝐴
𝜕𝑥
∆𝐶𝐴 ∆𝑥
Ley de
Fick
𝐾𝑔𝑚𝑜𝑙
𝑚2 • 𝑠

3. Donde
μ= Viscosidad
K = Conductividad de un Material
DAB = Coeficiente de difusión de la sustancia “A” a través de un medio “B”.
Las unidades y variables usuales de estas ecuaciones se muestran en la siguiente tabla:

4. Problemas
Calcule el flux de calor (q/a) a través de una lámina de cobre de 10 cm de longitud, misma que mantiene
uno de sus extremos a 0°C y el opuesto a 100°C. Suponga que la conductividad térmica (k) es constante e
igual a 380 W/mK, asimismo suponga transporte unidireccional y estado estacionario.
T2 T1
x
𝑞
𝐴
= −𝑘
𝑑𝑇
𝑑𝑥
𝑞
𝐴
∫ 𝑑𝑥
𝑥2
𝑥1
= −𝑘 ∫ 𝑑𝑇
𝑇2
𝑇1
𝑞
𝐴
= −𝑘
(𝑇2 − 𝑇1)
(𝑥2 − 𝑥1)
= −𝑘
∆𝑇
∆𝑥
𝑞
𝐴
= −380
𝑊
𝑚 • 𝐾
(273.15 𝐾 − 373.15 𝐾)
(0.1𝑚 − 0 𝑚 )
= −380
𝑊
𝑚 • 𝐾
(0 − 100)°𝐶
0.1𝑚
𝑞
𝐴
= +380000
𝑊
𝑚2
El signo o la ausencia de éste dependen de la dirección con la cual se dibuje la lámina y los puntos 1 y 2.
El signo de q/A indica en este caso que la dirección de calor va del punto a 100°C y hacia los 0°C.
La transferencia de momentum, masa y calor SIEMPRE van de mayor a menor concentración y los signos
de nuestro flux deben indicar esa dirección.
0°C 100°C

5. Dos platos paralelos están separados por una distancia de 10 cm, el plato inferior no se mueve. Entre
ambos platos se tiene un fluido newtoniano de viscosidad ( 𝜇) igual a 1 centipoise. (1 cp = 1 x 10-3
Kg/ms)
a) Calcule el flux de momento necesario para mantener el plato superior moviéndose a una velocidad de
30 cm/s. Suponga estado estacionario.
𝜏 𝑥𝑦 = −𝜇
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑦
𝜏 𝑥𝑦 ∫ 𝑑𝑦
𝑦2
𝑦1
= −𝜇 ∫ 𝑑𝑣𝑥
𝑣2
𝑣1
𝜏 𝑥𝑦 = −𝜇
(𝑣2 − 𝑣1)
(𝑦2 − 𝑦1)
𝜏 𝑥𝑦 = −1𝑥10−3
Kg/ms
(0 − 0.3)𝑚/𝑠
(0.1 − 0)𝑚
= +3𝑥10−3
𝑁
𝑚2
El signo en este caso indica que la trasmisión de momentum va de la placa superior hacia la placa inferior.
La velocidad v1 es positiva hacia la derecha según nuestro diagrama. En el mismo sentido que nuestro
crecimiento en x.
x
Y
V1= 30 cm/s
V2= 0 cm/s
10 cm

6. b) Calcule el flux de momento si la placa superior se mueve a 30 cm/s a la derecha y la inferior a 20 cm/s
hacia la izquierda.
𝜏 = −1𝑥10−3
(−0.2 − 0.3)
(0.1)
= 5𝑥10−3
𝑁
𝑚2
El primer signo en la velocidad, hacia la izquierda indica que vamos en dirección opuesta al crecimiento
de x, el segundo signo negativo respeta la resta de v2 – v1. τ positiva indica que la transmisión de
momentum persiste de arriba hacia abajo según nuestro diagrama.
RESISTENCIAS EN SERIE
Tres placas horizontales están separadas por una distancia de 10 cm. Entre las placas 1 y 2 se encuentra
agua a 30C., con una viscosidad de 0.807 cp, entre la2 placas 2 y 3 hay tolueno también a 30C con una
viscosidad de 0.5179 cp. El plato del fondo donde esta inmóvil mientras el lado superior se mueve a una
velocidad de 3 m/s. ¿Cuál es la velocidad de la placa de intermedia?
𝜏 = 𝑓𝑙𝑢𝑥 𝑐𝑡𝑡𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑦 sin 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝜏xy = -μ
Δ𝑉𝑥
Δ𝑦
𝜏xy = -0.807 mPa s
(𝑉2−3
𝑚
𝑠
)
10 𝑐𝑚
𝜏xy = -μ
Δ𝑉𝑥
Δ𝑦
𝜏xy = -0.5179 mPa s
(0
𝑚
𝑠
−𝑉2)
10 𝑐𝑚
Igualando:
-0.5179 mPa
(0
𝑚
𝑠
−𝑉2)
10 𝑐𝑚
= -0.807 mPa
(𝑉2−3
𝑚
𝑠
)
10 𝑐𝑚
Despejando:
V2= 1.8273 m/s
10cm
10cm
3 m/s
0 m/s

7. La pared de una casa está formada por tres capas; una capa interior de ½” de yeso, una capa intermedia
de 3” 5/8 de espesor de fibra de vidrio y una capa exterior de 4“ de ladrillo.
Suponga que existe contacto perfecto entre cada capa. La conductividad térmica de cada material es de
0.17, 0.036 y 0.72 W/mK respectivamente. La temperatura al interior de la casa es de 70ºF y de 0ºF al
exterior. Calcule el flujo de calor que va ser constante y las temperaturas en las uniones de las capas.
Podemos escribir una ecuación por material:
3.- (
𝑞
𝑎
) = −𝑘 𝐿𝑎𝑑𝑟𝑖𝑙𝑙𝑜
(T 𝑥−T 𝐸𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟)
(Δx) 𝐿𝑎𝑑𝑟𝑖𝑙𝑙𝑜
(𝑇𝑥 − 𝑇𝐸𝑥𝑡) =
(q/a) (Δx) Ladrillo
−𝑘 ladrillo
2.- (
𝑞
𝑎
) = −𝑘 𝑓𝑖𝑏𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑣 𝑖𝑑𝑟𝑖𝑜
(T 𝑦−T 𝑥)
(Δx) 𝐹.𝑉.
(𝑇𝑦 − 𝑇𝑥) =
(q/a) (Δx) 𝐹.𝑉.
−𝑘 𝐹.𝑉.
1.- (
𝑞
𝑎
) = −𝑘 𝑌𝑒𝑠𝑜
(T 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟−T 𝑦)
(Δx) 𝑌𝑒𝑠𝑜
(𝑇𝐼𝑛𝑡 − 𝑇𝑦) =
(q/a) (Δx) 𝑌𝑒𝑠𝑜
−𝑘 𝑌𝑒𝑠𝑜
x y
Sumando las tres ecuaciones
(𝑇𝐼𝑛𝑡 − 𝑇𝐸𝑥𝑡) = − (
𝑞
𝑎
) [
(Δx)
𝑘 𝑌𝑒𝑠𝑜
+
(Δx)
𝑘 𝐹.𝑉.
+
(Δx)
𝑘 𝐿𝑎𝑑𝑟𝑖𝑙𝑙𝑜
]

8. La conductividad térmica tiene unidades Kelvin, viene de la expresión de la ecuación de Fourier, por lo
que representa “gradiente” de grados Kelvin (que corresponde a un gradiente en Celsius, la conversión
entonces es de gradiente Farenheit a gradiente en S.I.)
(
𝑞
𝑎
) =
(𝑇𝐸𝑥𝑡 − 𝑇𝐼𝑛𝑡)
(
Δx
𝑘
) 𝑙𝑎𝑑𝑟𝑖𝑙𝑙𝑜 + (
Δx
𝑘
) 𝐹. 𝑣𝑖𝑑𝑟𝑖𝑜 + (
Δx
𝑘
) 𝑦𝑒𝑠𝑜
= 14 𝑤/𝑚2
Para despejar las temperaturas en los puntos x y y puede utilizarse cualquiera de las ecuaciones iniciales.
𝑇𝑥 =
(q/a) (Δx) Ladrillo
−𝑘 ladrillo
+ 𝑇𝐸𝑥𝑡 = 257𝐾
𝑇𝑦 =
(
q
a
) (Δx) 𝐹.𝑉.
−𝑘 𝐹.𝑉.
+ 𝑇𝑥 = 293 𝐾
El peor conductor es el vidrio porque tiene un brinco de temperatura más grande.
El peor conductor dirige la transferencia de calor.

9. (
𝑞
𝑎
)𝑥 = −𝑘
𝜕𝑇
𝜕𝑥
(
𝑞
𝑎
)1
=
−0.17 (𝑇2 − 294.11)
0.0127𝑚
(
𝑞
𝑎
)2
=
−0.036 (𝑇3 − 𝑇2)
0.09207𝑚
(
𝑞
𝑎
)3
=
−0.72(255.2𝑘 − 𝑇3)
0.1016𝑚
Resistencia en serie:
𝑅1 =
(Δx)1
𝑘1
=
0.0127m
0.17w/mk
= 0.0747 𝑊/𝑚2
𝐾
𝑅2 =
(Δx)2
𝑘2
=
0.09207m
0.036w/mk
= 2.5576 𝑊/𝑚2
𝐾
𝑅3 =
(Δx)3
𝑘3
=
0.1016m
0.72/mk
= 0.1411 𝑊/𝑚2
𝐾
(
𝑞
𝑎
) 𝑥
=
𝑇𝑖𝑛𝑡 − 𝑇𝑜𝑢𝑡
∑ 𝑅
(
𝑞
𝑎
) 𝑥
=
38.889𝐾
2.7734 𝑤/𝑚2 𝐾
= 14𝑤/𝑚2
𝑇2 =
4 𝑤/𝑚2(0.0127𝑚)
−0.17 𝑤/𝑚𝑘
+ 294.11𝐾 = 287.9𝐾
70ºF = 294.11K
0 ºF = 255,22 K

10. Unidades SI derivadas con nombres y símbolos especiales
Unidades SI derivadas expresadas a partir de las que tienen nombres
especiales
Viscosidad: 1 Kg/m s = 1 N s/m2 = 1 s Pa